1. Nombre dérivé 1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application 1.1 Vocabulaire et première application 1.2 Interprétation géométrique 1.3 Développement limité d une fonction à l ordre 1 1.4 Lien entre la continuité et la dérivabilité
1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application Définition 1 (f définie sur un intervalle I. x 0 I et x 0 + h I) Taux d accroissement entre x 0 et x 0 + h : f (x 0 + h) f (x 0 ). h
1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application Définition 1 (f définie sur un intervalle I. x 0 I et x 0 + h I) Taux d accroissement entre x 0 et x 0 + h : f (x 0 + h) f (x 0 ). h Si sa limite, lorsque h 0 existe et est finie, f dérivable en x 0.
1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application Définition 1 (f définie sur un intervalle I. x 0 I et x 0 + h I) Taux d accroissement entre x 0 et x 0 + h : f (x 0 + h) f (x 0 ). h Si sa limite, lorsque h 0 existe et est finie, f dérivable en x 0. Elle est alors appelée le nombre dérivé f (x 0 ) de f en x 0 : f f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) (x 0 ) = lim = lim. h 0 h x x 0 x x 0
1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application Définition 1 (f définie sur un intervalle I. x 0 I et x 0 + h I) Taux d accroissement entre x 0 et x 0 + h : f (x 0 + h) f (x 0 ). h Si sa limite, lorsque h 0 existe et est finie, f dérivable en x 0. Elle est alors appelée le nombre dérivé f (x 0 ) de f en x 0 : f f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) (x 0 ) = lim = lim. h 0 h x x 0 x x 0 Si limite finie à gauche (resp. à droite), f est dérivable en x 0 à gauche (resp. à droite) et on note f g(x 0 ) (resp. f d (x 0)) cette limite, nombre dérivé à gauche (resp. à droite).
1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application Définition 1 (f définie sur un intervalle I. x 0 I et x 0 + h I) Taux d accroissement entre x 0 et x 0 + h : f (x 0 + h) f (x 0 ). h Si sa limite, lorsque h 0 existe et est finie, f dérivable en x 0. Elle est alors appelée le nombre dérivé f (x 0 ) de f en x 0 : f f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) (x 0 ) = lim = lim. h 0 h x x 0 x x 0 Si limite finie à gauche (resp. à droite), f est dérivable en x 0 à gauche (resp. à droite) et on note f g(x 0 ) (resp. f d (x 0)) cette limite, nombre dérivé à gauche (resp. à droite). Remarque 1 Egalité des 2 limites ci-dessus obtenue en posant x = x 0 + h (voir méthode 3, chap 8)
1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application Exemple 1 ( ) f : x x est-elle dérivable en 0? Même question pour g : x x x et pour la fonction valeur absolue. Proposition 1 («indét. levées via un taux d accroissement») a Démonstration.
1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application Exemple 1 ( ) f : x x est-elle dérivable en 0? Même question pour g : x x x et pour la fonction valeur absolue. Proposition 1 («indét. levées via un taux d accroissement») a e x 1 1 lim = 1 x 0 x ln(x + 1) 2 lim =1 x 0 x Démonstration. (1 + x) α 1 3 lim = α x 0 x 1 + x 1 4 lim = 1 x 0 x 2
1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application Exemple 1 ( ) f : x x est-elle dérivable en 0? Même question pour g : x x x et pour la fonction valeur absolue. Proposition 1 («indét. levées via un taux d accroissement») a e x 1 1 lim = 1 x 0 x ln(x + 1) 2 lim =1 x 0 x (1 + x) α 1 3 lim = α x 0 x 1 + x 1 4 lim = 1 x 0 x 2 Démonstration. en admettant la dérivabilité d une fonction adaptée en 0, utiliser directement la définition
1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application Remarque 2 Arnaque dans la démonstration précédente. Il faudrait démontrer la dérivabilité pour calculer cette limite, mais calculer cette limite revient à montrer la dérivabilité! Exemple 2 ( )
1. Nombre dérivé 1.1. Vocabulaire et première application Remarque 2 Arnaque dans la démonstration précédente. Il faudrait démontrer la dérivabilité pour calculer cette limite, mais calculer cette limite revient à montrer la dérivabilité! Exemple 2 ( ) e x (x + 1) 1 ln(x) 1 2x + 1 3 Déterminer lim, lim, lim x 0 x x e x e x 4 x 4
1. Nombre dérivé 1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique 1.1 Vocabulaire et première application 1.2 Interprétation géométrique 1.3 Développement limité d une fonction à l ordre 1 1.4 Lien entre la continuité et la dérivabilité
1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique f définie sur I et dérivable en x 0 I. Alors, quand h tend vers 0, M h tend vers M 0 et (M 0 M h ) tend vers T x0 C f f (x 0 + h) M h f (x0 ) M 0 O x 0 h x 0 + h
1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique f définie sur I et dérivable en x 0 I. Alors, quand h tend vers 0, M h tend vers M 0 et (M 0 M h ) tend vers T x0 C f f (x0 + h) M h f (x0 ) M 0 O x 0 h x 0 + h
1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique f définie sur I et dérivable en x 0 I. Alors, quand h tend vers 0, M h tend vers M 0 et (M 0 M h ) tend vers T x0 C f f (x0 + h) f (x0 ) M 0 O x 0 h M h x 0 + h
1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique f définie sur I et dérivable en x 0 I. Alors, quand h tend vers 0, M h tend vers M 0 et (M 0 M h ) tend vers T x0 C f f (x0 + h) f (x0 ) M h M 0 h O x 0 x 0 + h
1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique f définie sur I et dérivable en x 0 I. Alors, quand h tend vers 0, M h tend vers M 0 et (M 0 M h ) tend vers T x0 C f T x0 f (x 0 ) O M 0 x 0 = x 0 + h
1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique Exemple 3 ( ) 1 Justifier que le coefficient directeur de (M 0 M h ) à la courbe C f est égal à τ x0,h(f ). 2 Déduire de ce qui est écrit sous la flèche le coefficient directeur de la tangente T x0. Proposition 2
1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique Exemple 3 ( ) 1 Justifier que le coefficient directeur de (M 0 M h ) à la courbe C f est égal à τ x0,h(f ). 2 Déduire de ce qui est écrit sous la flèche le coefficient directeur de la tangente T x0. Proposition 2 Soit f définie sur I, dérivable en x 0 I. La tangente à la courbe C f au point d abscisse x 0 est la droite T x0 d équation y = f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) Le coefficient directeur est égal à f (x 0 ).
1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique Exemple 4 ( ) Soit f : x ln(x + 1). Déterminer les points de C f pour lesquels la tangente est parallèle à d : y = x. Proposition 3 Exemple 5 ( )
1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique Exemple 4 ( ) Soit f : x ln(x + 1). Déterminer les points de C f pour lesquels la tangente est parallèle à d : y = x. Proposition 3 f (x) f (x 0 ) Si f non dérivable en x 0 mais lim x x0 x x 0 une (demi-)tangente verticale en x 0. = ±, C f admet Exemple 5 ( )
1. Nombre dérivé 1.2. Interprétation géométrique Exemple 4 ( ) Soit f : x ln(x + 1). Déterminer les points de C f pour lesquels la tangente est parallèle à d : y = x. Proposition 3 f (x) f (x 0 ) Si f non dérivable en x 0 mais lim x x0 x x 0 une (demi-)tangente verticale en x 0. = ±, C f admet Exemple 5 ( ) Donner un exemple parmi les fonctions usuelles.
1. Nombre dérivé 1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 1.1 Vocabulaire et première application 1.2 Interprétation géométrique 1.3 Développement limité d une fonction à l ordre 1 1.4 Lien entre la continuité et la dérivabilité
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Définition 2 f définie sur un intervalle ouvert contenant x 0. On dit que f admet un développement limité à l ordre 1 en x 0 (DL 1 (x 0 )) lorsqu il existe deux réels a et b tels que, pour h suffisamment proche de 0 : f (x 0 + h) = a + bh + hε(h), avec lim h 0 ε(h) = 0
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Remarque 3 1 De manière équivalente, on peut dire que pour x suffisamment proche de x 0, on a, toujours en posant x = x 0 + h : f (x) = a + b(x x 0 ) + (x x 0 )ε(x x 0 )
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Remarque 3 2 La quantité hε(h), négligeable devant h lorsque h tend vers 0, peut se noter o(h), ce qui se lit «petit o de h» (sous-entendu au voisinage de 0). On a donc : f (x 0 + h) = a + bh + o(h). De même, on peut noter f (x) = a + b(x x 0 ) + o x0 (x x 0 ).
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Remarque 3 3 Le DL est dit à l ordre 1 car la quantité a + bh est un polynôme de degré 1 en la variable h. DL 0 (x 0 ) de f : s écrit f (h) = a + ε(h), avec a réel et lim h 0 ε(h) = 0. DL 2 (x 0 ) de f s écrit f (h) = a + bh + ch 2 + h 2 ε(h), avec a, b, c réels et lim h 0 ε(h) = 0.
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Remarque 3 4 L idée des DL est de faire l approximation d une fonction par un polynôme, de manière locale
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Théorème 4 Les deux propositions suivantes sont équivalentes : 1 f est dérivable en x 0 2 f admet un développement limité à l ordre 1 en x 0
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Théorème 4 Les deux propositions suivantes sont équivalentes : 1 f est dérivable en x 0 2 f admet un développement limité à l ordre 1 en x 0 Le DL est alors unique et, nécessairement : a = f (x 0 ) et b = f (x 0 ). Autrement dit, pour h suffisamment proche de 0, ou encore pour x suffisamment proche de x 0 : f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f (x 0 )h + o(h) ou encore f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o x0 (x x 0 )
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Remarque 4 Lorsque x est proche de x 0, cela signifie que C f est très proche de sa tangente en x 0. On parle d approximation affine : f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Pour x suffisamment proche de x 0, T x0 est la droite la plus proche de C f. Exemple 6 ( )
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Remarque 4 Exemple 6 ( ) 1 Donner les développements limités à l ordre 1 en 0 de x e x, x ln(1 + x), x 1 1+x, x 1 + x, x e x, x ln(1 x), ainsi que les développements limités à l ordre 1 en 1 de x 1 + x, x 1 x et x ln x.
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Remarque 4 Exemple 6 ( ) 2 En utilisant l approximation affine pour une fonction f supposée dérivable sur R, donner une valeur approchée de f (3, 05) sachant que f (3) = 1 et f (3) = 6.
1. Nombre dérivé 1.3. Développement limité d une fonction à l ordre 1 Remarque 4 Lorsque x est proche de x 0, cela signifie que C f est très proche de sa tangente en x 0. On parle d approximation affine : f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Pour x suffisamment proche de x 0, T x0 est la droite la plus proche de C f. Exemple 6 ( ) 2 En utilisant l approximation affine pour une fonction f supposée dérivable sur R, donner une valeur approchée de f (3, 05) sachant que f (3) = 1 et f (3) = 6.
1. Nombre dérivé 1. Nombre dérivé 1.4. Lien entre la continuité et la dérivabilité 1.1 Vocabulaire et première application 1.2 Interprétation géométrique 1.3 Développement limité d une fonction à l ordre 1 1.4 Lien entre la continuité et la dérivabilité
1. Nombre dérivé 1.4. Lien entre la continuité et la dérivabilité Théorème 5 («continuité vs dérivabilité») Soit x 0 R. Alors, f dérivable en x 0 f continue en x 0. La réciproque est fausse! Démonstration.
1. Nombre dérivé 1.4. Lien entre la continuité et la dérivabilité Théorème 5 («continuité vs dérivabilité») Soit x 0 R. Alors, f dérivable en x 0 f continue en x 0. réciproque est fausse! Démonstration. Pour le sens direct, écrire le DL 1 (x 0 ) de f et passer à la limite. Pour le contre-exemple, regarder parmi les fonctions usuelles. La
2. Fonction dérivée 2.1. Dérivabilité sur un intervalle 2. Fonction dérivée 2.1 Dérivabilité sur un intervalle 2.2 Dérivée d une fonction réciproque 2.3 Dérivées successives. Espaces C p
2. Fonction dérivée 2.1. Dérivabilité sur un intervalle Définition 3 Quand f admet un nombre dérivé en tout point x 0 I, on dit que f est dérivable sur I. On définit alors la fonction dérivée, notée f : x f (x). Exemple 7 ( )
2. Fonction dérivée 2.1. Dérivabilité sur un intervalle Définition 3 Quand f admet un nombre dérivé en tout point x 0 I, on dit que f est dérivable sur I. On définit alors la fonction dérivée, notée f : x f (x). Exemple 7 ( ) 1 Retrouver "à la main" la fonction dérivée de la fonction carrée.
2. Fonction dérivée 2.1. Dérivabilité sur un intervalle Définition 3 Quand f admet un nombre dérivé en tout point x 0 I, on dit que f est dérivable sur I. On définit alors la fonction dérivée, notée f : x f (x). Exemple 7 ( ) 2 Montrer à la main que la dérivée de u + v est u + v.
2. Fonction dérivée 2.1. Dérivabilité sur un intervalle Définition 3 Quand f admet un nombre dérivé en tout point x 0 I, on dit que f est dérivable sur I. On définit alors la fonction dérivée, notée f : x f (x). Exemple 7 ( ) 3 En se servant de l égalité ci-dessous, établir la formule de dérivation d un produit : u(x 0 + h)v(x 0 + h) u(x 0 )v(x 0 ) = u(x 0 +h)v(x 0 +h) u(x 0 +h)v(x 0 )+u(x 0 +h)v(x 0 ) v(x 0 )u(x 0 ).
2. Fonction dérivée 2.1. Dérivabilité sur un intervalle Remarque 5 Important : toutes les formules de dérivée ont été obtenues via des calculs de limites (ou de DL). On ne vous demande pas de redémontrer ces résultats, juste de les utiliser.
2. Fonction dérivée 2.2. Dérivée d une fonction réciproque 2. Fonction dérivée 2.1 Dérivabilité sur un intervalle 2.2 Dérivée d une fonction réciproque 2.3 Dérivées successives. Espaces C p
Théorème 6 2. Fonction dérivée 2.2. Dérivée d une fonction réciproque Soit I un intervalle et f une bijection de I sur f (I). Si f ne s annule pas sur I, alors f 1 est dérivable sur f (I) et ( f 1 ) 1 = f c.à.d que pour y f (I), f 1 ( f 1 ) 1 (y) = f (f 1 (y)).
Théorème 6 2. Fonction dérivée 2.2. Dérivée d une fonction réciproque Soit I un intervalle et f une bijection de I sur f (I). Si f ne s annule pas sur I, alors f 1 est dérivable sur f (I) et ( f 1 ) 1 = f c.à.d que pour y f (I), f 1 ( f 1 ) 1 (y) = f (f 1 (y)). Exemple 8 ( ) Soit f : x ln(x 2 + x + 1). 1 Donner l ensemble de définition de f, puis résoudre f (x) = 0 2 Justifier que f[ définit une bijection de l intervalle I = ] 1 2 ; + sur l intervalle f (I), à déterminer. 3 On note g fonction réciproque de f, définie sur f (I) dans la question précédente. 4 Donner l équation de la tangente à C g en 0.
2. Fonction dérivée 2.3. Dérivées successives. Espaces C p 2. Fonction dérivée 2.1 Dérivabilité sur un intervalle 2.2 Dérivée d une fonction réciproque 2.3 Dérivées successives. Espaces C p
2. Fonction dérivée 2.3. Dérivées successives. Espaces C p Définition 4 Soit p N. On note f (p), lorsqu elle existe, la dérivée p-ième de f, c est à dire obtenue en dérivant p fois la fonction f. Par exemple f (0) = f, f (1) = f, f (2) = f («f seconde»).
2. Fonction dérivée 2.3. Dérivées successives. Espaces C p Définition 4 Soit p N. On note f (p), lorsqu elle existe, la dérivée p-ième de f, c est à dire obtenue en dérivant p fois la fonction f. Par exemple f (0) = f, f (1) = f, f (2) = f («f seconde»). Définition 5 Soit p N. On dit que f est de classe C p sur I lorsque : 1 f est p fois dérivable sur I. 2 f (p) est continue sur I. On dit que f est de classe C sur I lorsque, pour tout entier p, f est p fois dérivable sur I.
2. Fonction dérivée 2.3. Dérivées successives. Espaces C p Définition 4 Soit p N. On note f (p), lorsqu elle existe, la dérivée p-ième de f, c est à dire obtenue en dérivant p fois la fonction f. Par exemple f (0) = f, f (1) = f, f (2) = f («f seconde»). Exemple 9 ( ) Que sont les fonctions C 0 sur un intervalle?
2. Fonction dérivée 2.3. Dérivées successives. Espaces C p Théorème 7 («Théorèmes généraux sur les fct dérivables et C p») Une fonction définie comme la somme, la différence, le produit, le quotient, la composée de fonction dérivables (resp. C p ) est dérivable (resp. C p ) sur tout intervalle où elle est définie.
2. Fonction dérivée 2.3. Dérivées successives. Espaces C p Théorème 7 («Théorèmes généraux sur les fct dérivables et C p») Une fonction définie comme la somme, la différence, le produit, le quotient, la composée de fonction dérivables (resp. C p ) est dérivable (resp. C p ) sur tout intervalle où elle est définie. Remarque 6 Comme pour la continuité, ces résultats permettent de conclure positivement mais pas négativement. Dans la pratique, on utilise les théorèmes généraux en priorité et il reste parfois quelques valeurs à étudier à la main.
2. Fonction dérivée 2.3. Dérivées successives. Espaces C p Théorème 7 («Théorèmes généraux sur les fct dérivables et C p») Une fonction définie comme la somme, la différence, le produit, le quotient, la composée de fonction dérivables (resp. C p ) est dérivable (resp. C p ) sur tout intervalle où elle est définie. Remarque 6 Comme pour la continuité, ces résultats permettent de conclure positivement mais pas négativement. Dans la pratique, on utilise les théorèmes généraux en priorité et il reste parfois quelques valeurs à étudier à la main. Exemple 10 ( ) 1 Donner le domaine de dérivabilité I de f : x x x. Cette fonction est-elle C 1 sur I? C 2? 2 Déterminer le domaine de dérivabilité et la dérivée de : 1 x x x 2 x ln(x)
2. Fonction dérivée 2.3. Dérivées successives. Espaces C p Voici un théorème qui évite de passer par des limites de taux d accroissements. Théorème 8 («Théorème de prolongement C p ) Soit p N, f une fonction de classe C p sur un intervalle I et x 0 I. Si f (p) est dérivable sur I \ {x 0 }, alors f est de classe C p+1 sur I ssi f (p+1) admet une limite finie l en x 0, et dans ce cas f (p+1) (x 0 ) = l
2. Fonction dérivée 2.3. Dérivées successives. Espaces C p Voici un théorème qui évite de passer par des limites de taux d accroissements. Théorème 8 («Théorème de prolongement C p ) Soit p N, f une fonction de classe C p sur un intervalle I et x 0 I. Si f (p) est dérivable sur I \ {x 0 }, alors f est de classe C p+1 sur I ssi f (p+1) admet une limite finie l en x 0, et dans ce cas f (p+1) (x 0 ) = l Exemple 11 ( ) Les fonctions suivantes admettent-elles un prolongement C 1 en 0? C 2? C p jusqu à quel ordre? 1 f : x 2 g : x x 3 ln x { 1 + x si x > 0 e x si x < 0 3 h : x x { x e 4 i : x 1 x si x > 0 0 si x < 0
3. Applications de la dérivation 3.0. 1 ère application : limites via un taux d acroissement. Application principale : étude des variations d une fonction, recherche d extrema locaux.
3. Applications de la dérivation 3.0. 1 ère application : limites via un taux d acroissement. Application principale : étude des variations d une fonction, recherche d extrema locaux. Définition 6 On dit que f possède un maximum local en x 0 si f (x) f (x 0 ) pour x situé dans un voisinage de x 0. On dit que f possède un minimum local en x 0 si f (x) f (x 0 ) pour x situé dans un voisinage de x 0. Dans les deux cas, on dit que f possède un extremum local en x 0 (cet extremum est f (x 0 )). Si les inégalités précédentes ont lieu sur tout un intervalle I contenant x 0, on dit que l extremum est global sur I.
3. Applications de la dérivation 3.0. 1 ère application : limites via un taux d acroissement. Application principale : étude des variations d une fonction, recherche d extrema locaux. Définition 6 On dit que f possède un maximum local en x 0 si f (x) f (x 0 ) pour x situé dans un voisinage de x 0. On dit que f possède un minimum local en x 0 si f (x) f (x 0 ) pour x situé dans un voisinage de x 0. Dans les deux cas, on dit que f possède un extremum local en x 0 (cet extremum est f (x 0 )). Si les inégalités précédentes ont lieu sur tout un intervalle I contenant x 0, on dit que l extremum est global sur I. Remarque 7 Local : sommets de toutes les montagnes, petites collines, petites bosses (tous des maxima locaux) Global : sommet de l Everest (seul maximum global sur Terre).
3. Applications de la dérivation 3.1. Extremum local 3. Applications de la dérivation 3.1 Extremum local 3.2 Inégalités des acroissements finis 3.3 Variations
3. Applications de la dérivation 3.1. Extremum local Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 un point intérieur à I Condition nécessaire pour que f ait un extremum local en x 0 : Théorème 9 Si f admet un extremum local en x 0 I alors f (x 0 ) = 0.
3. Applications de la dérivation 3.1. Extremum local Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 un point intérieur à I Condition nécessaire pour que f ait un extremum local en x 0 : Théorème 9 Si f admet un extremum local en x 0 I alors f (x 0 ) = 0. Condition suffisante pour que f ait un extremum local en x 0 : Théorème 10 Si f s annule en x 0 en changeant de signe alors f a un extremum local en x 0.
3. Applications de la dérivation 3.1. Extremum local Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 un point intérieur à I Condition nécessaire pour que f ait un extremum local en x 0 : Théorème 9 Si f admet un extremum local en x 0 I alors f (x 0 ) = 0. Condition suffisante pour que f ait un extremum local en x 0 : Théorème 10 Si f s annule en x 0 en changeant de signe alors f a un extremum local en x 0. Exemple 12 1 f : x x 3 admet-elle un extremum en 0? 2 f : x ax 2 + x 1. Comment choisir a pour que f admette 2x 3 un maximum local en x = 1?
3. Applications de la dérivation 3.2. Inégalités des acroissements finis 3. Applications de la dérivation 3.1 Extremum local 3.2 Inégalités des acroissements finis 3.3 Variations
3. Applications de la dérivation 3.2. Inégalités des acroissements finis Théorème 11 («IAF». f C 1 sur un intervalle I.) Version 1. Si de plus il existe m, M R tels que : x I, m f (x) M : Alors (a, b) I 2, a b, on a : m(b a) f (b) f (a) M(b a)
3. Applications de la dérivation 3.2. Inégalités des acroissements finis Théorème 11 («IAF». f C 1 sur un intervalle I.) Version 1. Si de plus il existe m, M R tels que : x I, m f (x) M : Alors (a, b) I 2, a b, on a : m(b a) f (b) f (a) M(b a) Version 2. Si de plus il existe M R tel que : x I, f (x) M : Alors (a, b) I 2, on a f (b) f (a) M b a
3. Applications de la dérivation 3.2. Inégalités des acroissements finis Théorème 11 («IAF». f C 1 sur un intervalle I.) Version 1. Si de plus il existe m, M R tels que : x I, m f (x) M : Alors (a, b) I 2, a b, on a : m(b a) f (b) f (a) M(b a) Version 2. Si de plus il existe M R tel que : x I, f (x) M : Alors (a, b) I 2, on a f (b) f (a) M b a Remarque 8 Exprime graphiquement que C f est située entre les droites d équation y = f (a) + m(x a) et y = f (a) + M(x a) sur l intervalle [a; b].
3. Applications de la dérivation 3.2. Inégalités des acroissements finis Exemple 13 (Application fondamentale de l IAF ) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I vérifiant f (I) I et f (x) k < 1. Soit l I tel que f (l) = l. Soit enfin une suite (u n ) n N défine par u n+1 = f (u n ) et u 0 I.
3. Applications de la dérivation 3.2. Inégalités des acroissements finis Exemple 13 (Application fondamentale de l IAF ) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I vérifiant f (I) I et f (x) k < 1. Soit l I tel que f (l) = l. Soit enfin une suite (u n ) n N défine par u n+1 = f (u n ) et u 0 I. 1 Montrer que, pour tout n N, u n+1 l k u n l. 2 En déduire que pour tout n N, u n l k n u 0 l. Que conclure sur la suite (u n ) n N?
3. Applications de la dérivation 3.2. Inégalités des acroissements finis Exemple 13 (Application fondamentale de l IAF ) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I vérifiant f (I) I et f (x) k < 1. Soit l I tel que f (l) = l. Soit enfin une suite (u n ) n N défine par u n+1 = f (u n ) et u 0 I. 1 Montrer que, pour tout n N, u n+1 l k u n l. 2 En déduire que pour tout n N, u n l k n u 0 l. Que conclure sur la suite (u n ) n N? 3 Application : on suppose k = 1 2 et u 0 l 1. A partir de quels rangs a-t-on u n l 10 3? u n l 10 6? Que dire de la vitesse de convergence d une telle suite?
3. Applications de la dérivation 3.3. Variations 3. Applications de la dérivation 3.1 Extremum local 3.2 Inégalités des acroissements finis 3.3 Variations
3. Applications de la dérivation 3.3. Variations Théorème 12 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. 1 f est constante sur I f = 0 sur I. 2 f est croissante (resp. décroissante) sur I f 0 (resp. f 0) sur I. 3 f est strictement croissante (resp.strictement décroissante) sur I f > 0 (resp. f < 0) sur I sauf en des points isolés où elle s annule.
3. Applications de la dérivation 3.3. Variations Théorème 12 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. 1 f est constante sur I f = 0 sur I. 2 f est croissante (resp. décroissante) sur I f 0 (resp. f 0) sur I. 3 f est strictement croissante (resp.strictement décroissante) sur I f > 0 (resp. f < 0) sur I sauf en des points isolés où elle s annule. Démonstration. Utliser l IAF, version 1, avec les bonnes valeurs de m et/ou de M.
4. Convexité et concavité 4.1. Convexité et concavité pour des fonctions quelconques 4. Convexité et concavité 4.1 Convexité et concavité pour des fonctions quelconques 4.2 Convexité pour les fonctions dérivables 4.3 Convexité pour les fonctions deux fois dérivables
4. Convexité et concavité 4.1. Convexité et concavité pour des fonctions quelconques Définition 7 Une fonction est dite convexe sur un intervalle I si : (x 1, x 2 ) I 2, (t 1, t 2 ) [0; 1] 2 tels que t 1 + t 2 = 1 : f (t 1 x 1 + t 2 x 2 ) t 1 f (x 1 ) + t 2 f (x 2 )
4. Convexité et concavité 4.1. Convexité et concavité pour des fonctions quelconques Définition 7 Une fonction est dite convexe sur un intervalle I si : (x 1, x 2 ) I 2, (t 1, t 2 ) [0; 1] 2 tels que t 1 + t 2 = 1 : f (t 1 x 1 + t 2 x 2 ) t 1 f (x 1 ) + t 2 f (x 2 ) Une fonction est dite concave sur un intervalle I si : (x 1, x 2 ) I 2, (t 1, t 2 ) [0; 1] 2 tels que t 1 + t 2 = 1 : f (t 1 x 1 + t 2 x 2 ) t 1 f (x 1 ) + t 2 f (x 2 )
4. Convexité et concavité 4.1. Convexité et concavité pour des fonctions quelconques Définition 7 Une fonction est dite convexe sur un intervalle I si : (x 1, x 2 ) I 2, (t 1, t 2 ) [0; 1] 2 tels que t 1 + t 2 = 1 : f (t 1 x 1 + t 2 x 2 ) t 1 f (x 1 ) + t 2 f (x 2 ) Une fonction est dite concave sur un intervalle I si : (x 1, x 2 ) I 2, (t 1, t 2 ) [0; 1] 2 tels que t 1 + t 2 = 1 : f (t 1 x 1 + t 2 x 2 ) t 1 f (x 1 ) + t 2 f (x 2 ) On appelle point d inflexion de C f un point d abscisse x 0 tel que f change de convexité en x 0
4. Convexité et concavité 4.1. Convexité et concavité pour des fonctions quelconques Définition 7 Une fonction est dite convexe sur un intervalle I si : (x 1, x 2 ) I 2, (t 1, t 2 ) [0; 1] 2 tels que t 1 + t 2 = 1 : f (t 1 x 1 + t 2 x 2 ) t 1 f (x 1 ) + t 2 f (x 2 ) Une fonction est dite concave sur un intervalle I si : (x 1, x 2 ) I 2, (t 1, t 2 ) [0; 1] 2 tels que t 1 + t 2 = 1 : f (t 1 x 1 + t 2 x 2 ) t 1 f (x 1 ) + t 2 f (x 2 ) On appelle point d inflexion de C f un point d abscisse x 0 tel que f change de convexité en x 0
4. Convexité et concavité 4.1. Convexité et concavité pour des fonctions quelconques f (x 2 ) t 1 f (x 1 ) + t 2 f (x 2 ) f (t 1 x 1 + t 2 x 2 ) f (x 1 ) x 1 t 1 x 1 + t 2 x 2 x 2
4. Convexité et concavité 4.1. Convexité et concavité pour des fonctions quelconques Remarque 9 1 Dire que f est concave sur I revient donc à dire que la fonction f est convexe sur I
4. Convexité et concavité 4.1. Convexité et concavité pour des fonctions quelconques Remarque 9 1 Dire que f est concave sur I revient donc à dire que la fonction f est convexe sur I 2 Graphiquement, dire que f est convexe sur I = [a; b] revient à dire que l arc de courbe joignant les points d abscisses a et b est en dessous de la corde, c est à dire la droite joignant ces deux points. C est le contraire si f est concave
4. Convexité et concavité 4.1. Convexité et concavité pour des fonctions quelconques Remarque 9 1 Dire que f est concave sur I revient donc à dire que la fonction f est convexe sur I 2 Graphiquement, dire que f est convexe sur I = [a; b] revient à dire que l arc de courbe joignant les points d abscisses a et b est en dessous de la corde, c est à dire la droite joignant ces deux points. C est le contraire si f est concave 3 f est convexe lorsque sa courbe représentative a sa «bosse»tournée vers le bas, concave lorsque la «bosse»est tournée vers le haut.
4. Convexité et concavité 4.1. Convexité et concavité pour des fonctions quelconques Remarque 9 1 Dire que f est concave sur I revient donc à dire que la fonction f est convexe sur I 2 Graphiquement, dire que f est convexe sur I = [a; b] revient à dire que l arc de courbe joignant les points d abscisses a et b est en dessous de la corde, c est à dire la droite joignant ces deux points. C est le contraire si f est concave 3 f est convexe lorsque sa courbe représentative a sa «bosse»tournée vers le bas, concave lorsque la «bosse»est tournée vers le haut. Exemple 14 ( ) Donner des fonctions usuelles qui ont l air convexes, concaves, possédant un point d inflexion. En admettant ces résultats, justifier que e x (e 1)x + 1 sur [0; 1].
4. Convexité et concavité 4.2. Convexité pour les fonctions dérivables 4. Convexité et concavité 4.1 Convexité et concavité pour des fonctions quelconques 4.2 Convexité pour les fonctions dérivables 4.3 Convexité pour les fonctions deux fois dérivables
4. Convexité et concavité 4.2. Convexité pour les fonctions dérivables Théorème précédent difficile à utiliser. Si f est dérivable, on a un résultat plus simple à exploiter. Théorème 13 Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, de courbe C f.
4. Convexité et concavité 4.2. Convexité pour les fonctions dérivables Théorème précédent difficile à utiliser. Si f est dérivable, on a un résultat plus simple à exploiter. Théorème 13 Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, de courbe C f. f est convexe sur I, si et seulement si f est croissante sur I. f est convexe sur I, si et seulement si sa courbe est située au dessus de chacune de ses tangentes.
4. Convexité et concavité 4.2. Convexité pour les fonctions dérivables Théorème précédent difficile à utiliser. Si f est dérivable, on a un résultat plus simple à exploiter. Théorème 13 Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, de courbe C f. f est concave sur I, si et seulement si f est décroissante sur I. f est concave sur I, si et seulement si sa courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes.
4. Convexité et concavité 4.2. Convexité pour les fonctions dérivables Théorème précédent difficile à utiliser. Si f est dérivable, on a un résultat plus simple à exploiter. Théorème 13 Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, de courbe C f. le point A d abscisse x 0 de la courbe C f est un point d inflexion si et seulement si f change de monotonie en x 0 (donc si f admet un extremum local en x 0 ). le point A de la courbe C f est un point d inflexion si et seulement si la tangente en A traverse la courbe.
4. Convexité et concavité 4.2. Convexité pour les fonctions dérivables j j O ı j O ı O ı fct carrée convexe sur R. Exemple 15 ( ) fct racine carrée concave sur ]0; + [. O point d inflexion. fct cube concave sur R, convexe sur R +. Équation de T x0 à la parabole P de la fonction f : x x 2 au point d abscisse x 0. Position relative de T x0 et P. Conclure. En déduire que pour x R : x 2 ( ) + 1 x + 1 2 2 2
4. Convexité et concavité 4.3. Convexité pour les fonctions deux fois dérivables 4. Convexité et concavité 4.1 Convexité et concavité pour des fonctions quelconques 4.2 Convexité pour les fonctions dérivables 4.3 Convexité pour les fonctions deux fois dérivables
4. Convexité et concavité 4.3. Convexité pour les fonctions deux fois dérivables Comme la plupart des fonctions étudiées sont au minimum deux fois dérivables, le théorème suivant s avère être le plus pratique de tous pour étudier la convexité des fonctions.
4. Convexité et concavité 4.3. Convexité pour les fonctions deux fois dérivables Comme la plupart des fonctions étudiées sont au minimum deux fois dérivables, le théorème suivant s avère être le plus pratique de tous pour étudier la convexité des fonctions. Théorème 14 f est convexe sur I si et seulement si f (x) 0 sur I. f est concave sur I si et seulement si f (x) 0 sur I. le point d abscisse x 0 de C f est un point d inflexion si et seulement si f s annule en changeant de signe en x 0.
4. Convexité et concavité 4.3. Convexité pour les fonctions deux fois dérivables Comme la plupart des fonctions étudiées sont au minimum deux fois dérivables, le théorème suivant s avère être le plus pratique de tous pour étudier la convexité des fonctions. Exemple 16 ( ) Étude complète (ensemble de définition, limites, variations, extrema, convexité, points d inflexions, ébauche de tracé) des fonctions définies par : 1 f (x) = ln(1 + x 2 ) 2 g(x) = x 1 x 2