Chapitre 2. Espaces vectoriels. x, y E, x y E.

Chapitre 2 Espaces vectoriels 1. Définitions et exemples 1 1. Définition d un espace vectoriel On dit qu une loi définie sur un ensemble E est interne si x, y E, x y E. Définition 1.1. Un espace vectoriel sur R est un ensemble E 6= muni d une loi interne +, l addition, et d une loi. de multiplication par les réels, vérifiant l ensemble des conditions suivantes. (1) La loi + : E E E vérifie : + est associative : x, y, z E, (x + y) + z = x + (y + z). + est commutative : x, y E, x + y = y + x. + admet un élément neutre que l on notera 0 E ou plus simplement 0 : x E, x+0 = 0 + x ; tout élément de E admet un opposé : x E il existe x 0 E tel que x + x 0 = 0. On notera x cet opposé. (2) La loi. : R E E, (λ, x) 7 λx vérifie :. est distributive par rapport à l addition dans R : λ, µ R, x E, (λ + µ)x = λx + µx.. est distributive par rapport à l addition dans E : λ R, x, y E, λ(x + y) = λx + λy.. est associative : λ, µ R, x E, λ(µx) = (λµ)x. 1 est élément neutre : x E, 1.x = x. Les éléments de E s appellent les vecteurs et les éléments de R s appellent les scalaires. Remarques : (i) En remplaçant R par C dans la espvec, on définit les espaces vectoriels sur C. (ii) Pour tout x E, on a 0x = 0 E. De plus pour λ R, x E, on a λx = 0 (λ = 0) ou (x = 0). 1 2. Les espaces vectoriels R n. R est un espace vectoriel sur lui même. Un vecteur de R n est un n-uplet de nombres réels x = (x 1,..., x n ), où x j R pour 1 6 j 6 n. La somme de deux n-uplets est définie par la formule : x + y = (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ). Le vecteur nul est le n-uplet (0,..., 0) et on le note également 0.

2 Chapitre 2 Espaces vectoriels Pour λ R, x R n, on définit λx = λ(x 1,..., x n ) = (λx 1,..., λx n ). Pour effectuer plus facilement certains calculs dans R n, on a souvent intérêt à écrire les éléments en colonne, soit On a alors x = Théorème 1.2. R n muni de ces deux opérations est un espace vectoriel sur R. Preuve. Exercice. Il suffit de vérifier toutes les propriétés données dans la définition d un espace vectoriel. Pour n = 2, l espace R 2 intervient en géométrie plane dès que l on a fixé un repère du plan. En effet les points sont représentés par leurs coordonnées (x, y) et les opérations sur R 2 ne sont autres que les opérations sur les vecteurs d origine O traduites en termes de coordonnées. Même remarque pour R 3 et la géométrie dans l espace. 1 3. Les espaces de fonctions Soit A un ensemble non vide et soit F(A, R) l ensemble des fonctions de A dans R. Alors on peut définir sur F(A, R) une addition de la façon suivante. Soient f, g F(A, R), alors f + g est la fonction définie par (f + g)(x) = f(x) + g(x) pour tout x A. Pour λ R, λf est la fonction définie par (λf)(x) = λf(x) pour tout x A. Muni de ces deux opérations, F(A, R) est un espace vectoriel sur R. L élément neutre est la fonction nulle 0 définie par 0(x) = 0 pour tout x A. 1 4. Les espaces de suites Une suite peut être vue comme une fonction définie sur N et à valeurs dans R. L espace des suites numériques correspond à F(N, R). Cet espace est donc un espace vectoriel pour les opérations usuelles : x 1 x 2. x n {u n } n N + {v n } n N = {u n + v n } n N et λ{u n } n N = {λu n } n N. L élément neutre est la suite nulle qui à tout n associe 0. 1 5. L espace des polynômes On note R[X] l ensemble des polynômes à coefficients réels. Ce sont les fonctions de R dans lui même qui peuvent s écrire sous la forme P (X) = a n X n + + a 1 X + a 0 avec n N, a 0,..., a n R n. Cet ensemble R[X] est un espace vectoriel sur R pour l addition des fonctions et la multiplication par un scalaire. L élément neutre est le polynôme nul 0 défini par 0(X) = 0. 1 6. Les carrés magiques Un carré magique est par définition un carré formé de 3 3 cases, chacune occupée par un nombre réel de telle manière qu en faisant la somme des termes d une même ligne ou d une même colonne ou d une diagonale on obtienne toujours le même résultat. Par exemple 1 0 2 2 1 0 0 2 1 ou

2 Sous-espaces vectoriels 3 L addition de deux carrés magiques se fait case par case, par exemple : 1 0 2 2 1 0 + 0 2 1 0 1 1 = 1 0 1. 1 1 0 La multiplication d un carré magique par un réel λ consiste à multiplier chacune des cases par λ, par exemple : 1 0 2 3 0 6 3 2 1 0 = 6 3 0. 0 2 1 0 6 3 2. Sous-espaces vectoriels 2 1. Définition Définition 2.1. Soient E un espace vectoriel sur R et F une partie de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si (i) 0 F ; (ii) pour tous x, y F, et tous λ, µ R, λx + µy F. Avec cette définition F a une structure d espace vectoriel. Proposition 2.2. Soient E un espace vectoriel sur R et F un sous-espace vectoriel de E. Alors F avec les opérations induites (x, y) 7 x + y et (λ, x) 7 λx est un espace vectoriel. Preuve. Exercice. Remarque : {0} et E sont des sous-espaces vectoriels de E. 2 2. Exemples. (i) Dans R 3, soit F l ensemble des points (x 1, x 2, x 3 ) tels que 2x 1 x 2 + 1 4 x 3 = 0. Alors F est un sous-espace vectoriel de R 3. (Le vérifier) (ii) L ensemble des fonctions dérivables sur R est un sous-espace vectoriel de F(R, R). (iii) L ensemble des fonctions deux fois dérivables sur R qui vérifient l équation différentielle homogène (1 + x 2 )y 00 + xy 0 3y = 0 est un sous-espace vectoriel de F(R, R). (iv) Soit R n [X] l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n (où n N est donné). Alors R n [X] est un sous-espace vectoriel de R[X]. 2 3. Intersection de sous-espaces vectoriels Proposition 2.3. Soit E un espace vectoriel. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, alors F G est un sous-espace vectoriel de E. Preuve. Comme F et G sont des sous-espaces vectoriels, 0 appartient à F et à G, donc 0 F G. Soient x, y F G et λ, µ R. Alors x, y F. Comme F est un sous-espace vectoriel de E, λx + µy F. On vérifie de la même manière que λx + µy G. Cela prouve que λx + µy F G. Le théorème précédent se généralise à une intersection d un nombre quelconque de sousespaces vectoriels d un espace vectoriel E.

4 Chapitre 2 Espaces vectoriels Exemples. (i) L ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 5 et divisibles par (X 1) 2 est un sous-espace vectoriel de R[X]. (ii) Soit (S) un système homogène de p équations à n inconnues. L ensemble des solutions de (S) est un sous-espace vectoriel de R n. 3. Combinaisons linéaires de vecteurs Soit E un espace vectoriel. Soient u, v, w E. Comme la loi + est interne, associative et commutative, on peut définir sans ambiguïté la somme u + v + w. Cette remarque se généralise à toute somme finie de vecteurs. Définition 3.1. Soit {v 1,..., v p } une famille de p vecteurs de E. Un vecteur w est appelé combinaison linéaire des {v j } 16j6p s il existe des réels λ 1,..., λ p tels que w = λ 1 v 1 + + λ p v p. Exemples. Soient u, v E. Alors 2u 3v est une combinaison linéaire de u et v. Le vecteur u est également une combinaison linéaire de u et v puisque l on a : u = 1u + 0v. Proposition 3.2. Soit v 1,..., v p une famille de vecteurs de E et soit w 1,..., w q une famille de combinaison linéaire des (v j ) 16j6p. Toute combinaison linéaire des (w k ) 16k6q est en fait une combinaison linéaire des (v j ) 16j6p. La démonstration n est pas difficile mais dans ce cours nous vérifierons simplement ce résultat sur un exemple. Soient (v 1, v 2, v 3 ) 3 vecteurs de E et formons les deux combinaisons linéaires suivantes : w 1 = 2v 1 6v 2 2v 3, w 2 = v 1 + 4v 2 v 3. Considérons la combinaison linéaire u = 1 2 w 1 w 2. On a u = 1 2 (2v 1 6v 2 2v 3 ) ( v 1 + 4v 2 v 3 ) = v 1 3v 2 v 3 + v 1 4v 2 + v 3 = 2v 1 7v 2, u est bien une combinaison linéaire de v 1, v 2, v 3. Théorème 3.3. Soient E un espace vectoriel et {v 1,..., v p } une famille finie de vecteurs de E. L ensemble des combinaisons linéaires de {v 1,..., v p } est un sous-espace vectoriel de E. C est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient v 1,..., v p. On l appelle sous-espace vectoriel engendré par v 1,..., v p. Preuve. Soit F l ensemble des combinaisons linéaires de v 1,..., v p. Le vecteur 0 est dans F car 0 = 0v 1 + + 0v p. Soient x, y F, λ, µ R. Le vecteur λx + µy est une combinaison linéaire de x et y donc d après la combcomb, c est également une combinaison linéaire des vecteurs v 1,..., v p. On en déduit que λx + µy F. Cela prouve que F est bien un sous-espace vectoriel de E. Soit G un sous-espace vectoriel contenant v 1,..., v p. Alors G contient toutes les combinaisons linéaires de v 1,..., v p et donc contient F. Cela revient à dire que F est contenu dans tout sous-espace contenant v 1,..., v p. Or on vient de voir que F était lui même un sous-espace vectoriel. C est donc le plus petit sous-espace vectoriel contenant {v 1,..., v p }.

5 Systèmes libres et systèmes liés 5 4. Systèmes générateurs. Espaces vectoriels de dimension finie. Définition 4.1. Une famille de vecteurs {v 1,..., v p } d un espace vectoriel est un système générateur si l espace vectoriel engendré par {v 1,..., v p } est égal à E. Cela revient à dire que tout vecteur v de E peut s écrire comme combinaison linéaire de v 1,..., v p. Définition 4.2. Un espace vectoriel est dit de dimension finie s il existe un système générateur {v 1,..., v p }. Exemples. (i) L espace R n est de dimension finie. En effet, pour 1 6 j 6 n, notons e j le vecteur de R n dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la j-ème qui vaut 1. Le sytème {e 1,..., e n } est générateur. Cela prouve que R n est de dimension finie. (ii) Soit d un entier donné. L espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à d est un espace de dimension finie. En effet pour P 0 (X) = 1, P 1 (X) = X,..., P d (X) = X d, {P 0,..., P d } est un système générateur. 5. Systèmes libres et systèmes liés Définition 5.1. Un ensemble de vecteurs {v 1,..., v p } forme un système lié s il existe des scalaires λ 1,..., λ p non tous nuls tels que λ 1 v 1 + + λ p v p = 0. Les vecteurs {v 1,..., v p } forment un système libre dans le cas contraire, c est-à-dire quand l égalité λ 1 v 1 + + λ p v p = 0 n est vérifiée que pour λ 1 = 0, λ 2 = 0,..., λ p = 0. Lorsque le système {v 1,..., v p } est lié (resp. libre), on dit encore que les vecteurs v 1,..., v p sont linéairement dépendants (resp. linéairement indépendants). Théorème 5.2. (p + 1) combinaisons linéaires de p vecteurs d un espace vectoriel E forment un système lié. Preuve. Soient v 1,..., v p, p vecteurs de E, et w 1,..., w p+1, p + 1 combinaisons linéaires de v 1,..., v p. Ainsi, pour chaque 1 6 j 6 p + 1 on a : w j = λ j1 v 1 + + λ jp v p. On veut montrer qu il existe des réels non tous nuls µ 1,..., µ p+1 tels que (E) µ 1 w 1 + + µ p+1 w p+1 = 0. Remplaçons chaque w j par leur expression en fonction des v i. L équation (E) devient 0 = µ 1 (λ 11 v 1 + λ 12 v 2 + + λ 1p v p ) + µ 2 (λ 21 v 1 + λ 22 v 2 + + λ 2p v p ) + + µ j (λ j1 v 1 + λ j2 v 2 + + λ jp v p ) + + µ p+1 (λ (p+1)1 v 1 + λ (p+1)2 v 2 + + λ (p+1)p v p ).

6 Chapitre 2 Espaces vectoriels On regroupe ensuite tous les termes contenant v 1 puis tous les termes contenant v 2, etc. 0 = (λ 11 µ 1 + λ 21 µ 2 + + λ j1 µ j + + λ (p+1)1 µ p+1 )v 1 + + (λ 1k µ 1 + λ 2k µ 2 + + λ jk µ j + + λ (p+1)k µ p+1 )v k + + (λ 1p µ 1 + λ 2p µ 2 + + λ jp µ p + + λ (p+1)p µ p+1 )v p. Il suffit donc de montrer qu il existe des réels non tous nuls µ 1,..., µ p+1 tels que λ 11 µ 1 + λ 21 µ 2 + + λ j1 µ j + + λ (p+1)1 µ p+1 = 0. λ 1k µ 1 + λ 2k µ 2 + + λ jk µ j + + λ (p+1)k µ p+1 = 0. λ 1p µ 1 + λ 2p µ 2 + + λ jp µ p + + λ (p+1)p µ p+1 = 0. Cela forme un système homogène de p équations linéaires en les p + 1 inconnues µ 1,..., µ p+1. Dans une réduction par la méthode du pivot, il y a au p plus pivots, donc au moins une inconnue auxiliaire. On en déduit que ce système a au moins une solution autre que µ 1 = µ 2 = = µ p+1 = 0. Cela termine la preuve du ppplus1. Remarque. A fortiori toute famille de vecteurs formée de q combinaisons linéaires de p vecteurs est liée lorsque q > p + 1. 6. Base d un espace vectoriel de dimension finie Définition 6.1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. On appelle base de E tout système libre et générateur. Exemples (i) Soit E = R n. Pour 1 6 j 6 n soit e j le vecteur de R n dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la j-ème qui vaut 1. Alors {e j } 16j6n est une base de E. (ii) {1, X,..., X d } est une base de R d [X]. Théorème 6.2(Existence de bases). Tout espace vectoriel de dimension finie non réduit à {0} possède une base. Preuve. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Il existe un système générateur F = {v 1,... v p } de E. Il existe des sous-familles de F qui sont libres (par exemple la famille {v i } où v i 6= 0.) Parmi les sous-familles libres de F considérons en une, disons B ayant le nombre maximal d éléments possible. Quitte à renuméroter les {v i }, on peut supposer que B = {v 1,..., v n }. Par hypothèse B est un système libre. Montrons que B est un système générateur. Supposons qu il existe des vecteurs de F n appartenant pas à l espace vectoriel engendré par B. Soit v j (avec nécessairement j > n) un tel vecteur. La famille {v 1, v 2,..., v n, v j } a un élément de plus que B, c est donc un système lié. Il existe des scalaires λ 1, λ 2,..., λ n, µ non tous nuls tels que λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + + λ n v n + µv j = 0. Si µ = 0 alors {v 1,..., v n } est lié ce qui est contraire à l hypothèse. Donc µ 6= 0. On peut alors écrire v j = λ 1 µ v 1 λ 2 µ v 2 λ n µ v n.

7 Sous-espaces vectoriel d un espace vectoriel de dimension finie 7 Il en résulte que chacun des v j pour n < j 6 p est combinaison linéaire des vecteurs v 1,..., v n. Or tout vecteur de E est combinaison linéaire de v 1,..., v p, donc combinaison linéaire de v 1,..., v n. Autrement dit, B est bien une famille génératrice de E. Comme elle est libre, B est une base de E. Théorème 6.3(Théorème de la base incomplète). Soit L un système libre d un espace vectoriel E de dimension finie. Alors il existe une base B de E telle que L B. La démonstration de ce théorème ressemble à celle du théorème précédent et n est pas faite dans ce cours. Théorème 6.4. Deux bases d un espace vectoriel E ont même nombre d éléments. Preuve. Soient B = {v 1,..., v n } et C = {w 1,..., w m } deux bases de E. Par hypothèse, B est un système générateur. Donc chaque w j est combinaison linéaire de v 1,..., v n. Or une famille formée de m combinaisons linéaires de n vecteurs est liée si m > n+1. Or C est libre. Donc m 6 n. L inégalité n 6 m s obtient en échangeant B et C dans le raisonnement. D où m = n. Définition 6.5. Soit E un espace vectoriel de dimension finie, non réduit à {0}. Le nombre d éléments d une base est appelé la dimension de E et est noté dim E. Lorsque E = {0} on dit que dim E = 0. Remarque. Dans un espace vectoriel de dimension n, un système libre a au plus n éléments, un système générateur a au moins n éléments. Un système libre de n éléments est également générateur, c est donc une base. Un système générateur de n éléments est aussi un sytème libre donc une base. 7. Sous-espaces vectoriel d un espace vectoriel de dimension finie Théorème 7.1. Soit E un espace vectoriel de dimension n. Alors tout sous-espace vectoriel F de E est un espace vectoriel de dimension finie et dim F 6 dim E. Si de plus dim F = dim E alors F = E. Preuve. Un système libre de vecteurs de F est aussi un système libre de E. Il a donc au plus n vecteurs. Soit F = {w 1,..., w p } un système libre de vecteurs de F avec le plus grand nombre d éléments possibles. Montrons alors que F est une base de F. Il suffit pour cela de montrer que c est un système générateur de F. Soit w F. Le système {w 1,..., w p, w} est lié (sinon ce serait un système libre avec plus de vecteurs que F ce qui n est pas possible par choix de F.) Il existe donc des réels λ 1,..., λ p, µ non tous nuls tels que λ 1 w 1 + λ p w p + µw = 0. Le coefficient µ 6= 0 sinon F serait un système lié. On a donc w = λ 1 µ w 1... λ p µ w p. Cela montre que w est une combinaison linéaire de w 1,..., w p. Comme w est un élément quelconque de F, on a bien montré que F est un système générateur de F. Vu que F est un système libre c est une base de F. Comme F est un système libre de E, F a au plus n éléments. D où dim F 6 dim E. Enfin si F a n éléments, c est alors un système libre de E contenant n = dim E éléments, c est donc une base de E. On en déduit que E = F dans ce cas.

8 Chapitre 2 Espaces vectoriels Définition 7.2. On appelle rang d un système de vecteurs {v 1,... v p } et l on note rg(v 1,..., v p ) la dimension du sous-espace engendré par v 1,..., v p. Proposition 7.3. Un système de vecteurs {v 1,..., v p } est libre si et seulement si rg(v 1,..., v p ) = p. 8. Expression des vecteurs dans une base à l aide des coordonnées Soit E un espace vectoriel de dimension n. Soit B = {e 1,..., e n } une base de E. Alors tout x E peut s écrire comme combinaison linéaire de e 1,..., e n (car B est un système générateur). Donc il existe des réels x 1,..., x n tels que x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n. De plus ces nombres x 1,..., x n sont uniques car si alors en faisant la différence, on a x = x 0 1e 1 + x 0 2e 2 + + x 0 ne n, (x 1 x 0 1)e 1 + (x 2 x 0 2)e 2 +... + (x n x 0 n)e n = 0. Comme B est un système libre cela entraîne que tous les coefficients ci-dessus doivent être nuls, c est-à-dire x 1 = x 0 1, x 2 = x 0 2,..., x n = x 0 n. D où l unicité des x i. Les nombres x 1,..., x n tels que x = x 1 e 1 + + x n e n sont bien déterminés et sont appelés coordonnées du vecteur x dans la base B. Dans un espace vectoriel E de dimension n, le choix d une base identifie un vecteur x de E à ses coordonnées (x 1,..., x n ). On dit encore que E est identifié à R n. De fait on calcule à l aide des coordonnées des vecteurs de E exactement comme dans R n. Si l on considère une autre base de E, C = {f 1,..., f n }, un vecteur x aura des coordonnées dans cette base. Notons les y 1,..., y n : x = x 1 e 1 + + x n e n = y 1 f 1 + + y n f n. L expression explicite des y i en fonction des x i s appelle le changement de coordonnées entre les bases B et C. 9. Somme de sous-espaces vectoriels Définition 9.1. Soient E un espace vectoriel sur R, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme de F et G, l ensemble F + G défini par F + G = {z E, x F, y G : z = x + y}.

9 Somme de sous-espaces vectoriels 9 Proposition 9.2. Soient E un espace vectoriel sur R, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors F +G est un sous-espace vectoriel de E. C est le sous-espace vectoriel engendré par F et G. Preuve. Commençons par vérifier que F +G est un sous-espace vectoriel. 0 E = 0 E +0 E F + G vu que 0 E F G. Soient z, z 0 F + G, λ, µ R. Alors il existe x, x 0 F, y, y 0 G tels que z = x + y, z 0 = x 0 + y 0. On a alors λz + µz 0 = λ(x + y) + µ(x 0 + y 0 ) = (λx + µx 0 ) + (λy + µy 0 ) F + G. Cela prouve que F + G est un sous-espace vectoriel. Si x F alors x = x+0 F +G. Donc F F +G. De même on vérifie que G F +G. On en déduit que F + G contient le sous-espace vectoriel engendré par F G. Notons H ce sous-espace vectoriel. Il reste à vérifier que F + G H. Or z F + G, il existe x F, y G tels que z = x + y. Donc z H puisque H doit être stable par +. Remarque. Tout élément z de F + G s écrit sous la forme z = x + y avec x F, y G mais cette écriture n est pas toujours unique. Exemple : E = R 3, F = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0}, G = {(x, y, z) R 3 : z = 0} : (3, 0, 1) = (2, 1, 1) + (1, 1, 0) = (1, 0, 1) + (2, 0, 0). Définition 9.3. On dit que la somme F + G est directe si z F + G,!(x, y) F G : z = x + y. Lorsque la somme est directe, on la note F G. Proposition 9.4. La somme F + G est directe si et seulement si F G = {0 E }. Preuve. Supposons que la somme F +G soit directe. Soit u F G. Alors u = u+0 E = 0 E + u donne deux écritures de u sous la forme v + w avec v F, w G. Comme cette écriture doit être unique on en déduit que u = 0 E et ainsi F G = {0}. Montrons maintenant la réciproque. On suppose que F G = {0}. Soit u F + G. On suppose que u = v + w = v 0 + w 0 avec v, v 0 F et w, w 0 G. On a alors v v 0 = w 0 w F G = {0} donc v = v 0 et w = w 0. Proposition 9.5. Si F et G sont en somme directe alors on a dim(f G) = dim F + dim G. De plus si (e 1,..., e n ) et (f 1,..., f p ) sont des bases respectivement de F et G, alors (e 1,..., e n, f 1,..., f p ) est une base de F G. Preuve. Soient (e 1,..., e n ) et (f 1,..., f p ) des bases respectivement de F et G. Alors (e 1,..., e n, f 1,..., f p ) est un système générateurs de F G. Montrons que c est un système libre. Soient λ 1,..., λ n, µ 1,..., µ p des réels tels que λ 1 e 1 + + λ n e n + µ 1 f 1 + + µ p f p = 0.

10 Chapitre 2 Espaces vectoriels On a Or F G = {0}, et ainsi λ 1 e 1 + + λ n e n = (µ 1 f 1 + + µ p f p ) F G. λ 1 e 1 + + λ n e n = 0 = µ 1 f 1 + + µ p f p. Cela entraîne que λ 1 =... = λ n = 0 et µ 1 =... = µ p = 0 car (e 1,..., e n ) et (f 1,..., f p ) sont des systèmes libres. Définition 9.6. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On dit que F et G sont supplémentaires dans E si la somme F + G est directe et égale à E. Autrement dit si E = F G. Proposition 9.7. On a l équivalence E = F G u E,!(v, w) F G : u = v + w. Exemple : R 2 = {(x, 0) : x R} {(0, y) : y R}.