DIRECTION DES SCIENCES DE LA MATIÈRE

CEA-R-6115 ISSN 0429-3460 C O M M I S S A R I A T À L É N E R G I E A T O M I Q U E DIRECTION DES SCIENCES DE LA MATIÈRE SCRIC UN CODE POUR CALCULER L ABSORPTION ET L ÉMISSION DÉTAILLÉES DE PLASMAS HORS ÉQUILIBRE INHOMOGÈNES ET ÉTENDUS par François DE GAUFRIDY DE DORTAN CEA SACLAY DIRECTION DES SCIENCES DE LA MATIÈRE DÉPARTEMENT DE RECHERCHE SUR L ÉTAT CONDENSÉ LES ATOMES ET LES MOLÉCULES SERVICE PHOTONS ATOMES ET MOLÉCULES RAPPORT 2006 DIRECTION DES SYSTÈMES D INFORMATION CEA / SACLAY 91191 GIF-SUR-YVETTE CEDEX FRANC E RAPPORT CEA-R-6115

- Rapport CEA-R-6115 - CEA Salay Diretion des Sienes de la Matière Département de Reherhe sur l État Condensé Les Atomes et les Moléules Servie Photons Atomes et Moléules SCRIC UN CODE POUR CALCULER L ABSORPTION ET L ÉMISSION DÉTAILLÉES DE PLASMAS HORS ÉQUILIBRE INHOMOGÈNES ET ÉTENDUS par François DE GAUFRIDY DE DORTAN Juillet 2006

RAPPORT CEA-R-6115 François DE GAUFRIDY DE DORTAN «SCRIC : UN CODE POUR CALCULER L ABSORPTION ET L ÉMISSION DÉTAILLÉES DE PLASMAS HORS ÉQUILIBRE, INHOMOGÈNES ET ÉTENDUS; APPLICATION AUX SOURCES EUV À BASE DE XÉNON» Résumé - La quasi-totalité des odes d opaité des plasmas à l équilibre thermodynamique ou hors équilibre est fondée sur l approximation des onfigurations, voire des supraonfigurations pour les plasmas de Z moyen. Or, dans ertains as, l interation de onfigurations (relativistes et non-relativistes) modifie de manière profonde les formes spetrales. Pour dérire de façon réaliste les aratéristiques spetrales des plasmas de Z moyen où l interation de onfigurations peut être forte, nous avons érit un ode d émission détaillée. Les populations y sont alulées à l aide d un solveur ollisionnel-radiatif basé sur les setions effiaes et énergies très préises fournies par le ode HULLAC. Les émissivités et opaités sont évaluées de façon détaillées et permettent de résoudre l équation de transfert radiatif pour des plasmas étendus mais inhomogènes. Ce ode est adapté à un traitement rapide d un nombre très important de données atomiques, e qui autorise l utilisation de fihiers hydrodynamiques omplexes, tout en fontionnant sur des mahines de bureau et dans un temps très limité. Ces développements sont testés dans le adre du programme semi-industriel d émission EUV du xénon et montrent l influene très importante de l interation de onfigurations sur les raies satellites et la néessité de leur prise en ompte de façon détaillée, aussi bien pour dérire es soures que pour améliorer leur effiaité. 2006 Commissariat à l Énergie Atomique Frane RAPPORT CEA-R-6115 François DE GAUFRIDY DE DORTAN «SCRIC : A CODE DEDICATED TO THE DETAILED EMISSION AND ABSORPTION OF HETEROGENEOUS NLTE PLASMAS ; APPLICATION TO XENON EUV SOURCES» Abstrat - Nearly all spetral opaity odes for LTE and NLTE plasmas rely on onfigurations approximate modelling or even supraonfigurations modelling for mid Z plasmas. But in some ases, onfigurations interation (either relativisti and non relativisti) indues dramati hanges in spetral shapes. We propose here a new detailed emissivity ode with onfiguration mixing to allow for a realisti desription of omplex mid Z plasmas. A ollisional radiative alulation, based on HULLAC preise energies and ross setions, determines the populations. Detailed emissivities and opaities are then alulated and radiative transfer equation is resolved for wide inhomogeneous plasmas. This ode is able to ope rapidly with very large amount of atomi data. It is therefore possible to use omplex hydrodynami files even on personal omputers in a very limited time. We used this ode for omparison with Xenon EUV soures within the framework of nanolithography developments. It appears that onfigurations mixing strongly shifts satellite lines and must be inluded in the desription of these soures to enhane their effiieny. 2006 Commissariat à l Énergie Atomique Frane

SCRIC (Spetre Collisionnel Radiatif ave Interation de Configurations) Un ode pour aluler l absorption et l émission détaillées de plasmas hors-équilibre, inhomogènes et étendus Théorie, fontionnement et appliation à l émission des soures EUV à base de xénon Étude réalisée au DRECAM / SPAM puis au LULI sous le ontrat réf : SPAM 04-447 pour le CEA / DRECAM / SPAM Auteur : François DE GAUFRIDY DE DORTAN Fait à Paris, le 15/12/2005.

3 "SCRIC : UN CODE POUR CALCULER L ABSORPTION ET L ÉMIS- SION DÉTAILLÉES DE PLASMAS HORS ÉQUILIBRE, INHOMOGÈNES ET ÉTENDUS ; APPLICATION AUX SOURCES EUV À BASE DE XÉ- NON" Résumé - La quasi-totalité des odes d opaité des plasmas à l équilibre thermodynamique ou hors équilibre est fondée sur l approximation des onfigurations, voire des supraonfigurations pour les plasmas de Z moyen. Or, dans ertains as, l interation de onfigurations (relativistes et non-relativistes) modifie de manière profonde les formes spetrales. Pour dérire de façon réaliste les aratéristiques spetrales des plasmas de Z moyen où l interation de onfigurations peut être forte, nous avons érit un ode d émission détaillée. Les populations y sont alulées à l aide d un solveur ollisionnel-radiatif basé sur les setions effiaes et énergies très préises fournies par le ode HULLAC. Les émissivités et opaités sont évaluées de façon détaillées et permettent de résoudre l équation de transfert radiatif pour des plasmas étendus mais inhomogènes. Ce ode est adapté à un traitement rapide d un nombre très important de données atomiques, e qui autorise l utilisation de fihiers hydrodynamiques omplexes, tout en restant sur des mahines de bureau et dans un temps très limité. Ces développements sont testés dans le adre du programme semi-industriel d émission EUV du xénon et montrent l influene très importante de l interation de onfigurations sur les raies satellites et la néessité de leur prise en ompte de façon détaillée, aussi bien pour dérire es soures que pour améliorer leur effiaité. "SCRIC : A CODE DEDICATED TO THE DETAILED EMISSION AND ABSORPTION OF HETEROGENEOUS NLTE PLASMAS ; APPLICATION TO XENON EUV SOURCES" Abstrat - Nearly all spetral opaity odes for LTE and NLTE plasmas rely on onfigurations approximate modelling or even supraonfigurations modelling for mid Z plasmas. But in some ases, onfigurations interation (either relativisti and non relativisti) indues dramati hanges in spetral shapes. We propose here a new detailed emissivity ode with onfiguration mixing to allow for a realisti desription of omplex mid Z plasmas. A ollisional radiative alulation, based on HULLAC preise energies and ross setions, determines the populations. Detailed emissivities and opaities are then alulated and radiative transfer equation is resolved for wide inhomogeneous plasmas. This ode is able to ope rapidly with very large amount of atomi data. It is therefore possible to use omplex hydrodynami files even on personal omputers in a very limited time. We used this ode for omparison with Xenon EUV soures within the framework of nanolithography developments. It appears that onfigurations mixing strongly shifts sattellite lines and must be inluded in the desription of these soures to enhane their effiieny.

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5 Remeriements L auteur de e rapport et de e ode tient à exprimer sa gratitude à de nombreuses personnes sans qui ette étude n aurait pu être possible. Thomas Blenski pour avoir proposé e thème de reherhe, avoir tout mis en oeuvre sur le plan matériel et finanier pour permettre de le mener à bien, mais aussi pour son soutien sientifique. Mihel Poirier a effetué un travail très important de débuggage du ode, en partiulier dans le module ollisionnel radiatif, sur les plans aussi bien numérique que théorique. Sa ontribution a été déterminante dans le fontionnement de l ensemble du programme et l interêt qu il y a porté a beauoup soutenu l auteur. Frédéri Thais a été d une très grande effiaité pour permettre de faire fontionner toute la partie logiielle et les disussions ave Martin Shmidt ont déidé de l arhiteture à donner au ode afin qu il puisse aussi onstituer un outil d analyse et de omparaison ave l expériene. Thierry Auguste a réalisé plusieurs études hydrodynamiques, parfois sur la demande de l auteur et a fourni de nombreux résultats qui ont permis de réér la partie traitant de plasmas inhomogènes et étendus. Jean Bruneau (CEA / DAM / DCSA) a offert son ode MCDF e qui a permis de ontrôler la pertinene des résultats d HULLAC dans les rares as où des doutes pouvaient apparaître et effetuer quelques études spetrosopiques. Jaques Bauhe (Paris XI Orsay / Aimé Cotton) a élairé plusieurs questions sur l interation de onfigurations et ouvert de nombreuses pistes qui restent à explorer. Henryk Fiedorowiz (Institute of Optoeletronis / WAT / Varsovie) a fourni plusieurs spetres expérimentaux d exellente qualité qui ont fourni la base de nombreuses omparaisons frutueuses présentées ii, ainsi que de nombreuses expliations, en ompagnie de son ollègue Rafal Rakowski, qui ont permis de préiser les spetres et études requis par les expérimentateurs. Le soutien finanier de H. Fiedorowiz a aussi permis d arriver jusqu au terme de ette étude. Enfin, l ensemble des réateurs de la suite HULLAC, Marel Klapish, Avi Bar Shalom et Julius Oreg ont fourni la base de es aluls ollisionnels et radiatifs en offrant leur suite de odes de physique atomique, sans ompter Mihel Busquet qui a apporté de longues expliations sur son fontionnement et la manière de passer des as omplexes et vient de fournir la nouvelle version HULLAC09 ave M. Klapish. De façon plus informelle, je remerie profondément l ensemble des personnes mentionnées plus haut -et plus partiulièrement le groupe MHDE dans lequel j ai été reçu, ainsi que ses voisins prohes- pour leur très grande gentillesse et l amitié qu ils m ont témoigné. Je n oublie pas non plus l ensemble de eux qui au SPAM, au DRECAM ou dans l ensemble du CEA m ont apporté un très fort soutien, tout spéialement Jaqueline Bandura et Véronique Gerezy ainsi que Didier Normand et Céile Reynaud et l ensemble de l équipe informatique. Je mentionne aussi Claude Chenais-Popovis, pour m avoir aueilli dans son groupe et Brigitte Marhesin et l ensemble de ses ollègues du LULI pour avoir débrouillé ma situation un peu ompliquée. Bref à tous un très grand meri depuis les frimas sibériens de Pologne (-25 C aujourd hui, le 24/01/06 à Varsovie), votre amitié et votre aide réhauffent. François

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Table des matières 1 Introdution 11 2 Physique 15 2.1 Passage en unités atomiques........................... 15 2.2 Transfert de rayonnement (CGS)........................ 15 2.2.1 Plasma épais............................... 16 2.2.2 Profil de raie, élargissement....................... 17 2.3 Transfert de rayonnement (U.A.)........................ 18 2.3.1 Profil de raie, élargissement....................... 18 2.4 Taux radiatifs et ollisionnels, en U.A...................... 19 2.4.1 Equation de populations......................... 19 2.4.2 Taux inverses............................... 19 2.4.3 Taux de réation............................. 20 2.4.4 Taux de transition radiative dipolaire életrique............ 21 2.4.5 Taux d exitation / désexitation ollisionnelle............ 21 2.4.6 Taux d ionisation ollisionnelle / reombinaison à trois orps.... 22 2.4.7 Taux de photoionisation / reombinaison radiative.......... 22 2.5 Passage des taux détaillés aux taux par onfigurations............ 24 2.5.1 Condensation des niveaux détaillés en onfigurations......... 24 2.5.2 Taux et équation des populations pour les onfigurations...... 25 2.6 Résolution des systèmes Collisionnels Radiatifs................ 26 2.7 Emission de plasmas étendus et inhomogènes................. 27 2.8 Réabsorption du rayonnement par un gas neutre............... 28 2.8.1 photoabsorption et transmission.................... 28 2.8.2 Photoabsorption par le gas neutre dans les simulations laser/gas-puff 29 3 Fontionnement du ode 31 3.1 Fihiers d input de SCRIC............................ 31 3.1.1 Objet................................... 31 3.1.2 Format.................................. 31 3.1.3 Mots lefs et arguments......................... 31 3.1.4 Exemple.................................. 33 3.2 Fihiers de données atomiques.......................... 36 3.3 Calul d émissivité / opaité........................... 36 3.4 Calul d émission d un milieu homogène.................... 36 3.5 Calul de l émission totale d un milieu inhomogène.............. 37 3.6 Les paramètres.................................. 37 7

8 TABLE DES MATIÈRES 4 Parties du ode 43 4.1 Organigrammes.................................. 43 4.2 Programmes prinipaux............................. 44 4.2.1 Objet................................... 44 4.2.2 Subroutines utilisées par Spetre_opaite............... 45 4.2.3 Subroutines utilisées par Spetre_fihier................ 45 4.2.4 Calul de l emissivite / opaité dans Spetre_opaite......... 45 4.2.5 Calul de l émission totale........................ 45 4.3 subroutine leture................................ 46 4.3.1 Objet................................... 46 4.3.2 Arguments................................ 46 4.4 subroutine leture_input............................ 49 4.4.1 Objet................................... 49 4.4.2 Arguments................................ 49 4.5 subroutine letureniveau............................. 49 4.5.1 Objet................................... 49 4.5.2 Arguments................................ 50 4.6 subroutine stokageniveau............................ 50 4.6.1 Objet................................... 50 4.6.2 Arguments................................ 50 4.7 subroutine leturefih_ross_se_hulla.................... 50 4.7.1 Objet................................... 50 4.7.2 Arguments................................ 50 4.8 subroutine leture_pot_colomban_tonon.................. 50 4.8.1 Objet................................... 50 4.8.2 Arguments................................ 51 4.9 subroutine leturefihier_hydro......................... 51 4.9.1 Objet................................... 51 4.9.2 Arguments................................ 51 4.9.3 Reformatage des fihiers hydro..................... 51 4.10 subroutine leturefihier_emissivite....................... 52 4.10.1 Objet................................... 52 4.10.2 Arguments................................ 52 4.11 subroutine populations.............................. 52 4.11.1 Objet................................... 52 4.11.2 Arguments................................ 52 4.12 subroutine popu_ionique_etl......................... 53 4.12.1 Objet................................... 53 4.12.2 Arguments................................ 53 4.13 subroutine popu_ionique_cr_colomban_tonon.............. 53 4.13.1 Objet................................... 53 4.13.2 Arguments................................ 53 4.14 subroutine popu_niveau_etl......................... 53 4.14.1 Objet................................... 53 4.14.2 Arguments................................ 53 4.15 subroutine popu_colrad_onfiguration.................... 54 4.15.1 Objet................................... 54 4.15.2 Arguments et fontions appelées.................... 54 4.16 subroutine emissivite_opaite.......................... 54

TABLE DES MATIÈRES 9 4.16.1 Objet................................... 54 4.16.2 Arguments................................ 55 4.17 subroutine onvolution_instrumentale..................... 55 4.17.1 Objet................................... 55 4.17.2 Arguments................................ 55 5 Aspets numériques 57 5.1 Optimisation du ode.............................. 57 5.1.1 Interpolations............................... 57 5.2 Modifiations de HULLAC 07.......................... 57 5.2.1 Temps de alul des energies et des taux radiatifs........... 58 5.2.2 Rédution du nombre d états pertinents dans un niveau....... 58 5.2.3 Paramètres de Raser07.......................... 59 5.2.4 Paramètres de l ensemble des programmes............... 63 5.2.5 Manque de ohérene entre des fihiers de niveaux et solution.... 69 5.2.6 Augmentation du nombre maximum de minimisations........ 74 5.2.7 Nombre maximum de niveaux dans une onfiguration........ 74 5.2.8 Nombre maximum de matries..................... 74 5.2.9 Nombre maximum de niveaux (ordre max) d une matrie d énergie. 74 5.3 Gestion des erreurs................................ 75 5.3.1 Paramètres ou taux illisibles : exitations ollisionnelles, ionisations ollisionnelles, photoionisations et autoionisations........... 75 5.3.2 Exitations ollisionnelles........................ 75 5.3.3 Ionisations ollisionnelles........................ 76 5.3.4 Photoionisation.............................. 77 5.3.5 Autoionisation.............................. 77 6 Quelques résultats 79 Introdution.................................... 79 6.1 Xe 10+ synthétique et expérimental...................... 79 6.2 Émission totale : orps noir........................... 85 6.3 Fihiers d input HULLAC............................ 85 6.4 Xe 10+, raies satellites et interation de onfigurations............ 91 6.5 Xe 8+ : émission et simplifiations....................... 93 6.6 UTA et interation de onfigurations...................... 98 6.7 Plasma homogène de Xénon........................... 110 6.8 Interation laser - Gas-puff de Xenon...................... 113 6.9 Interation laser - gouttelettes de Xenon.................... 126 6.10 Caluls ollisionnels radiatifs NLTE4...................... 135 7 Conlusion et perspetives 141

10 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1 Introdution Nous présentons ii le ode SCRIC (Spetre Collisionnel Radiatif ave Interation de Configuration), qui alule les spetres détaillés de plasmas hors-équilibre. Ces plasmas pouvant être étendus et inhomogènes. Il utilise les données atomiques (energies des niveaux, setions effiaes..) fournies par des odes dédiés -HULLAC pour l instant- et peut aussi servir de postproesseur à des odes hydrodynamiques. Il a été érit dans le adre des études sur la nanolithographie qui visent à réduire enore la taille des miroproesseurs et surtout augmenter la finesse de gravure. Cellei est aujourd hui ontrainte par la longueur d onde des soures de lumière employées (UV) pour la photogravure. Une soure de lumière EUV (Extreme Ultra Violet, i.e. a proximité de 100 ev) est envisagée pour les remplaer. Plusieurs shémas ont été proposés et expérimentés, aussi bien dans le hoix du materiau (lithium, oxygène, eau, étain, xénon ou omposés...) que dans le dispositif de hauffage (laser, déharge, pinh...) ou la géométrie du matériau (surfae solide, jet liquide, spray, jet de gas...). Dans tous les as (et en partiulier en présene de xénon et d étain), la physique mise en jeu est omplexe. Les durées de vie du plasma sont ourtes (de l ordre de quelques dizaines de nanoseondes au plus), il peut don être instationnaire ; e plasma est en expansion, e qui implique de l aborder omme un milieu étendu et dépendant du temps, enfin, les rendements élevés ne sont obtenus en général que pour des densités inférieures ou égales à 10 2 0atomes/m 3 et à quelques dizaines d ev, es onditions orrespondant pour l étain et le xénon à une absene d équilibre thermodynamique loal (HETL). Pour es différentes raisons ainsi qu une ontrainte spetrale très forte mentionnée plus bas, une desription orrete des soures EUV et a fortiori l antiipation de leurs performanes requièrent : une physique atomique très détailée, une desription hydrodynamique du plasma, le ouplage entre es résultats hydrodynamiques et la partie radiative. Le ode présenté ii entend répondre à deux de es préoupations, primo l influene des effets Hors Equilibre dans les plasmas de Xe et Sn de la nanolithographie, seondo l influene des inhomogénéités de température et de densité de es plasmas étendus (aussi bien en temps qu en espae). Il est lair qu un tel travail n est pas limité aux éléments et aux plasmas préités mais ils ont onditionné l aspet de e ode : est un ode détaillé ar les miroirs multiouhes de la nanolithographie imposent une largeur de bande extrèmement étroite, de l ordre de 2 ev à 13.5 nm, e qui néessite de pouvoir prendre en ompte tous les effets d intération de onfiguration, ne serait e que pour la position des raies. il est onstruit de manière modulaire de façon à pouvoir fontionner ave différentes 11

12 CHAPITRE 1. INTRODUCTION entrées, aussi bien en terme de données atomiques que de données hydro (on utilise atuellement HULLAC mais l intégration de MCDF ou autres est assez simple à effetuer, pour les données hydro, des résultats de alul sur le Xenon nous avaient été fournis par T. Auguste ave le ode CASTOR2, d autres proviennent de CHIVAS ou enore sont des fihiers spéifiquement réés par T. Auguste mais là enore, rien n empèhe d utiliser des résultats de MULTI, voire MULTI2D si disponible...) toujours dans un soui de modularité, nous avons hoisi de passer toutes les données en unités atomiques et d effetuer la totalité de nos aluls dans es unités, e qui en failite la lisibilité et les éventuelles modifiations Nous disposions jusqu ii d un ode effetuant des aluls d émissivité / opaité / émission à l aide des données radiatives de HULLAC. Il alule es quantités pour un plasma à l ETL ou bien pour un plasma hors équilibre pourvu que l on introduise "à la main" les populations des différents ions. Néanmoins, il ne permet pas de façon simple de modifier les populations des différentes onfigurations (et enore moins elles des niveaux d une même onfiguration) d un même ion, e qui empèhe toute évolution vers un ode HETL plus réaliste. Toute étude HETL, si elle ne voulait pas se limiter à une simple étude de population, passait don par la réériture de e ode pour éxaminer ses onséquenes radiatives! Nous en avons don profité pour autoriser l inlusion de plasmas inhomogènes et étendus. Ce ode omporte deux parties : alul des émissivités / opaités et alul de l émission totale. Pour des raisons de taille mémoire, nous avons hoisi de le diviser en deux entités distintes qui fontionnent de manière autonome. L une alule de manière détaillée emissivités et opaités. Elle peut, au hoix, réer un fihier qui les stoke sur un large éventail de températures et densités ou effetuer un alul ab initio d émission totale sur un milieu étendu ou enore inhomogène. L autre utilise les fihiers d émissivité / opaité réés par le premier ode pour effetuer des aluls d émission totale sur des milieux étendus et inhomogènes, e qui permet de réduire le temps de alul de manière notable. Nous présentons dans e manuel le ode et un grand nombre des résultats qu il nous a permis d obtenir, sahant qu ils sont pour la plupart novateurs. La première partie dérit la physique ontenue dans le programme. Nous l avons présenté en unités atomiques, tout en essayant d offrir les équivalents dans des unités usuelles lorsque ela peut être utile. Cette partie omporte une desription du transfert de rayonnement et du profil des raies, puis de la physique ollisionnelle radiative, les taux et la résolution des équations par onfigurations et enfin le transfert de raies dans un plasma étendu et inhomogène ainsi que dans un gas neutre. La seonde partie présente le fontionnement du ode et en partiulier les mots lefs et paramètres qui ont été onçus pour être d un emploi aisé pour le néophyte. Nous y préisons simultanément les différents aluls aessibles à l utilisateur. Dans le troisième hapitre, nous présentons l ensemble des programmes et sous-programmes présents et utilisés de façon à permettre aux utilisateurs d effetuer les modifiations qui leur seraient utiles. A et effet, le ode a été érit en nommant les différentes variables et omposantes de façon très lisible et didatique. La quatrième partie est onsarée aux différentes astues numériques ou diffiultés du même nom qui ont entraîné des modifiations du ode mais aussi surtout elles de HULLAC. Enfin, dans le inquième et dernier hapitre, nous présentons les résultats majeurs obtenus au ours de es deux années 2004-2005 à l aide de notre ode. En partiulier, nous présentons la première étude de l influene de l interation de onfigurations sur les raies satellites, leurs énergies et leur fores dans différentes situations ave diverses omparaisons, onstrutives, ave l expériene. En fin de hapitre, nous détaillons nos premiers résultats ollisionnels radiatifs qui ont été validés lors du workshop de omparaison de odes ollisionnels radiatifs NLTE4, en déembre 2005 à Las

13 Palmas. Enfin, dans la onlusion, sont remémorés l ensemble des limites persistantes et des évolutions possibles. Pour larifier légèrement le fontionnement du ode, nous présentons à la suite un rapide shéma. SCRIC Spetre Collisionnel Radiatif ave Interation de Configutation HULLAC Données atomiques Spetreopaite E, setions eff. Emissivités, opaités Emissivités, opaités, EOS... Données hydro Te, Ni... CODES HYDRO : CASTOR, Caluls autosemblables T. Auguste, CHIVAS Spetrefihier SPECTRES

14 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Chapitre 2 Physique 2.1 Passage en unités atomiques Il existe en physique atomique et physique des plasmas de nombreux systèmes d unités. Par soui de larté, nous avons hoisi, dans e doument, d utiliser de façon systématique les Unités Atomiques (u.a.). Il y aura néanmoins quelques mentions dans des unités plus usuelles, à éhelle marosopique, elles seront alors préisées. En général, les unités utilisées sont gs (entimètre, gramme, seonde) Quantité Valeur de l u.a. en quantités importantes en unités ourantes unités atomiques Masse m e = 9.108 10 28 g Masse de l életron = 1 Masse du proton = 1836 Longueur a 0 = /m e e 2 Rayon de la première orbite de = 0.52917 10 8 m Bohr = 1 Densité 1/a 3 0 = 6.749 1024 m 3 Temps τ 0 = a 0 /e 2 Durée d une révolution sur la première = 2.4189 10 17 s orbite de Bohr=2π Vitesse e 2 / = 2.1877 10 8 m.s 1 Vitesse de l életron sur la première orbite de Bohr = 1 Vitesse de la lumière = = 137.037 Const. de struture fine = α = 1 137.037 Moment = h/2π Constante de Plank = h = 2π angulaire = 1.0544 10 34 J.s 1 Energie e 2 /a 0 = 4.36 10 11 erg Energie d ionisation de l hydrogène = 27.21eV = 4.36 10 18 J = 1/2 Charge e = 1.6022 10 19 C Charge de l életron = -1 életrique 1/4πɛ 0 = 1 Champ e/a 2 0 = 1.7152 107 statvolts/m Champ életrique sur la première életrique = 5.1436 10 9 volts/m orbite de Bohr = 1 2.2 Equation de transfert du rayonnement en unités CGS En unités gs, l equation de transfert du rayonnement s érit : di ν (x) dx = j ν (x) κ ν (x).i ν (x) (2.1) 15

16 CHAPITRE 2. PHYSIQUE où I ν (x) est l intensité spetrale de la soure (erg m 2 sr 1 s 1 Hz 1 ), j ν (x) est l émissivité du plasma pour une unité de volume pendant t à la fréquene ν et dans l intervalle de fréquene ν (s appelle aussi terme soure en erg m 3 sr 1 s 1 Hz 1 ) et κ ν (x) est l opaité du plasma (oeffiient d absorption de l énergie par unité de longueur en m 1 ). Par onséquent, sur une ellule x ou j ν et κ ν sont onstants : I ν (x + x) = j ν κ ν ( 1 e κ ν x ) + I ν (x)e κν x (2.2) que l on résout de ellule en ellule. L émissivité pour une transition n m d un ion donné s érit (transition lié lié) : Φ emis nm (ν) j ν = A nm N n E nm 4π (s 1.m 3.erg.Hz 1.sr 1 ) (2.3) où A nm est la probabilité de transition d un atome dans le niveau n (s 1 ), N n est la peuplement du niveau n (m 3 ), E nm est l énergie de la transition (erg) et Φ emis nm (ν) est le profil spetral d émission normalisé assoié à la transition (Hz 1 ). L opaité résultant d une transition m n d un ion donné s érit (transition lié lié) : ( κ ν = 2 g n A nm N m g ) m N n Φ abs g m g mn(ν) (m 1 ) (2.4) n 8πν 2 nm où g n et g m sont les poids statistiques des niveaux n et m et Φ abs mn(ν) est le profil spetral d absorption normalisé assoié à la transition (Hz 1 ). (Nous n avons onsidéré ii que les transitions lié- lié) En général, on fait l hypothèse lassique de redistribution omplète en fréquene : Φ abs mn(ν) = Φ emis nm (ν), qui vaut pour des plasmas suffisemment denses (très ollisionnels). A propos des populations, on suppose en général que les niveaux d une même onfiguration sont à l équilibre statistique entre eux : N k,l = N 0,l g k,l g 0,l e (E k,l E 0,l )/kt (2.5) 2.2.1 Plasma épais Si l on suppose que les raies sont bien séparées pour qu on ne retienne qu une raie par fréquene, par exemple la raie nm du niveau n vers le niveau m, j ν κ ν = (ν) 4π Φ A nm N n E emis nm nm ( 2 g A n 8πνnm 2 nm g m N m gm g n N n ) = Φ abs mn(ν) 2E nm ν 2 nm 2 ( gn g m N m Nn 1 ). (2.6) Dans le as ou les niveaux sont à l équilibre thermodynamique entre eux ( est l hypothèse faite par F. Gilleron dans spe.f pour les niveaux de haque ion) et en érivant E nm = hν nm, j ν κ ν = 2hν3 nm 2 1 e hν/kt 1. (2.7) Si le plasma est très épais, e κν x 0 et l intensité spetrale se onfond ave ette valeur qui est elle de la plankienne lassique. Néanmoins, elle ne peut pas être reprise pour des plasmas hors équilibre, les populations des différents niveaux d un même ion n étant pas à l équilibre thermodynamique entre elles... On doit don en rester à la première partie de l équation 2.6.

2.2. TRANSFERT DE RAYONNEMENT (CGS) 17 2.2.2 Profil de raie, élargissement Je me suis très largement inspiré du livre de R. D. Cowan (The theory of atomi struture and spetra) pour es quelques lignes. Il y a plusieurs auses d élargissement du spetre, au profil gaussien ou lorentzien. La onvolution de es deux profils donne un profil de Voigt. La durée de vie limitée des niveaux onduit à un profil Lorentzien. Elle est oasionnée aussi bien par les transitions radiatives (déroissane naturelle <-> largeur naturelle) que par les transitions ollisionnelles que ertains appellent aussi largeur Stark eletronique, bien que et effet n aie rien à voir. Le profil lorentzien normalisé s érit : I(λ) = Γ/π (λ λ 0 ) 2 + Γ 2 (2.8) où Γ est la demi-largeur à mi-hauteur. (On note que I(λ 0 ) = π/γ). L élargissement Doppler donne naissane à un profil gaussien, qui s érit de manière normalisée : ( ) ln 2 1/2 I(λ) = πγ 2 e ln 2.(λ λ 0) 2 /Γ 2 (2.9) où de nouveau Γ est la demi-largeur doppler à mi-hauteur. (On note que I(λ 0 ) = (ln 2/πΓ 2 ) 1/2 ). La onvolution des deux donne le profil de voigt normalisé : I(λ) = 1 ( ) ln 2 Γ G π y e t2 dt π y 2 + (x t) 2 (2.10) ave y = ln 2Γ L /Γ G et x = ln 2(λ λ 0 )/Γ G où Γ L et Γ G sont les demi-largeurs à mi hauteur lorentzienne et gaussienne respetivement. Pour l élargissement naturel (et même ollisionnel), on utilise la relation d inertitude d Heisenberg : E / t qui nous donne l inertitude sur l énergie des niveaux en fontion de leur durée de vie t, elle même fontion des taux de transition des différentes réations possibles : t n = 1/( R,m R nm) où R représente les différents taux et m les différents niveaux aessibles. Par onséquent, la demi-largeur de raie, pour la transition radiative de n vers m, en unités d énergie (erg) s érit : ( R,i R ni + R,j R mj Γ L 2 ) (2.11) et don la demi largeur naturelle vaut : ( i A ni + ) j A mj Γ L naturelle 2 (2.12) à laquelle on peut aussi rajouter les taux d autoionisation le as éhéant. Pour l élargissement Doppler en unités d énergie, on trouve : Γ G Doppler = ( 2kT ln 2/M 2) 1/2 Enm (2.13) où M 2 est l énergie de masse de l atome et T la température des ions.

18 CHAPITRE 2. PHYSIQUE 2.3 Equation de transfert du rayonnement en UNITÉS ATO- MIQUES Pour des raisons de lisibilité du ode, nous avons préféré passer la totalité des données en unités atomiques de façon à éviter un hangement permanent de système d unités. Pour ette raison, nous réérivons la totalité du paragraphe préédent dans es nouvelles unités en espérant qu il évitera un fastidieux travail de onversion à un éventuel leteur. Nous donnons en début de hapitre les équivalenes entre les différents systèmes d unités. Nous notons les unités u.a. [L][T][E][C] pour Longueur, Temps, Energie, Charge eletrique. En unités atomiques, l equation de transfert du rayonnement s érit : di E (x) dx = j E (x) κ E (x).i E (x) (2.14) où I E (x) est l intensité par unité d énergie de la soure (u.a. [T 1][L 3 ] sr 1 ), j E (x) est l émissivité du plasma pour une unité de volume pendant t dans l intervalle d énergie [E, E + E] (s appelle aussi terme soure en u.a. [T 1 ][L 3 ] sr 1 ) et κ E (x) est l opaité du plasma (oeffiient d absorption de l énergie par unité de longueur en u.a. [L 1 ]). Par onséquent, sur une ellule x ou j E et κ E sont onstants : I E (x + x) = j E κ E ( 1 e κ E x ) + I E (x)e κ E x que l on résout de ellule en ellule. L émissivité pour une transition n m d un ion donné s érit (transition lié lié) : Φ emis nm (E) j E = A nm N n E nm 4π 2E 2 nm (2.15) (u.a.[t 1 ][L 3 ]sr 1 ar Φ(E)est en u.a. [E 1 ]) (2.16) où A nm est la probabilité de transition d un atome dans le niveau n (u.a. [T 1 ]), N n est la peuplement du niveau n (u.a. [L 3 ]), E nm est l énergie de la transition (u.a. [E]) et Φ emis nm (E) est le profil spetral d émission normalisé assoié à la transition (u.a. [E 1 ]). L opaité résultant d une transition m n d un ion donné s érit (transition lié lié) : ( κ E = π3 g n A nm N m g ) m N n Φ abs g m g mn(e) (u.a. [L 1 ]) (2.17) n où g n et g m sont les poids statistiques des niveaux n et m et Φ abs mn(e) est le profil spetral d absorption normalisé assoié à la transition (u.a. [E 1 ]). (Nous n avons onsidéré ii que les transitions lié- lié) Comme nous l avons dit plus haut ave les unités CGS, on fait en général l hypothèse lassique de redistribution omplète en fréquene : Φ abs mn(e) = Φ emis nm (E), qui vaut pour des plasmas suffisemment denses (très ollisionnels). 2.3.1 Profil de raie, élargissement Dans ette partie en unités atomiques, seules les largeurs de raies (doppler et naturelles) sont modifiées par rapport au as CGS. Nous renvoyons don à ette partie pour toutes les équations de profil. La demi-largeur naturelle de raie (due à l inertitude sur l énergie des niveaux en raison de leur durée de vie limitée), pour la transition radiative de n vers m, en unités d énergie (u.a. [E]) s érit : R,i Γ L R ni + R,j R mj (2.18) 2

2.4. TAUX RADIATIFS ET COLLISIONNELS, EN U.A. 19 et don la demi largeur naturelle vaut : Γ L naturelle i A ni + j A mj 2 (2.19) à laquelle on peut aussi rajouter les taux d autoionisation le as éhéant. Pour l élargissement Doppler en unités d énergie (u.a. [E]), on trouve : T u.a. 2 ln 2 Γ G Doppler = E nm (2.20) E masse de l ion u.a. où T est la température des ions et l énergie de masse de l ion en u.a. vaut : où N a est le nombre d Avogadro. E masse de l ion u.a. = M molaire(g)/n a α 2.m e(g). (2.21) 2.4 Taux radiatifs et ollisionnels, en U.A. 2.4.1 Equation de populations L équation des populations N i de haque niveau i s érit : dn i i = N i R ij + N j R ji (2.22) dt j j où les R ij représentent l ensemble des taux de réation dépeuplant le niveau i pour peupler le niveau j. 2.4.2 Taux inverses Les taux inverses (R ji ) se déduisent du prinipe de miroréversibilité des réations : R ij = ρ j ρ i R ji (2.23) où ρ i et ρ j sont les densités d état des niveaux i et j (dépendantes de T e, N e, hν...). Ainsi pour une transition à l intérieur d un même ion, à l aide de la distribution de Boltzmann, R ij = g j g i R ji e (E i E j )/T e (2.24) et pour une transition entre deux ions suessifs, à l aide de la loi de Saha : N Z+1 N e = 2 B ( ) 3/2 Z+1 Te e E I/T e (2.25) N Z B Z 2π où E I est l énergie d ionisation de Z vers Z + 1 et B Z la fontion de partition de l ion : B Z = i g i exp E i0 /T e, on déduit : ou où E ji = E j E i. R i,z >j,z+1 = 2 N e g j g i R j,z+1 >i,z = N e 2 g i g j ( ) 3/2 Te e E ji/t e R j,z+1 >i,z (2.26) 2π ( ) 2π 3/2 e +E ji/t e R i,z >j,z+1 (2.27) T e

20 CHAPITRE 2. PHYSIQUE 2.4.3 Taux de réation Le taux de réation, nombre de transitions entre deux niveaux par unité de temps pour une réation donnée, s érit : R ij = Nvσ ij (ɛ) (2.28) où Nv est le nombre de partiules (e, hν, ions...) touhant une unité de surfae de la ible pendant une unité de temps, N étant la densité de partiules, v leur omposante de vitesse perpendiulaire à la ible et σ ij (ɛ) la setion effiae pour l énergie ɛ de la partiule inidente. Un seul életron inident R ij = N e E ij v.σ ij (ɛ).f (ɛ)dɛ, (2.29) ave v = 2ɛ/m e et F (ɛ) la distribution en énergie des életrons, normalisée ( 0 F (ɛ)dɛ = 1). Pour des életrons thermalisés, F (ɛ) = 2 ɛ π e ɛ/te. Don, où θ = E/T e et x = ɛ/ E. R ij = N e 2 2 π ( E) 2 T 3/2 e T 3/2 e 1 xσ(x)e θx dx (2.30) Un seul photon inident U(ɛ) ɛ R ij = E σ ij (ɛ) U(ɛ) dɛ, (2.31) ɛ étant la densité de photons d énergie ɛ = hν (U(ɛ) est la densité d énergie photonique). Dans le as d un rayonnement Plankien, la densité de photons s érit : U(ɛ) ɛ = ɛ2 1. π 2 3 e ɛ/te 1. Deux életrons inidents R ij = N 2 e E ij v.v σ ij (ɛ, ɛ ).F (ɛ).f (ɛ )dɛdɛ. (2.32) S il n y a qu un seul életron sortant, son énergie est ɛ = ɛ ɛ + E ij ; la setion effiae σ ij (ɛ, ɛ ) est en unités de surfae par unités de temps. Un életron et un photon inidents R ij = N e où ɛ = E ij + ɛ. (Reombinaison radiative induite) E ij v..σ ij (ɛ)f (ɛ). U(ɛ ) ɛ dɛ, (2.33)

2.4. TAUX RADIATIFS ET COLLISIONNELS, EN U.A. 21 2.4.4 Taux de transition radiative dipolaire életrique A ij (u.a.) = A ij (s 1 )/4.134 10 16 (2.34) A ij (s 1 ) étant fourni diretement par HULLAC. Les oeffiients d Einstein orrespondants pour la desexitation radiative induite et la photoexitation, en unités atomiques, valent respetivement : B ɛ ij(u.a.) = π2 3 ɛ 3 A ij(u.a.), (2.35) B ɛ ji(u.a.) = g j g i π 2 3 ɛ 3 A ij(u.a.). (2.36) Les exposants ɛ de Bij ɛ et Bɛ ji sont là pour préiser que es oeffiients sont déterminés en utilisant la distribution Plankienne de rayonnement en unités d énergie : U(ɛ) = ɛ 3 1. π 2 3 e ɛ/te 1. Dans es onditions, les transferts de population s érivent : dn i dt = N i Bij ɛ U(ɛ), dn j dt = N j Bji ɛ U(ɛ). Si l on suppose que le rayonnement est Plankien : dn j dt A ij = g j N j g i e ɛ/te 1 en absorption, (2.37) dn i dt = N i A ij e ɛ/te 1 en émission induite. (2.38) (En unités usuelles, la densité de rayonnement en unités de fréquene s érit : U(ν) = 8πhν 3 1 3 e hν/kte 1, les oeffiients d Einstein Bν ij = 3 A 8πhν 3 ij, Bji ν = 3 g j 8πhν 3 g i A ij et les équations de population dn i dt = N i Bij ν U(ν), dn j dt = N j Bji ν U(ν).) 2.4.5 Taux d exitation / désexitation ollisionnelle En reprenant le taux de transition pour un seul eletron inident et en définissant la fore de ollision Ω ij : σ ij = πa2 0 ki 2g Ω ij (a 0 = 1 et ki 2 = 2E eu Unités Atomiques) (2.39) i le taux d exitation ollisionnelle s érit (en u.a.) : R ij = N e θ 2π Ω(x)e θx dx (2.40) g i Te et nous rappelons que θ = E T e = E j E i T e et x = E E. Goett et al. (At. Data Nul. Dat. Tab. 25 (1980) 186) ont proposé une interpolation pratique de es fores de ollision : 1. Les taux ollisionnels se réérivent alors : ( 2π e θ 0 e θ E 1 (θ) + 1 + Te R ij = N e g i Ω(x) = 0 ln(x) + 1 + 2 x + a + 3 (x + a) 2 (2.41) 3θ a + 1 + ( 2 3 θ)θe θ(a+1) E 1 (θ(a + 1)) ), (2.42)

22 CHAPITRE 2. PHYSIQUE où E 1 est l exponentielle intégrale d ordre 1 : E 1 (z) = e t z t dt. La forme xe x E 1 (x) que nous appelons F E 1 (x) est plus stable que E 1 (x). En posant β = θ(a + 1), on obtient alors : R ij = N ( e 2π e θ 0 g i Te θ F E 1(θ) + 1 + 3θ a + 1 + ) 2 3 θ a + 1 F E 1(β) (2.43) R ij est en u.a.[t], N e en u.a.[l 3 ] et T e en u.a.[e]. Pour passer à des unités plus usuelles (m,ev,s), on multiplie don par 3.195 10 18 : R ij = 8.0102 10 8 N e(m 3 ( e θ 0 g i Te θ F E 1(θ) + 1 + 3θ a + 1 + ) 2 3 θ a + 1 F E 1(β). (2.44) Comme ela a été vu plus tôt, le taux de désexitation orrespondant vaut : R ji = g i g j e (E i E j )/T e R ij = g i g j e θ R ij. (2.45) 2.4.6 Taux d ionisation ollisionnelle / reombinaison à trois orps Le taux d ionisation ollisionnelle s érit de la même façon que le taux d exitation ollisionnelle, la fore d ionisation, seule, différant légèrement (a=0) : R Z Z+1 ij = N e g i Ω(x) = 0 ln(x) + 1 + 2 x + 3 x 2, (2.46) 2π [( e θ ) ] 0 Te θ + 2 3 θ F E 1 (θ) + 1 + 3 θ (2.47) où F E 1 (x) est la fontion plus stable englobant l exponentielle intégrale E 1 (x) : F E 1 (x) = xe x E 1 (x) et θ = (E j E i )/T e > 0. En unités [m, ev, s], pareillement, R ij (s 1 ) = 8.0102 10 8 N e(m 3 [( e θ ) ] 0 g i Te θ + 2 3 θ F E 1 (θ) + 1 + 3 θ. (2.48) Pour la reombinaison à trois orps, Rij Z Z+1 (u.a.) = 2 g j N e g i ( ) 3/2 Te e E ji/t e Rji Z+1 Z (2.49) 2π soit : Rji Z+1 Z (u.a.) = N e 2 2g j ( ) 2π 2 [(0 ) θ + 2 3 θ T e ] F E 1 (θ) + 1 + 3 θ. (2.50) 2.4.7 Taux de photoionisation / reombinaison radiative Les equations de population pour la photoionisation, la reombinaison radiative spontannée et la reombinaison radiative induite s érivent respetivement : dn i dt = N i σ phot ij (ɛ) U(ɛ), (2.51) ɛ dn i dt = N j N e σ re spont ji (E)v(E)F (E), (2.52)

2.4. TAUX RADIATIFS ET COLLISIONNELS, EN U.A. 23 dn i dt = N j N e v(e)σ re ind ji (E)F (E) U(ɛ), (2.53) ɛ où ɛ est l énergie du photon, E elle de l életron libre, E = E ji = E j E i > 0, ɛ = E + E, v(e) = (2E) et i appartient à l ion Z et j à l ion Z + 1. A l ETL on a : ( N i..σ phot ij (ɛ).u(ɛ) = N j.n e.v(e).f (E) σ re spont ji (E) +.U(ɛ).σ re ind ji ) (E). (2.54) et en utilisant les équations dérivant la distribution des életrons et des photons à l équilibre thermodynamique ainsi que la loi de Saha, on obtient la relation entre les différents taux : re spont σji (E) = ( ɛ 2 g i 2 (e ɛ/te 1) 2g j e ɛ/te σ phot ij (ɛ) E σre ind ji π 2 re spont σji (E) étant indépendante de la température, on en déduit : et à la suite : σ re spont ji σ re ind ji ) (E). (2.55) (E = ɛ E) = g i 2g j π 2 E σphot ij (ɛ) (2.56) (E = ɛ E) = ɛ2 g i σ 2 2g j phot ij (ɛ) E = ɛ2 ind π 2 σre 2 ji (E). (2.57) A l instar des setions effiaes d exitation et d ionisation ollisionnelles, il en existe une forme interpolée simple, dont les onstantes numériques sont fournies par HULLAC : σ phot ki (m 2 ) = D(b + E(eV )) γ (2.58) La version equivalente en unités atomiques emploie des onstantes légèrement modifiées : γ ua = γ, b ua = b 27.21, D ua = D (27.21)γ. (2.59) Pour le alul des taux, on retrouve pour la photoionisation : R phot ij =. E σ phot ij et pour la reombinaison radiative spontannée : a 2 0 (ɛ) U(ɛ) dɛ (2.60) ɛ re spont Rji = N e v(e).σ 0 2 g i N e = π g j 2 Te 3/2 re spont ji e E/Te (E).F (E).dE E E 2.σ phot ij (E)e E/Te de. (2.61) En utilisant la formule interpolée des setions effiaes de photoionisation le taux de reombinaison radiative s érit alors : re spont 2 g i N e D ( Rji = π g j 2 T e 3/2+γ e ( E+b)/Te u b ) 2 u γ e u du. (2.62) ( E+b)/T e T e

24 CHAPITRE 2. PHYSIQUE (On a utilisé le hangement de variables u = (E + b)/t e.) Cette dernière intégrale est une ombinaison de fontions Gamma inomplètes (Γ(a, x) = x e t t a 1 dt = x a 1 e x + (a 1)Γ(a 1, x)) : [ re spont 2 g i N e D Rji = π g j 2 T e 3/2+γ e ( E+b)/Te Γ(γ + 3, E + b ) 2b Γ(γ + 2, E + b )+ T e T e T e b 2 Γ(γ + 1, E + b ] ), T e qui se simplifient en : re spont 2 g i Rji = π N e D g j 2 T 3/2+γ e [ ( E + b T e T 2 e ) γ+1 ( ) E b + γ + 2 + T e e ( E+b)/Te Γ(γ + 1, E + b T e ) (2.63) ( ( γ + 1 b ) 2 + γ + 1)]. On onserve la forme e x Γ(a, x), qui est alulée d un seul blo ar elle est plus stable. T e (2.64) 2.5 Passage des taux détaillés aux taux par onfigurations 2.5.1 Condensation des niveaux détaillés en onfigurations Si l on ne onsidère pas l ETL dans une onfiguration Les niveaux détaillés (inluant l interation de onfiguration) d une onfiguration sont supposés à l équilibre statistique -et non thermodynamique-, (la température à l intérieur de la onfiguration est supposée très supérieure à la différene d énergie entre les niveaux) : N i = g i g 0 N 0 (2.65) 0 étant le niveau de référene (le fondamental par exemple) de la onfiguration. N i est la population totale du niveau i. La population totale de la onfiguration C vaut dans es onditions : N C = N i = N 0 g i = N 0 g C (2.66) g 0 g 0 iɛc iɛc où g C est la dégénéresene de la onfiguration C. Si l on onsidère un équilibre thermodynamique dans une onfiguration Les niveaux détaillés (inluant l interation de onfiguration) d une onfiguration sont supposés à l équilibre thermodynamique, la température à l intérieur de la onfiguration pouvant être aussi bien la température életronique qu une température effetive T C : N i = g i g 0 N 0 e E i0/t C (2.67) 0 étant le niveau de référene (le fondamental par exemple) de la onfiguration. N i est la population totale du niveau i. La population totale de la onfiguration C vaut dans es onditions : N C = N i = N 0 g i e E i0/t C = N 0 B C (2.68) g 0 g 0 iɛc iɛc

2.5. PASSAGE DES TAUX DÉTAILLÉS AUX TAUX PAR CONFIGURATIONS 25 où B C est la fontion de partition de la onfiguration C. 2.5.2 Taux et équation des populations pour les onfigurations Equilibre statistique des niveaux d une onfiguration L équation de population s érit : dn C dt = iɛc dn i dt = ( N i iɛc jɛc C R ij + jɛc C N j R ji ). (2.69) On a éliminé les transitions à l intérieur d une même ouhe ar elles ne ontribuent pas à son peuplement mais seulement à son équilibre interne (au moins, on le suppose). dn C dt = N 0 g 0 = N 0 g 0 g C = N C j C C iɛc C C C C g i R ij + C C jɛc iɛc g ir ij g C R CC + C C N C R C C. N 0 g jɛc 0 + C C g j iɛc N 0 g C g 0 R ji iɛc jɛc g jr ji jɛc g j (2.70) Dans es onditions, les taux entre onfigurations valent : iɛc jɛc R CC = g ir ij iɛc g i et g C = iɛc g i. (2.71) Equilibre thermodynamique des niveaux d une onfiguration dn C dt = N 0 g 0 = N 0 g 0 B C = N C j C C iɛc C C C C g i e E i0/t C R ij + C C jɛc iɛc g ie E i0/t C R ij B C R CC + C C N C R C C. N 0 g jɛc 0 + C C g j e E j0 /T C iɛc N 0 B iɛc C g 0 R ji jɛc g je E j0 /T C R ji B C (2.72) Dans es onditions, les taux entre onfigurations valent : R CC = 1 B C et g C = iɛc g ie E i0/t C. Pour évaluer le rapport entre un taux et son inverse, on érit : R CC R C C = B C B C iɛc jɛc g i e Ei0/TC R ij (2.73) iɛc jɛc g ie E i0/t C R ij jɛc iɛc g je E (2.74) j0 /T C R ji

26 CHAPITRE 2. PHYSIQUE et le rapport entre les taux détaillés valant : on obtient une solution simple si T C = T C = T e : R ji = g i g j e (E i E j )/T e R ij (2.75) R CC = B C B C e (E 0 E 0)/T e R C C. (2.76) 2.6 Résolution des systèmes Collisionnels Radiatifs L ensemble des équations s érit : i dn i dt = N i R ij + j j N j R ji (2.77) dn i Nous supposons le plasma en équilibre stationnaire : i = 0 dt Il s agit en fait de la résolution d un système d équations linéaires ouplées qui peut se mettre sous la forme AX = B (2.78) où A est la matrie des taux radiatifs et ollisionnels et X le veteur de populations. Pour fermer le système d équations, on peut poser qu une des populations vaut 1, par exemple, la première. Dans e as l équation orrespondant à dn 1 n est plus néessaire et dt les équations équivalentes pour les autres niveaux deviennent : i 1 N i R ij + N j R ji = N 1 R 1i = R 1i. (2.79) j 1 La matrie A s érit don : j A ij i j = R ji, A ii = j i R ij, (2.80) le veteur olonne X vaut : et le veteur olonne B : X = (N), X i = N i, (2.81) B = (N) = (R 1_ ), B i = R 1i. (2.82) Pour résoudre le système, nous avons hoisi d utiliser une méthode très stable même si très lente : le pivot de gauss - ode gaussj de Numerial Reipies, h. 2 - (mais ei n a atuellement que peu d influene dans la mesure où les matries CR onfigurationnelles ont au maximum un ordre de quelques milliers et le temps de résolution du système est beauoup plus rapide que l ériture des matries à partir des taux détaillés). Numerial Reipies onseille d utiliser pour la résolution de systèmes d équations linéaires des méthodes par déomposition, 3 fois plus rapides. Stephanie Hansen (ode SCRAM, Livermore) et Olivier Peyruse (ode AVEROES, CEA / CELIA) nous ont onfirmé utiliser des méthodes plus rapides pour des systèmes beauoup plus lourds où les matries sont diagonales par blos (sparse systems) : méthode BCM (Bi Conjugate Matrix) issue de Numerial Reipies ou de Lapa.

2.7. EMISSION DE PLASMAS ÉTENDUS ET INHOMOGÈNES 27 2.7 Emission de plasmas étendus et inhomogènes Nous avons onçu notre ode pour être en mesure d évaluer l émission totale de volumes de plasmas omplexes (i.e. dont les onditions thermodynamiques varient en temps et en espae). En partiulier, nous l avons utilisé omme post-proesseur de fihiers hydrodynamiques bidimensionnels alulés par T. Auguste à l aide de CASTOR 2D (ode hydrodynamique eulérien bidimensionnel en géométrie ylindrique dans lequel T. Auguste a utilisé le modèle Collisionnel Radiatif dépendant du temps TRIP et un modèle de propagation laser-gaz paraxial HEATER) (publiation prohaine). Pour utiliser les fihiers hydrodynamiques 2D ylindriques et aluler l émission pour n importe quel angle θ autour de l axe Oz du fihier hydro 2D Orz, on plae le repère artésien O XY au milieu de l éhantillon. On fait l ensemble des aluls dans le repère O xy. les différentes oordonnées orrespondent selon : et les différents angles selon : R XY = X 2 + Y 2 X = R XY os(θ XY ) Y = R XY sin(θ XY ) z = R XY os(θ rz ) + z max 2 r = R XY sin(θ rz ), os(θ rz ) = os(θ + θ XY ) = os(θ)os(θ XY ) sin(θ)sin(θ XY ) sin(θ rz ) = sin(θ)os(θ XY ) + os(θ)sin(θ XY ). On en déduit les valeurs de r et z en fontion de θ, X et Y : z = z max + Xos(θ) Y sin(θ) 2 r = Xsin(θ) + Y os(θ). (2.83) Si on ne veut pas réér un fihier 3D XYZ (pour éviter d avoir un trop grand nombre de ellules), il suffit de balayer un volume virtuel jusqu à e que l on renontre le volume de plasma : déterminons les aratéristiques de e volume virtuel :

28 CHAPITRE 2. PHYSIQUE z varie entre 0 et z max = z m r varie entre r max et r max = r m (zmax ) 2 R XY m = + r 2 2 m. De la même façon que pour le alul de r et z en fontion de x et y, on détermine X max et Y max en fontion de r m et z m : X min = z m 2 os(θ) r m sin(θ) X max = z m 2 os(θ) + r m sin(θ) Y min = z m 2 sin(θ) r m os(θ) Y max = z m 2 sin(θ) + r m os(θ) Comme on observe l émission dans la diretion de X (selon l angle θ par rapport à 0 z), on fixe Y et Z et on fait varier X en réutilisant approximativement la taille des ellules du fihier hydro : i.e. pour ne pas perdre en préision, on utilise la plus petite dimension des ellules hydro omme dimension de référene ( X = Y = Z = min( r, z)). De plus, les oordonnées en Z restent les mêmes qu ave le système de oordonnées ylindriques r, z (perpendiulaires au plan O XY), il suffit de faire un projetion sur la surfae O XY/Orz. Pour un point XY Z le rayon R XY Z vaut en longueur : R XY Z = X 2 + Y 2 + Z 2 = r 2 + (z z m 2 )2 or z = z m /2 + X.os(θ) Y sin(θ), par onséquent r = X 2 + Y 2 + Z 2 (X.os(θ) Y.sin(θ)) 2. On ne fait pas de alul de l émission si z > z m ou si z < 0 ou enore si r > r m. 2.8 Réabsorption du rayonnement par un gas neutre 2.8.1 photoabsorption et transmission Le fateur de diffusion s érit f = f 1 + if 2 et sa partie imaginaire f 2 est responsable de l absorption. La setion effiae résultante de photoabsorption vaut µ a = 2r 0 λf 2 où r 0 est le rayon lassique de l életron et λ la longueur d onde. Si le milieu est homogène, le fateur de transmission vaut : T = e N.µa.d où N est le nombre d atomes par unité de volume et d l épaisseur du milieu. De façon pratique, µ a (barns/atome) = 6.9873 107 f 2 ; µ a (m 2 /atome) = 6.9873 10 17 f 2 E(eV ) E(eV ) µ a (a 2 0/atome) = 9.16966 10 2 f 2 E(u.a.) et le fateur de transmission dépendant de la longueur d onde : T (λ) = exp µ λ a(m 2 /at). N (m 3 )(x).dx (m) = e µλ a (m2 /at).n (at/m 2 ) où N (at/m 2 ) est la densité surfaique d atomes.