T S Devoir surveillé n 6 jeudi février 5 Eercice L espace est rapporté à un repère orthonormal (O; i, j, k). On considère les points A, B, C et D de coordonnées respectives : A( 3, 4, 3) ; B(, 4, ) ; C(,, ) ; D(4,, 4). Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en C. B D a) Montrer que le vecteur DO est orthogonal au vecteurs CA et CB. b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 3 a) Calculer la distance de D au plan (ABC). o b) En déduire le volume V du tétraèdre ABCD. C 4 On veut déterminer l intersection du plan (DOB) avec la droite (AC) a) Déterminer une équation du plan (DOB) b) Donner une représentation paramétrique de la droite (AC) c) Calculer les coordonnées du point d intersection E du plan (DOB) et de la droite (AC). d) Les droites (AC) et (OB) sont-elles sécantes? Si oui déterminer les coordonnées du point d intersection de ces deu droites. 5 Soit Σ la sphère d équation : -+ 6 + + z z =. a) Déterminer le centre et le raon de Σ. b) Vérifier que les point A, B et C sont sur la sphère Σ c) Démontrer que l intersection de la sphère Σ et du plan (ABC) est un cercle dont on déterminera le centre et le raon. z A Eercice Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; i ; j ). On désigne par C la courbe représentative de la fonction eponentielle e. Pour tout point M d abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t, ) et le point N, point d intersection de la tangente en M à C avec l ae des abscisses. a) Démontrer que N a pour coordonnées ( t ; ) b) En déduire que la distance PN est constante. Dans la suite de l eercice, f désigne une fonction définie sur IR, strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point M d abscisse t appartenant à la courbe représentative de f, on considère le point P de coordonnées (t, ) et le point N, point d intersection de la tangente en M à la courbe représentative de f avec l ae des abscisses. a) Déterminer les coordonnées du point N en fonction de f(t) et de f '(t). b) Calculer la distance PN en fonction de f(t) et de f '(t). c) Démontrer que les fonctions f définies sur IR, strictement positives, dérivables et dont la dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance PN est une constante strictement positive k sont les solutions de l équation différentielle : k ' =. 3 Soit (E k ) l équation différentielle «k ' =» où k est un réel quelconque. a) Déterminer les fonctions f solutions de (E k ) b) Déterminer la fonction f solution de (E k ) vérifiant : f() = k. 4 Si k est un réel non nul on note f k la fonction définie sur IR par : f k () = k e /k. a) Etudier les variations de f k. b) Déterminer les limites de f k en et en +. On distinguera les cas : k > et k <. c) Sur la courbe tracée figure on a représenté une fonction f k. Lire graphiquement la valeur de k et tracer (sans calcul) la tangente à la courbe C au point M. N P M
Nom M P
Eercice CA 3 4 3 + CA 4 4 4 et CB 4 + CB CA CB = 4 ( ) + 4 ( 4) + 4 = 8 6 + 8 =. Donc CA CB a) DO 4 4 DO CA = 4 ( 4) + 4 + ( 4) 4 = 6 6 = DO CB = 4 ( ) + ( 4) + ( 4) = 8 8 =. b) OD est un vecteur normal du plan (ABC). Equation de (ABC) : 4 + 4 = 4 ( 3) 4 3 Equation de (ABC) : + = 3 a) d (D, (ABC)) = 4 + 4 + = 4 On peut aussi remarquer que O est le projeté orthogonal de D sur (ABC) car O (ABC) et (OD) (ABC). b) V = 3 aire (ABC) OD = 3 CA CB 4 = 3 4 3 4 + 6 + 4 4 = 3. 4 a) n a b vecteur normal de (ODB) c n n OB = OD = a 4 b + c = 4 a + 4 c = c = a Par e n b = a/ Equation de (OBD) : z = b) AC 4 : Droite (AC) : 4 = + 4 t = 4 z = 4 t t IR z z = = + 4 t c) E (AC) (OBD) = 4 z = 4 t D A B Calcul de t : ( + 4 t) ( 4 t) ( 4 t) = t = 5 Coordonnées de E : 4 5 = 5, 4 5 et + 4 5 = 5 E 5, 4 5, 5 C O E
d) les droites (AC) et (OB) sont contenues dans le plan (ABC) et elles ne sont pas parallèles, car AC OB ne sont pas colinéaires, elles sont donc sécantes. 4 et 4 Le point d intersection de ces deu droites en aussi à l intersection du plan (OBD) et de la droite (AC) c est donc le point E. On peut vérifier que E -(OB) car OE = 5 OB z 5 + 6 + + z z = ( + 3) 9 + + (z ) = ( + 3) + + (z ) = B D I Ω A Σ est la sphère de centre Ω ( 3,, ) et de raon 5. b) A( 3, 4, 3) : ( 3 + 3) + 6 + (3 ) = 6 + 4 = donc A Σ. C o B(, 4, ) : ( + 3) + 6 + ( ) = 4 + 6 = donc B Σ. C(,, ) : ( + 3) + + ( ) = 6 + 4 = donc C Σ. c) L intersection de la sphère Σ et du plan (ABC) contient les trois points non alignés A, B et c c est donc le cercle circonscrit au triangle ABC. ABC est rectangle en C donc le cercle circonscrit au triangle ABC est le cercle de diamètre [AB]. son centre est le milieu de [AB] c est à dire le point I ( ; ; ) son raon est AB = ( + 3) + ( 4 4) + ( 3) = 4 + 64 + 4 = 3
Eercice a) M(t, e t ) Equation de la tangente T au point M : = e t + e t ( t). N T (O) = = e t + e t ( t) = + t = = t = N (t ; ) b) PN = (t t) + ( ) =. M (t, f(t)), P (t, ) Equation de la tangente T en M : = f(t) + f '(t) ( t) N T (O) = = f(t) + f '(t) ( t) = f(t) + f '(t) t f '(t) = = f '(t) = t f '(t) f(t) = t f '(t) f(t) = f '(t) PN = N t f '(t) f(t), f '(t) t f '(t) f(t) t + ( ) = f '(t) f(t) f '(t) = f(t) f '(t) Car, f est strictement positive et sa dérivée est strictement positive. PN = k f(t) = k f(t) = k f '(t) (f '(t) ) f '(t) f est solution de l équation différentielle : k ' =. 3 a) Si k : k ' = = k. Les fonctions f solutions de (E k ) sont de la forme : C e /k Si k = k ' = =. où C est un réel strictement positif. b) f() = k C e /k = k C = k. 4 a) f k ' () = k k e/k = e /k > b) k < : lim = donc lim + k k + e/k = lim k X ex = lim = + donc lim k k e/k = lim k X + ex =. k > : lim = + donc lim + k k e/k = lim k ex = + + X + lim = donc lim k k e/k = lim k ex =. X k < + signe de f '() + f k > + signe de f '() + + f
c) k =. C est l ordonnée du point d intersection de C avec (O) On note N l image de P par la translation de vecteur i. La droite (MN) est tangente en m à C M k = N P