Prise en compte du risque dans le calcul économique

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1 Septembre 2012 Rapport d'étude Prise en compte du risque dans le calcul économique

2 Page laissée blanche intentionnellement Collection «Les rapports» Sétra 2 septembre 2012

3 Avant-propos Ce rapport présente les résultats de travaux d'études menés par le réseau scientifique et technique du Ministère de l'écologie, du développement durable et de l'énergie sur le sujet de la prise en compte du risque dans l'évaluation socio-économique des projets de transport. Les travaux présentés dans ce document, de nature scientifique et exploratoire, n'engagent pas la position du Ministère sur la valeur du taux d'actualisation ni plus généralement sur la méthode de prise en compte du risque dans les évaluations de projet. Collection «Les rapports» Sétra 3 septembre 2012

4 Sommaire Introduction... 5 Chapitre I : Cadres Théoriques Eléments de définition Typologie des risques, lien avec l'analyse de risque Décision et risque : utilité, aversion pour le risque et prime de risque Risque et bilan coût-avantage socio-économique..., Enchainements entre variables risquées : présentation simplifiée Retour sur le critère de choix : espérance de l'utilité ou regret?...17 Chapitre II : Application à des cas-type de projets de transport Présentation des cas-type Probabilisation des risques : paramètres aléatoires, lois de probabilité Présentation des calculs d'espérance de l'utilité du projet Résultats...29 Chapitre III : Approche analytique simplifiée Formulation analytique sommaire de l'espérance du bilan Formulation analytique avec hypothèses de mouvement brownien Comparaison des approches analytiques et de Monte Carlo Elasticité du bilan d'un projet aux paramètres macro-économiques : approche analytique...43 Conclusion provisoires et perspectives...47 Annexes Bibliographie...57 Collection «Les rapports» Sétra 4 septembre 2012

5 Introduction Toute décision est prise dans un contexte où tous les impacts de cette décision ne sont pas connus de façon certaine. Dit autrement, les impacts de cette décision au moment où elle est évaluée puis prise, sont aléatoires. C est le cas en particulier dans les transports. Cette situation peut être décrite par deux termes : incertitude et risque ; par incertitude, on entend en général le cas où les aléas ne peuvent pas être décrits par des lois de probabilité connues ; la notion de risque renvoie plutôt aux cas où les lois de probabilités des aléas sont connues. Ainsi, les conditions économiques qui prévaudront à la mise en service du projet puis pendant sa durée de vie, sont caractérisées par des aléas. Il en est de même des conditions naturelles, technologiques, sociales qui affecteront le fonctionnement du projet. Plus précisément : les conditions dans lesquelles est évalué le projet sont, de fait, aléatoires : la demande de transports, les coûts, les prix relatifs, la croissance, les comportements des modes concurrents,. ne sont pas connus de façon certaine durant toute la vie du projet : ci-dessous, ces sources d aléas seront qualifiés de «risques économiques», ce sont les risques dont il est question dans ce rapport ; des aléas peuvent affecter le fonctionnement du système de transports une fois qu il est en place, voire pendant sa phase de construction : aléas naturels, industriels, actes malveillants. La question de la décision publique en situation de risque ou d'incertitude fait l'objet de nombreux travaux théoriques et, de plus en plus, de débats publics. Ceci illustre le fait que de nombreuses incertitudes, qu'elles soient de nature sociale, environnementale ou économique, rendent les décisions publiques difficiles et requièrent des méthodologies, des outils et des processus de décision adaptés. La prise en compte explicite du risque et des incertitudes constitue un élément assez nouveau dans l'évaluation des projets de transport. Dans la plupart des cas, les incertitudes sur les variables ne sont pas prises en compte, le raisonnement étant basé sur des variables déterministes. La circulaire de 2005 de mise à jour de l'instruction cadre relative aux méthodes d évaluation économique des grands projets d infrastructures de transport recommande de poursuivre les travaux méthodologiques pour intégrer les risques qui, avant 2005, étaient implicitement pris en compte dans le taux d'actualisation tutélaire de 8% et étaient implicitement considérés comme homogènes pour l ensemble des projets à évaluer. Le passage du taux d'actualisation à 4% a ouvert la voie à la prise en compte des risques dans une analyse spécifique au projet considéré. L annexe III de cette instruction initie la prise en compte d un risque spécifique au projet, par une analyse de sensibilité aux variables incertaines du projet, ainsi que par la construction de trois scénarios : un scénario central en prenant pour chaque variable incertaine sa valeur la plus probable, un scénario haut cumulant les hypothèses favorables pour chacune des variables et un scénario bas cumulant les hypothèses défavorables. Cette première approche dite des scenarii ne va pas jusqu'à l'utilisation de distributions de probabilité des indicateurs du bilan socio-économique. Il importe donc de voir si et comment cette approche par scenarii peut être dépassée et si les méthodes et pratiques d'évaluation de projet actuellement utilisées peuvent être enrichies pour tenir compte d'une probabilité des paramètres affectant la rentabilité du projet. C'est l'objet du présent rapport. Ce rapport vise à explorer les possibilités d intégrer le risque (probabilisable) dans les critères de décision publique des projets de transports. Ce rapport se situe dans le cadre de la décision en situation de risque dit «cadre de Von Neuman Morgenstern», dans lequel le critère de décision est la maximisation d une espérance de bien-être collectif (ou fonction d utilité collective). Ce rapport traite des risques probabilisables de nature socio-économique (i.e. affectant la demande, les coûts, les valeurs monétaires utilisées dans l'évaluation socioéconomique, etc.). Collection «Les rapports» Sétra 5 septembre 2012

6 L approche retenue dans ce rapport est de tester l application du cadre de Von Neuman Morgenstern sur des projets «stylisés», c est à dire dont on peut exprimer de façon simple le bilan coûts-avantages actualisé. Par projet stylisé et modèle simple, on entend soit l utilisation de maquettes numériques (de type tableur), plus simples de manipulation qu un modèle de trafic complet, soit l utilisation de formulations analytiques représentant simplement les enchaînements de modélisation. Ce rapport s intéresse à deux sources d aléas de type «économique» : ceux liés à l incertitude sur les déterminants macro-économiques des principales variables du projet (demande, coûts, valeurs tutélaires) : ces déterminants sont essentiellement la croissance économique, le prix de l énergie ; on pourrait y inclure également d autres facteurs de type démographique, voire liées aux préférences sociétales ; quoi qu il en soit, ce qui caractérise cette catégorie de déterminants aléatoires, c est essentiellement leur caractère exogène au secteur des transports, au projet étudiée, et aux méthodes et modèles d évaluation utilisées ; ceux liés aux «erreurs de modélisation», qui caractérisent la connaissance imparfaite que l on peut avoir du projet, de son attractivité en termes de demande, de ses impacts (en termes d externalités par exemple). Le présent rapport se réfère notamment au rapport du Centre d Analyse Stratégique (CAS) «Le calcul du risque dans les investissements publics» de juin Ce rapport rappelle le cadre théorique de la prise en compte du risque dans l'évaluation, en se référant notamment aussi au cadre de Von Neuman Morgenstern. Ce rapport traite essentiellement des risques de nature macro-économique. Il formule notamment cinq recommandations : Intégrer systématiquement dans l évaluation économique des projets d investissement la prise en compte des risques en cherchant à les identifier, à les qualifier puis à les quantifier. Utiliser dans les calculs des démarches probabilistes et raisonner sur l espérance des gains et des coûts engendrés par le projet. Introduire une prime de risque dans les calculs lorsque les fondamentaux du projet sont fortement corrélés à l activité économique. Lancer une révision du taux d actualisation sans risque destinée à le rendre compatible avec la valeur de la prime de risque utilisée dans le calcul. Systématiser les analyses des options ouvertes par les projets pour valoriser la flexibilité dans les situations d incertitude. Le présent rapport d'étude couvre donc plus particulièrement les recommandations 2 et 3 de ce rapport du CAS, à partir d'études de projets de transport stylisés. Sur la base de ces études de cas qui visent à être génériques, l'objectif de ce rapport est d'évaluer la faisabilité de ces méthodes et d'identifier les points à creuser et les paramètres à documenter en vue d'une généralisation de cette approche au secteur des transports. Ce rapport est organisé en trois parties : en premier lieu, ce rapport rappelle le cadre théorique et en particulier les principales notions nécessaires à la prise en compte du risque dans le calcul socio-économique ; il fait notamment le lien entre l analyse économique du risque, et les analyses classiquement utilisées dans les risques naturels et technologiques, qui sont complémentaires ; dans cette partie, l approche sous-jacente est celle de la maximisation de l espérance de l utilité (dite de "Von Neuman Morgenstern"), qui fournit une formulation simple, utilisable directement dans le calcul du bilan coût-avantage monétarisé, tel qu appliqué dans l évaluation de projets au sein du Ministère ; en second lieu, ce rapport présente l application numérique de ce cadre théorique à un cas-type de projet routier : ce cas est stylisé, c est à dire qu il représente très simplement le projet considéré, et notamment la demande qui s adresse à lui : cette formalisation stylisée du projet permet de faire le lien entre les paramètres du bénéfice net actualisé, et les variables macro-économiques considérées comme aléatoires ; Collection «Les rapports» Sétra 6 septembre 2012

7 cette application numérique est conduite en utilisant des méthodes dites «de Monte Carlo», permettant d effectuer des tirages aléatoires dans des lois de probabilité connues ; chaque tirage aléatoire des variables macro-économiques permet alors de «faire tourner» le modèle de projet stylisé, et de calculer la valeur actualisée nette du projet pour cette réalisation de l aléa ; il s en déduit une distribution des valeurs actualisées du projet, qui permet de calculer les paramètres (moyennes, variances) nécessaires à l application du cadre de Von Neuman Morgenstern. en troisième lieu, ce rapport développe différentes approches analytiques calculables du cadre de Von Neuman Morgenstern appliqué à des projets de transports. Ces approches analytiques utilisent différentes formes simplifiées de la fonction de préférence collective (ou fonction d utilité), ainsi que des hypothèses sur la forme des distributions de probabilité sous-jacentes aux aléas macro-économiques. Ces approches permettent, outre de conforter les simulations numériques des méthodes de Monte Carlo, d illustrer la sensibilité du calcul de risque, aux caractéristiques du projet : une représentation analytique «générique» d un projet de transport simple (à deux itinéraires / modes concurrents) est utilisée pour «diversifier» les projets sur lesquels ce calcul est effectué ; en effet, les méthodes de Monte Carlo se révèlent trop lourdes de manipulation pour pouvoir être démultipliées sur une palette de projets représentatifs, fussent-ils stylisés. A noter que dans les parties 2 et 3 du rapport, les calculs de prise en compte du risque sont présentés en utilisant un «taux d actualisation équivalent certain», qui est celui qu il faudrait appliquer si l on retenait que les impacts (coûts et avantages) du projet étaient certains. Il s agit là d un artifice de présentation, qui conduit à incorporer au taux d actualisation les informations sur le risque lié au projet. Cet artifice de présentation, s il permet de se raccrocher à la notion d actualisation bien connue en évaluation des projets, et de faire le lien avec les travaux du CAS cités ci-dessus, ne doit cependant pas masquer que les risques du projet sont attachés à chacun de ces coûts et de ces avantages, et à leur séquence temporelle ; ce qui veut dire notamment que les risques du projet sont spécifiques à ce projet Dans une quatrième et dernière partie, ce rapport indique quelques perspectives de poursuite des travaux, notamment quant à la nécessaire quantification des distributions de probabilité des variables macroéconomiques considérées comme aléatoires. Collection «Les rapports» Sétra 7 septembre 2012

8 Chapitre I Cadres théoriques Collection «Les rapports» Sétra 8 septembre 2012

9 1- Eléments de définition Le mot «risque» (du latin «resecum» c est-à-dire ce qui coupe, en rapport avec l écueil qui menace une embarcation) fait référence à un danger sur lequel l homme n a, a priori, pas le contrôle. D abord utilisée dans le domaine marchand, la notion de risque s élargit aux activités économiques en général au 17 ème siècle avec l émergence d expressions comme «à ses risques et périls». Le risque est défini comme l ensemble des évènements possibles qui peuvent en résulter ainsi que par la probabilité associée à chacun de ces évènements. Le risque peut aussi se définir comme un danger éventuel plus ou moins prévisible mais aussi comme une condition de succès et encore le support d une spéculation. 1 Des économistes comme Frank Knight et John Maynard Keynes, ont distingué les notions de risque et d incertitude. Ils établissent la différence entre le risque qui est calculable et l incertitude dont la probabilité numérique est incalculable. Il s agit de risque si l incertitude relative à un évènement est définie par une distribution de probabilités objectives. Des probabilités sont objectives si elles sont établies à partir d une information statistique issue d enquêtes - observations ou de la modélisation d une situation. On parle alors de risque avéré par opposition à un risque potentiel ou une incertitude qui ne peuvent pas être définies par des probabilités objectives. L incertitude fait référence à un futur dont la distribution d états n est pas connue ; le phénomène mis en jeu demeure indéterminé. L incertitude peut aussi être définie comme l absence de connaissances spécifiques, ou des paramètres qui caractérisent le système physique que l on veut modéliser (Rikken et al.2002). Même si la définition étymologique fait référence à des dangers non maîtrisés, il est important également de distinguer les risques et incertitudes en fonction de la façon dont ils peuvent être maîtrisés ; s agissant de ce que maîtrise a priori l évaluateur, on peut citer différentes catégories : risques qui relèvent d un défaut de mesure (ou de modélisation - prévision) que l évaluateur peut réduire par son propre effort d évaluation ; risques «objectifs» (indépendamment des défauts de mesure), probabilisables ; incertitudes (non probabilisables) qui peuvent être levées par la conduite du projet lui-même (choix de la date de mise en service, tests, expérimentations) ; incertitudes (non probabilisables) qui peuvent être levées par des efforts (de recherche, d expérimentation) qui sont en dehors du strict champ de la conduite du projet lui-même et de son évaluation. Dans la suite de ce rapport, on se limitera à la notion de risque, supposant connues et objectives les probabilités attachées aux aléas affectant le projet. La question de la décision en situation d incertitude (non probabilisée), de même que la question des risques subjectifs ou celle de l accumulation de la connaissance sur les risques avec le temps (qui fonde notamment la théorie des valeurs d option), ne sont pas traitées dans ce rapport. 1 Le petit Robert Collection «Les rapports» Sétra 9 septembre 2012

10 2 - Typologie des risques, lien avec l analyse de risque Les risques auxquels sont soumis les projets de transports sont divers. Le tableau suivant illustre la diversité des risques auxquels peut être soumis un projet de transports, en dégageant trois principales catégories de risques : les risques dits «physiques» (naturels, industriels), les risques liés à l environnement socio-économique, les risques reflétant des «erreurs» dans la connaissance et/ou la modélisation des impacts du projet, étant entendu qu il est parfois difficile de distinguer ces deux dernières catégories. Risques «physiques» Origine ou nature de l'aléa Risques naturels, technologiques - industriels Risques «socio-économiques» Facteurs socio-démographiques Facteurs économiques (PIB, prix de l'énergie) Prix des modes ou opérateurs concurrents Erreurs sur les paramètres d évaluation et/ou de modélisation (exemples) Valeur du temps Modèles de demande / de trafic Emissions de nuisances (en volume) Exposition et impact des nuisances Valeur monétaire des nuisances Incidences sur l'accidentalité Valeur de la vie humaine Composantes du projet affectées Fonctionnalités transports (temps de parcours, niveau de service, fiabilité) + vie humaine + impacts sanitaires ; impacts environnementaux et sanitaires Coûts de construction Coûts d'entretien Coûts d'exploitation Demande de transports Impacts environnementaux et sanitaires Demande de transports Valeur monétarisée des impacts Le projet consiste en une décision de construire un objet de fonctionnalités données dans un environnement donné. Prendre en compte le risque conduit à prendre en compte des aléas jouant à la fois sur l'environnement de l'objet et sur ses fonctionnalités. Ceci conduit à catégoriser les aléas selon qu ils portent sur : les caractéristiques du projet : exemples : retard de mise en service, défauts de construction ; les états du monde : exemples : scénario de croissance économique, distribution de probabilité de la pluviométrie ; l'impact du projet : exemples : attractivité du projet vis à vis de la demande, vulnérabilité aux aléas naturels. Enfin, il peut être utile d'identifier les risques qui portent sur des acteurs particuliers. En effet, si le choix de projet en situation de risque s'intéresse en général au risque attaché à la valeur agrégée du projet pour la société (valeur dite «socio-économique»), les agents ne sont pas tous affectés de la même façon par les risques attachés au projet. Deux catégories d'agents méritent une attention particulière : les agents dits «vulnérables» c'est à dire ceux pour lesquels certaines réalisations de l'aléa génèrent des impacts élevés qui ne sont pas pris en charge par les mécanismes d'assurance ou de mutualisation des risques existants ; les agents directement impliqués dans la décision de faire ou ne pas faire le projet : le fait que ces agents (par exemple un concessionnaire) supportent un risque particulièrement élevé par rapport aux critères de décision qu'ils utilisent habituellement, peut en effet les conduire à refuser un projet alors que ce projet est acceptable compte tenu de son risque pour l'ensemble de la société. Collection «Les rapports» Sétra 10 septembre 2012

11 Il peut être utile, à cette étape de présentation, de faire référence à l'analyse de risque, telle qu elle est classiquement utilisée dans les risques naturels ou industriels et qui, schématiquement, définit le risque comme la combinaison de trois facteurs : l'aléa ; la vulnérabilité ; l'impact. L'aléa représente les origines du risque (naturel, industriel, intentionnel). Il est, selon les cas, en partie maîtrisable par le gestionnaire. La vulnérabilité représente le lien entre l'intensité de l'aléa et la variation des caractéristiques de l'objet affecté. Il s'agit par exemple des liens entre une intensité de précipitation et la disponibilité (physique) d'un réseau de transporteur en cas d'inondation. La vulnérabilité dépend d'enchaînements de mécanismes physiques (ex : précipitation hauteur d'eau) mais aussi des mesures de prévention ou protection des infrastructures mises en place (ex : digues). L'impact représente le lien entre les variations des caractéristiques de l'objet et la façon dont les agents ou milieux naturels en sont affectés. On distingue en général l'impact en termes de vies humaines (y compris mortalité) et l'impact en termes de pertes des usages de l'objet (ruptures d'itinéraires de transports, baisse de production d'un site industriel, etc.). L'impact dépend d'éventuelles mesures de protection qui peuvent distendre ou amortir les incidents sur les personnes, et les milieux naturels. En ce sens, la gestion de la crise fait partie des mesures de protection. Cette démarche d analyse de risque constitue une approche complémentaire au cadre de l analyse socioéconomique qui sera développé ci-après, et ce à deux égards : d un côté, l analyse socio-économique se concentre principalement sur les aléas socio-économiques, et sur certains paramètres de modélisation / évaluation (même si l analyse économique peut, en théorie, prendre en compte les risques «physiques», et notamment les risques de rupture de service des infrastructures) ; de l autre côté, l approche aléa cible impact doit être conservée en tête dans le cadre de l analyse socio-économique, car elle est transposable à l identification, puis la quantification des enchaînements (ou des liens de causalité) qui sont nécessaires à l analyse socio-économique. 3 - Décision et risque : utilité, aversion pour le risque et prime de risque Les êtres humains sont, en général, averses au risque c est-à-dire qu ils font preuve d'une certaine réticence face au risque. L aversion au risque dépend des préférences de l individu face à une situation de risque. On peut illustrer cette aversion par l'exemple de la loterie : on suppose que l on propose à un individu une loterie dont le gain est égal à X1 avec une probabilité ½ ou X2 avec une probabilité de ½. Si l on propose à cet individu un gain certain (X1+X2) / 2 avec une probabilité égale à 1, très généralement, l individu va préférer le gain certain. L individu devrait même être disposé à accepter un gain inférieur au gain (X1+X2) / 2, dès lors que ce gain est certain, plutôt que la loterie initiale. La formalisation de l aversion pour le risque développée ci-dessous (cf. encadré) permet précisément d appréhender cette notion, et d estimer le consentement de l individu à réduire ses gains (certains) plutôt que d affronter le risque de la loterie. Ce consentement de l individu à réduire ses gains est défini comme la prime de risque qu il est prêt à payer pour réduire le risque (ici, le réduire à zéro). Le cadre général de la représentation du risque dans les comportements des agents suppose que les agents économiques cherchent à maximiser l espérance de l utilité retirée de leurs actions (Morgensten et Von Neumann). Collection «Les rapports» Sétra 11 septembre 2012

12 Encadré : décision en situation de risque : formulation de Von Neuman Morgenstern On suppose qu un agent doit décider entre Q actions a 1, a q,. a Q, en situation de risque. Ce risque est caractérisé par N états possibles de la nature, de probabilité: p 1,. p n, p N. Chaque action a q donne lieu, dans l état de la nature n, à une utilité ou état de richesse : u (a q,n). Alors le théorème de Von Neumann Morgenstern (1949) indique que la décision de l agent consiste à choisir l action a qui maximise l espérance de son utilité : Max {aq} Σ n p n u(a q,n) On considère maintenant un agent caractérisé par un niveau de bien être X, lui même soumis à des aléas de loi de probabilité de densité f (X). On note E (X) l espérance de l utilité selon cette loi de probabilité. L aversion pour le risque caractérise le fait que les agents préfèrent généralement, comme indiqué plus haut, un bien-être certain au même bien-être risqué. L aversion pour le risque peut être illustrée à partir du schéma ci-dessous. On représente l'utilité liée au gain X, qui est égal à X1 avec une probabilité ½ ou X2 avec une probabilité de ½. u(e(x)) est donc égal à u1 avec une probabilité ½ ou u2 avec une probabilité de ½. On a : E(u(X))=1/2.(u1+u2). Avec une fonction d utilité concave (i.e. l utilité marginale décroît avec le niveau de bien-être ou de consommation) on a donc : E(u(X))<u(E(X)). utilité u 2 u(e(x)) E(u(X))=u(e) u 1 X 1 e E(X) X 2 gains On peut exprimer cet écart entre l espérance de l utilité et l utilité de l espérance en introduisant la notion d équivalent certain et de prime de risque. L'équivalent certain des gains X est le niveau de bien-être e tel que l'espérance de l'utilité des gains X est égale à l'utilité de l'équivalent certain, soit u(e)=e(u(x)). On a, en général, avec une fonction d utilité concave : e < E(X) : l équivalent-certain du bien-être est inférieur à l espérance de bien-être : on retrouve bien l intuition selon laquelle un individu préfère un niveau de bien-être certain plus faible que l espérance d un niveau de bien être incertain. La différence entre l espérance du bien-être et l équivalent-certain de ce bien-être s interprète comme le consentement à payer d un agent pour disposer d une certitude sur son niveau de bien-être. On désigne alors cette différence par la prime de risque. Collection «Les rapports» Sétra 12 septembre 2012

13 Dans l expression ci-dessus, si l on note Π la prime de risque, elle est déterminée comme suit : E [ u ( X )]=u (e)=u [ E ( X ) Π ] L aversion pour le risque d un individu est étroitement liée à la forme de sa fonction d utilité : plus celle-ci sera concave, plus il présentera une aversion élevée au risque. On définit alors l'aversion relative au risque au niveau de bien-être X pour l individu considéré comme : En situation de neutralité face au risque, γ=0. E ( X ).u''( X ) γ= u' ( X ) Les individus se caractérisent par des aversions pour le risque qui leur sont spécifiques (et sont également spécifiques au niveau de «gain» - donc de consommation ou de richesse auquel on s intéresse). Ceci est vrai déjà pour des aléas caractérisés par des probabilités objectives. Mais, au-delà, les individus se construisent une représentation subjective des probabilités réelles. De nombreux travaux ont porté sur la perception des risques par les individus, et notamment des risques de faible probabilité : on constate souvent que les événements de faible probabilité voient leur probabilité sous-estimée par les individus. On parle d ambiguïté lorsque la loi de probabilité est subjective, c est-à-dire qu elle est estimée par l individu selon ses croyances, qu il ait ou non des informations sur la distribution objective et la nature de l espace des probabilités Les agents préfèrent également connaître les probabilités de la situation risquée dans laquelle ils prennent leurs décisions, plutôt que de rester dans l ignorance de leur valeur objective c est-à-dire en situation d incertitude. Cette situation correspond à une aversion pour l ambiguïté. Il existe des différences entre les mesures individuelles et collectives de l aversion au risque. En général, le groupe a une capacité à supporter les risques qui est supérieure à celle d un individu isolé. Ceci tend à modérer l aversion collective pour le risque. D'un autre côté, la pression sociale peut conduire les individus à se conformer à certaines normes de comportement, conduisant alors à un alignement sur l aversion la plus répandue ou celle des "leaders" du comportement. La collectivité reste tout de même averse au risque. Cette aversion au risque justifie l incorporation de primes de risque dans l évaluation des projets publics. Plusieurs méthodes existent pour calculer l'aversion au risque de la collectivité, de nombreux travaux ayant été effectués. Les méthodes de calcul de l'aversion pour le risque sont basées soit sur les préférences individuelles, auquel cas elles doivent être corrigées pour être applicables à un risque pour la collectivité sur la richesse, soit sur la demande sur des biens tels que l'alimentation, considérés comme ayant une valeur collective marquée, soir sur des préférences révélées par les gouvernements au travers de leurs choix. Les valeurs trouvées se situent en général entre γ = 0,5 à 3,5. Dans la suite de ce rapport, on supposera connue l'aversion pour le risque de la collectivité pour son bien-être. On supposera également, pour simplifier, que le bien-être s exprime de façon univoque dans un indicateur monétarisé (par exemple, la consommation finale des ménages ou le PIB).. Collection «Les rapports» Sétra 13 septembre 2012

14 4 - Risque et bilan coût-avantage socio-économique Cette partie présente l application du cadre de Von Neumann Morgenstern (maximisation de l espérance de l utilité) à l évaluation socio-économique de projet fondée sur le bilan coût-avantage monétarisé et actualisé. Dans un premier temps, elle s intéresse à la décision de faire (ou ne pas faire) un projet caractérisé par un surcroît potentiel de bien-être, en tenant compte de ce que le bien-être et le projet sont tous deux soumis à des aléas, et corrélés. Dans un second temps, cette partie introduit la notion d actualisation, pour tenir compte de ce que les effets du projet (coûts et avantages), sont séquencés dans le temps. Utilité d un projet affectant le bien-être en présence de risque Soit C le niveau de bien-être sans projet (par exemple la consommation agrégée dans le cas de la collectivité). C est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est supposée connue; on peut se faire l'idée de C comme représentant le PIB ou la consommation finale des ménages, ou tout autre indicateur monétarisé illustrant le "bien-être" de la collectivité. Soit X le projet : X représente à la fois les coûts et les avantages escomptés, qui affectent (en plus ou en moins) la consommation de la collectivité. X est également une variable aléatoire de loi de probabilité connue. Généralement, les variables aléatoires X et C ne sont pas indépendantes. On suppose que X et C s'expriment dans une unité (monétaire) connue et sont additifs. Avec cette formalisation, la collectivité, ayant une richesse C et un projet qui rapporte des gains X, va donc E u( C + X ), s/c E ( u(c + X ))>E ( u(c )). chercher à maximiser ( ) Si X est petit devant C (i.e. si le projet est marginal par rapport au PIB, ce qui est généralement le cas), la transposition du cadre ci-dessus à la décision (par un décideur public dénommé ci-après "la collectivité") d'un projet peut se formuler de la façon suivante : E ( u(c + X )) E ( u(c )+u' (C ). X ) soit, au premier ordre : E ( u(c + X ))=E (u(c ))+E ( u ' (C )). E ( X )+cov (u' (C ); X ) Prise en compte de la temporalité des flux La valeur d'un projet, pour un agent (ou la collectivité) dont la fonction d utilité est U, s exprime comme la valeur actualisée de l espérance intertemporelle de l utilité, espérance calculée sur l espace de probabilités des événements de chaque période t. En notant X 1, X t, X T les flux liés au projet pour chaque année t et C 1, C t, C T la richesse de la collectivité à chaque année t, δ le taux de préférence pure pour le présent, on obtient : E [u (C t + X t )] t=0 (1+δ ) t = t=0 [ 1 (1+δ ). ( E (u(c t t ))+E (u' (C t )).E ( X t )+cov (u' (C t ); X t )) ] Un projet est intéressant si E ( u(c + X )) E (u(c )), soit : t=0 [ 1 (1+δ ) t. ( E (u ' (C t )). E ( X t )+cov (u ' (C t ); X t )) ] 0 Collection «Les rapports» Sétra 14 septembre 2012

15 NB : dans les formules d actualisation de ce rapport, on emploie, selon les cas et en fonction des facilités de 1 calcul, des facteurs d actualisation exprimés soit sous la forme : t ; soit sous la forme : (1 + δ ) e δt On peut donner une formulation analytique simplifiée de l espérance de l utilité ci-dessus, avec certaines hypothèses de la forme de cette fonction d utilité. Le critère de l espérance de l utilité étant : t=0 [ 1 (1+δ ) t. ( E (u' (C t )). E ( X t )+cov (u ' (C t ); X t )) ] 0 On peut lui appliquer un développement au second ordre : u ' (C t )=u' (E (C t ))+[C t E (C t )]. u ''(E (C t )), on obtient t=0 = t=0 t =0 [ 1 (1+δ ) t. ( E (u ' (C t )). E ( X t )+cov (u ' (C t ); X t )) ] 0 1 [ (1+δ).((u' (E (C )). E ( X ))+u' ' (E (C ))cov(c ; X ))] t t t t t t En notant γ= E (C ).u''(e (C )) t, aversion au risque de la collectivité, supposée constante quelque soit t, on u' (E (C t )) obtient : E ( X t ) γ cov (C t ; X t ) le bénéfice actualisé équivalent certain. E (C t ) [ 1 (1+δ ) t. u' (E (C t )).( )] Encadré : lien avec l'approche du rapport Lebègue Dans le rapport Lebègue, le coefficient d'actualisation dit "sans risques" correspond à l'ensemble 1 (1+δ ) t.u' ( E (C t )). Pour intégrer l'incertitude sur la croissance, n valeurs μ i de probabilité respective p i ont été considérées, ce qui donne n E (u' ( c t ))= p i e γμ t. i=1 On peut en déduire le taux d'actualisation dit "sans risques" r t : r t =δ 1 t ln [ i=1 n t] γμ p i e L'incertitude sur la croissance est traitée par l'introduction de deux scenarii de croissance : un scénario de croissance à 0,5% avec probabilité 1/3 et un scénario à 2%, avec probabilité 2/3. Collection «Les rapports» Sétra 15 septembre 2012

16 Retour au bilan coût-avantage actualisé non risqué La présentation ci-dessus peut-être simplifiée dans l hypothèse où le projet présente des gains négligeables par rapport au PIB, et où l'utilité marginale de la consommation est constante (égale à 1 : i.e. pas d aversion pour le u risque), soit C =1. On note qu'alors on retrouve le critère de maximisation de l'espérance des gains (von Neuman Morgenstern), 1 qui correspond donc au calcul d'un bénéfice actualisé probabilisé : (1+δ ). E ( X t t ] ) 0 5- Enchaînements entre variables risquées : présentation simplifiée Le terme cov (u ' (C t ); X t ) de l'équation précédente quantifie la corrélation entre la richesse C (représentée par la consommation finale des ménages ou le PIB par la suite) et les effets X du projet. Dans le calcul du bénéfice net actualisé (BNA) d'un projet de transports, cette corrélation apparaît à la fois pour les coûts du projet, mais surtout pour les effets affectant la demande de transports, et ce, à plusieurs étapes du calcul, comme le montre le graphique simplifié ci-dessous. t=0 [ Demande Affectation Valeurs du temps Coût de circulation (carburant, péage, coûts fixes Caractéristiques des itinéraires Variations de trafic entre le scénario de référence et le scénario de projet Valeur du temps Valeurs tutélaires Coût de circulation (carburant, péage, coûts fixes) Gains de temps Gains de pollution, GES, sécurité Gains pour les usagers hors gains de temps Coûts de construction, d'entretien et d'exploitation BNA Sur le graphique ci-dessus, sont représentés : en vert les paramètres ne dépendant a priori pas du PIB et/ou des prix "mondiaux"; en jaune les paramètres dépendant directement du PIB et/ou des prix "mondiaux"; en orange les paramètres dépendant indirectement du PIB et/ou des prix "mondiaux". Collection «Les rapports» Sétra 16 septembre 2012

17 Les effets des variations du PIB sur les gains du projet apparaissent en particulier à différentes étapes du calcul des gains et la relation entre gains et PIB est plus ou moins directe: dépendent directement de la croissance du PIB : la croissance de la demande ; les valeurs du temps ; dépendent de la valeur du temps et de la demande : les variations de trafic entre situation de référence et situation de projet : dépendent des variations de trafics : les flux composant le BNA ; dépendent des variations de trafics et des valeurs du temps : les gains de temps. Les différentes variables conduisant au calcul du BNA sont liées entre elles de différentes façons aux différentes étapes du calcul. Ainsi, lors de l'affectation, l'influence du PIB sur les variations de trafics est fonction des autres variables de l'affectation, et notamment des caractéristiques des itinéraires, d'où l'importance d'avoir pour le calcul de la corrélation des gains du projet au PIB une approche spécifique à chaque projet. 6 - Retour sur le critère de choix : espérance de l utilité ou regret? Les paragraphes précédents se situent dans le cadre théorique de Von Neumann Morgenstern, qui conduit à retenir l espérance de l utilité comme critère de décision face au risque. Certaines approches retiennent des critères différents. On peut schématiquement présenter ces approches comme des approches du «regret» : l idée est de minimiser le risque qu une décision soit dommageable ou regrettable. Ces théories sont fondées sur des travaux en psychologie qui tendent à montrer que les agents souhaitent avant tout éviter une situation détériorée par leur décision. Ces théories peuvent rejoindre l intuition selon laquelle un décideur veut éviter un projet qui soit un «échec», supposant que l échec se mesure par un apport négatif à la collectivité. Ces critères de la famille des «regrets» peuvent être illustrés simplement par la probabilité que le bénéfice net actualisé du projet soit négatif, ce qui s exprime alors de la façon suivante, en reprenant les notations ci-dessus : p [ (u(c + X ))<(u(c ))], ce qui équivaut, sous les hypothèses précédentes, à : p{[ t]] 1 t=0 (1+δ). X <0 } t. [ Ce critère de décision s illustre, de façon simplifiée, par le fait que la probabilité du «regret» est inférieure à une probabilité de référence du décideur. Le paramètre important pour qualifier les comportements du décideur devient donc cette probabilité de référence, qui est une autre représentation de l aversion pour le risque. On note cependant que la forme réduite de ce critère : p{[ 1 t=0 [ (1+δ) t. X t]] <0 } requiert simplement de probabiliser le bénéfice net actualisé. Collection «Les rapports» Sétra 17 septembre 2012

18 Chapitre II Application à des cas-type de projet de transport Collection «Les rapports» Sétra 18 septembre 2012

19 Cette partie présente l application du cadre décrit précédemment, à un projet "stylisé" de transports. Cette partie décrit d abord les modèles de réseau considérés, puis les paramètres considérés comme sources d aléas dans l évaluation, puis le modèle d affectation, et enfin, les résultats des calculs d espérance d utilité du projet. 1- Présentation des cas-type Description des projets On suppose un projet de doublement d une route nationale ordinaire à 2x1 voies sur 50 kilomètres entre deux villes A et B par une autoroute à 2x2 voies à péage de 55 km. Il n y a pas d échangeur intermédiaire. Le terrain est supposé «plat». La demande initiale est de véhicules dont 10% de PL. Plus précisément, trois projets stylisés ont été simulés dans le cadre de cette étude. Les projets testés sont des projets simples de déviation, pour lesquels le tableur Excel utilisé pouvait s'appliquer. Des variantes sont étudiées. Elles portent sur la longueur du projet, le caractère payant ou non de la déviation et la demande initiale. Route déviée B Projet A Projet 1 : Figure 1: schéma du projet On étudie un projet type de doublement d une 2*1 voies de 50 km par une autoroute à péage de 55km. La demande initiale est de véhicules dont 10% de PL. Projet 2 : On étudie le doublement d une 2*1 voies de 10 km par une autoroute 2*2 voies à péage de 9 km. La demande initiale est de véhicules dont 4% de PL Projet 3 : On étudie le doublement d une 2*1 voies de 20 km par une route 2*2 voies de 25 km. La demande initiale est de véhicules dont 8% de PL. Collection «Les rapports» Sétra 19 septembre 2012

20 Hypothèses prises pour l évaluation socio-économique Le tableau suivant présente les valeurs des différents paramètres pris en compte dans l évaluation socioéconomique du projet. Nom Valeur Evolution Unité Date d'actualisation 2010 Taux de TVA général 19.6% Valeur du temps VL pour le bilan socio-économique (valeur tutélaire) Valeur du temps VL pour l'affectation (valeur de calage) Valeur du temps PL pour le bilan socio-économique (valeur tutélaire) Valeur du temps PL pour l'affectation (valeur de calage) En 2000 par heure Elasticité de 0,7 par rapport à la croissance de la CFM par tête. 15 En 2000 par heure Elasticité de 2/3 par rapport à la En 2000 par heure croissance du PIB pour 6,75 40 sur les 38,15. En 2000 par heure Coût des dégâts matériels dans un accident 3400 En 2000 Coût d'un tué pour la collectivité Croissance identique à la CFM En 2000 Coût d'un blessé grave pour la collectivité par tête. En 2000 Coût d'un blessé léger pour la collectivité En 2000 Valorisation de l'effet de Serre VL En 2000 par litre de carburant Croissance de 3% par an. Valorisation de l'effet de Serre PL En 2000 par litre de carburant Coût de la pollution VL en urbain Baisse de 2010 à 2020 En 2000 par véhicule x km Coût de la pollution VL en semi-urbain 0.01 entre -3,7%/an et -4,5%/an suivant scénario de PIB En 2000 par véhicule x km Coût de la pollution VL en zone rurale puis croissance identique à la CFM par tête au-delà En 2000 par véhicule x km Coût de la pollution PL en urbain Baisse de 2010 à 2020 En 2000 par véhicule x km Coût de la pollution PL en semi-urbain entre -4,7%/an et -5,5%/an suivant scénario de PIB En 2000 par véhicule x km Coût de la pollution PL en zone rurale puis croissance identique à la CFM par tête au-delà En 2000 par véhicule x km Tableau 1 : Valeurs des paramètres pris en compte dans l'évaluation socio-économique Bilan coûts-avantages sans risques et décomposition des avantages Le bilan coûts-avantages du projet sans prise en compte du risque donne les résultats suivants pour le projet 1 : Bénéfice net actualisé à l'année 2004 = 562 M 2000 TRI = 7.5% Collection «Les rapports» Sétra 20 septembre 2012

21 La répartition des avantages actualisés se présente sous la forme suivante : Figure 2 : Répartition des avantages du projet 1 On peut noter que les gains de temps et de confort présentent les valeurs absolues les plus élevées suivis du coût du carburant. Les avantages liés aux gains en terme de pollution et d'amissions de gaz à effets de serre pèsent peu dans le bilan final. Même si ces postes peuvent être sensibles à certaines variables, les incertitudes les concernant n auront que peu d impact sur le bilan coûts avantages prenant en compte le risque. 2 - Probablisation des risques : paramètres aléatoires, lois de probabilité Variables économiques déterminantes L évaluation socio-économique d un projet de transport dépend des principaux paramètres suivants : La croissance du PIB : L évolution du contexte macro-économique et notamment le taux de croissance du PIB est le facteur le plus important qui conditionne l'évolution de la demande de transport dans les modèles de prévision de trafic principalement pour les déplacements à longue distance. Les coûts d investissement et d exploitation : Il est difficile d estimer avec précision le coût exact du projet d infrastructure, et on observe souvent un biais optimiste. Le trafic : Les affectations sur le réseau dépendent essentiellement du modèle utilisé mais aussi des scénarios de croissance économique. L incertitude sur la composante trafic peut provenir des incertitudes liées au recueil de données mais aussi au modèle qui se base sur des observations et comportements passés pour prévoir les comportements futurs et au modélisateur, par exemple lors du calage du modèle. Le coût de l énergie : L'incertitude sur le coût de l'énergie se trouve principalement à trois niveaux : incertitude sur les prix des différents carburants ; incertitudes sur la constitution du parc automobile ; incertitudes sur les fonctions de consommation de carburant. Collection «Les rapports» Sétra 21 septembre 2012

22 L évolution relative des prix du mode concerné et des modes concurrents. Les accidents : Les taux d'accidents prévus suivant le type de route présentent une incertitude. Les valeurs tutélaires, dont les recommandations sont la plupart du temps assorties de précautions d usage, d intervalles de confiance ou de tests de sensibilité (en plus de l effet des paramètres macro-économiques sur leurs taux de croissance). Détermination des formes de lois de probabilité Une fois identifiés les paramètres de l évaluation porteurs de risques, il s agit de déterminer les distributions de probabilité sous-jacentes des risques probabilisables. Cette étape constitue un point délicat de l'évaluation, dans la mesure où elle se heurte à la disponibilité d'observations d'un nombre suffisant de réalisations de l'aléa dont on souhaite estimer la loi de probabilité. En l'absence de telles estimations, on en est souvent réduit à utiliser des lois de distribution simples dérivées de l'estimation de "fourchettes", soit par des lois uniformes, soit par des lois en "triangle", soit par des lois normales. 17,8 182,2 5,0% 90,0% 5,0% -35,0 235,0 5,0% 90,0% 5,0% Figure 3 : exemple de loi normale Figure 4 : exemple de loi uniforme -2,6 202,6 5,0% 90,0% 5,0% Figure 5 : exemple de loi "triangle" Méthodes numériques de probabilisation : aperçu Une fois choisies ou déterminées les lois de distribution des variables affectant principalement les coûts et impacts du projet, on peut simuler numériquement ces lois à partir de techniques dites de Monte-Carlo. Ces techniques consistent à simuler numériquement un grand nombre de fois un évènement aléatoire suivant une loi de probabilité de forme donnée. On peut alors calculer pour chaque tirage, l indicateur (ici, l utilité du projet), tenant compte des enchaînements décrits ci-dessus. Collection «Les rapports» Sétra 22 septembre 2012

23 On peut ensuite exploiter les résultats de manière statistique en calculant la distribution de probabilité de l indicateur auquel on s intéresse (ici, l utilité du projet), tenant compte des différentes distributions de probabilité des variables et de leurs corrélations. A partir de cette distribution, on peut calculer les indicateurs (espérance, variance-covariance) nécessaires au calcul de l espérance de l utilité. L objet de ce rapport n est pas de présenter ces méthodes numériques, même si elles sont utilisées dans la partie suivante. On peut cependant noter qu en théorie, tout tirage aléatoire donne lieu au calcul intégral du bilan coûtavantage socio-économique actualisé, dans toutes ses composantes (valeurs de référence, coûts, demande agrégée, affectation des trafics, etc ), ce qui peut conduire à multiplier par plusieurs milliers les temps de calculs, parfois déjà significatifs pour la modélisation des trafics. La deuxième partie de ce rapport évite volontairement cette problématique de la multiplication des calculs d affectation, puisqu elle retient un modèle de réseau extrêmement simple, à deux arcs. Cette problématique devra cependant être approfondie dans les suites à donner en termes de recommandations opérationnelles. A titre d'exemple, une simulation de Monte-Carlo permet d'obtenir une distribution du bénéfice net actualisé telle que l illustre le graphique ci-dessous : 6 Bénéfice net actualisé 438,3 688,9 5,0% 90,0% 5,0% 5 Valeurs x 10^ Bénéfice net actualisé Minimum ,80 Maximum ,83 Moyenne ,60 Ecart type ,15 Valeurs Valeurs en millions Figure 6: Loi de distribution du BNA Cette méthode permet de décrire et quantifier le risque. Les graphiques issus des méthodes de Monte Carlo permettent ainsi de visualiser les distributions des bénéfices nets actualisés en fonction des variables que l'on aura souhaité probabiliser. On peut appliquer a priori cette méthode à tous les risques dès lors que l'on a défini les lois de probabilité des variables concernées. Il convient cependant de bien définir en amont les variables dont on souhaite voir l'impact sur les résultats de rentabilité du projet considéré. Ce type d'analyse permet notamment d'obtenir des informations telles que la probabilité que la rentabilité du projet passe en dessous d'un certain seuil. Choix des paramètres des lois de probabilité Taux de croissance du PIB : on affecte au taux de croissance du PIB une loi normale de moyenne 1.9% et d écart-type Coût du carburant VL : on affecte au coût du carburant VL une loi triangle de valeur moyenne 1.1 euro par litre avec valeurs minimale et maximale égales à 10% et +10%. Coût du carburant PL : on affecte au coût du carburant PL une loi triangle de valeur moyenne 0.8 euro par litre avec valeurs minimale et maximale égales à 10% et +10%. Coût d investissement : on affecte une loi triangle de valeur moyenne d euros avec valeurs minimale et maximale de -10% et +10%. Collection «Les rapports» Sétra 23 septembre 2012

24 Coût d exploitation et d entretien : on affecte une loi triangle avec pour valeurs minimale et maximale -10% et +10% pour la route déviée et le projet Coût des grosses réparations : on affecte une loi triangle avec pour valeurs minimale et maximale -10% et +10% Taux d accident par type de route : on affecte à ce taux une loi triangle avec comme valeurs extrêmes + ou moins 10% de la valeur moyenne. Dans cette approche, on fait l hypothèse simplificatrice que le PIB influe essentiellement sur la demande ainsi que les valeurs monétaires du temps et des externalités. Les autres variables aléatoires sont, de fait, considérées comme déterminées par d autres facteurs d aléas que le PIB : soit le prix de l énergie, soit des incertitudes liées au modèle. Dans la section suivante, on présente d abord un calcul de risque en ne considérant que les aléas issus du PIB, puis l ensemble des aléas. Plus précisément, les hypothèses sur les variables liées au PIB sont les suivantes : Nom Valeur du temps VL Evolution Elasticité de 0.7 par rapport à la croissance de la CFM par tête Valeur du temps PL Elasticité de 2/3 par rapport à la croissance du PIB pour 6,75 sur les 38,15. Taux de croissance de la demande Coûts d insécurité Coût de la pollution VL Coût de la pollution PL Consommation finales des ménages (CFM) par tête Elasticité au taux de croissance PIB de 1.1 et de au coût du carburant Croissance identique à celle de la CFM par tête Baisse de 2010 à 2020 entre -3,7%/an et -4,5%/an suivant scénario de PIB puis croissance identique à la CFM par tête au-delà Baisse de 2010 à 2020 entre -4,7%/an et -5,5%/an suivant scénario de PIB puis croissance identique à la CFM par tête au-delà Relation linéaire par rapport au PIB : de 2015 à 2024 taux de croissance CFM par tête = taux de croissance PIB 0.5% de 2025 à 2050 taux de croissance CFM par tête = taux de croissance PIB 0.2% Figure 7: Evolution des variables liées au PIB 3 - Présentation des calculs d espérance de l utilité du projet Afin de pouvoir mettre en œuvre le cadre théorique ci-dessus de calcul de l espérance de l utilité du projet, on a également retenu des lois de distribution concernant le PIB et le carburant en entrée du modèle. Des tirages aléatoires de ces paramètres ont été réalisés pour pouvoir définir des distributions de probabilité de variables de sortie et calculer l espérance de l utilité telle que présentée dans la partie 1. Ceci a été réalisé par une analyse de Monte-Carlo, en affectant à chaque variable incertaine identifiée une distribution de probabilité et en réalisant des simulations de Monte Carlo avec On définit des lois de probabilité sur le coût du carburant et taux de croissance du PIB en tenant compte des valeurs les plus probables suivantes : coût du carburant VL : par litre ; coût du carburant PL : par litre ; Collection «Les rapports» Sétra 24 septembre 2012

25 taux de croissance du PIB : +1.9% par an de 2015 à 2024 ; +1.5 % par an de 2025 à 2050 ; +0% au-delà. Il s'agit ci-dessus des valeurs de référence données par l'instruction cadre en vigueur. On réalise ensuite une simulation de Monte Carlo (sur 1000 itérations) avec pour variables de sortie le bénéfice net actualisé, les chroniques des avantages totaux annuels non actualisés, les avantages par type de flux (gain de temps, gains de sécurité, gains de pollution, ) et les chroniques du PIB afin de pouvoir calculer les espérances et la covariance entrant dans le calcul des primes de risque. On calcule ainsi une «prime de risque» t = γ cov (X t,c t )/E(C t ) pour chaque avantage par année. Pour le calcul des taux d'actualisation équivalents, on a de plus considéré que la valeur résiduelle du projet était la même avec et sans risque. On utilise un utilitaire de calcul développé sous Excel qui permet de réaliser une affectation et un bilan socioéconomique sur un projet simple de déviation, avec un seul tronçon. Ceci permet donc d'éviter de faire des hypothèses d'élasticité du trafic sur chacun des deux itinéraires au PIB et au carburant. Le lien entre le PIB et les trafics est au niveau de la croissance de la demande qui est fonction du PIB, et le lien entre carburant et trafic est à la fois au niveau de la croissance de la demande et dans les calculs de coûts généralisés lors de l'affectation. Pour l'affectation, on a utilisé des lois prix-temps ainsi que des lois d'abraham, présentées en annexe de ce rapport. Les lois prix-temps étant trop discriminantes étant donnée la simplicité des projets testés (un seul tronçon et deux itinéraires), on a préféré utiliser la loi d'abraham qui permettait de tester des projets plus variés, présentant des variantes proches et non uniquement des variantes très différentes les unes des autres. Cependant, des tests ont été réalisés avec la loi prix-temps et les résultats obtenus sont très proches des résultats obtenus avec une affectation suivant la loi d'abraham. La croissance de la demande est intégrée dans le modèle tous les 10 ans et la croissance des trafics sur les itinéraires est linéarisée à partir des trafics déduits de la demande tous les 10 ans. En effet, les affectations sont réa - lisées tous les dix ans à partir de la mise en service. La corrélation de la demande agrégée au PIB et au carburant est effectuée par une élasticité de la demande VL de 1.1 au PIB et par une élasticité de 0.29 de la demande au coût du carburant. Le modèle utilisé ne prend pas en compte la congestion. Cependant, lors de phénomènes de congestion, les trafics ne se répartiront pas de la même façon selon les itinéraires, et la croissance de la demande pourra avoir un impact plus important sur les avantages qu'en situation fluide. On peut donc supposer que la covariance entre le PIB et les avantages donc la prime de risque serait plus importante en situation de congestion. Hypothèses sur le carburant Pour le carburant, on a retenu des lois de probabilité triangle, avec des valeurs minimale et maximale de -10% et +10% par rapport aux valeurs moyennes. Collection «Les rapports» Sétra 25 septembre 2012

26 Coût carburant PL 0,7453 0,8547 Coût carburant VL 1,0248 1, ,0% 90,0% 5,0% Triang(0,72;0,8;0,88) Minimum 0,720 Maximum 0,880 Moyenne 0,800 Ecart type 0, ,0% 90,0% 5,0% Triang(0,99;1,1;1,21) Minimum 0,990 Maximum 1,210 Moyenne 1,100 Ecart type 0,0449 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 Figure 8:distribution de probabilité du coût de carburant PL Figure 9: distribution de probabilité du coût de carburant VL Hypothèses sur le PIB Dans le modèle utilisé, le taux de croissance du PIB est probabilisé chaque année indépendamment de sa croissance l'année précédente. Cette hypothèse est valable pour des variations faibles du taux de croissance du PIB, et implique qu'en moyenne sur la durée de l'évaluation, le PIB va relativement peu être modifié par rapport au scénario moyen choisi. L'instruction cadre en vigueur propose plusieurs scenarii concernant la croissance du PIB. Ces scenarii ont été utilisés comme valeurs de référence pour la croissance du PIB. Taux de croissance annuel moyen du PIB ,50% : hypothèse basse 1,90% : hypothèse moyenne 2,30% : hypothèse haute ,00% : hypothèse basse 1,50%: hypothèse moyenne 2,00% : hypothèse haute Au-delà de % Tableau 2: recommandations de l'instruction-cadre en vigueur Cinq jeux d'hypothèses ont été testés sur les projets afin d'apprécier la sensibilité des calculs aux hypothèses prises sur le PIB. Collection «Les rapports» Sétra 26 septembre 2012

27 Jeu d hypothèses n 0 On prend pour le taux de croissance du PIB une loi normale de moyenne 1.5% et d'écart-type σ = 1,5% ,0097 0,0397 5,0% 90,0% 5,0% 1, ,0097 0,0397 5,0% 90,0% 5,0% Normal(0,015;0,015) Minimum Maximum + Moyenne 0,0150 Ecart type 0,0150 0,8 0,6 0,4 Normal(0,015;0,015) Minimum Maximum + Moyenne 0,0150 Ecart type 0, ,2 0 0,0-0,02-0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05-0,02-0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Ci-dessus, le graphique montre la distribution cumulée croissante du taux de croissance du PIB en Le risque annuel de chute du PIB de 1% ou plus est de 5% à la première année d'étude. Jeu d hypothèses n 1 Le premier jeu d'hypothèses est proche des hypothèses préconisées dans les instructions-cadre de 2007 : Entre 2000 et 2024 : loi normale de moyenne 1.9% et d écart-type Entre : loi normale de moyenne 1.5% et d écart-type qui n'augmente pas avec les temps. 250 Taux de croissance PIB , , ,0% 90,0% 5,0% Normal(0,019;0,0019) Minimum Maximum + Moyenne 0,01900 Ecart type 0, ,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019 0,020 0,021 0,022 0,023 0,024 Figure 10: distribution de probabilité du taux de croissance du PIB en 2015, jeux d hypothèses n 1 Jeu d hypothèses n 2 Cette variante permet d étudier la sensibilité des résultats à l incertitude concernant le taux de croissance du PIB. De 2000 à 2024 : loi normale de moyenne 1.9% et d écart-type De 2025 à 2050: loi normale de moyenne 1.5% et d écart-type Collection «Les rapports» Sétra 27 septembre 2012

28 Jeu d hypothèses n 3 Cette troisième variante nous a permis de tester les valeurs utilisées actuellement dans les scenarii de croissance. Il s'agit d'hypothèses à 1/3 sur les valeurs de l'instruction cadre de 2004 : Taux de croissance du PIB , ,02300 Taux de croissance PIB , , ,35 5,0% 90,0% 5,0% 0,35 5,0% 90,0% 5,0% 0,30 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 Discrete({};{}) Minimum 0,01500 Maximum 0,02300 Moyenne 0,01900 Ecart type 0, ,25 0,20 0,15 0,10 Discrete({};{}) Minimum 0,01100 Maximum 0,01900 Moyenne 0,01500 Ecart type 0, ,05 0,05 0,00 0,00 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019 0,020 0,021 0,022 0,023 0,024 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019 0,020 Figure 11: exemple de distribution de probabilité du taux de croissance du PIB entre 2015 et 2024; hypothèses 3 Figure 12: exemple de distribution de probabilité du taux de croissance du PIB entre 2025 et 2049: hypothèses 3 Jeu d hypothèses n 4 Le quatrième jeu d'hypothèses est plus pessimiste que le jeu d'hypothèse 3 : TCAM du probabilité PIB Taux de croissance du PIB % 10% 5% 33% 5,0% 90,0% 0,35 1,5% 33% 0,30 2,3% 23% 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00-0, ,02300 Discrete({};{}) Minimum -0,0100 Maximum 0,0230 Moyenne 0,0110 Ecart type 0, ,015-0,010-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 Figure 13: loi de probabilité du PIB; hypothèses 4 Collection «Les rapports» Sétra 28 septembre 2012

29 Jeu d'hypothèses n 5 : TCAM du PIB probabilité -67% 0,2% -30% 0,8% -15% 0,7% 0% 13,5% Le cinquième jeu d'hypothèses considère un risque de catastrophe de 1,7%, correspondant à une chute du PIB de 15 à 67%. 1,6% 50% 1,9% 20% 2% 15% 4 Résultats Présentation des résultats : utilisation du taux d actualisation équivalent Deux présentations sont choisies pour les résultats : Dans la première présentation, on calcule l espérance de l utilité actualisée du bilan coûts-avantages en faisant apparaître un «équivalent certain» des coûts et avantages à chaque année de la durée du projet ; ce bilan coûtsavantages actualisé «risqué» est comparé au calcul qui aurait été fait, avec la méthode de calcul actuellement en vigueur : taux d actualisation de 4%, coûts-avantages certains égaux à leur espérance. Dans les tableaux ci-dessous, la notation BNA (1) correspond à t= (1+4%) t. E ( X t ). Ce calcul correspond au bénéfice net actualisé au taux d'actualisation du rapport Lebègue, dit taux d'actualisation sans risque, de 4%. 50 BNA (2) correspond à t=0 1 (1+δ) t. (1+ μ ) γt. E ( X t Π t ). Dans la deuxième présentation, on détermine un «taux d actualisation équivalent» a, qui serait le taux d actualisation à appliquer à une séquence de coûts-avantages sans risques, pour retrouver la valeur du bilan coûts-avantage actualisé risqué. Pour déterminer ce taux d actualisation équivalent, on résout l'équation suivante en prenant une durée de vie économique de 50 ans : 50 t= (1+a ) t.(1+μ) γt.e ( X t Π t )= t=0 Rés ultats 1 (1+a ' ) t. E ( X t ) Le tableau suivant présente les résultats des simulations, exprimés en bénéfice net actualisé (avec et sans risque) et en taux d actualisation équivalent. Les simulations ci-dessous ont été effectuées pour des coefficients d'aversion au risque γ= 2 et un taux d'actualisation pur de 1%. Collection «Les rapports» Sétra 29 septembre 2012

30 NB : le taux de préférence pur de 1% utilisé pour les calculs ci-dessous relève de considérations macroéconomiques qui ne font pas l'objet de ce rapport. Le taux de préférence pure pour le présent est à distinguer du taux d'actualisation dit sans risque du rapport Lebègue qui est à peu près égal à δ+γμ = δ +3% = 4% avec les hypothèses ci-dessus cf chapitre suivant. Projet 1 : doublement d une 2*1 voies de 50 km par une autoroute à péage de 55km. demande initiale de véhicules dont 10% de PL. Hypothèses 0 Hypothèses 1 Hypothèses 2 Hypothèses 3 Hypothèses 4 Hypothèses 5 BNA (1) 8,12E+08 7,69E+08 7,11E+08 7,71E+08 4,57E+08 6,10E+08 BNA(2) 7,55E+08 7,54E+08 6,96E+08 7,56E+08 4,41E+08 5,46E+08 Taux d'actualisation équivalent a' 4.2% 4.05% 4.06% 4.06% 4.10% 4.31% Tableau 3: équivalents certains en pourcentage de la somme des avantages pour le projet 1 avec δ =1% δ = 1 % Hypothèses 1 Hypothèses 2 Hypothèses 5 Projet 1 BNA1 BNA2 7,69E+08 7,11E+08 6,10E+08 7,54E+08 6,96E+08 5,46E+08 Taux d'actualisation équivalent a' 4.05% 4.06% 4.31% Projet 2 Projet 3 BNA (1) 7,43E+07 7,11E+08 4,24E+07 BNA(2) 7,31E+07 6,96E+08 3,80E+07 Taux d'actualisation équivalent a' 4.05% 4.06% 4.37% BNA (1) 1,07E+08 1,07E+08 6,90E+07 BNA(2) 1,05E+08 1,05E+08 5,39E+07 Taux d'actualisation équivalent a' 4.05% 4.06% 4.71% Tableau 4 : Résultats pour les trois projets et trois types d'hypothèses sur le PIB Ces résultats appellent plusieurs remarques. Tout d'abord, les résultats obtenus amènent ici à des taux d'actualisation équivalents proches du taux d'actualisation "sans risque" au sens du rapport Lebègue qui est à peu près égal à a+γμ = δ +3% = 4% avec les hypothèses prises dans les tableaux ci-dessus (tableau 3 et tableau 4). Une limite à ce constat reste que les hypothèses prises dans les tableaux ci-dessus sont plutôt optimistes sur le PIB (les fluctuations sur le taux de croissance du PIB sont positives en moyenne et indépendantes entre elles chaque année). Cependant, les tests de sensibilité présentés dans la partie suivante montrent que le risque reste faible même avec des variations plus importantes sur l'écart-type du PIB. Collection «Les rapports» Sétra 30 septembre 2012

31 Les résultats de la partie suivante (chapitre 3) présentent d autres valeurs obtenues pour le même projet avec des hypothèses différentes sur : le coefficient d'aversion au risque ; l'espérance de la croissance annuelle de la richesse. Les résultats montrent bien que le risque dépend du projet considéré, et dans le cas présent, de la présence ou non d'un péage. Pour des projets à péage, les résultats présentent des primes de risque plus faibles que pour les projets sans péage. Ceci illustre le fait que le péage a un rôle d'"amortissement" de l'effet du PIB sur la répartition des trafics sur les itinéraires. Ceci est cependant valable uniquement en prenant l'hypothèse selon laquelle le montant du péage n'est pas corrélé au PIB. Collection «Les rapports» Sétra 31 septembre 2012

32 Chapitre III Approche analytique simplifiée Collection «Les rapports» Sétra 32 septembre 2012

33 L'objectif de cette section est d explorer une approche analytique simplifiée permettant d'évaluer à partir de plusieurs paramètres, les termes du bilan coûts-avantages, puis de calculer un taux d'actualisation «équivalent». Ce dernier est défini comme précédemment, comme le taux d actualisation qui égalise l espérance actualisée de l utilité des effets du projet et le bilan coût-avantage actualisé calculé au sens classique sans prise en compte du risque. Cette approche analytique apparaît nécessaire, dans la mesure où les calculs par l approche de Monte Carlo cidessus, même appliqués à un modèle stylisé de projet, sont relativement lourds et ne permettent pas aisément de faire apparaître le lien entre le PIB et les termes du bilan coûts-avantages du projet (notamment la répartition des avantages selon leurs différents types - temps, sécurité, effets externes ; ou bien le degré de concurrence entre les différents modes / itinéraires). L approche analytique est développée en deux temps : tout d abord, c est l espérance actualisée du bilan coûtavantage du projet qui est formulée de façon analytique ; ensuite, c est la modélisation de trafic et le calcul du surplus eux-mêmes qui sont présentés de façon analytique. S agissant de l espérance actualisée du bilan, cette partie développe d abord une formulation analytique très sommaire, où le lien entre le bilan du projet et le PIB se présente de façon intuitive par un lien (appelé ci-après «élasticité») entre leurs valeurs moyennes et leurs variances respectives. Cette formulation sommaire permet de retrouver simplement les simulations numériques du projet étudié précédemment dans la partie 2, mais est tributaire de la connaissance de ces élasticités. Cette partie développe ensuite une formulation analytique plus poussée, en faisant une hypothèse sur la forme de la distribution de probabilité du PIB. Elle montre ainsi que, si le bilan du projet est lié au PIB à travers une élasticité constante et si le flux de richesse collective suit un mouvement brownien géométrique, alors les paramètres à considérer pour calculer le taux «équivalent» se réduisent à cette élasticité et au taux de croissance et à la volatilité du PIB. La part du risque dans le taux «équivalent» peut alors être identifié en fonction de la volatilité du PIB et de l'élasticité du projet. Le taux «équivalent» obtenu par ces approches analytiques de l espérance du bilan est ensuite comparé à celui obtenu lors des simulations numériques présentées antérieurement. La présentation en taux d actualisation équivalent est retenue dans cette partie, comme dans la partie précédente. Enfin, pour illustrer le fait que ce taux d actualisation «équivalent» est spécifique au projet, cette partie propose une présentation analytique d un projet stylisé, ce qui permet d utiliser une variété de projets, caractérisés notamment par différentes répartitions des avantages de temps, de sécurité, d effets externes ; ou bien différents degré de concurrence entre les différents modes / itinéraires. 1 - Formulation analytique sommaire de l espérance du bilan On peut reformuler le calcul de l espérance du bilan proposée en partie 1 et déterminer un taux d actualisation «équivalent» (tenant compte du risque) α à l aide de la formule suivante : [ ))( e δt E (u ' (C t t=t 0 E ( X t ) γ cov (C t ; X t ) E (C t ) )] = [ e α' t E ( X t )] (1) t=t 0 dans laquelle t 0 désigne la date de démarrage du projet éventuellement différente de la date d'actualisation t=0. Comme dans la section 1.5.2, la fonction d'utilité est choisie telle que u'(c t )=(C t /C 0 ) -γ avec γ coefficient d'aversion relative pour le risque. Il faut noter en revanche que, contrairement aux simplifications adoptées en 1.5.2, le terme E(u'(C t )) n'a pas été identifié à u'(e(c t )) de manière à garder la liberté de pousser le développement limité de l'utilité à un ordre supérieur, en l'occurrence l'ordre 3 : Collection «Les rapports» Sétra 33 septembre 2012

34 u ' (C t ) u ' (E (C t ))+u ''(E (C t ))(C t E(C t ))+ 1 2 u ''' (E (C t ))(C t E (C t )) 2 (2) L'espérance de (2) donne alors : avec E (u' (C t )) u ' ( E (C t ))+ 1 2 u ''' (E (C t )) var(c t ) (3) u' (E (C t ))=( E (C t ) ) γ C 0 γ( γ+1) ( et u''' (E (C t ))= E (C t ) ) γ 2 2 C 0 C 0 (4) Le cas classique du développement limité à l'ordre 1 de u' est retrouvé en supprimant le second terme du membre de droite de (3), i.e. u'''(e(c t ))var(c t )/2. Il est toutefois intéressant de noter que l'objet du calcul de risque tel que présenté ici est précisément de tenir compte de la dispersion du PIB et des corrélations du projet avec le PIB. Or le terme u'''(e(c t ))var(c t )/2 fait apparaître un effet de la dispersion du PIB qui n'existe pas dans le développement à l'ordre 1 et dont la présence revêtira une certaine importance dans la suite. Au-delà de la question de la pertinence du développement limité à l'ordre 1 du terme E(u'(C t )) en facteur, on peut également s'interroger au sujet du fait que le terme en covariance du membre de gauche de l'expression (1) a aussi été obtenu au prix de cette même linéarisation de u' (cf ). On reviendra sur ce point plus tard dans cette section. On peut faire ici une hypothèse simplificatrice mais aisément interprétable, dans laquelle l'espérance du PIB est supposée croître avec un taux annuel µ, soit : E (C t)=c 0 e μt (5) On suppose en outre, en vue de proposer une formulation analytique simplifiée, que l espérance des effets du projet peut s exprimer comme une valeur croissante au cours du temps, liée à l espérance de la richesse de la façon suivante : E ( X t )= X 0 e εμ t = X 0( E (C t ))ε C 0 Le terme X 0 correspond à une constante de calage et non à la valeur de X t en t=0 étant entendu que X t n'est défini qu'à partir de t=t 0. La deuxième égalité dans (6) présente le paramètre ε comme une élasticité apparente dans la mesure où ce sont des espérances qui sont en jeu. Cette élasticité apparente peut être différente de l'élasticité réelle si elle existe entre les séries aléatoires X t et C t, c'est ce qui apparaîtra ultérieurement. Pour poursuivre les calculs, il apparaît nécessaire d'après (1) et (3) d'estimer également var(c t ) ainsi que cov(x t,c t ) en introduisant de nouveaux paramètres. On suppose qu'il existe η et θ tels que : et var(c t ) [ E (C t )] 2=eηt 1 (7) cov ( X t,c t ) E ( X t ) E (C t ) =eθt 1 (8).(6) Collection «Les rapports» Sétra 34 septembre 2012

35 On note au passage que si l'on veut passer du développement limité à l'ordre 3 dans (3) au développement limité à l'ordre 1, il suffit d'imposer arbitrairement η=0 dans (7). La combinaison des équations précédentes et leur introduction dans l'expression (1) permet de définir le taux d actualisation équivalent α' à partir de la formule : t=t 0 [e α ' t E ( X t )]= X 0 t=t 0 e ( α' +εμ)t = X 0 e ( α' +εμ )t 0 1 e α' +εμ (9) Encadré : formulation des calculs à l aide de développements limités On suppose que α' et µ sont suffisamment petits pour permettre un développement limité au premier ordre des termes de (9). On considère également que t 0 demeure suffisamment petit pour que le numérateur du membre de droite de (9) puisse être développé selon la formule e ( α ' +εμ )t 0 1 (α' εμ)t 0 2. Ces hypothèses conduisent ainsi à l'expression suivante du BNA : BNA= t=t 0 [e α ' t E ( X t )] X 0( 1 α' εμ 0) t (10) En supposant également que δ, η et θ sont petits, le même raisonnement peut être reconduit sur le membre de gauche de (1) dont l'expression se calcule en exploitant les résultats (3) à (8) : BNA= [ ))( e δt E (u ' (C t t=t 0 E ( X t ) γ cov (C t ; X t ) E (C t ) )] X 0( γ+2) γ(γ+1 )2 (γ 1)(γ+1)( + 2(δ+γμ εμ) 2( δ+γμ εμ η) +γ(γ 1)(γ+2) ( γ+1) 2(δ+γμ εμ θ ) γ2 2(δ+γμ εμ η θ ) 0) (11) t Le rapprochement de (10) et (11) permet alors de déterminer l'expression du taux équivalent : 2 α '=εμ+ ( γ 1)( γ+1)(γ+2) γ(γ+1 ) 2 γ(γ 1 )(γ+2 ) + + δ+γμ εμ δ+γμ εμ η δ+γμ εμ θ γ 2 (γ+1 ) δ +γμ εμ η θ (12) Selon une remarque formulée plus haut, le même calcul basé sur une restriction du développement limité à l'ordre 1 de u' pour calculer E(u'(C t)) peut être obtenu en considérant η=0 dans (12), ce qui implique alors : 1 δ+ γμ εμ α '=εμ+ =δ+γμ+γθ γ+1 δ+γμ εμ γ δ+γμ εμ (γ +1)θ (13) δ+ γμ εμ θ On note que la date de démarrage du projet t 0 n'apparaît pas dans les expressions des taux équivalents (12) et (13), ce qui montre que son influence relève d'un ordre supérieur du développement limité. Cette remarque doit cependant être relativisée en rappelant l'hypothèse faite plus haut selon laquelle le produit (α'-εµ)t 0 doit demeurer petit. Il faudrait donc faire preuve de davantage de précision dans les calculs (numériques) pour une date plus éloignée. Bien que les développements plus haut mènent à des expressions analytiques assez simples du taux équivalent (12) et (13), il faut rappeler que ces dernières reposent sur des paramètres ε, η et θ introduits sur des quantités intégrées (espérance, variance ou covariance). Leur détermination nécessite soit de recourir à une méthode de Monte-Carlo sur les simulations du projet, soit de développer une approche analytique calculable avec des formes de loi de probabilité des flux en jeu C t et X t, ce qui est l objet de la section suivante. 2 La linéarisation e ( α ' +εμ )t 0 1 (α' εμ)t 0 peut s'avérer trop imprécise si la date de démarrage du projet devient grande. A titre d'exemple, en prenant α'=4.5%, ε=1 et µ=1.5%, on obtient e ( α ' +εμ )t 0 =0.74 et 1 (α ' εμ )t 0 =0.7 pour t0=10ans et e ( α ' +εμ )t 0 =0.55 et 1 (α ' εμ )t 0 =0.4 pour t 0=20ans. Dans le cas où t 0 est trop grand, le principe des calculs présentés dans cette section n'est pas remis en cause mais il faut simplement recourir à une solution numérique pour estimer le taux équivalent. Collection «Les rapports» Sétra 35 septembre 2012

36 2- Formulation analytique avec hypothèses de mouvement brownien Hypothèse de mouvement brownien géométrique du PIB On suppose dans cette section que l'évolution du PIB est régie par un mouvement brownien géométrique, autrement dit C t s'écrit : C t =C 0 e R tc avec Rt C ~ N ( μ C t,σ C t ) (14) i.e. R t C est une variable aléatoire gaussienne de moyenne µ C t et d'écart-type σ C t avec t exprimé en années 3. Cette évolution correspond exactement à une succession d'applications de taux de croissance annuels indépendants les uns des autres et suivant tous une loi normale de moyenne µ C et d'écart-type σ C. Les calculs de l'espérance et de la variance du PIB donnent alors : ( E (C t )=C 0 e μ C σ 2 C) t et var(c t )=[ E (C t )] 2 (e σ 2 C t 1 ) (15) Encadré : comparaison avec les expressions analytiques issues des développements limités En comparant (5) et (15), on constate que µ et µ C ne sont pas égaux. Le taux annuel permettant de passer de C t à C t+1 n'est pas exactement celui permettant de passer de E(C t ) à E(C t+1 ). Une dérive liée à l'incertitude sur le taux doit ainsi être prise en compte. De plus si l'on rapproche la variance calculée dans (15) à l'expression postulée en (7), il apparaît que les calculs des paragraphes précédents peuvent être appliqués au cas présent en identifiant η. Ainsi les paramètres µ et η, cohérents avec le choix d'une évolution du PIB selon un mouvement brownien géométrique sont : μ= μ C σ 2 C et η=σ C 2 (16) Connaissant la distribution de C t ainsi que l'expression de u' i.e. u'(c t )=(C t /C 0 ) -γ, il est également possible de calculer E(u'(C t )) sans recourir à une linéarisation : ( E (u' (C t ))=C 0 e γ μ C 1 2 γσ 2 C) t ( u' (E (C t ))=C 0 e γ μ C σ 2 C ) t (17) Comme cela a déjà été évoqué plus haut dans des réflexions sur le développement limité du terme E(u'(C t )), il faut être très prudent dans l'ordre du développement. D'après (17), le premier ordre de E(u'(C t )) et u'(e(c t )) est certes identique si σ C 2 est petit devant µ C mais la contribution de la dispersion du PIB diffère et il ne semble pas raisonnable de négliger celle-ci dans une analyse de risque. En exploitant l'expression exacte (17) de E(u'(C t )) plutôt qu'un développement limité, le BNA comme membre de gauche de (1) peut être recalculé, ce qui aboutit finalement, par égalité avec (10) et à l'aide de (16), à l'expression suivante du taux équivalent : 3 Il faut bien noter ici qu'il n'est pas possible de faire sortir t de la variable R t C comme cela est pourtant fait dans l'annexe 4 du rapport Gollier de juin En effet, mettre t en facteur d'une variable gaussienne indépendante du temps dans l'exponentielle conduirait à une variance de ln(c t) en t 2, ce qui ne correspond pas à un mouvement brownien géométrique pour lequel cette variance doit être linéaire en t. Collection «Les rapports» Sétra 36 septembre 2012

37 α '=ε ( μ C σ C 2) +1 γ+1 δ+γμ C 1 2 γ2 σ C 2 ε ( μ C σ C =δ+γμ C 1 δ+γμ C 1 2 γ2 σ 2 2 γ2 σ 2 C ε C +γθ ( μ C σ C δ+γμ C 1 2 γ2 σ 2 C ε ( μ C σ C 2) γ δ+γμ C 1 2 γ 2 σ 2 C ε ( μ C σ C 2) 2) (γ+1)θ 2) θ (18) Evolutions des avantages du projet et du PIB selon des mouvements browniens géométriques corrélés Pour aller plus loin dans la détermination analytique du taux équivalent à partir de paramètres explicites, on s'intéresse ici à des évolutions particulières des flux du projet X t, en envisageant une hypothèse d'évolution de ceux-ci et du PIB selon des mouvements browniens géométriques corrélés. Cette hypothèse a notamment été utilisée dans l'annexe 4 du rapport Gollier de juin Encadré : écriture de l espérance de l utilité dans le cas de mouvements géométriques browniens du PIB et des avantages du projet Elle revient à étendre l'écriture (14) aux cas des deux flux X t et C t C t =C 0 e R C t et X t =X 0 e R tx (19) où (R tc, R tx ) forme un vecteur gaussien de moyenne et de matrice de covariance données par 4 ( R X) C t R ~ N (( μ C t μ X) t ; ( ρσ C σ X ) 2 ρσ C σ X σ X σ C 2 ) t (20) Une telle écriture considérant simultanément C t et X t comme des variables aléatoires présente l'avantage de tenir compte à la fois des aléas sur l'évolution du PIB (extérieurs au projet) et des aléas sur l'évolution des avantages du projet qui traduisent non seulement la dépendance de ces derniers au PIB mais aussi des erreurs commises dans la récupération des données et la chaîne de modélisation. En écrivant X t /X 0 =(C t /C 0 ) RtX/RtC, le rapport RtX/RtC apparaît comme une élasticité aléatoire. Il peut également être utile de dériver de (20) la loi de probabilité conditionnelle de X t ou du taux R t X sachant la valeur du PIB ou du taux R tc. Il s'agit donc de calculer la loi d'une composante d'un couple gaussien connaissant l'autre composante. Cette loi est toujours une loi normale donnée ici par : R t X R C t = μ C t ~ N (( μ X + ρσ )) X ( μ σ C μ C C t ; 1 ρ2 σ X t) (21) La corrélation des avantages du projet au PIB réside dans le paramètre ρ. Cette écriture englobe le cas particulier d'une élasticité déterministe et constante ζ entre X t et C t correspondant à R tx =ζ R t C et impliquant µ X =ζµ C, σ X = ζ σ C, et ρ=1. A partir des hypothèses d'évolution (19)-(20), tous les termes du BNA peuvent être calculés et les paramètres introduits plus haut µ, ε, η et θ peuvent être identifiés. Les paramètres µ et η ont déjà été identifiés par (16) avec les seules hypothèses sur le PIB. 4 Pour les mêmes raisons que dans la note, t doit apparaître comme facteur dans la moyenne et la matrice de covariance et non comme facteur des taux. Si t apparaissait en facteur des taux dans les exponentielles, on aurait une matrice de covariance en t 2 contredisant ainsi l'hypothèse de mouvements browniens géométriques. Collection «Les rapports» Sétra 37 septembre 2012

38 Il vient maintenant : ( E ( X t )= X 0 e μ X σ 2 X ) t (22) ce qui implique, par rapprochement avec (6) et en utilisant (16) μ X σ 2 X ε= μ C σ 2 C (23) Le cas d'une élasticité déterministe entre X t et C t donne une relation non linéaire entre l'élasticité ζ et l'élasticité apparente ε qui fait aussi intervenir les caractéristiques d'évolution du PIB : ζμ C ζ 2 2 σ C ε= μ C σ 2 C (24) Le calcul de la covariance entre X t et C t se calcule également à partir de (19)-(20) : L'analogie avec (8) est immédiate en posant : cov( X t,c t )=E ( X t )E (C t )(e ρσ X σ C t 1 ) (25) θ= ρσ X σ C = βσ C 2 (26) avec β défini comme dans le rapport Gollier de juin 2011 par β= ρσ X = cov(ln X t,ln C t ) σ C var(ln C t ) (27) On note que dans le cas d'une élasticité constante déterministe, β est précisément égal à cette élasticité ζ. Sa valeur est nécessairement très dépendante du projet. Utilisation des hypothèses de mouvement brownien dans les formulations analytiques simplifiées de l espérance du bilan En injectant les paramètres (16), (23) (ou (24) dans le cas d'une hypothèse d'élasticité constante) et (26) dans (12), (13) et (18), on est en mesure de construire différents modèles de taux équivalents basés sur une hypothèse d'évolution des avantages du projet et du PIB selon des mouvements browniens géométriques corrélés. On choisit de présenter ci-dessous les formules avec l'élasticité constante ζ=β. Modèle M1 : développement limité à l'ordre 1 de u'(c t ) pour le calcul de E(u'(C t )) α ' ( 1) =δ+γμ C γσ 2 2 C+γβσ C δ+( γ β ) μ C ( γ β2 )σ C 2 δ+(γ β ) μ C (γ β 2 2γβ 2β)σ C 2 (28) Collection «Les rapports» Sétra 38 septembre 2012

39 Modèle M2 : développement limité à l'ordre 3 de u'(c t ) pour le calcul de E(u'(C t )) α ' ( 2 ) = βμ C β 2 σ C ( γ 1 )(γ +1 )( γ+ 2) δ+( γ β ) μ + 1 C 2 (γ β 2 )σ 2 + γ( γ+1) 2 δ+( γ β )μ + 1 C C 2 (γ β2 2) σ 2 + γ (γ 1)( γ+2 ) δ+( γ β )μ + 1 C C 2 (γ β2 2β ) σ 2 γ 2 (γ+1) δ+(γ β ) μ + 1 C C 2 ( γ β2 2β 2 )σ 2 C (29) Modèle M3 : expression exacte de E(u'(C t )) (mais toujours le terme en E(X t )-γcov(x t,c t )/E(C t )) α ' ( 3) =δ+γμ C 1 2 γ2 σ C 2 +γβσ C 2 δ+(γ β ) μ C 1 2 ( γ2 + β 2 )σ C 2 δ+(γ β ) μ C 1 2 ( γ2 + β 2 +2γβ+2β)σ C 2 (30) Après avoir récapitulé ces taux équivalents et avant de formuler quelques remarques, il apparaît opportun de rappeler que le membre de gauche du BNA (1) avait été calculé en procédant à une linéarisation de u'(c t ) autour de E(C t ) ayant conduit à l'apparition du facteur γ (cf. ci-dessus). Or, dans le cas présent, la forme choisie des lois de probabilité des flux permet de s'affranchir de cette linéarisation classiquement consentie pour exprimer le BNA en environnement incertain. On peut simplement écrire ici la formule exacte et calculer BNA= t=t 0 [e δt E ( X t u' (C t ))] (31) E ( X t u' (C t ))= E ( X t ) E (u ' (C t ))e γρσ X σ C ( t = E ( X t )e γμ C 1 2 γ2 2 2 σ C + γβσc) (32) En introduisant (32) dans (31) et en comparant le résultat au membre de droite de (1), le taux équivalent ainsi obtenu forme le 4 ème modèle. Modèle M4 : expression exacte du BNA α ' (4 ) =δ+γμ C 1 2 γ2 σ C 2 +γβσ C 2 (33) Ce taux équivalent se décompose en quatre termes dont les trois premiers ont été commentés dans l'article «Comment intégrer le risque dans le calcul socio-économique» [Gollier 2005] : δ : préférence pure pour le présent γµ C : effet richesse (la décroissance de l'utilité marginale et l'augmentation supposée de la richesse µ C >0 tendent à faire privilégier un gain immédiat par rapport à un gain à venir) -1/2γ 2 σ C 2 : effet précaution (la convexité de l'utilité marginale est telle que l'augmentation de l'incertitude sur la consommation future accroît la valeur d'un gain futur) γβσ C 2 : effet du projet (qui augmente le taux d'actualisation pour un projet pro-cyclique i.e. β>0 et qui le diminue dans le cas contraire) Les expressions obtenues dans les quatre modèles précédents méritent quelques commentaires. Tout d'abord, la formule (33) obtenue à partir des hypothèses spécifiques d'évolution des flux montre que l'effet du risque attaché au projet est a priori du même ordre de grandeur que l'effet précaution, à savoir proportionnel à σ C2. Collection «Les rapports» Sétra 39 septembre 2012

40 Dans l'hypothèse où l'écart-type σ C du taux de croissance du PIB est du même ordre de grandeur que sa moyenne, il apparaît immédiatement que l'effet précaution et l'effet du risque sont d'un ordre de grandeur inférieur aux termes classiques de préférence pure pour le présent et d'effet richesse. De plus, si l'élasticité β vaut γ/2 alors ces deux termes se compensent. Plus généralement, si β>γ/2 alors l'incertitude sur le PIB tend à augmenter légèrement le taux équivalent tandis que si β<γ/2 alors l'incertitude sur le PIB tend à diminuer légèrement le taux équivalent. Il est utile de comparer ces modèles, qui se distinguent principalement par différents degrés de développement limité de la fonction d utilité. Il est important notamment de vérifier la cohérence des développements limités des modèles lorsque l'incertitude sur le PIB est infinitésimale. En ne gardant que le premier ordre non nul en σ C2, on montre facilement que α' (2) et α' (3) se ramènent à l'expression (33) i.e. sont cohérents avec α' (4). En revanche le développement limité de α' (1) s'écrit : α ' (1) =δ+γμ C γσ 2 C+γβσ 2 C +O(σ C4 ) (34) L'écart entre le modèle approché M1 (α' (1) ) et le modèle exact M4 (α' (4) ) réside essentiellement dans le choix du développement (2) de u'(c t ) lorsqu'il est tronqué à l'ordre 1 pour calculer E(u'(C t )). Toutefois l'utilisation de ce développement à l'ordre 1 ne semble pas préjudiciable dans le calcul conduisant à E(X t )-γ. cov(x t,c t )/E(C t ), au moins au voisinage des petites valeurs de σ C. Pour analyser la sensibilité des modèles aux valeurs plus grandes de σ C, on construit les graphiques des Fig.13 et 14 ci-dessous montrant l'évolution des quatre taux en fonction de σ C. On choisit δ=1%, γ=2 et µ C =1.5% et sur la Fig.13 β=0.7 (β<γ/2) tandis que sur la Fig.14 β=1.6 (β>γ/2). Figure 14 : taux équivalents en fonction de la dispersion du taux du PIB (δ=1%, γ=2, µ C=1.5% et β=0.7) Collection «Les rapports» Sétra 40 septembre 2012

41 Figure 15 : taux équivalents en fonction de la dispersion du taux du PIB (δ=1%, γ=2, µ C=1.5% et β=1.6) Comme attendu, le modèle exact α (4) est décroissant sur la Fig.13 et croissant sur la Fig.14 et varie relativement peu sur une plage assez large de variation de σ C. On note en revanche que les autres modèles, bien que très proches du modèle exact pour σ C petit (inférieur à 2%) car quasiment constants, peuvent présenter de fortes variations lorsque σ C devient plus grand. Alors que α' (4) est décroissant sur la Fig.13, on constate que α' (1) est toujours croissant et même α' (2) et α' (3) le sont aussi à partir d'un σ C assez grand. Ainsi l'existence d'asymptotes verticales faisant exagérément croître le taux ainsi que des sens de variations opposés à celui du modèle réputé exact apparaissent comme des effets indésirables des linéarisations qui ont été effectuées pour aboutir à la formule classique du BNA telle que présentée dans la partie 2. Il faut donc se montrer très prudent dans son utilisation dès lors que l'incertitude sur le PIB est suffisamment grande car elle peut conduire à une surestimation artificielle du taux équivalent et donc des primes de risque. Le calcul exact dans le cas particulier des distributions de type mouvement brownien géométrique envisagées dans cette section montre au contraire que l'effet du risque demeure du second ordre dans le taux équivalent en comparaison de la préférence pure pour le présent et de l'effet richesse. Si l'on s'intéresse en revanche à un événement extrême de chute catastrophique du PIB, il est possible de faire apparaître une contribution non négligeable du risque dans le taux équivalent (cf. Barro 2006, rapport Gollier de juin 2011). Signalons que la valeur du coefficient d'aversion pour le risque, prise ci-dessus égale à 2, qui fait encore l'objet de travaux de recherche, est couramment prise entre 0.5 et 3.5. L élasticité d'un projet de transport apparaît déterminante pour le calcul de l effet «risque» dans le calcul du bilan actualisé. Ceci est particulièrement vrai si l on est amené à retenir des formulations analytiques simplifiées avec des développements limités, car, dans ce cas, le taux d actualisation équivalent calculé peut diverger pour des valeurs de variances du PIB σ C 2 de l ordre de 4% (ce qui représente cependant déjà un risque très élevé). Pour approfondir la question de l élasticité du projet au PIB, la section 3.4. ci-dessous propose une formulation analytique simplifiée du modèle de trafic et de calcul de surplus du projet, ce qui permet de «faire varier» les caractéristiques du projet, de façon calculable, ce que ne permet pas, dans le cadre de cette étude, la lourdeur de l approche de Monte Carlo. Collection «Les rapports» Sétra 41 septembre 2012

42 3 - Comparaison des approches analytiques et de Monte Carlo Les tableaux suivants comparent «taux d actualisation équivalents» calculés d une part directement par les simulations numérique de Monte Carlo décrites dans la partie 1, d autre part par l application de certaines formules analytiques simplifiées ci-dessus. Les deux formulations analytiques retenues sont les suivantes : Modèle M1 : développement limité à l'ordre 1 de u'(c t ) pour le calcul de E(u'(C t )) α ' ( 1) =δ+γμ C γσ 2 2 C+γβσ C δ+( γ β ) μ C ( γ β2 )σ C 2 δ+(γ β ) μ C (γ β 2 2 γβ 2β)σ C 2 (cf. 28 ci-dessus) Modèle M4 : expression exacte du bénéfice net (hypothèse de mouvement brownien géométrique) α ' ( 4 ) =δ+γμ C 1 2 γ2 σ C 2 +γβσ C 2 (cf. 33 ci-dessus) Les tests de cohérence ont été effectués sur le projet 1. Taux d'actualisation pur δ = 1,0% 1,0% 1,0% Aversion relative pour le risque γ = 1 1,5 2 Elasticité des avantages par rapport au PIB β = 0,645 0,645 0,645 Ecart-type de la croissance du PIB σ = 1.5% 1.5% 1.5% δ + γ * μ = 4 % 5,5 % 7 % Taux d'actualisation a = (Modèle M1) 4,03% 5,54% 7,05% équivalent par calcul 4,00% 5,50% 6,98% analytique a = (Modèle M4) μ =3% Par tirage Monte Carlo a = (Monte Carlo) 4,10% 5,70% 7,30% δ + γ * μ = 2,5 % 3,25 % 4 % Taux d'actualisation a = (Modèle M1) 2,53% 3,29% 4,05% équivalent par calcul 2,50% 3,25% 3,98% analytique a = (Modèle M4) μ =1,5% Par tirage Monte Carlo a = (Monte Carlo) 2,60% 3,40% 4,20% Les résultats obtenus par l'approche analytique par les élasticités sont cohérents avec ceux obtenus directement par le modèle avec les simulations de Monte-Carlo. Les résultats des simulations numériques sont un peu plus élevés, ce qui est notamment dû au fait qu ils intègrent une source de risque supplémentaires, au travers des effets des variations de prix du carburant sur les gains, dont l élasticité sur le bilan du projet via le PIB n apparaît pas. L approche analytique et les simulations de Monte Carlo confirment que le risque est négligeable sur le projet testé ici : le taux d actualisation équivalent ne s écarte que de quelques dixièmes de points du taux d actualisation hors risque projet ( δ + γ * μ dans le tableau ci-dessus). En reprenant des hypothèses cohérentes avec celles du rapport Lebègue (δ=1%, γ=2 et μ=1.5%), on trouve des taux d actualisation équivalents très proches de 4%. Collection «Les rapports» Sétra 42 septembre 2012

43 4 - Elasticité du bilan d un projet aux paramètres macroéconomiques : approche analytique Objectifs et démarche Cette section vise à fournir quelques éléments quantitatifs sur l élasticité entre le bilan coûts-avantages du projet et le PIB. Les sections précédentes ont en effet montré que cette élasticité était dimensionnante pour la prise en compte du risque dans l évaluation socio-économique. Cette section a notamment pour objet d illustrer comment l élasticité du bilan d un projet aux paramètres macro-économiques, notamment au PIB, peut dépendre des caractéristiques de ce projet, notamment la décomposition de ce bilan en ces principaux termes : temps, sécurité, effets externes, coûts de production du service de transports ; et également aux conditions de concurrence plus ou moins exacerbées entre modes ou itinéraires. Cette partie peut être vue comme une formulation simplifiée des enchaînements entre paramètres décrits dans le graphique ci-dessous, repris de la partie 1. Demande Affectation Valeurs du temps Coût de circulation (carburant, péage, coûts fixes Caractéristiques des itinéraires Variations de trafic entre le scénario de référence et le scénario de projet Valeur du temps Valeurs tutélaires Coût de circulation (carburant, péage, coûts fixes) Gains de temps Gains de pollution, GES, sécurité Gains pour les usagers hors gains de temps Coûts de construction, d'entretien et d'exploitation BNA Collection «Les rapports» Sétra 43 septembre 2012

44 Présentation du projet «stylisé» Le projet «stylisé» comporte une situation de référence caractérisée, schématiquement, par deux itinéraires (qui pourraient également être des modes de transports), caractérisés par des niveaux de services comparables, sur lesquels se répartit un trafic total. L affectation entre les modes se fait selon le rapport des coûts généralisés, en appliquant une Loi d Abraham. Le projet «stylisé» se caractérise par une amélioration du service (réduction des temps de parcours) sur un des itinéraires, accompagnée d une variation des coûts externes, et au prix d un coût de production du service de transports plus élevé, partiellement compensée par un surcroît de prix pour l usager. Ceci peut être assimilé à une mise à caractéristiques autoroutières d un des deux itinéraires de la situation de référence. Le bilan coûts-avantages d un projet de transport «stylisé» est formulé de façon analytique (cf. annexe), ce qui permet de calculer l élasticité du bilan coûts-avantages au PIB et de faire varier les paramètres de l évaluation et les caractéristiques du projet, tel qu évoqué ci-dessus. Le calcul du bilan coûts-avantage est effectué en valeur journalière (i.e. les investissements sont représentés par un équivalent journalier, ce qui n affecte pas la généralité du modèle). Les valeurs de coûts d usage des infrastructures (y compris les coûts externes), sont reprises de l étude DGR-D4E de 2003, reprenant elle-même les valeurs du rapport Boiteux II de Le projet ainsi construit présente un bilan coûts-avantages résumé dans le tableau ci-dessous, détaillé en annexe : «Projet 0» : Données générales Valeur du temps ( /h) 15 Demande (veh/j) Entretien VL +carburant ( /veh.km) 0,2 Coefficient de la Loi d Abraham 10 Données par itinéraire Avant le projet Après le projet Itinéraire Itinéraire 1 Itinéraire 2 Itinéraire 1 Itinéraire 2 Géométrie Longueur (km) idem idem Avantages Temps de parcours (h) 0,71 0,71 0,42 0,71 Péage ( /veh.km) 0 0 0,08 0 Malus ( /veh.km) 0,023 0,023 0,007 0,023 Externalités ( /veh.km) 0,0225 0,0225 0,0145 0,0225 Coûts Coûts d usage de l infrastructure ( /veh.km) 0,013 0,013 0,093 0,013 Calculs par itinéraire Avant le projet Après le projet Itinéraire Itinéraire 1 Itinéraire 2 Itinéraire 1 Itinéraire 2 Coût généralisé ( ) 21,86 21,86 20,60 21,86 Trafic (veh/j) 5000, , , ,43 «Projet 0» : calculs totaux Avantages ( /j) Coûts ( /j) Avantages - coûts Collection «Les rapports» Sétra 44 septembre 2012

45 Les élasticités des principaux paramètres du modèle et du calcul de bilan socio-économique au PIB sont prises égales aux valeurs suivantes : Elasticités données Valeur du temps 0,7 Péage 0 Entretien véhicule + carburant 0 Demande de trafic 1,1 Externalités 1 Coûts d usage de l infrastructure 0 Il en ressort une élasticité «composite» du bilan du projet au PIB : «Projet 0» : élasticité composite résultante Elasticité du projet 0,84 On remarque que l on retrouve un ordre de grandeur légèrement supérieur à l élasticité apparente du bilan du cas de la partie 2 ci-dessus (de l ordre de 0,68). Jeu de variantes sur les élasticités des paramètres de l évaluation aux paramètres macroéconomique On fait alors varier en premier lieu les élasticités des paramètres au PIB, pour ce «projet 0» : Un jeu d élasticités dans lesquelles les paramètres de prix seraient positivement corrélés au PIB (idée de tension sur les prix en cas de croissance plus élevée et/ou de consentement à payer plus élevé en cas de hausse de revenus) conduit à une élasticité du bilan du projet plus faible : Elasticités données Valeur du temps 0,7 Péage 0,2 Entretien véhicules + carburant 0,2 Demande de trafic 1,1 Externalités 1 Coûts d usage de l infrastructure 0,2 «Projet 0» : élasticité composite résultante Elasticité du projet 0,20 Une élasticité du trafic au PIB plus faible conduit également à une élasticité du bilan du projet au PIB plus faible : Elasticités données Valeur du temps 0,7 Péage 0,0 Entretien véhicule + carburant 0,0 Demande de trafic 0,7 Externalités 1 Coûts d usage de l infrastructure 0,0 «Projet 0» : élasticité composite résultante Elasticité du projet 0,44 Jeu de variantes sur les paramètres d évaluation Le tableau suivant présente les élasticités du projet au PIB, avec des valeurs différentes des principaux paramètres d évaluation : valeur du temps, paramètre de la loi d affectation (loi d Abraham), valeur des coûts externes. Collection «Les rapports» Sétra 45 septembre 2012

46 Elasticité composite du bilan du projet Valeurs des paramètres Projet «V0», valeurs «Boiteux» 0,84 Valeur du temps : -10 % 0,61 Valeur du temps : +10 % 1,10 Coefficient de la Loi d affectation (Abraham) : 5 (au lieu de 10) 0,20 Coefficient de la Loi d affectation (Abraham) : 20 (au lieu de 10) 1,57 Coûts externes unitaires : + 50 % 1,02 Coûts externes unitaires : - 50 % 0,60 Coûts d usage des véhicules : + 20% 0,75 Coûts d usage des véhicules : - 20% 0,94 Jeu de variantes sur la «typologie du projet». Le modèle de projet «stylisé» peut également être utilisé pour tester la sensibilité de l élasticité au PIB, en faisant varier les caractéristiques du projet. On utilise, à titre illustratif, les «typologies» suivantes : Elasticité composite du bilan du projet Type de projet Projet «V0» 0,84 Projet plus coûteux : + 10% sur les coûts 0,32 Projet non autoroutier : passage de la vitesse de 70 km/h à 90 km/h ; péage = 0 0,21 Projet de type «gestion de trafic» sur route congestionnée : passage de 50 km/h à 70 km/h 0,76 Projet d amélioration de la qualité de service sur un itinéraire de niveau de service inférieur à son concurrent : + 2 % sur le coût généralisé de l itinéraire avant projet 0,41 Projet d amélioration de la qualité de service sur un itinéraire de niveau de service supérieur à son 1,13 concurrent : - 2 % sur le coût généralisé de l itinéraire avant projet Les simulations précédentes suggèrent que la sensibilité de l élasticité du bilan du projet au PIB varie fortement à la fois selon les paramètres de l évaluation et du calcul socio-économique, et selon les caractéristiques du projet. Ceci conforte l idée selon laquelle il est illusoire de pouvoir déterminer, par une forme de «projet de transport représentatif», une prime de risque unique caractéristique du secteur des transports, pour prendre en compte le risque. Dit autrement, ces simulations rappellent bien que tout projet de transport est spécifique et mérite une analyse de risque spécifique. Collection «Les rapports» Sétra 46 septembre 2012

47 Conclusion provisoire et perspectives Toute évaluation de projet repose sur des estimations, qui sont entachées d incertitude : cette incertitude porte sur les coûts, la demande, les impacts environnementaux, la valeur monétaire de certains impacts, les modèles utilisés, etc. ; mais également des aléas peuvent affecter le fonctionnement du système de transports une fois qu il est en place, voire pendant sa phase de construction : aléas naturels, industriels, actes malveillants. Ceci est d autant plus vrai que la période d évaluation est longue, ce qui est le cas des projets de transports. Il importe de tenir compte de cette incertitude dans l évaluation du projet, et notamment dans le calcul socio-économique du bénéfice actualisé. En se limitant à la question des risques (probabilisables) affectant les conditions d évaluation du projet, cette étude applique le cadre de la décision publique en situation de risque dit «cadre de Von Neuman Morgenstern», qui se fonde sur la maximisation de l espérance de l utilité collective. Dans ce cadre, sur un cas simple stylisé et avec des hypothèses simplificatrices sur la fonction d utilité collective, les simulations numériques (à partir de méthodes de Monte Carlo) ainsi que des formulations analytiques simplifiées, suggèrent que la prise en compte du risque n affecte que faiblement le calcul socio-économique «classique» avec un taux d actualisation «sans risque», tant que l on se situe dans des aléas raisonnables pour les variables macroéconomiques. Dit autrement, on ne s écarte, en prenant en compte le risque, que de quelques dizièmes de points du taux «classique» de 4%. Pour autant, cette étude montre que, pour des aléas importants sur les variables macro-économiques, et des élasticités élevées du bilan du projet par rapport à ces variables, la prime de risque équivalente peut prendre des valeurs significatives si elle est calculée par des formulations excessivement simplifiées de la fonction d utilité. Les résultats de cette étude soulignent surtout que la prise en compte du risque est spécifique au projet considéré. Ceci conforte l idée de ne plus faire porter au taux d actualisation la prise en compte indifférenciée des risques. La description stylisée de différents projets de transports montre en particulier que l élasticité du bilan d un projet aux variables macro-économiques, est très variable en fonction des caractéristiques du projet, de sa situation de référence, de ses modes concurrents, etc. Cette étude montre également la sensibilité des résultats à l aversion pour le risque (qui pose des problèmes aigus de mesure, notamment pour tenir compte des effets de mutualisation des risques entre agents, qui n ont pas été abordés dans cette étude). L évaluation d une espérance d utilité d un projet par des méthodes de type Monte Carlo suppose, schématiquement, de conduire une évaluation de ce projet pour chaque occurrence des aléas des paramètres affectant les effets du projet. Ceci a été tenté dans cette étude sur un modèle très simple de projet. Dans la réalité, ceci peut se révéler très coûteux en temps de modélisation. L automatisation des calculs de scénarios peut être une piste à approfondir : elle a été, de fait, utilisée dans le cadre de cette étude, mais avec une représentation très simple du projet, de ces itinéraires alternatifs, et de la formule d affectation des trafics, mais il n est pas possible d affirmer que l automatisation des scénarios soit possible pour des projets plus complexes. L'utilisation de tirages aléatoires de type Monte-Carlo est donc potentiellement lourde. Collection «Les rapports» Sétra 47 septembre 2012

48 Face aux difficultés liées à la multiplication des variantes de tirages aléatoires des paramètres affectant le projet, on peut être tenté de rechercher des formulations analytiques du lien entre ces paramètres (tels que le PIB ou la valeur du temps par exemple) et les termes du bilan coûts-avantages. Cette étude montre qu une telle approche analytique est possible. Mais il faut garder à l esprit que les élasticités seront très spécifiques au projet, comme le soulignent les tests effectués avec un modèle stylisé de projet (cf. ci-dessus). Ceci suggère que, dans l évaluation d un projet concret, ces élasticités nécessitent d être évaluées numériquement assez finement. Les spécificités des projets de transports et le développement de la modélisation à quatre étapes, qui plus est sur des réseaux maillés, rend sans doute inatteignable de résumer des projets, même des projets-types en une relation analytique simple entre les paramètres et les termes du bilan coûts-avantages, telle que celle qui a été utilisée à titre pédagogique dans ce rapport. Calculer les élasticités en faisant tourner le modèle de trafic avec quelques scénarios macro-économiques (dans le prolongement des recommandations et pratiques actuelles) permettrait d'éviter la multiplication des simulations de Monte-Carlo, mais se ferait au détriment de la précision des élasticités. La poursuite des travaux suppose probablement d approfondir d abord la connaissance des lois de probabilité des principales variables macro-économiques, et notamment du PIB, mais aussi des prix des énergies ou des variables socio-démographiques, implicitement traitées de même façon que le PIB dans cette étude. Par la suite, il conviendrait probablement d approfondir une question qui n a été qu ébauchée dans ce rapport, qui porte sur les sources d incertitude spécifiques aux modèles de trafic / de surplus utilisés, indépendamment de l incertitude sur les paramètres macroéconomiques. Il convient en effet de distinguer les paramètres dont la connaissance des lois de probabilité relève d une compétence spécifique à l évaluateur en charge du projet de transports, et ceux qui relèvent d approches plus génériques, au premier rang desquels figurent variables macroéconomiques (PIB, prix du pétrole). L annexe 3 propose une liste des paramètres dont la probabilisation semble présenter a priori des enjeux, et sur lesquels pourraient être conduits, sur des cas-types selon l approche précédente, des tests permettant d évaluer l impact de différentes formes (et étendue) des distributions de probabilité sur l espérance de l utilité du projet. Cette approche, qui s apparente à un prolongement de la logique des scenarii, permettrait de concentrer les efforts d estimation des lois de probabilité là où la forme de ces lois semble comporter les plus grands enjeux. Collection «Les rapports» Sétra 48 septembre 2012

49 Annexes Annexe 1 : Principes d'affectation : présentation succincte Loi d'abraham Le principe de la loi d'abraham est le suivant : le flux d'une relation origine-destination est partagé entre plusieurs chemins (à définir explicitement) au prorata d'une puissance négative du temps généralisé du chemin. La répartition d'un flux F entre deux chemins 1 et 2 de temps généralisés G 1 et G 2 vérifie la relation : Cette règle correspond aux observations empiriques quant à la répartition du trafic entre itinéraires concurrents : des chemins de temps égal supportent des trafics équivalents, mais si les temps diffèrent alors un chemin plus court reçoit davantage de trafic qu'un chemin plus long. Le paramètre positif θ détermine le rôle de la différence des temps généralisés dans la différence de répartition. S'il est très faible, la répartition dépend peu de l'écart des temps, mais s'il est très élevé alors le chemin le plus court reçoit la quasi-totalité du trafic. Cette loi peut s'écrire également avec la méthode dite des potentiels, où les chemins empruntés par une OD vérifient : ( ) θ ( ) θ 1 G1 =... F k Gk où, avec k chemins empruntés, on a : F = k j=1 F j =F OD Cette formulation permet de généraliser la loi de répartition à plus de deux itinéraires en concurrence. On peut également l'écrire de la façon suivante : la proportion de trafic qui emprunte le chemin i d'une OD vaut On note qu'avec cette loi, tout chemin sélectionné reçoit une part de trafic non nulle. Loi d'arbitrage Prix-Temps Par analogie avec les modèles économiques, le modèle prix - temps différencie les demandeurs de déplacement, c est-à-dire les usagers, au moyen d un attribut de valeur du temps qui est distribué statistiquement parmi la population. Les demandeurs à forte valeur du temps préfèrent les itinéraires rapides même s ils sont chers, tandis que les demandeurs à faible valeur du temps choisissent les itinéraires moins chers, même s ils sont plus lents. Le prix - temps élimine les itinéraires inefficaces : il exclut ainsi tout chemin tel qu il en existe un autre à la fois plus rapide et moins cher. On fait l'hypothèse que la valeur du temps des usagers est répartie de façon continue au sein de la population, selon une distribution log-normale. Cette loi est couramment utilisée pour représenter la distribution d'une valeur positive au sein d'une population comme la valeur du temps (et aussi par exemple les revenus des ménages). Cette distribution est définie à l'aide de deux paramètres, sa moyenne et son écarttype. Collection «Les rapports» Sétra 49 septembre 2012

50 La règle de choix d itinéraire par l usager exprime simplement sa rationalité économique individuelle : chaque usager choisit l'itinéraire qui minimise son coût généralisé : G = P + α T où P est le prix, c'est-à-dire les coûts de circulation, de péage Coût Généralisé G i = P i + α x T i T est le temps de parcours sur l'itinéraire α est la valeur du temps des usagers. Itinéraire 1 Itinéraire inefficace Itinéraire 2 La règle s illustre sur un diagramme des coûts généralisés des itinéraires en fonction de la valeur du temps des usagers pour une O-D. P3 P2 Itinéraire 3 P1 Valeur du temps α α(1,2) coupure entre iti 1et 2 α(2,3) coupure entre iti 2 et 3 Proportion de trafic sur iti 2 Densité de probabilité Loi Log-Normale (15 /h, 0.5) Proportion de trafic sur iti 3 Proportion de trafic sur iti 1 Valeur du temps α ( /h) Collection «Les rapports» Sétra 50 septembre 2012

51 Sur le premier graphe, l enveloppe inférieure des coûts généralisés représente le coût généralisé minimum offert par les différents itinéraires de la relation O-D à chaque valeur du temps. Pour chaque valeur du temps, elle donne l'itinéraire (ou chemin) choisi. On peut déterminer graphiquement la valeur du temps de coupure α* entre les itinéraires 1 et 2, donnée par l'intersection des deux droites correspondant aux deux itinéraires : Itinéraire 1 de temps T 1 élevé et prix P 1 bas, droite d'équation : G = P 1 + α* T 1 Itinéraire 2 de temps T 2 bas et prix P 2 élevé, droite d'équation : G = P 2 + α* T 2 La résolution donne : α *= P 2 P 1 T 1 T 2 L'itinéraire 1 est choisi par les usagers dont la valeur du temps est inférieure à la valeur du temps de coupure α* (parfois aussi appelée valeur du temps critique). Ainsi, la proportion d usagers affectés au chemin 1 est égale à la probabilité de choisir le chemin 1. Elle est égale à la probabilité que l usager ait sa valeur du temps inférieure à α* que l'on peut déterminer à l'aide de la fonction de répartition cumulée. Collection «Les rapports» Sétra 51 septembre 2012

52 Annexe 2 : Présentation analytique du bilan d un projet de transport Cette annexe vise à présenter une modélisation analytique simplifiée de l'élasticité au PIB du surplus d'un projet à deux itinéraires entre deux points A et B. Dans toute la suite, on affectera l'exposant α="r" aux quantités valables dans la situation de référence (avant le projet) et l'exposant α="p" aux quantités valables dans la situation de projet et l'indice i=1 ou 2 suivant l'itinéraire concerné. Chaque itinéraire se caractérise par : une longueur L i, des temps de parcours avant et après projet T i α, l'objet du projet consistant par exemple à réduire le temps sur l'un des itinéraires, des péages kilométriques p i α, des malus de confort kilométriques m i α, des coûts kilométriques d'externalités (essentiellement sécurité, émission de gaz à effet de serre et de pollution) x i α, des coûts kilométriques d'entretien et exploitation des routes e i α. En outre, on se donne la valeur du temps vdt, la demande globale de trafic D sur la liaison A-B et le coût global kilométrique d'un véhicule comprenant le carburant, l'entretien et la dépréciation du véhicule noté c. Le coût généralisé du transport sur chaque itinéraire s'écrit : CG i α =vdtt i α + p i α L i +m i α L i +cl i (35) L'affectation sur itinéraire sera réalisée au moyen de la loi d'abraham avec un coefficient noté λ. Les trafics Q i α sont donc donnés par : Q i α =D (CG iα ) λ (CG 1α ) λ +(CG 2α ) λ (36) On adopte la notation ε(x) pour désigner l'élasticité d'une quantité X au PIB noté C, autrement dit : dx ε( X )= d ln X d ln C = dc X C (37) Il est facile de vérifier que l'opérateur ε possède les propriétés suivantes : ε( XY )=ε( X )+ε(y ) ν R ε( X ν )=νε( X ) Xε( X )+Yε(Y ) ε( X +Y )= X +Y ε( X )=ε( X ) (38) Collection «Les rapports» Sétra 52 septembre 2012

53 Exploitant ces propriétés, on calcule l'élasticité des coûts généralisés (35) et des trafics (36) à partir des élasticités des paramètres du modèle : et ε(cg iα )= vdtt α i ε (vdt )+ p α i L i ε( p iα )+m α i L i ε(m iα )+cl i ε (c ) α CG i (39) ε (Q iα )=ε (D ) λε (CG iα )+λ ( CG 1α ) λ ε (CG 1α )+(CG 2α ) λ ε (CG 2α ) (CG 1α ) λ +(CG 2α ) λ (40) Le surplus S du projet, dont on cherche à calculer l'élasticité, est calculé comme la différence entre les avantages A et les coûts K de celui-ci : Aε ( A) Kε ( K ) S= A K ε (S )= A K (41) Les avantages et l'élasticité correspondante se calculent ainsi : A=A r 1 + A r 2 A p 1 A p 2 ε ( A)= A r 1 ε( A 1r )+ A r 2 ε( A 2r ) A p 1 ε( A 1p ) A p 2 ε( A 2p ) A r 1 +A r 2 A p p 1 A 2 (42) avec A α i =Q iα (vdtt α i +m α i L i +cl i +x α i L i ) ε( A iα )=ε(q iα )+ vdtt α i ε (vdt )+m α i L i ε(m iα )+cl i ε (c)+x α i L i ε( x iα ) vdtt α i +m α i L i +cl i +x α i L i (43) Les coûts et l'élasticité correspondante s'écrivent quant à eux : avec K =K r 1 +K r 2 K p 1 K p 2 ε ( K )= K r 1 ε( K 1r )+K r 2 ε( K 2r ) K p 1 ε( K 1p ) K p 2 ε( K 2p ) K r 1 + K r 2 K p p 1 K 2 K i α =Q i α e i α L i ε( K iα )=ε(q iα )+ε(e iα ) (45) Au final, l'introduction de (39) dans (40), de (40) dans (43) et (45), de (43) dans (42) et (45) dans (44) permet de calculer l'élasticité du surplus (41). Ces formules ont été exploitées par tableur afin de mener les tests de sensibilités présentés à la section 3.4. Les tableaux ci-dessous présentent les principaux paramètres d évaluation et les principales caractéristiques du projet stylisé, ainsi que le bilan coûts-avantage qui en découle : (44) Données générales Valeur du temps ( /h) 15 Demande (veh/j) Entretien VL +carburant ( /veh.km) 0,2 Coefficient de la loi d affectation d Abraham 10 Collection «Les rapports» Sétra 53 septembre 2012

54 Elasticités données Valeur du temps 0,7 Péage 0 Entretien VL + carburant 0 Demande de trafic 1,1 Externalités 1 Coûts d'usage de l'infrastructure 0 Données par itinéraire Avant le projet Après le projet Itinéraire Itinéraire 1 Itinéraire 2 Itinéraire 1 Itinéraire 2 Géométrie Longueur (km) idem idem Avantages Temps de parcours (h) 0,71 0,71 0,42 0,71 Péage ( /veh.km) 0 0 0,08 0 Malus ( /veh.km) 0,023 0,023 0,007 0,023 Externalités ( /veh.km) 0,0225 0,0225 0,0145 0,0225 Coûts Coûts d'usage de l'infra ( /veh.km) 0,013 0,013 0,093 0,013 Calculs par itinéraire Avant le projet Après le projet Itinéraire Itinéraire 1 Itinéraire 2 Itinéraire 1 Itinéraire 2 Coût généralisé ( ) 21,86 21,86 20,60 21,86 Elasticité CG 0,34 0,34 0,21 0,34 Trafic (veh/j) Elasticité trafic 1,10 1,10 1,56 0,26 Contribution aux avantages ( /j) Elasticité des contributions aux avantages 1,48 1,48 2,01 0,80 Contribution aux coûts ( /j) Elasticité des contributions aux coûts 1,10 1,10 1,56 0,26 Bilan coûts-avantages Avantages ( /j) Elasticité avantages 1,35 Coûts ( /j) Elasticité coûts 1,56 Avantages - coûts Elasticité du projet 0,84 Collection «Les rapports» Sétra 54 septembre 2012

55 Décomposition des avantages et coûts Temps Externalités 2579 Malus 5157 Coûts d'usage de l'infrastructure Collection «Les rapports» Sétra 55 septembre 2012