Calcul des structures II upport de Cours Belgacem Jellali ITEUB 2010 2011 Calcul des structures II 2010 2011 upport de cours : Fleion composée Classes : 2ème HE Enseignant : Jellali Belgacem Les deu premières sections de ce chapitre ne font pas nécessairement partie intégrante de l étude de la fleion composée, leur place normale est le chapitre Théorie des poutres. I Les équations de l équilibre local C onsidérons un tronçon (B) d une poutre, et supposons qu il est soumis à une densité linéique de charge q et une densité linéique de moments γ. ( Le repère global de l espace est noté O, X, Y, ) Z où les trois vecteurs forment une base orthonormée directe. On définit en tout point G de la fibre moenne (B), un repère local (G,,, z ) tel que est tangent à la fibre moenne et oriente la courbe (B) de vers B, on peut donc définir une abscisse curviligne s repérant chaque point de la fibre moenne. Une section de centre G est localisée donc dans le plan Gz. On suppose en plus que les trois vecteurs X, Y, Z constituent une base orthonormée directe, et que les aes G et Gz sont des aes principau d inertie 1 R et M sont les éléments de réduction en du torseur des actions etérieures qui agissent à gauche de ce point. R B et M B sont les éléments de réduction en B du torseur des actions etérieures qui agissent à gauche de ce point. L équilibre de (B) se traduit par deu équations vectorielles : omme de toutes les forces etérieures : Σ F et = 0 = R R B + B q (s) ds = 0 On peut par ailleurs écrire R B ( B ) dr R = ds, d où en remplaçant dans l équation ds précédente et sachant que l intégrale doit ^etre nulle pour tous les cas : d R ds = q (s) (1) 1. Le fait que ces aes sont principau d inertie implique : d = z d = 0 et.z d = 0, mais aussi 2 d = et z 2 d = I. Ces relations vont simplifier grandement les résultats. Généré avec LTEX 2ε 1/8
R B q B M B R γ G z M Figure 1 ction etérieures à un tronçon de poutre omme de tous les momnts etérieurs par rapport à un point donné : Σ M et /O = 0 = M R B + R O R B BO + B On peut par ailleurs écrire M R B + R O R B BO = B ( γ + ) q GO ds = 0 [ ( d M + R GO ) ] ds, ds d où en remplaçant dans l équation précédente, en développant et sachant que l intégrale doit ^etre nulle pour tous les cas : d M ds = R (s) + γ (s) (2) étant le vecteur unitaire tangentnà la fibre moenne orientée de vers B par une abscisse curviligne (ou encore s) 2 i on pose R =. + V (). + V z (). z, M = C (). + M (). + M z (). z et q = q (). + q (). + q z (). z, γ = γ (). + γ (). + γ z (). z et dans les cas les plus rencontrés en génie-civil, on a γ = 0 et la densité de charge q n a pas de composante selon l ae de la fibre moenne (q = 0) ; on aura avec M f = M et M fz = M z : dv () d = q (), dv z () d = q z (), dm f () d = V z (), dm fz () d = +V () (3) II Le principe d équivalence Ce principe traduit la relation des efforts etérieurs avec les efforts intérieurs. Le vecteur contrainte T qui agit sur une section est, dans le cas de la théorie des poutres : T = σ. + τ. + τ z. z (4) 2. On utilisera dorénavant la notation pour désigner l abscisse curviligne. Calcul des structures II upport de Cours Belgacem Jellali ITEUB 2010 2011 2/8
σ étant la contrainte normale à la section, alors que τ et τ z sont les contraintes tangentielles. En écrivant pour tout point M appartenant à la section Σ de centre G : ( T ) R = T d, M = d MG on aura les égalités suivantes, qui traduisent le principe d équivalence : C () = = σd, V () = (.τ z z.τ z ) d, M f () = τ d, V z () = z.σd, M fz () = τ z d (5).σd (6) On remarque alors que la contrainte normale σ n intervient que dans, M f () et M fz () alors que V (), V z () et C () ne sont définis qu à partir des contraintes tangentielles : il serai alors légitime d étudier la fleion composée en laissant de c^oté (pour une étude à part) l effort tranchant et la torsion. III Le principe de Pigeaud et ses conséquences Ce principe stipule que les tau de déformation ε en un point M (,z) de la section sont des fonctions affines en et z : ε = a. + b.z + c, a, b, c R La loi de Hooke permet d écrire : σ = E.ε = a 1. + b 1.z + c 1, a 1, b 1, c 1 R Il s agit alors de déterminer les constantes a 1, b 1, c 1 pour pouvoir eprimer complètement la contrainte normale en n importe quel point de la section. Eprimons la première integrale de l équation (5) en remplaçant à chaque fois, σ par son epression : = σd = a 1.m z + b 1.m + c 1. = c 1. c 1 = Puisque les moments statiques m z et m sont nuls car ils sont calculés par rapport à des aes principau (qui passent par le centre de gravité G de la section). Eprimons maintenant la deuième integrale de l équation (6) : M f () = z.σd = a 1. b 1.I c 1.m b 1 = M f () I Puisque le moment statique m et le produit d inertie sont nuls par définition du centre de gravité et des aes principau d inertie de la section. On refait le m^eme calcul, mais pour la troisième integrale de l équation (6) : M fz () = +.σd = a 1. + b 1. + c 1.m z a 1 = + M fz () Et ce, pour les m^emes raisons sus-mentionnées. Calcul des structures II upport de Cours Belgacem Jellali ITEUB 2010 2011 3/8
En remplaçant dans σ les constantes a 1, b 1 et c 1 par les epressions correspondantes, on aboutit à l epression de la contrainte normale en fleion composée : σ = + M fz (). M f ().z (7) I Pour ne pas faire d erreur de signe dans l utilisation de la formule (7), on gardera en t^ete les raisonnements de la figure suivante : Quand M fz > 0, la fibre supérieure ( > 0) est comprimée en absence de. σ > 0 M fz M fz σ = + M fz (). M f ().z I M f σ < 0 σ > 0 M f σ < 0 z Quand M f > 0, la fibre supérieure est tendue en absence de. (z > 0) Figure 2 Epression de la contrainte normale en fleion composée La loi de Hooke permet de calculer l allongement relatif parallèlement à la fibre moenne, donc normal) en n importe quel point M (, z) de la section : On pose alors : ε = σ E () = E. M fz (). + M f ().z E.I λ = E., ω = M f () E.I, ω z = M fz () ε = λ + ω.z ω z. (8) λ étant le déplacement relatif au niveau de la fibre moenne (centre de gravité G). La figure 3 donne une interprétation géométrique dans le plan G, des déformations au niveau d un point de d ordonnée. IV ollicitations particulières Traction/Compression simple : C est le cas où le torseur des efforts internes est réduit à un effort normal. D après la formule (7) et (8), on aura : σ =, ε = λ = E., ω = ω z = 0 Calcul des structures II upport de Cours Belgacem Jellali ITEUB 2010 2011 4/8
dl = ε.d λ.d dθ z. dθ z λ.d G G tan (dθ z ) dθ z ε = dl d (ω z.d). = dθ z. Figure 3 Interprétation dans le plan G des déformations Les déformations se réduisent à une translation homogène selon la fibre moenne, les rotations sont donc nulles L allongement (ou le raccourcissement) entre la section d abscisse λ.d ( Σ ) σ = ollicitation Répartition des contraintes + d λ.d = E..d Déformation Figure 4 Cas d un effort normal seul 0 est une section d abscisse est donné par la formule : (s) ΔL (0 ) = 0 E. ds cas d une sollicitation M 3 fz : c est le cas de la fleion simple non déviée. i en plus M fz = cste, alors l effort tranchant V est nul : c est la fleion pure.pour les poutres à rigidité constante ( = cste), on dit qu il s agit de la fleion circulaire car la poutre déformée prend l allure d un arc de cercle (raon de courbure R constant). D après la formule (7) et (8), on aura : σ = M fz ()., λ = 0, ω z = M fz (), ω = 0 Cette sollicitation provoque (voir figure 3) une rotation autour de l ae Gz et un déplacement relatif proportionnel à (donc nul au centre de gravité G de la section). 3. ou M f Calcul des structures II upport de Cours Belgacem Jellali ITEUB 2010 2011 5/8
M fz () compression σ > 0 raccourcissement - traction σ < 0 σ = M fz (). allongement + ε = M fz (). ollicitation Répartition des contraintes Déformation Figure 5 Cas de la fleion simple non déviée Considérons le cas particulier, important en pratique, d une poutre initialement droite. ous l effet du moment M fz, la section ( Σ ) d abscisse + d tourne autour de la section d abscisse d un angle ω z.d = M fz (). M fz () d dl R ( Σ ) + d ω z.d = M fz ().d Figure 6 Poutre à grand raon de courbure Remarquer sur la figure 6 que la rotation est positive alors que dl < 0. On peut écrire : tan (ω z.d) = dl = d R w z.d ω z 1 R Donc la poutre initialement droite prend une courbure : 1 R = M fz (). otons () le déplacement suivant G, du centre G de la section. En petits déplacements, on peut faire l approimation suivante : 1 R = (1 + 2 3/2 ) oit encore :. () = M fz () (9) L équation (9) est connue sous le nom équation de la déformée. Calcul des structures II upport de Cours Belgacem Jellali ITEUB 2010 2011 6/8
V État de contrainte en fleion composée Définition V.1. On appelle e neutre la droite Δ 0 su plan Gz sur laquelle la contrainte normale s annule : σ = + M fz (). M f ().z = 0 (10) I La droite Δ 0 est perpendiculaire au vecteur m = M fz (). M f (). z, et la distance algébrique ( 4 ) du centre de gravité G de la section, à la droite Δ 0 vaut : d (G/Δ 0 ) = GH = m. auf cas particuliers (par eemple si M f est porté par l un des aes principau), l ae neutre n est pas parallèle à l ae de fleion M f. I Δ 0 : σ = 0 d z M f = σ > 0 P ( ) Mf () M fz () M M 1 σ < 0 H G P Δ 0 GP. m = GH. m = e de fleion m = ( Mfz () ) M f() I GH = m. Figure 7 e neutre et variation de la contrainte normale On peut d après la figure 7, écrire pour tout point M du plan Gz : σ = + m. GM (11) Pour un point M situé à une distance algébrique d de l ae neutre, on a d après la relation de Chasles : σ (M) = ( + m. ) GH + HM = m. HM = m. HM 1 = m.d car m. GH = 0 puisque H se trouve sur l ae neutre. i l ae neutre coupe la section, il la divise en deu parties : l une entièrement comprimée, l autre entièrement tendue. inon, la section est entièrement comprimée ou tendue. ur tout ae Δ parallèle à l ae neutre, σ est constant. Les lignes iso-contraintes (contrainte constante) sont donc les droites parallèles à l ae neutre. Dans une section, les contraintes normales etrémales sont atteintes sur les aes Δ tangents au contour de la section. Définition V.2. Le centre de pression est un point C du plan de la section pour lequel le torseur de cohésion se réduit à.. 4. c est une valeur algébrique, elle peut donc ^etre négative Calcul des structures II upport de Cours Belgacem Jellali ITEUB 2010 2011 7/8
i on calcule les efforts internes au centre de gravité G de la section, on doit écrire : ou encore : M. + M z. z = M f. M zz. z = CG =.zc.. c. z c = M fz, z c = M f Remarque V.1. Le fait que l effort normal est appliqué à un point différent du centre de gravité de la section, implique des moments fléchissants et un effort normal au centre G : la poutre est alors soumise à la fleion composée. La distance qui sépare le point C au centre de gravité est dite ecentricité. On peut m^eme définir une eentricité sur l ae G est un autre, sur l ae Gz qui sont alors les coordonnées de C. Remarque V.2. On montre que le centre de pression G est l ae neutre sont toujours situés de part et d autre du centre de gravité de la section. Définition V.3. Le noau central : c est le domaine dans lequel doit se trouver le centre de pression C pour que, pour tout, la section est soit entièrement comprimée ou entièrement tendue. (12) b/2 b/2 b/6 b/6 h/6 h/2 h/6 h/2 Figure 8 oau central d une section rectangulaire : partie hachurée Remarque V.3. Le noau central d une section circulaire est une zone circulaire centrée en G et de raon R/8. Remarque V.4. Le noau central d une section circulaire est une zone circulaire centrée en G et de raon R/8. Eercice : à faire à la maison On considère la poutre console de section rectangulaire de la figure 9. Décrire la distribution de contraintes dans la section d encastrement (on indiquera : l epression des contraintes, la position de l ae neutre, les lignes d iso-contraintes, les contraintes etrémales dans la section et les points pour lesquels celles-ci sont atteintes). l E.I = cste B M z 2b b Figure 9 Poutre isostatique encastrée en Calcul des structures II upport de Cours Belgacem Jellali ITEUB 2010 2011 8/8