EVALUATION DES CDS ET CDO

EVALUATION DES CDS ET CDO ARMAND NGOUPEYOU 15 novembre 2007

Credit Default Swap Le Credit Default Swap de maturité T est un contrat de protection qui porte sur le défaut d un emprunteur("single Name").L acheteur de la protection verse périodiquement (la plupart par trimestre)une prime au vendeur jusqu au moment du défaut de l emprunteur en contrepartie le vendeur de la protection s engage à rembourser le préjudice subi par l acheteur au moment du défaut.

Evaluation d un CDS On suppose qu une banque veut se protéger contre le risque de perte d un capital N qu elle a prêté à une firme,pour se protéger elle entre en CDS.Plusieurs paramètres sont utiles pour évaluer ce CDS : Quelle est la probabilité de défaut de la firme? Quel recouvrement de la dette la banque peut elle espérer de la firme après le défaut? Quel critère peut on utiliser pour donner un juste prix qui correspond au vendeur et à l acheteur du contrat?

Probabilité de défaut On se place dans un espace de probabilité (Ω, P) Soit τ le temps de défaut de la firme,on définit l intensité de défaut de la firme par : P{(τ < t + h) τ > t} lim = λ(t) h 0 h Expression de la probabilité de défaut : Q τ (t) = 1 e t 0 λ(s)ds

Taux de recouvrement Le taux de recouvrement représente le pourcentage perçu de dette reçu après le défaut de l emprunteur. On supposera que le taux de recouvrement vaut 0.4 Voir l article d Andersen Piterbarg "Random Recovery Rate" pour une meilleure modélisation du taux de recouvrement.

Payment Leg La jambe de paiement représente la somme total versée par l acheteur de la protection pour se couvrir. Echéances fixées par le vendeur 0 t 1.. t n = T Somme verśee par l acheteur n E( e rt i X (t i t i 1 )N1 τ>ti ) i=1 + Accrual Payment : n E( e rτ X (τ t i 1 )N1 τ [ti 1,t i ]) Au total : i=1 i=1 n n PL = E( e rt i X (t i t i 1 )N1 τ>ti )+E( e rτ X (τ t i 1 )N1 τ [ti 1,t i ]) i=1

Default Leg La jambe de défaut représente la somme totale versée par le vendeur à l assuré. DL = E( n e rτ (1 R)N1 τ [ti 1,t i ]) i=1

Spread CDS le spread CDS est déterminé tel que : Ainsi : X = PL = DL n i=1 e r (t i 1 +t i ) 2 (1 R)(Q(t i 1 ) Q(t i )) n i=1 e rt i αi (1 Q(t i ) + 1 2 n i=1 e r (t i 1 +t i ) 2 α i (Q(t i 1 ) Q(t i )) α i = t i t i 1

Collateralized Debt Obligation Le Collateralized Debt Obligation de maturité T est un contrat de protection qui porte sur le défaut de plusieurs emprunteurs("muli-names").ils sont vendus en tranches [a,b] représentant la proportion minimale et maximale de perte dont on veut assurer.comme les CDS l acheteur de ce contrat verse une prime périodique au vendeur en contrepartie si la proportion minimale de perte est atteinte,le vendeur verse à chaque fois qu il y a défaut le préjudice subi par l acheteur jusqu au moment où la proportion maximale est atteinte.

Evaluation du spread d un CDO Pour déterminer le spread d un CDO,nous devons déterminer la jambe de défaut et la jambe de paiement en tenant compte des corrélations. Pour cette évaluation nous devons repondre à plusieurs questions. Comment tenir compte de la corrélation entre les instants de défauts lors de l évaluation? Comment est structuré un CDO et comment les défauts des firmes affectent la tranche CDO? Quelles sont les techniques employées pour calculer la jambe de paiement et la jambe de défaut?

Copules Une copule est une fonction de distribution mutivariée dont les marginales sont uniformément distribuées sur [0,1]

Propriétés des copules Pour tout u=(u 1, u 2...u n ) [0, 1] n C(u) est croissante en chaque composante u i pour tout i=1...n C(u)=0 s il existe une composante u i nulle C(1, 1..., u i...1, 1) = u i pour tout i=1...n

Théorème de SKLAR Soit F une fonction de distribution n-mutivariée dont les margianles F i sont connues pour tout i=1..n alors il existe une n-dimensionelle fonction copule C telle que pour tout x = (x 1,...x n ) F (x 1, x 2,...x n ) = C(F (x 1 ), F (x 2 )...F (x n )) C(u 1, u 2...u n ) = F (F 1 X 1 (u 1 ),...F 1 X n (u n ))

Exemples de copule Copule gaussienne C(u 1, u 2,...u n, R) = Φ R (Φ 1 (u 1 ),...Φ 1 (u n )) Copule de Student C(u 1,...u n, ν, R) = t R,ν (tν 1 (u 1 )...tν 1 (u n )) Copule de Clayton C(u 1, u 2,...u n ) = ( n i=1 u θ i n + 1) 1 θ

Copule gaussienne à un facteur et caractérisation des temps de défaut l indicateur de défaut d une entreprise i sera définie par : X i = ρv + 1 ρ 2 V i Pour i=1..m Où V, V 1,..V n sont n+1 variables alétaoires gaussiennes indépendantes Les instants de défaut seront déterminés tels que : F τi (τ i ) = F Xi (X i ) Soit : τ i = 1 λ i Log(1 F Xi (X i ))

Probabilité conditionnelle des instants de défauts P(τ i < t/v ) = Φ( (Φ 1 (Q(t)) ρv ) ) 1 ρ 2

Tranche CDO et perte Soit M al,a H (t) la perte supportée par la tranche [a L, a H ] à un instant donné t : M al,a H (t) = 0.1 Lt a L + (L t a L ).1 Lt [a L,a H ] + (a H a L ).1 Lt a H 0ù : L t = 1 M M (1 R)1 τi t i=1 E(M al,a H (t)) = E((L t a L ) + (L t a H ) + )

Approche de Laurent et Gregory E(M al,a H (t)) = M [((1 R) k M a L) k=0 Calcul de P(N t = K) I E[u N(t) ] = P(N(t) = k)u k k=0 = E(E[u N(t) ]/V ) = E(u ( M k=0 Ni t /V ) = + ((1 R) k M a H) ]P[N t = k] + M E(u Ni t )/V ) i=1 (E[u N(t) ]/V ) = M u 0 P(τ i > t/v ) + u 1 P(τ i t/v ) i = E( I (1 p i V ) t + up i V t )

Approche de Laurent et Gregory M i ((1 p i V t )+up i V t ) = u M Φ M (v)+u M 1 Φ M 1 (v)+...φ 0 (v) P(N(t) = k) = R Φ k (v)f (v)dv Où f représente la fonction de densité du facteur V

Approche de Hull et White La méthode de Hull et White consiste à déterminer P(N(t)=k) de manière récursive : Avec π V 0 = M i=1 π V 1 = π V 0 q i V t M i=1 w i = 1 qi V t q i V t w i π V k = π V 0 wz(1) w z(2)...w z(k) Où z(1), z(2)...z(k) reprśentent les k firmes ayant fait défaut avant l instant t

Jambe de défaut DL = m j=1 r(t j +t j 1 ) e 2 (E(M al,a H (t j )) E(M al,a H (t j 1)))

Jambe de paiement La somme versée au total par l acheteur vaut : A = n X (t i t i 1 )e rt i (a H a L E(M al,a H (t i ))) i=1 + Accrual Payment B = m j=1 X ( t j + t r(t j 1 j +t j 1 ) t i (j))e 2 (E(M al,a 2 H (t j )) E(M al,a H (t j 1))) t i (j) est le plus grand réel t i tel que t j t i

Spread d un CDO le spread du CDO est déterminé tel que : PL = DL

Exemple de contrat Point d attachement :a L = 0.03 Point de détachement :a H = 0.06 Nombre de défaut minimum n L affectant la tranche : n L = a L (1 R) M = 6.25 Nombre de défaut maximum n H affectant la tranche : n H = a H (1 R) M = 12.5 Le capital total que supporte notre tranche CDO :. K tot = M(a H a L )K = 125 (0.06 0.03) K = 3.75K

Exemple de contrat La tranche sera affectée à partir du septième défaut.le remboursement se fera comme suit : Au septième défaut le vendeur de la protection versera à l assuré : DL = 0.75 (1 R) K = 0.45K Du huitième au douzième défaut le vendeur versera au total : DL = (12 8 + 1) (1 R) K = 3K Au triezième défaut le vendeur de la protection versera : DL = 0.5 (1 R) K = 0.3K Somme totale versée par le vendeur on trouve : S = 0.45K + 3K + 0.3K = 3.75K

Base Correlation et Implied Copula Utiles pour pricer les tranches de CDO non standards (peu liquides).deux paramètres à calibrer : L intensité de défaut La corrélation

Base Correlation Intensité de défaut Connaissant le spread de index CDS,l intensité de défaut moyen est obtenu en inversant la formule du spread d un CDS

Base Correlation Corrélation Déterminer la corrélation d une tranche non standard en utilisant la méthode de base corrélation d arbitrage : la propriété de non arbitrage : A0A : C(0, a H i, ρ B i ) = i C(a L m, a H m, ρ m ) (1) m=1 Où a L m et a H m représente respectivement les points d attachement et de détachement de la tranche m la perte sur la tranche [0, a H i ] est égale à la somme des pertes sur les tranches [0, a L 1], [a L 1, a L 2],...[a L i, a H i ]

interpolation

Base Correlation Méthode : Corrélation tranche non standard [a L m, a H m] Interpolation des bases correlation de [0, a L m] et [0, a H m] permettant de calculer la perte sur ces tranches et déduire la perte sur la tranche [a L m, a H m] en AOA Connaissant la perte sur la tranche,on déterminera la tranche correlation par inversion de la formule de la perte Connaissant la corrélation on sait calculer le spread d une tranche de CDO.

Exemple calcul d une tranche non standard avec la base correlation Le spread de l index CDS 01/06/2007-20/06/2017 :41 bp att-det 0.03 0.06 0.09 0.12 0.22 20/06/2017 35 292 85 39 12 Fig.: Spread tranche CDO itraxx

Exemple calcul du spread d une tranche non standard avec la base correlation Quelques résultats : att-det 0.04-0.05 0.04-0.1 0.02-0.08 0.02-0.1 Base-Correlation 276.34 142.63 260.28 206.77 Fig.: Pricing des tranches non standards

Implied Copula On suppose que l intensité de défaut moyenne d une firme est une variable alétaoire fonction du facteur commun V influençant le défaut des firmes : Discrétiser λ(v ) en n points : λ = λ(v ) λ 1, λ 2,...λ n et associer les probabiltés respectives à chaque λ pour pouvoir d terminer le spread d une tranche non standard

Implied Copula Choix des intensités Pour choisir implicitement les intensités on dispose des spreads de six produits : l index CDS+ les cinq tranches standards de CDO Valeur d un produit :V (s, λ) = PL(s, λ) DL(s, λ) Pour choisir les intensités,on fixe les bornes λ min et λ max λ min = 0 λ max est déterminé tel que P(τ T ) = 1 les λ k k=1.. n-1 sont définis tels que l ensemble défini par : 6 6 { V (λ 1, s m ),... V (λ n 1, s m )} m=1 m=1 couvre uniformément l intervalle : 6 6 ] V (λ min, s m ), V (λ max, s m )[ m=1 m=1

Implied Copula choix des probabilités Les probabilités associées aux intensités sont définies telles que l espérance de chacun des six contrats soit nulle : V m = n k=1 π kv m (λ k ) = 0 m = 1..6 sc :π k 0 n k=1 π k = 1 Reformulation du problème en un problème d optimisation : min π { sc : 6 j=1 n 1 Vj 2 (π)) + c k=2 n π k = 1 π k 0 i=0 (π k+1 + π k 1 2π k ) 2 λ k+1 λ k 1 } (1)

Approche dynamique :Schonbucher(2006) On se place sur un espace de probabilité filtré (Ω, (F t ) t 0, Q).On définit le processus de perte à un instant t : L(t) = I i=1 1 (τi t) l approche developpée par Schonbucher consiste à déterminer les probabilités conditionnelles : définies par : p(t, T ) = (p 0 (t, T ),...p I (t, T )) p n (t, T ) = P(L(T ) = n F t )) Pour tout m = 0...I, t T

Time inhomgenous Markov chains ) Hypothese : Sachant les informations en t,l(t) se comporte comme une chaîne de Markov inhomogène La probabilité de transition vérifie l equation de Kolomogorov : d P(t, T ) = P(t, T )A(T ) P(t, t) = Id (1) dt A est le de générateur de L dont les coefficients vérifient : on définit : I a nk (T ) = 0 pour tout n=0...i k=0 a n (T ) = a nk (T ) = a n,n (T ) k=0,k n

Expression de P en fonction des coefficients de A P nm (t, T ) = 0 P nm (t, T ) = exp( m < n T t a n (s)ds) m = n T m 1 P nk (t, s) P m,m (t, T ). t P mm (t, s) a km(s)ds k=n m > n

Théorème de représentation Il existe toujours une chaîne de Markov inhomogène L de matrice de transition A(t,T) tel que la solution associée à l equation de Kolmogorov P(t,T) reproduit la distribution de perte de L : p(l(t ) = n F t ) = P L (t),n(t, T )

Consistence A sera consistent à L si : p(l(t ) = n F t ) = P L(t),n (t, T )

Propriété de la consistence Sous cette hypothèse de consistence : Le processus de perte L(t) a pour intensité λ L (t) = a L(t) (t, t) P L(t),n (t, T ) et a n (t, T )P L(t),n (t, T ) sont des Q martingales a n (t, T ) est une martingale sous P T n définie par : dpn T dq F t = E Q (1 L(T )=n F t ) = P L(t),n(t, T ) p n (0, T ) P L(t),n (0, T ) = Z t

Dynamique de A(t,T) et P(t,T) da n (t, T ) = µ n (t, T )dt + σ n (t, T )dw t et dp n,m (t, T ) = u nm (t, T )dt + v nm (t, T )dw t dp L(t),m (t, T ) = u L(t ),m(t, T )dt + v L(t ),mdw t + φ m (t, T )dl t Grâce à la solution de l equation de Kolomogorov on peut établir des relations entre le drift et la volatilité de P en fonction de ceux de A

Relation de consistence P L(t ),m(t, T )µ m (t, T ) = σ m (t, T )v L(t ),m Grâce à l estimation de la volatilité des a m on pourra évaluer le spread d un CDS et d un CDO de façon dynamique

spread d un CDS Jambe de paiement T E( t 1 T (I L(s))ds F t ) = β s t Jambe de défaut T E( t Spread 1 T dl(s) F t ) = β s t B(t, s) B(t, s) I (I n)p n (t, s)ds n=0 I a m (t, s)p m (t, s)ds m=0 s(t, t, T ) = T t T t B(t, s) I m=0 a m(t, s)p m (t, s)ds B(t, s) I n=0 (I n)p n(t, s)ds

spread d un CDO Jambe de de paiement : T E[ = t T Jambe de défaut : t E( = 1 b(s) (N U L(s))1 {NL L(s )<N U }ds F t ] N U 1 B(t, s) (N U n)p n (t, s) n=n L T t T t 1 b(s) 1 {N L L(s )<N U }dl(s) F t ) B(t, s) N U 1 m=n L p m (t, s)a m (t, s)

spread d un CDO s(t, t, T ) = T t T t B(t, s) N U 1 m=n L p m (t, s)a m (t, s)ds B(t, s) N U 1 n=n L (N U n)p n (t, s)

Perpectives de recherche Couverture optimale d un portefeuille d actifs soumis à un risque de défaut en achetant des CDS et des CDO