Signal 2 Phénomènes ondulatoires

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1 Signal Phénomènes ondulatoires Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI Contenu du programme officiel : Notions et contenus Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence. Ondes stationnaires mécaniques. Diffraction à l infini. Capacités exigibles - Mettre en œuvre un dispositif expérimental pour visualiser le phénomène d interférences de deux ondes. - Exprimer les conditions d interférences constructives ou destructives. - Décrire une onde stationnaire observée par stroboscopie sur la corde de Melde. - Caractériser une onde stationnaire par l existence de nœuds et de ventres. - Exprimer les fréquences des modes propres connaissant la célérité et la longueur de la corde. - Savoir qu une vibration quelconque d une corde accrochée entre deux extrémités fixes se décompose en modes propres. -Mettre en œuvre un dispositif expérimental permettant d analyser le spectre du signal acoustique produit par une corde vibrante. - Choisir les conditions expérimentales permettant de mettre en évidence le phénomène de diffraction en optique ou en mécanique. - Utiliser la relation sin θ λ/d entre l échelle angulaire du phénomène de diffraction et la taille caractéristique de l ouverture. En gras les points devant faire l objet d une approche expérimentale. Table des matières 1 Superposition d ondes Additivité des signaux Réflexion d ondes Superposition d ondes progressives sinusoïdales Les ondes stationnaires mécaniques 4.1 Réflexion d une onde sinusoïdale sur une extrémité fixe Modes propres de la corde vibrante Interférences entre deux sources synchrones Mise en évidence expérimentale Conditions d interférences constructives et destructives Exemple d interférences d ondes sonores La diffraction Mise en évidence expérimentale Caractérisation de la diffraction Les ondes que nous avons étudiées dans le chapitre précédent peuvent être soumises à de nombreux phénomènes lors de leur propagation : interaction avec d autres ondes, rencontres d obstacles... L intérêt de la description ondulatoire est que, quel que soit le type d onde, les phénomènes ondulatoires sont les mêmes. Nous en étudions quelques un dans ce chapitre. 1 Superposition d ondes 1.1 Additivité des signaux Dans les milieux dit linéaires, qui seront les seuls étudiés en CPGE, les ondes se croisent sans interagir. Ainsi, pendant un croisement, les ondes s ajoutent. Dans l exemple ci-dessous, on considère deux ondes qui se croisent /11

2 Signal : Phénomènes ondulatoires t 0 1 t 0 1 t 1 1+ t 1 1+ t 1 t 1 1. Réflexion d ondes Lorsqu une onde atteint un obstacle infranchissable qui ne l absorbe pas, elle se réfléchit et une nouvelle onde de direction opposée apparaît. C est le cas des miroirs (ondes lumineuses) ou encore de l écho (onde sonore). Un contre exemple où les ondes sont absorbées est celui d une vague sur une digue, l intérêt de celle-ci étant de «casser» la vague. Selon la nature de l obstacle, la réflexion est différente. Regardons cela sur l exemple d une corde. Condition libre C est le cas lorsque l extrémité de la corde n est pas attachée, comme pour les fouet par exemple. Dans ce cas, l onde réfléchie est la même que l onde incidente mais se propage en sens inverse. t 0 Onde incidente t 1 + t Onde réfléchie Condition fixe C est le cas lorsque l extrémité de la corde est attachée et ne peut pas bouger. Dans ce cas, l onde réfléchie est l opposée de l onde incidente et se propage aussi en sens inverse. Cette condition impose que l extrémité reste bien fixe. t 0 Onde incidente t 1 + t Onde réfléchie Application Application 1 : On considère une onde progressive qui se propage le long d une corde tendue à la célérité c = 15 cm s 1. Selon que l extrémité de la corde soit fixe ou libre, représenter l allure de la corde à t = 1 s et t = s. Dans les deux cas, le schéma représente la photographie de la corde à t = 0. /11

3 Signal : Phénomènes ondulatoires Extrémité libre ou fixe 1 3 x(dm) 1.3 Superposition d ondes progressives sinusoïdales Aspect mathématique On rappelle la relation ( ) ( ) a + b a b sin a + sin b = sin cos. Ainsi, si nous considérons la somme de deux ondes progressives sinusoïdales, il vient ( ) ( ) Φ1 + Φ 1 Φ sin Φ 1 + sin Φ = sin cos (1.1) avec les phases Φ 1 la phase de l onde 1, Φ la phase de l onde et la différence de phases Φ = Φ 1 Φ. Exemple du phénomène de battement Considérons deux signaux sonores créés par deux diapasons. On enregistre ce signal sonore que l on observe à l oscilloscope. Dans ce cas, les deux signaux sont des notes pures, et donc sinusoïdaux, et leurs phases valent Φ 1 = f 1 t + φ 0,1 et Φ = f t + φ 0,. Le signal mesuré, en appliquant la relation (1.1), est donc s(t) = A sin (f m t + φ 0 ) cos ((f 1 f )t + φ 0 ). avec f m = (f 1 + f )/ la fréquence moyenne, φ 0 = (φ 0,1 + φ 0, )/ et φ 0 = (φ 0,1 φ 0, )/. Si l on suppose que les deux fréquence sont très proches, dans ce cas on a f m f 1 f et la différence de fréquence δf = f 1 f f m. Il s agit du phénomène de battements qui est représenté graphiquement figure 1. Ce phénomène, que l on peut repérer à l oreille, est utilisé pour accorder les instruments de musiques. s(t) 1/(δf) t 1/f m Fig. 1 Le phénomène de battements : la variation rapide est celle de la fréquence moyenne et la variation lente est due à l écart entre les deux fréquences. 3/11

4 Signal : Phénomènes ondulatoires Remarque : Ce signal est la somme de deux signaux sinusoïdaux, son spectre contient donc deux fréquences que l on peut mesurer par une analyse de Fourier. Les ondes stationnaires mécaniques.1 Réflexion d une onde sinusoïdale sur une extrémité fixe Considérons maintenant un mélange des deux phénomènes physiques précédemment décrits, à savoir une onde sinusoïdale arrivant sur un extrémité fixe. Ainsi, une onde progressive sinusoïdale se déplace selon les x croissants s 1 (x, t) = A cos(ωt kx), puis, après réflexion, une onde réfléchie apparaît se propageant selon les x décroissants : s (x, t) = A cos(ωt + kx + ϕ) avec ϕ le déphasage de l onde dû à la réflexion. Dans un milieu linéaire, ces deux ondes se superposent, et l expression mathématique de l onde résultante est donnée en application de la formule (1.1), soit ( s(x, t) = s 1 (x, t) + s (x, t) = A cos ωt + ϕ ) ( cos kx + ϕ ). (.1) Il ne s agit plus d une onde progressive, l onde globale s(x, t) ne se propage pas, elle oscille sur place. On pourra regarder cette animation [1] sur les ondes stationnaires pour bien visualiser le phénomène. Définition. Une onde stationnaire est une onde qui ne se propage pas et qui peut se mettre sous la forme s(x, t) = f(t)g(x). Une onde stationnaire ne véhicule pas d énergie. Ces ondes se rencontrent lorsque le milieu de propagation est limité. Elles résultent de la superposition de différentes ondes de même fréquence mais se propageant dans des directions différentes.. Modes propres de la corde vibrante Conditions aux limites Nous venons de voir qu une onde stationnaire peut apparaître lorsque le milieu de propagation est limité. Ce sont donc les conditions aux limites qui vont nous permettre de trouver la forme des ondes stationnaires. Prenons l exemple d une corde vibrante fixée à ses deux extrémités. On envisage une onde progressive se propageant dans ce milieu. On note y(x, t) le déplacement vertical d un point d abscisse x à l instant t. O y(x, t) x L x L onde se propageant selon les x croissants se réfléchit en x = L et donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans l autre sens. Dans un premier temps, nous n envisagerons que la superposition de ces deux ondes. On a donc, en reprenant l équation (.1), ( y(x, t) = A cos ωt + ϕ ) ( cos kx + ϕ ). La corde étant fixée en x = 0 et x = L on a donc deux conditions aux limites. 4/11

5 Signal : Phénomènes ondulatoires Condition à l origine x = 0 : il vient y(x = 0, t) = 0 = ϕ = [] = ϕ = []. Remarque : La notation [] se lit «modulo» et signifie qu il existe un entier n tel que ϕ = + n. En effet, si ϕ = ou 3, la condition de nullité sera toujours respectée. Remarque : Ce résultat sur la phase pouvait être anticipé avec le paragraphe précédent sur la réflexion d une onde sur une extrémité fixe. En effet, la seule manière de maintenir le signal nul à un endroit donné est que les deux ondes soit opposées, et donc pour des ondes sinusoïdales, déphasées de. On a donc y(x, t) = A sin(kx) sin(ωt) soit une onde stationnaire de la forme f(t)g(x). Condition à l extrémité x = L : il vient y(x = L, t) = 0 = kl = 0[]. On a donc k n L = n (n N ) = λ n = L n (n N ) = f n = n c L (n N ). Remarque : Attention, il n y a pas de raison d avoir la nullité des ondes incidente et réfléchie sur les bords. Seule l onde résultante, soit la somme des deux, est nulle. Les modes propres Propriété. Pour la corde vibrante fixée à ses deux extrémités, les fréquences des ondes stationnaires sont des multiples d une fréquence fondamentale f 1, on dit qu elles sont quantifiées, soit f n = nf 1 avec f 1 = c L. Ces fréquences possibles sont appelées fréquences propres du système. Les solutions y(x, t) correspondant sont appelés modes propres, représentés figure. Ainsi, seules certaines longueurs d onde (ou certaines fréquences) peuvent donner naissance à une onde stationnaire. Définition. On nomme nœuds (N) les positions pour lesquelles y(x, t) est nul et ventres (V) les positions pour lesquelles y(x, t) est maximum, comme représenté figure 3. V V V N N N N O L Fig. 3 Les nœuds et les ventres d un mode propre. On pourra à nouveau regarder cette animation [1] sur les ondes stationnaires pour bien visualiser le phénomène. 5/11

6 Signal : Phénomènes ondulatoires O L Fondamental : λ = L (mode propre n = 1) O L Seconde harmonique : λ = L (mode propre n = ) O L Troisième harmonique : λ = L 3 (mode propre n = 3) Fig. Représentation de différents modes propres d une corde tendue. Solution générale de la corde vibrante en régime libre Dans un milieu de propagation unidimensionnel illimité, grâce au théorème de Fourier, on peut montrer qu une onde quelconque se décompose en ondes sinusoïdales progressives. Les fréquences de ces composantes sinusoïdales peuvent être choisies librement, en d autre termes, le spectre du signal est continu. La limitation spatiale du milieu de propagation conduit à l apparition de modes propres quantifiés. De manière similaire au milieu illimité, on peut montrer que qu un signal quelconque est toujours une combinaison linéaire de ces modes propres, mais comme les fréquences sont fixées par le milieu, le spectre du signal est maintenant discret. Propriété. Lorsque qu une corde est excitée de façon quelconque, le déplacement vertical de la corde y(x, t) est une combinaison linéaire des modes propres possibles de la cordes. L énergie de l excitation est repartie entre les différents modes, on dit que les modes sont peuplés. La répartition de l énergie dépend de la forme de l excitation extérieure. Cette propriété explique la physique des instruments de musique à corde. En effet, la fréquence fondamentale, donc la note, est fixée par la longueur de la corde et la célérité de l onde sur celle-ci. On peut montrer que la célérité dépend de la tension de la corde et la masse linéique de celle-ci. Ainsi, modifier la tension d une corde ou sa matière modifie la fréquence fondamentale produite. De plus, en modifiant la longueur de la corde qui peut vibrer, on modifie aussi la note. Ensuite, à tension et longueur fixée, selon la façon dont la corde est mise en mouvement (frappée, frottée, pincée...) l énergie va se répartir selon des modes propres différents. Si la note est la même car la fréquence fondamentale est fixée, l amplitude des harmoniques est différente, le timbre de la note est donc modifié. 3 Interférences entre deux sources synchrones 3.1 Mise en évidence expérimentale Expérience 1 : La cuve à onde : Un vibreur est relié à une tige ayant deux extrémités sur une petite épaisseur d eau. Définition. Des sources synchrones sont deux sources vibrant à la même fréquence et sans déphasage à l origine. 6/11

7 Signal : Phénomènes ondulatoires Remarque : Le phénomène de battements est impossible avec de telles sources, les fréquences étant identiques. Remarque : L absence de déphasage à l origine n est pas indispensable pour le phénomène d interférences, mais simplifiera l étude dans notre cadre. Les deux mobiles reliés au même vibreur frappent la surface de l eau. Ils constituent deux sources synchrones. On observe que chaque source produit une onde circulaire à la surface de l eau ; les deux ondes se superposent, comme le montre la photographie figure 4 ; en certains points, la superposition annule l onde résultante alors qu en d autres, elle semble plus importante (elle est plus lumineuse). On peut manipuler l animation [] pour plus de détails. Cette figure s appelle une figure d interférences. Fig. 4 Photographie de la figure d interférences dans une cuve à ondes. 3. Conditions d interférences constructives et destructives Le déphasage entre deux signaux sinusoïdaux Considérons deux signaux sinusoïdaux en un point x fixé, de même fréquence f et de même amplitude A. Les phases de ces deux signaux s écrivent Φ 1 = ft + φ 0,1 et Φ = ft + φ 0,. Il est à noter que les phases à l origine φ 0,1 et φ 0, dépendent de la position x. Reprenons la relation (1.1) et les notations définies précédemment pour deux sources synchrones, il vient donc ( ) Φ s(t) = A sin (ft + φ 0 ) cos. avec f la fréquence des signaux, φ 0 = (φ 0,1 + φ 0, )/ et Φ = Φ 1 Φ la différence de phase entre les deux ondes. ( ) Φ Ce signal est un signal sinusoïdal d amplitude A cos. Cette amplitude varie selon le déphasage entre les deux ondes. 7/11

8 Signal : Phénomènes ondulatoires Définition. Considérons deux signaux sinusoïdaux de même amplitude. On a s 1 = A sin(φ 1 ) et s = A sin(φ ) = A sin(φ 1 + Φ). On appelle Φ = Φ Φ 1 le déphasage entre les deux signaux. Graphiquement, si on trace les deux signaux en fonction de la phase Φ 1, on peut repérer le déphasage comme la différence, en radian, de position de deux maximas successifs des deux signaux. Φ s 1 s Φ 1 (rad) Fig. 5 Visualisation graphique du déphasage. La somme de deux signaux sinusoïdaux dépend directement du déphasage, comme cela est représenté dans l animation [3]. On ne s intéresse plus à l aspect progressif de l onde mais uniquement à la valeur de l amplitude. Les variations temporelles sont soit invisibles car la fréquence est trop élevée (son, lumière...) ou soit l utilisation d un stroboscope permet de s en affranchir (cuve à onde...). Les interférences constructives Définition. Lorsque que deux signaux sinusoïdaux interfèrent et que le résultat de l interférence est d amplitude maximale, on parle d interférences constructives. Mathématiquement, cela implique un déphasage nul Φ = 0[]. 3 0 s s 1 s 1 + s 3 Φ 1 On dit que les deux signaux sont en phase. Les interférences destructives Définition. Lorsque que deux signaux sinusoïdaux interfèrent et que le résultat de l interférence est nul, on parle d interférences destructives. Mathématiquement, cela implique un déphasage de Φ = []. 3 s s 1 s 1 + s = Φ 1 On dit que les deux signaux sont en opposition de phase. Application à la cuve à onde Dans le schéma de la figure 6 sont représentés en ligne pleine les lieux des interférences constructives et en ligne pointillée les lieux des interférences destructives dans le cas de la cuve à onde. 8/11

9 Signal : Phénomènes ondulatoires Fig. 6 Lieu des interférences constructives et destructives dans la cuve à onde. 3.3 Exemple d interférences d ondes sonores Méthode de résolution d un exercice d interférences : 1. identifier les deux ondes et écrire la phase d une onde sinusoïdale en fonction des données de l énoncé ;. en un point donné quelconque de l espace, exprimer le déphasage des deux ondes dû à la propagation. Ce déphasage dépend de la position x du point d étude et de la longueur d onde ; Ce déphasage ne dépend jamais du temps pour des sources synchrones. 3. appliquer les conditions d interférences constructives ou destructives, et en déduire les différentes positions x i vérifiant ces conditions ; 4. faire un schéma pour visualiser ces positions et répondre aux questions posées. On rappelle que la phase d une onde sinusoïdale issue du point source S au point M vaut Φ(t, M) = ft SM λ + φ 0 avec φ 0 la phase à l origine et SM la distance entre le point M et la source S de l onde. Application : Deux petits haut-parleurs sont disposés à S 1 O M S une distance D = 1 m l un de l autre le long x x M d un axe Ox, symétriquement par rapport à D/ D/ O. On place également sur cet axe un micro- phone au point M d abscisse x M, entre les deux haut-parleurs que l on alimente avec un même signal sinusoïdal de fréquence f = 500 Hz. On visualise sur un oscilloscope la tension délivrée par le microphone après l avoir amplifiée. Exprimer les phases des deux ondes sonores au point M en fonction de la longueur d onde λ et de la position x M. Quelle est la nature (destructive ou constructive) des interférences au point O? Exprimer la position des maxima et des minima d amplitude de l intensité le long de l axe Ox en fonction de la longueur d onde λ. Lorsqu on déplace le microphone le long de l axe Ox en partant du point O, l amplitude du signal commence par décroître, puis elle augmente avant de passer par un maximum en x mm. 9/11

10 Signal : Phénomènes ondulatoires Interpréter cette observation et en déduire la vitesse du son dans l air à la température de l expérience. Combien y-a-t-il de maxima entre les sources? 4 La diffraction 4.1 Mise en évidence expérimentale Lorsqu une onde incidente rencontre une ouverture, ou un obstacle, dont les dimensions sont de l ordre de la longueur d onde, il se produit un étalement de l onde. C est le phénomène de diffraction. Ce phénomène est modélisé dans l animation [4]. Ce phénomène est photographié pour les vagues dans la figure 8, pour la lumière laser dans la figure 9 et pour la lumière dans des conditions usuelles dans la figure 10 page Caractérisation de la diffraction Propriété. Le schéma de la figure de diffraction est réalisé figure 7. On admet que le demi-angle d ouverture θ est donné par la relation sin θ = λ d avec λ la longueur d onde de l onde (en mètres) et d la taille de l ouverture (en mètres). En général, les angles considérés sont faibles et sin θ θ (avec θ en radian). Dans ce cas, on retiendra θ λ d. d θ λ Onde incidente Onde diffractée Fig. 7 Schéma d une figure de diffraction : une onde de longueur d onde λ arrive sur une ouverture de taille d. L onde est diffractée dans une cône de demi-angle d ouverture θ. Les traits bleus représentent les positions des maximas de l onde. Application 3 : On observe une figure de diffraction en plaçant un écran à la distance D derrière l obstacle. On note λ la longueur d onde et d la taille de l ouverture. Quelle est la taille de la tâche centrale de la figure de diffraction sur l écran? Références [1] stationnaires.php [] interference_ondes_circulaires.php [3] 10/11

11 Signal : Phénomènes ondulatoires [4] diffraction.php Fig. 8 Diffraction d onde océaniques à travers le détroit de Gibraltar. Fig. 9 Figures de diffractions de laser de différentes longueurs d ondes sur un trou. Fig. 10 Diffraction bidimensionnelle de la lumière à travers les mailles d un rideau. 11/11