Eercice n : AE est perpendiculaire au / La droite plan EFGH d où AE FH AE. FH * EFGH est un carré donc AE FH AE. FH. AG FH AE EG. FH De même AG. HC. AG. FH AG FH AG. HC AG HC / contenus dans le plan FHC donc AG FHC. AG est orthogonale à deu droites sécantes Eercice n : / AI AD BC BJ D où ABJI est un parallélogramme AI AB HE LH D où ALHI est un parallélogramme LK LH HG GK HE HG GF HG AB D où ABKL est un parallélogramme ++ ABKLIJGH est un parallélépipède. / a) A,, ; B,, AI AD I,, AL AE EL AE EH AE AD L,, V AB AI. AL u. v Donc b) Correction de qques eercices du manuel scolaire ème Maths ( Géométrie dans l espace ) Eercice n 5 : O A* G B* H C* E D* F I A* F ; J A* F B * E K A* C B* D / On considère le repère orthonormé A, i, j, k avec : i AB, j AD, k AE a a a,, ;,, ;,,,, ;,, ;,, A B a D a E a G a a a C a a a a a a D où I,, ; O,, a,, a ; a, a J K, a a IO ; IJ ; IK a a IO IJ IK D où les vecteurs IO, IJ et IK sont coplanaires par suite : O, I, J et K sont coplanaires. / IO IJ IKO d où est un parallélogramme a a IJ IK et IJ. IK d où OKIJ est un carré. a Eercice N 6 : A a,, ; B, b, ; C,, c / V IJ IK. IB u. v bc / a) AB AC ac est normal au plan ab ABC Année Scolaire :8-9
ABC :bc ac y abz d On a : AABC donc d abc. b) OH d O, ABC abc bc ac ab alors OH a b c = OA OB OC /a) Soit A aire( ABC) A AB AC ab ac bc ab b) A aire( OAB) ac A aire( OAC) bc A aire( OBC) A A A A Eercice n 7 : / AM AB BM AB BF AB AE Donc M,,. AN AC CN AB AD CH AB AD CD CG AB AD AE Donc N,, / a) Un calcul simple donne : MN u AD avec : u AB AE b) MN u AD alors MN du plan P A, u, AD alors P A, u, AD. à / B,, ; C,, est un vecteur MN reste // I,, avec I B* C J,, avec J M * N IJ ; BC on a : IJ. BC donc IJ BC IJ. MN IJ MN. donc Eercice n : J,, ; OM k ; AN i S : y z. / M,, ; N,, b k MN: y k ; k z a ak / a) MN est tangente à S ssi JM MN dj, MN MN JM MN MN / b) Soit D MN S D, y, z MN S si et seulement si Année Scolaire :8-9
k y k z k y z Remplaçons y, et z par leurs epressions dans, on obtient : k k donc k et par suite D ; ; Eercice n : DM. DF FB FG / a) d où F et D DB DG appartiennent au plan P médiateur du segment BG FD P et comme M FD alors M P et par suite MB MG, de même DB DE FB FE BF médiateur de M FD M suitemb ME et DF P alors P et par MB MG ME avec P plan b) ABFE est un carré donc BE de même EG BG d où le triangle BEG est un triangle équilatéral. / On munit l espace d un repère orthonormé A, AB, AD, AE a) B,, ; F,, et D,, DM DF DA AM DA AF AM. AB AD. AE.. D où M,, MB Soit g g est dérivable sur, et on a :, g 6 g g / b) On a : MB MG ME donc M appartient à l ae du cercle. D autre part on a : MB est minimale pour / M/,/,/ Donc le centre de BEG est /, /, /. circonscrit au triangle / EMB BMG GME a a) Dans le triangle BME, on a : BE MB ME MB. ME cos al / ors MB MB cos cos MB alors b) f ; D f f est dérivable sur, et on a : 6, f f f / / Année Scolaire :8-9
f et c) f cos cos ou MB ME cos MB MG ME MG Pour on a : MB Pour / on a : MB MB ME MG d où M, MB, MG, ME est un repère orthonormé. DM DF ; M F, M DF. d) pour f cos f cos /,/, cos M D Donc l angle est minimal pour M D. Eercice n : B,, ; P : y a avec / a f, A,, ; S,, ; C,, Année Scolaire :8-9 / / / a SA donc SA : y ; a z a De même, on trouve : b SB: y b ; b z b SC: y d ; d z d OC : y g ; g z l OA : y ; l z / I P SA Soit I, y, z donc y a z y a Donc a I a,, a et par suite De même on trouve : a a a J,, ; K, a, a ; L, a, Ma,, a a b) IK a ; ML a et IM a IK ML on a : IKLM est un IK. IM parallélogramme. c) A aire du pentagone IJKLM aire( IKLM) aire( IJK) A A On a : A IK IM a a et
a A IJ IK a A a f ;, f est dérivable sur,, et on a : Donc / a),, f / f / f / b) La position du plan P qui réalise le maimum de l aire du pentagone IJKLM c est pour a /. Soit G le centre de gravité du triangle OAC. On a : GO GA GC OG OA OC Donc G,,, pour / a on a : P : y /, il est clair que G P. Eercice n 9 : a D: y a z a ; a b D : y b z b ; b v est un vecteur directeur de D. v est un vecteur directeur de D. On a : v v donc v et v sont colinéaires et par suite D // D. On a :,, confondues. A D D donc D et D sont t D D D On a :. v Eercice n 8 : Faire la figure. IA IB AI AB D donc h AI passant par D et parallèle à AC. / On a : ha D autre part on a : hoi OI centre de h, or OI AI I hi h OI AI OI AC C est la droite AI c est la droite avec O est le alors Soit k le rapport de h. DC k AI J OI plan CDHG E h E E OE / On a : Soit h ABFE est le plan passant par h A qui lui est parallèle ce qui prouve que D et h ABFE DCGH Puisque : Eplan ABFE Eplan DCGH et donnent E J donc he J. On a : ha D et he J alors AE // DJ or AE // DH donc DJ // DH donc les points, alignés. / On a : // hied P IED et J P D H et J sont est le plan passant par J et qui lui est parallèle donc c est le plan P. La droite AD perse le plan K h D car : AD perse P en IED en D donc Année Scolaire :8-9 5
h AD AD ha D OK OD hd K OD OA OK OD et OD OA OD Eercice n 9 : / On a : h B A, h E M OA. OK et hh N alors h BEH AMN or BEH BCE donc h BCE AMN / Soit C hc On a : C AMN et CIC donc C P Ce qui prouve que IP IC et par suite IC IP. On a : h BC est la droite passant par hb A et parallèle à BC d où h BC AD CBC hchbc AD P AD. donc / On considère le repère orthonormé direct A, AB, AD, AE a a a a On a : AP a ; AM BE et a a AI a V AP AM. AI u. v 5 Eercice n : y y z z / M, y, zest un point invariant par f ssi : f M M y y y z z z Donc f est l homothétie de centre I,, rapport k. / Pour y z, on obtient :, y et z d où J,,. / P : y z // et de Q f P Q P d autre part on a : OP J Q d où Q est le plan passant par J et parallèle à P. Q : y z d or J Q donc suite Q : y z. d et par Année Scolaire :8-9 6