4 ème D IE5 triangles : milieux, parallèles sujet 1 011-01 NOM : Prénom : Exercice 1 : Dans un triangle isocèle (4 points) ABC est un triangle isocèle en A. [AH] est la hauteur issue de A. Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Quelle est la nature de AIHJ? Justifie la réponse. Note : 10 Exercice : (6 points) ABC est un triangle tel que AC = 6 cm; AB = 4 cm et BC = 3,5 cm. ACD est le triangle tel que AD = 5 cm; CD = 4 cm et B et D ne sont pas du même côté de la droite (AC). E est le milieu de [AB] et F le milieu de [AC]. La parallèle à (CD) passant par F coupe (AD) en G. b) Montre que (EF) est parallèle à (BC). c) Montre que G est le milieu de [AD]. d) Montre que (EG) et (BD) sont parallèles. f) Calcule le périmètre de AEFG. 1
4 ème D IE5 triangles : milieux, parallèles sujet 011-01 NOM : Prénom : Exercice 1 : Avec une médiatrice (4 points) SEL est un triangle quelconque. Les points I, M et A sont les milieux respectifs de [LS], [SE] et [EL]. La médiatrice de [LE] coupe la droite (IM) en O. Que représente (AO) pour le triangle IMA? Prouve-le. Note : 10 Exercice : (6 points) ABD est un triangle tel que AD = 5 cm; AB = 3 cm et BD =,5 cm. ACD est le triangle tel que AC = 6 cm; CD = 3 cm et B et C ne sont pas du même côté de la droite (AD). E est le milieu de [BD] et F le milieu de [AD]. La parallèle à (AC) passant par F coupe (CD) en G. b) Montre que (EF) est parallèle à (AB). c) Montre que G est le milieu de [DC]. d) Montre que (BC) et (EG) sont parallèles. f) Calcule le périmètre de EFGD.
4 ème D IE5 triangles : milieux, parallèles sujet 1 011-01 Exercice 1 : Dans un triangle isocèle (4 points) ABC est un triangle isocèle en A. [AH] est la hauteur issue de A. Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Quelle est la nature de AIHJ? Justifie la réponse. ABC étant un triangle isocèle en A la hauteur [AH] issue de A est aussi la médiane issue de A. Donc H est le milieu de [BC]. Données : H est le milieu de [BC] et I est le milieu de [AB]. Propriété : Dans un triangle la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Conclusion : HI = AC On montre de même que HJ = AB On AB = AC puisque le triangle ABC est isocèle en A. Donc HI = HJ = AB D'autre part, AI = AJ = AB puisque I et J sont les milieux respectifs de [AB] et de [AC] et que AB = AC. Donc AI = AJ = IH = JH Le quadrilatère AIHJ qui a ses 4 côtés de même longueur est un losange. 3
4 ème D IE5 triangles : milieux, parallèles sujet 1 011-01 Exercice : (6 points) ABC est un triangle tel que AC = 6 cm; AB = 4 cm et BC = 3,5 cm. ACD est le triangle tel que AD = 5 cm; CD = 4 cm et B et D ne sont pas du même côté de la droite (AC). E est le milieu de [AB] et F le milieu de [AC]. La parallèle à (CD) passant par F coupe (AD) en G. b) Montre que (EF) est parallèle à (AB). c) Montre que G est le milieu de [AD]. d) Montre que (EG) et (BD) sont parallèles. f) Calcule le périmètre de AEFG. a) b) Données :E est le milieu de [AB] et F est le milieu de [AC]. Conclusion : (EF) // (BC) c) Données : F est le milieu de [AC] et (FG) // (CD) Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Conclusion : G est le milieu de [AD]. d) Données :E est le milieu de [AB] et G est le milieu de [AD]. Conclusion : (EG) // (BD) e) Données :E est le milieu de [AB] et F est le milieu de [AC]. Propriété : Dans un triangle la longueur du segment qui passe par le milieu de deux côtés est égale à la moitié du troisième côté. Conclusion : EF = BC = 3,5 = 1,75 cm De même, FG = CD = 4 = cm. f) Périmètre(AEFG) = AE + EF + FG + GA = + 1,75 + +,5 = 8,5 cm 4
4 ème D IE5 triangles : milieux, parallèles sujet 011-01 Exercice 1 : Avec une médiatrice (4 points) SEL est un triangle quelconque. Les points I, M et A sont les milieux respectifs de [LS], [SE] et [EL]. La médiatrice de [LE] coupe la droite (IM) en O. Que représente (AO) pour le triangle IMA? Prouve-le. Données : I est le milieu de [SL] et M est le milieu de [ES] Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par les milieux de deux côtés d'un triangle Conclusion : (IM) // (EL) Données : (IM) // (EL) et (AO) (IM) (car (AO) est la médiatrice ([EL]. Propriété : Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Conclusion : (AO) (IM) On en conclut que (AO) est la hauteur issue de A du triangle IMA. 5
4 ème D IE5 triangles : milieux, parallèles sujet 011-01 Exercice : (6 points) ABD est un triangle tel que AD = 5 cm; AB = 3 cm et BD =,5 cm. ACD est le triangle tel que AC = 6 cm; CD = 3 cm et B et C ne sont pas du même côté de la droite (AD). E est le milieu de [BD] et F le milieu de [AD]. La parallèle à (AC) passant par F coupe (CD) en G. b) Montre que (EF) est parallèle à (AB). c) Montre que G est le milieu de [DC]. d) Montre que (BC) et (EG) sont parallèles. f) Calcule le périmètre de EFGD. a) Données :E est le milieu de [BD] et F est le milieu de [AD]. Conclusion : (EF) // (AB) b) Données : F est le milieu de [AD] et (FG) // (BD) Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Conclusion : G est le milieu de [CD]. c) Données :E est le milieu de [BD] et G est le milieu de [CD]. Conclusion : (EG) // (BC) d) Données :E est le milieu de [AB] et F est le milieu de [AD]. Propriété : Dans un triangle la longueur du segment qui passe par le milieu de deux côtés est égale à la moitié du troisième côté. Conclusion : EF = AB = 3 = 1,5 cm De même, FG = AC = 6 = 3 cm. Périmètre(EFGD) = EF + FG + GD + DE = 1,5 + 3 + 1,5 + 1,5 = 7,5 cm 6