1 S Corrigé du devoir commun Eercice 1 1 b La fonction dérivée de la fonction f : 3, sur ]0 ; +[, est définie par : f '() = 3² + 3 = 3² + ² b La tangente à la courbe représentative de la fonction f : - 6 + 3 (définie sur ), au point d'abscisse 1, a pour équation : y = f '(1) (-1) + f(1) = -4 (-1) - = -4 + (f '() = - 6) 3 c Soit la fonction f définie sur, par f() = a² + b + c, où a, b, c sont trois réels On sait que a² = 1, et que le minimum de f est, atteint en = 1 Alors : Puisque ce trinôme admet un minimum, alors a > 0, donc a = 1 f '(1) = 0, donc a + b = 0 : b = - (ou : le sommet est atteint en -b = 1, donc b = -) a f (1) =, donc a + b + c =, donc c = - a - b = 3 4 b Les solutions de l'équation : ² + 4 + 1 = 0 sont : - - 3 et - + 3 = 16-4 = 1 Solutions 1 = -4-1 = -4-3 = - - 3 et = -4 + 1 = -4 + 3 = - + 3 a On considère dans le plan les trois points distincts et non alignés A, B et C Alors pour tout point M du plan, 3 + - est égal à : 3 + ( + ) - ( + = - 6 b On considère dans le plan le parallélogramme ABCD, de centre I Le point J est le symétrique de I par rapport à C Alors C est le barycentre des points pondérés de (A, 1) et (J, ) : J est le symétrique de I par rapport à C, donc = - Et puisque I est le milieu du segment [AC] : = = -, ce qui s'écrit : + = 7 a
Le tableau suivant indique les notes obtenues par des élèves de seconde lors d'un devoir de mathématiques : Note 1 3 4 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 16 17 18 19 0 Effectif 4 9 0 1 18 9 1 0 0 0 8 6 7 1 1 0 La valeur approchée à 0,01 près de la variance de cette série, est : 1,4 : L'écart-type (calculatrice) est d'environ s 3,9308, donc la variance est V = s² 1,4 Eercice Partie A : 1) a) Revenu mensuel (en ) 1 000 1 00 000 3 000 4 000 000 6 000 Effectifs cumulés Croissants 40 110 0 33 433 499 00 ) b) Médiane = 0ème valeur + 1 ème valeur = 3000 + 3000 Q 1 : 00 4 = 1 donc Q 1 = 1 ème valeur : 000 euros Q 3 : 3 00 4 = 37 donc Q 3 = 37 ème valeur : 4 000 euros = 3 000 euros A B 0 1000 000 3000 4000 000 6000 7000 8000 Affirmations A B C D E C Trois salariés sur quatre ont un salaire supérieur à 000 Un salarié sur quatre gagne moins de 1 000 D Le salaire médian est de 3 000 La moitié des salaires E ne dépasse pas 1 00 L écart interquartile est de 1 00 Le PDG (qui a le salaire le plus élevé) gagne au moins trois fois plus que la moitié des salariés Le quart des salariés les mieu payés perçoivent au moins quatre fois le montant du plus bas salaire Partie B : 1) = n i i 40 1 000 + 70 1 00 + 1,43 106 = = = 906 euros n i 40 + 70 + 00 Le salaire moyen de cette entreprise est de 906 euros
V = n i i ² 40 1 000² + 70 1 00² +,001 109 ² = 906² = 906² = n i 40 + 70 + 00 1 8 164 D où = V = 1 8 164 1 48 euros Cela représente la dispersion des salaires autour de la moyenne, c'est-à-dire ici, que la plupart des salaires sont situés entre et, soit entre 1 68 euros et 4 14 euros ) Soit y le salaire de chacun des employés après ces deu modifications : y = (1 + 100 ) = 1,0 (1 + ) correspondant à l augmentation de % 100 correspondant au montant de la mutuelle Le salaire moyen devient alors : y = 1,0 = 906 1,0 = 3 06,30 euros L écart-type devient y = 1,0 1 310,40 euros Eercice 3 Partie A Puisque G est le barycentre des points pondérés Aa ;, Bb ; et Cc ;, on a aga bgb cgc 0 Puisque I est le barycentre de Bb ; et ; bgb cgc b c GI On en déduit que aga b cgi 0 Cc, on a On en conclut que G est le barycentre de Aa ; et I; b c Partie B 1) Constructions de J et K J est le barycentre de A ;4 et C ;1 1 Donc AJ AC K est le barycentre de A ;4 et B ;1 Donc AK 1 AB ) G le barycentre des points A ;4, B ;1 et ;1 C a) On utilise le théorème d associativité trois fois : G est le barycentre de A ;4 et ; G est le barycentre de B ;1 et ; G est le barycentre de ;1 ; I car I est l isobarycentre de B et C Donc G AI J car J est le barycentre de A ;4 et C ;1 Donc G BJ C et K car K est le barycentre de A ;4 et B ;1 Donc G CK On en conclut que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes en G
b) Voir figure 3) Soit l ensemble des points M du plan tels que 4MA MB MC 3 MB MC a) 4MA MB MC 4 11 MG 6MG car G le barycentre des points A ;4, B ;1 et ;1 MB MC 11 MI MI car I est l isobarycentre de B et C b) Soit M 4MA MB MC 3 MB MC 6MG 3MI MG MI On en déduit que est la médiatrice de [GI] 4) Soit l ensemble des points M du plan tels que 4MA MB MC 1 13 cm a) Soit M 4MA MB MC 1 13 6MG 1 13 MG 13 cm On en déduit que est le cercle de centre G et de rayon 13 cm b) Montrons que BG 13 cm G est le barycentre de I ;1 et A ; Donc IG IA 3 Ainsi IG IA 6 4 cm 3 3 Le triangle BIG est rectangle en I D après le théorème de Pythagore, on a : BG BI IG 6 4 36 16 Donc BG 13 cm On en déduit que B c) Voir construction C Eercice 4 Partie A : Recherche de la fonction f : 1 M étant un point différent de I et se déplaçant sur la demi-droite [Iz), et sachant que IM =, on en déduit que est un réel strictement positif L ensemble de définition de la fonction f est donc 0; a) ABCD est un carré, donc les droites (AB) et (DC) sont parallèles, et cela implique que les droites(ab) et (PQ) sont parallèles b) Les droites (MJ) et (AB) sont perpendiculaires Les droites (AB) et (DC) étant parallèles, les droites (MJ) et (DC) sont donc perpendiculaires Ainsi : MJ = MI + IJ = MI + AD = + c) Dans le triangle MJP, les droites (AI) et (PJ) sont parallèles On utilise donc le théorème de Thalès : MI AI MA soit MJ PJ MP 1 PJ soit 1 ( ) PJ soit PJ = +
4 Ainsi PQ PJ base hauteur PQ MJ 1 1 4 d) f ( ) PQ MJ ( ) 1 ( 4)( ) 1 4 4 8 1 8 8 4 4 f( ) Partie B : Etude de la fonction f 1 f est du type u v avec : u 4 4 et v f u' 4 v' 1 ( 4) ( 4 4) 1 4 4 4 4 '( ) 4 f '( ) Le dénominateur est un carré, donc positif f () est donc du signe de 4 0 41 ( 4) 16 0 Il y a donc deu solutions : 1 et On en déduit le tableau de variations de la fonction f 0 + f '( ) - 0 + f( ) 3 D après le tableau de variations, l aire est minimale lorsque, c'est-à-dire lorsque IM = 4 4 16 f () 8 L aire minimale est donc 8 unités d aires