Étude de la signature de la diffusion dans un jet turbulent.

Transcription

1 FORMATION Stage Sciences de la matière École Normale Supérieure de Lyon M2 Université Claude Bernard Lyon 1 Option Physique Étude de la signature de la diffusion dans un jet turbulent. Résumé Nous étudions la dispersion d un scalaire dans un fluide avec l objectif principal de caractériser l influence de la diffusivité moléculaire sur les propriétés du mélange. Nous cherchons notamment à étudier le rôle que le transport diffusiophorétique de macromolécule (induit par la présence de gradients salins), mis en évidence récemment dans les écoulements micro-fluidiques, peut jouer à l échelle macroscopique. Nous nous sommes d abord intéressés à l injection du scalaire dans des conditions d écoulement laminaire. Puis nous avons poursuivi l étude dans le cas du mélange dans un jet turbulent. Une analyse des champs de concentration par une méthode de lissage progressif lors de l injection de différentes espèces nous a permis de mettre en évidence l influence de la diffusivité moléculaire sur le mélange. Nous avons également montré un ralentissement du mélange de macromolécules lorsque celles-ci sont injectées simultanément avec du sel, suggérant une modification du coefficient de diffusion effectif par diffusiophorèse avec une influence sur le mélange macroscopique. Mots clé Turbulence, jet, scalaire, coefficient de diffusion, nombre de Schmidt Directeur de stage : Mickaël Bourgoin mickael.bourgoin@gmail.com ENS Lyon - Laboratoire de Physique http :// 46, allée d Italie, Lyon Mai-Juillet 2011

2 Remerciements Je remercie Mickaël Bourgoin pour son accueil au laboratoire et l aide qu il m a apportée tout au long du stage. Le dispositif expérimental a été construit par l équipe de l atelier du laboratoire, qui m a également aidé sur les aspects techniques de l expérience. Je voudrais remercier Romain Volk, Robert Zimmermann, Lionel Fiabane, Delphine Chareyron, Sophie Miralles et Fanny Seychelles pour leur aide pendant ce stage. Table des matières 1 Généralités Turbulence Cas particulier du jet turbulent Le transport du scalaire Dispositif expérimental La cuve Acquisitions Les colorants Dispersion en régime laminaire Objectif Évolution des profils de concentration Influence du panache Régime turbulent Dispositif expérimental Observables Résultats PDF Lissage Annexe : le système optique 21

3 Introduction Les phénomènes de mélange sont de plus en plus étudiés du fait de leurs applications dans l industrie et la nature, et notamment en ce qui concerne la pollution. Comment une rivière disperse ses polluants dans un océan, ou comment les gaz d échappement sont par exemple évacués à la sortie d un tunnel sont des problèmes qui ne sont pas encore entièrement compris. Nous nous sommes intéressés plus précisément au phénomène de mélange dans un jet turbulent. Le problème du jet, bien que largement documenté [2, 5] sur l aspect turbulent, n a été que peu étudié d un point de vue du mélange. Villermaux et al [3] et Duplat [6] ont mis en évidence la possibilité de mesurer des quantités statistiques qui dépendent directement du coefficient de diffusion, ou de façon plus générale du nombre de Schmidt (S C = ν avec ν la viscosité cinématique du fluide et D le D coefficient de diffusion du scalaire). Cependant, les mesures de mélanges effectuées n ont pas encore permis de tirer des conclusions définitives sur l influence du nombre de Schmidt sur le mélange. De plus, la question du rôle de la diffusion moléculaire sur le mélange turbulente reste encore ouverte, notamment dans les régimes à grand nombre de Schmidt. Par ailleurs, Abecassis et al [1] ont mis en évidence un phénomène micro-fluidique original et intéressant. L ajout de sel dans une solution de colloïdes permet, par effet de charges de surface dans un gradient de concentration en sel, de changer le coefficient de diffusion effectif des colloïdes. L expérience a lieu dans un canal homocinétique en Ψ (3 voies qui se rejoignent pour n en former plus qu une) et les colloïdes sont injectés dans la voie centrale. Si du sel est ajouté dans les voies extérieures, le profil de colloïdes s élargit significativement et rapidement, et le phénomène inverse est observé si du sel est injecté dans la voie centrale. Ce phénomène, où un gradient d espèces très diffusives (le sel dans le cas présent) changent le coefficient de diffusion de colloïdes (ou plus généralement de macromolécules) peu diffusifs, se nomme diffusiophorèse. Nous nous intéressons ici au mélange macroscopique et turbulent, pour étudier l influence du coefficient de diffusion et notamment le rôle éventuel de la diffusiophorèse en régime laminaire et turbulent. Nous voulons en premier lieu reproduire le phénomène micro-fluidique à l échelle macroscopique afin de savoir s il s y applique également. Puis, nous souhaitons caractériser le mélange macroscopique de substances de coefficients de diffusion variés afin d analyser l influence de ce paramètre. Dans le cas de macromolécules, la comparaison du mélange avec et sans sel additionnel permettra par ailleurs d explorer la pertinence du mécanisme diffusiophorétique et, si elle était avérée, de déterminer le coefficient de diffusion effectif des macromolécules en présence de sel. Ceci permettrait de compléter les mesures de mélanges effectuées en turbulence, pour mieux comprendre ce phénomène. De plus, des mesures de coefficients de diffusion lors du phénomène de diffusioporèse permettrait de mieux quantifier ce phénomène. Il est également intéressant de noter que ce problème reproduit par exemple le phénomène naturel d une rivière d eau douce qui disperse des polluants dans un océan d eau salée. 1

4 1 Généralités 1.1 Turbulence La turbulence est caractérisée par un écoulement de fluide dont les quantités statistiques comme la moyenne ne suffisent pas à décrire l écoulement. L écoulement fluctue dans le temps et l espace et présente de grand écarts par rapport à sa moyenne. On associe souvent à la turbulence un caractère tourbillonnaire, avec des vortex d échelles, de vitesses et de sens variables dans le temps et l espace. Pour l écoulement incompressible d un fluide newtonien, l évolution du champ de vitesse est gouvernée par l équation de Navier-Stokes : u = 0 u t + ( u ) P u = ρ + ν u, (1) où u est la vitesse, P la pression, ρ la masse volumique et ν la viscosité cinématique. La turbulence correspond aux cas à haut nombre de Reynolds, c est-à-dire quand le terme d advection domine : R e = UL ν 103, (2) où U et L sont une vitesse et une longueur caractéristiques de l écoulement. Pour décrire le champ moyen et l influence des fluctuations sur ce dernier, il est coutume de décomposer la vitesse selon u ( x, t) = u ( x, t) + v ( x, t), où v est la partie fluctuante de la vitesse et. désigne la moyenne temporelle ou d ensemble, plus communément nommée moyenne de Reynolds. En utilisant cette expression dans la moyenne de l équation de Navier-Stokes, on obtient l équation de Reynolds : u t + ( u ) P u = + ν u T ( ), (3) ρ où on définit le tenseur de Reynolds T ij = v i v j. Cependant ce tenseur, comporte 6 inconnues, l équation n est donc pas fermée. Il faut pour cela écrire l équation précédente pour v v, mais le moment d ordre supérieur restera inconnu, et l équation ouverte. Seule la hiérarchie complète des équations d évolution de tous les moments du champ de vitesse représente un système d équations fermées. Une description complète de la turbulence ne peut se limiter à la moyenne, une étude statistique complète est nécessaire, avec des mesures de champs de vitesse à un point (PDF) ou à plusieurs points (incréments de vitesse, spectre d énergie). Par ailleurs, Kolmogorov [7] a établi une phénoménologie qui est partiellement vérifiée expérimentalement : il existe une zone dans le spectre d énergie (figure 1) de la turbulence où les quantités statistiques ne dépendent que du taux moyen de dissipation d énergie, ε : E(k) = C Kol ε 2/3 k 5/3, (4) où E est le spectre d énergie, k le nombre d onde et C Kol une constante. Ce phénomène en turbulence s appelle la cascade d énergie. On injecte de l énergie à l échelle intégrale, qui est transférée sans perte le long des échelles inertielles jusqu à être dissipée à l échelle visqueuse. Ainsi, la quantité ε correspond à la fois à la densité de puissance injectée, au flux constant d énergie à travers les échelles et à la densité massique de dissipation d énergie. On définit l échelle 2

5 Figure 1 Spectre d énergie typique de la turbulence. L échelle intégrale est l échelle où l on injecte l énergie. L échelle visqueuse, ou dissipative, est celle où la taille des vortex est suffisamment petite pour que la dissipation moléculaire domine. La zone inertielle est une zone où l énergie est transférée. de Kolmogorov comme l échelle à partir de laquelle la dissipation entre en jeu (où le temps de retournement d un tourbillon est égale au temps de dissipation visqueuse). 1.2 Cas particulier du jet turbulent Par analyse dimensionnelle sur les quantités statistiques et caractéristiques, il est possible de trouver de nombreux résultats sur le jet turbulent [9, 11], valables au-delà d une certaine distance grande devant la taille de l injecteur. Il évolue notamment dans un région conique, définie par un angle universel (environ 15 ). Son profil de vitesse transverse est une gaussienne autosimilaire. Il existe un phénomène d entraînement de masse de la région non turbulente à la région turbulente. Le nombre de Reynolds est constant. Les fluctuations de vitesse dans le jet présentent des écarts à la moyenne pouvant aller jusqu à 20 %. 1.3 Le transport du scalaire Le terme scalaire fait ici référence à un champ mesurable qui suit l évolution du fluide (même densité) tout en diffusant dans le milieu [8]. Dans nos expériences, le scalaire est un colorant ou des colloïdes ; dans l air, il pourrait être un champ de température par exemple. Il dispose donc d une évolution propre (diffusion) couplée au transport par le champ de vitesse du fluide (advection), on parle alors d équation d advection-diffusion [4] : C t + u C = D 2 C, (5) où C représente le champ de concentration, u le champ de vitesse et D le coefficient de diffusion du scalaire. Le nombre sans dimension qui caractérise la diffusion est le nombre de Schmidt : S C = ν, avec D ν la viscosité cinématique du fluide. A viscosité fixée, un grand nombre de Schmidt correspond à des substances à faible coefficient de diffusion (typiquement des macromolécules ou des colloïdes) ; et inversement. On peut également définir un autre nombre sans dimension, le nombre de Péclet : P e = UL, qui D représente le rapport du terme d advection par le terme de diffusion. Ce nombre dépend en fait de 3

6 R e et de S C, qui seront nos deux paramètres pour l étude. De grands nombres de Reynolds et de Schmidt impliquent un nombre de Péclet très grand (P e = R e S C ), ce qui signifie une diffusion presque négligeable. Cependant, un phénomène comme la diffusiophorèse peut changer un coefficient de diffusion de plusieurs ordres de grandeur. Ainsi, ce phénomène pourrait modifier le nombre de Péclet et donner un rôle plus important à la diffusion en mélange turbulent. 2 Dispositif expérimental 2.1 La cuve La figure 2(b) présente le schéma du dispositif expérimental. La cuve utilisée est parallélépipédique, de dimension mm (soit un volume de 54 L), en plexiglas. Elle est montée sur pieds réglables afin d assurer une meilleure stabilité. Le fond de la cuve est percé de deux trous : un sur le coté, permettant le remplissage et la vidange de la cuve, et un au centre sur lequel est monté un injecteur. Cet injecteur est relié à un autre orifice en haut de la cuve et, grâce à une pompe en circuit fermé, il produit un jet turbulent dans la cuve. Le diamètre de l injecteur est de 7 mm, nous le notons D inj. Le circuit de la pompe possède des vannes afin de pouvoir régler son débit, un débitmètre pour les acquisitions et un filtre pour éviter la pollution due aux poussières et autres particules résiduelles. Une buse est fixée sur le couvercle amovible de la cuve et permet l injection de colorant au centre du jet, environ 13, 6 D inj plus haut, soit dans le domaine où le jet est pleinement développé et autosimilaire. Le diamètre de la buse est de 0, 7 mm. Le colorant est injecté dans la buse par une seringue, avec un débit piloté par un pousse seringue. La pompe, le pousse seringue et le débitmètre sont reliés à une carte d acquisition et leur contrôle se fait via le logiciel Labview. Les colorants utilisés sont tous des dérivés de la rhodamine, une molécule fluorescant dans l orange lorsqu elle est excitée dans le vert. Nous utilisons un laser de longueur d onde 532 nm, qui se situe au voisinage de son maximum d absorption, afin de visualiser les champs de concentration du colorant. 2.2 Acquisitions A l aide d un dispositif optique de nappe laser (Cf Annexe), nous observons les mouvements du colorant dans un plan vertical (dans le plan de la buse et du jet) ou horizontal (à 10, 5 cm en aval de la buse). Les parois de la cuve ne servant pas à l observation sont recouvertes d un film noir pour éviter les réflexions. Le couvercle de la cuve est muni d une fenêtre plongeant dans l eau pour ne pas être gêné par les mouvements de la surface libre lors d acquisitions en nappe horizontale. Les images sont effectuées avec un appareil photo Nikon D700, en format 14 bits. L appareil est toujours placé face à la nappe laser. Nous travaillons à ISO fixé, et faisons varier le temps de pose afin d avoir suffisamment de lumière sans pour autant saturer ou flouter les images. La transformation de l image, en pixels, en unités métriques se fait grâce à une calibration avec une mire, ce qui permet également de corriger d éventuelles déformations sur l image. 2.3 Les colorants Comme expliqué précédemment, la rhodamine B est un composé fluorescent. Elle a un maximum d absorption à 540 nm et elle réémet dans le rouge. Nous disposons un filtre notch qui bloque les longueurs d onde du laser utilisé afin de ne garder une intensité lumineuse qui ne correspond qu à la lumière émise par le colorant. En effet, dans une certaine gamme de concentration et de puissance, l intensité lumineuse émise par la rhodamine est proportionnelle à sa concentration. Cette technique de mesure se nomme LIF : Laser Induced Fluorescence. 4

7 (a) Image du dispositif expérimental (b) Schéma du dispositif. 1 : pousse seringue, 2 : pompe, 3 : débitmètre, 4 : injecteur du jet, 5 : entrée/sortie d eau, 6 : buse, 7 : nappe laser horizontale/verticale, 8 : filtre orange, 9 : appareil photo, 10 : fenêtre de prise de vue. Figure 2 Le dispositif expérimental. 5

8 A l aide de solution à concentrations connues en rhodamine, nous avons pu effectuer des courbes de calibration en concentration et en puissance laser (figures 3(a) et 3(b)). Nous observons qu il existe un domaine de concentrations et de puissances dans lequel l évolution est linéaire. Dans ce domaine, une mesure d intensité correspond linéairement à une mesure de concentration. Dans le régime laminaire, la puissance du laser est de 15 W et la concentration est de 0, 12 mg/l, nous sommes donc dans le domaine linéaire et ces conditions permettent une intensité suffisante pour la capture d images de qualité. Dans le cas turbulent, la puissance est de 30 W, la concentration dans la seringue est certes de 1 mg/l, mais dans la zone de mesure, après avoir été mélangée par le jet, elle ne dépasse pas 0, 1 mg/l, nous sommes donc, comme précédemment, dans de bonnes conditions. Pour mener notre étude, nous avons utilisé différents dérivés de la rhodamine. Tout d abord, la rhodamine B diluée dans l eau est notre colorant de référence, avec un coefficient de diffusion de 4, m 2.s 1. Ensuite, le dextran est une macromolécule qui présente des complexes sur lesquels de la rhodamine a été greffée. Le dextran a un coefficient de diffusion 10 fois inférieur à la rhodamine. Enfin, il existe une peinture fluorescente à base de rhodamine, qui une fois diluée dans l eau et décantée, permet l obtention de colloïdes de taille moyenne d environ 2 µm, qui fluorescent comme la rhodamine. Leur coefficient de diffusion, calculé à partir de la formule de Stokes-Einstein (équation 6), vaut environ m 2.s 1. D = k BT 6πηR, (6) où D est le coefficient de diffusion, k B la constante de Boltzmann, T la température, η la viscosité dynamique et R le rayon des colloïdes (ici un rayon moyen de l ordre de 2 µm déterminé par observation sous microscope). 3 Dispersion en régime laminaire 3.1 Objectif Cette expérience est inspirée d un phénomène mis en évidence en micro-fluidique : la diffusiophorèse [1]. Ce phénomène correspond à l amélioration du transport d espèces à faible coefficient de diffusion par un gradient de sel. Nous souhaitons donc mettre en évidence ce phénomène à l échelle macroscopique. Pour cette étude, nous utilisons une nappe laser verticale, et nous nous plaçons dans le régime laminaire : le jet est éteint. Comme le débit du pousse seringue est très faible, il ne suffit pas à transporter le colorant au delà de la sortie de la buse. Cependant, la nappe laser chauffe la buse (qui est en métal) ce qui, par convection thermique, met en mouvement un panache continu de colorant. Nous étudions donc ce panache en fonction du débit du pousse seringue et du colorant utilisé. Les débits utilisés sont de 0, 01; 0, 03; 0, 10; 0, 15 et 0, 20 ml/min. La puissance du laser est de 15 W. L intensité lumineuse sur les images acquises est normalisée par le temps de pose de l appareil photo. Les concentrations des solutions injectées pour chaque colorant sont choisies dans la région linéaire et sont fixes. Nous prenons pour chaque condition expérimentale 150 images que nous analysons pour extraire le profil moyen du panache de colorant. Nous réalisons d abord les mesures pour la rhodamine (référence) puis pour le dextran et les colloïdes (beaucoup moins diffusifs que la rhodamine), afin de voir si la variation de diffusivité moléculaire est détectable. Enfin, pour tenter de mettre en évidence le phénomène de diffusiophorèse, nous étudions les panaches issus de colorants contenant 20 mm de LiCl. Cette composition est celle qui donnait les meilleurs résultats en micro-fluidique. La présence de sel injecté avec le colorant est 6

9 1 INTENSITE NORMALISEE CONCENTRATION (mg/l) (a) Évolution de l intensité des solutions de rhodamine, éclairées par le laser à 0, 5 W, en fonction de leur concentration. L ordonnée correspond à la somme de l intensité de chaque pixel dans la solution, normalisée par la solution la plus concentrée pour plus de lisibilité sur les axes. 1.2 INTENSITE NORMALISEE PUISSANCE (W) (b) Évolution de l intensité d une solution de rhodamine à 0, 12 mg/l en fonction de la puissance du laser. L intensité est mesurée comme pour l évolution en concentration. Figure 3 Ces deux courbes de calibration mettent en évidence un domaine de concentrations et de puissances dans lequel l évolution est linéaire. Dans ce domaine, une mesure d intensité correspond à une mesure de concentration. 7

10 supposée inverser la diffusion et provoquer un rétrécissement du panache. Au contraire, la présence de sel dans la cuve aurait tendance à élargir le panache. 3.2 Évolution des profils de concentration La figure 4 est un exemple des images prises lors d un expérience. Le traitement des images consiste à transformer l image grâce à un algorithme et une image de calibration sur une mire (afin de convertir l image en unités métriques), puis à redresser le panache à l aide de la position du maximum d intensité (le long de l axe du panache) en fonction de la distance à la buse. Une fois ce travail effectué, nous obtenons des profils d intensité (figure 6), renormalisés par l intensité maximale du capteur (14 bits, pour plus de lisibilité), sur lesquels nous pouvons faire des post-traitements, en vue d analyser la géométrie du panache en fonction de la substance diffusante. Figure 4 Image d injection de rhodamine avec un débit de 0, 03 ml/min. Figure 5 Exemple des instabilités lentes observées en régime laminaire. Image issue d une expérience avec la rhodamine et un débit de 0, 10 ml/min. Nous nous intéressons particulièrement à la largeur du panache en fonction de sa distance à la buse. La largeur est obtenue en ajustant la courbe d intensité pour chaque tranche transverse du jet par une gaussienne. Cet ajustement nous donne une valeur de l écart-type qui une fois multiplié par 2,4 donne la largeur à mi-hauteur (2 2ln(2)σ, où σ est l écart-type du profil gaussien, définissant la largeur à mi-hauteur). Dans toutes les expériences, nous observons tout d abord un rétrécissement du panache dans les premiers millimètres, puis un léger élargissement (figure 7). Cependant, il n est pas clair que, ni la valeur de la diffusivité moléculaire, ni la présence de sel aient une influence sur les panaches. Nous n avons pas réussi à mettre en évidence dans ces conditions une influence systématique du coefficient de diffusion de la substance injectée, ni de l injection simultanée de sel avec le colorant. Ceci est probablement relié au fait que l effet attendu est fin alors que l erreur expérimentale est en effet grande : le pousse seringue n est pas parfaitement stable à des débits aussi faibles, et l élargissement attendu pour la diffusion du colorant est contenu dans cette erreur. De plus, comme la convection thermique est à la base de la montée du panache, nous avons peu de contrôle sur l écoulement (notamment sur le stabilité du bain thermique qui à l heure actuelle n est pas thermalisé). Ce manque de contrôle, du fait des différences de vitesses qu il crée le long du panache, présente également des instabilités lentes (figure 5) qui déforment le panache sur des échelles spatiales et temporelles grandes. Très fréquemment, cette instationnarité fait légèrement osciller une partie du panache qui correspond à la fin de notre fenêtre d observation. Cette oscillation fausse la détermination du profil moyen en introduisant un élargissement supplémentaire, qui n est pas réel. Nous pouvons le voir sur la figure 7, où après 40 mm un élargissement fort apparaît, alors qu il n est 8

11 Figure 6 Profil d intensité normalisé et calibré lors de l injection de rhodamine avec un débit de 0, 03 ml/min. pas visible sur le cliché instantané de la figure 4. Une étude sur la décroissance de la concentration au centre du panache ne permet pas non plus de conclure sur un éventuel rétrécissement du jet en présence de sel. 3.3 Influence du panache Pour trancher quant à l origine diffusive ou non de l élargissement, nous avons cherché à caractériser le panache laminaire entraînant le colorant. Pour cela nous avons effectué des mesures de PIV (Particle Image Velocimetry) dans ce régime afin de caractériser les champs de vitesse convective en aval de la buse (figure 8). Par ailleurs, à partir des champs de vitesses, nous pouvons tracer les lignes de courants, qui sont ici également les trajectoires. La connaissance de ces lignes permet de connaître le mouvement des particules de colorants si nous négligeons leur diffusion. Ainsi, en prenant deux lignes de courant partant chacune d une extrémité de la buse, nous pouvons connaître la position où des particules sortant de la buse seraient advectées. Nous en déduisons donc la largeur du panache sans diffusion. La figure 9 est un exemple des quantités mesurées pour le dextran avec un débit de 0, 03 ml/min. Nous ne comprenons pas la grande différence entre la décroissance initiale de la largeur pour la PIV et la LIF. Ceci pourrait être dû à un biais de la mesure de PIV du fait de la largeur de la nappe laser qui est au moins de l ordre de la taille de la buse. Le fait que le panache entier soit compris dans la nappe pourrait diminuer la vitesse radiale mesurée, ce qui diminuerait la vitesse de décroissance initiale. Les mesures de PIV n ont donc pas apporté d éclaircissement significatif. Par ailleurs, nous avons fait un modèle d advection-diffusion d un point source dans un champ de vitesse constant [10]. En effet, le panache traverse un domaine de vitesse quasi constant. Ce modèle à une solution exacte pour la largeur de la tache de colorant en fonction de sa distance parcourue : 9

12 LARGEUR (mm) DISTANCE A LA BUSE (mm) Figure 7 Évolution de la largeur du panache en fonction de sa distance à la buse lors de l injection de rhodamine avec un débit de 0, 03 ml/min Y (mm) X (mm) Figure 8 Champ de vitesse obtenu par la PIV pour le panache avec un débit du pousse seringue de 0, 03 ml/min. Les axes X et Y représentent respectivement les directions longitudinale et transverse. La vitesse au centre est d environ 3, 8 mm.s 1 10

13 2Dx w(x) = U, (7) où w est la largeur, en fonction de la distance au point d injection x, D le coefficient de diffusion et U la vitesse. L élargissement attendu du fait de la diffusion sur les dimensions du champ d observation ne dépasse donc pas la dizaine de microns typiquement. Au vu des erreurs expérimentales sur la mesure de la largeur, et du faible contrôle sur la vitesse du panache (qui dépend plus de la convection que de l injection), nous comprenons donc pourquoi il n est pas possible d observer le phénomène de diffusiophorèse dans cette configuration expérimentale Largeur avec PIV Largeur avec LIF Solution advection diffusion 0.6 LARGEUR (mm) DISTANCE A LA BUSE (mm) Figure 9 Évolution de la largeur du panache, mesurée grâce aux données de LIF (en bleu) ou par les données de PIV (en rouge) en fonction de sa distance à la buse lors de l injection de dextran avec un débit de 0, 03 ml/min. La courbe verte est le tracé de l équation 7. Cependant, le fait que nous n arrivons pas à mesurer une différence significative sur l évolution de la largeur du panache en présence ou non de sels ne signifie pas que cette présence n influe pas réellement sur le coefficient de diffusion du scalaire. Cette configuration expérimentale ne permettait pas d observer de façon significative l influence du coefficient de diffusion sur le panache. Par ailleurs, certaines quantités dépendent, en régime turbulent, directement du coefficient de diffusion ; et la mesure de ces quantités permet une mesure de ce dernier. C est pourquoi nous avons décidé d arrêter l étude en régime laminaire pour explorer le phénomène de diffusiophorèse en régime turbulent. Le régime turbulent permet par ailleurs une étude statistique fine avec une meilleure convergence dans la mesure où les échelles de temps des fluctuations sont bien plus rapides (de telle sorte qu un grand nombre d évènements statistiquement indépendants peut être acquis dans un laps de temps accessible) que les perturbations lentes observées en régime laminaire, qui se sont avérées rédhibitoires pour une caractérisation fine du panache moyen. 11

14 4 Régime turbulent 4.1 Dispositif expérimental Les expériences sont réalisées dans les conditions décrites précédemment, en nappe horizontale (20 cm au dessus de l injecteur). Pour la rhodamine et le dextran, le débit du pousse seringue est de 0, 75 ml/min, et il est de 1 ml/min pour les colloïdes. Nous nous intéressons à l évolution des colorants dans le jet à différents débits : 0, 25; 0, 5; 0, 75 et 1 L/min. L acquisition des images se fait toujours à l aide d un appareil photo. Nous utilisons le cycle suivant : prise d une image de référence pour compenser la fluorescence du fond, injection de colorant pendant 20 secondes, prise d une image de mesure avant la fin de l injection, période d homogénéisation du colorant injecté avant le prochain cycle. Du fait d un temps d homogénéisation long et nécessaire, et pour avoir une statistique suffisante, les expériences prennent un temps considérable (environ 2H par expériences et 1H de vidange et mise en place entre les expériences). Les images obtenues (figure 10) montrent l étirement et le repliement subit par le scalaire dans un jet turbulent. 4.2 Observables Nous cherchons à mesurer des quantités dépendant du coefficient de diffusion des colorants, afin de mettre en évidence le phénomène de diffusiophorèse. Nous parlerons plus généralement de dépendance au nombre de Schmidt : S C = ν, avec ν la viscosité cinématique. D Duplat [6] a observé dans sa thèse que la PDF (Probability Density Function) de concentration d un scalaire dans un champ turbulent présente un domaine de décroissance exponentielle, dont l argument dépend du nombre de Schmidt : P DF (C) = e α(s C)C. (8) Comme le montre la figure 11, nous observons que le logarithme de la PDF décroît bien linéairement avec l intensité au voisinage de l origine. Nous observons que ce domaine se situe après le premier pic, qui correspond à l intensité du fond, c est donc la zone des intensités faibles. Une autre technique d analyse de champ de scalaire à été mise au point par Villermaux et al [3]. Il s agit d un lissage progressif des champs de concentration à différentes échelles, afin d obtenir une courbe reliant la variance de l image lissée à une certaine échelle, en fonction de celle-ci. Après avoir normalisé cette courbe par la variance de l image non lissée, nous pouvons définir une échelle à laquelle la variance normalisée vaut 0,5 (figure 12(b)). Nous l appellerons échelle de mélange et la noterons η. Villermaux et al [3] ont trouvé la dépendance suivante : ( ) 2/5 1 η D 2/5. (9) S C 4.3 Résultats PDF La figure 13 représente l évolution de l argument de l exponentiel des PDF, α, en fonction du débit pour les différents colorants utilisés. Les colloïdes, étant des objets ponctuels, ne peuvent être traités avec cette méthode qui s applique à des champs de concentration. Nous observons que α croît avec le débit, mais contrairement à Duplat [6], nous ne remarquons pas d effet du nombre de Schmidt qui se distingue des barres d erreurs. 12

15 (a) Exemple d une image prise lors de l injection de rhodamine dans le jet à un débit de 0, 25 L/min. (b) Exemple d une image prise lors de l injection de colloïdes dans le jet à un débit de 0, 25 L/min. Figure 10 Exemples d images d expériences en jet turbulent. 13

16 log 10 (PDF) INTENSITE log 10 (PDF) INTENSITE (a) log 10 (PDF) de l intensité d une image lors d une expérience avec la rhodamine dans un jet de débit 0, 25 L/min. La figure est semi-logarithmique et l axe des abscisses est normalisé par la moyenne d intensité. (b) Zoom sur un domaine de la figure 11(a). Figure 11 Mise en évidence de l existence d un domaine de décroissance exponentielle de la PDF d intensité. L idée de cette mesure avait été inspirée par la lecture de Duplat [6]. Toutefois, nous avons constaté que l ajustement exponentiel pour la PDF n est pas le plus pertinent dans notre cas, nos PDF présentant également un domaine logarithmique très net à moyenne concentration et un en loi de puissance à forte concentration. Une nouvelle analyse de ce cas sera effectuée à la suite de ce stage Lissage La figure 14 représente l échelle de mélange η en fonction du débit du jet, pour les différents colorants utilisés. Contrairement à l analyse des PDF, la longueur de mélange montre une claire dépendance à la fois en fonction du débit et en fonction du nombre de Schmidt. La dépendance en S C est particulièrement intéressante puisqu elle traduit une influence directe de la diffusivité moléculaire sur la structuration de la phase mélangée. Pour chaque substance, nous avons pu ajuster ces données empiriquement pour obtenir une relation entre η et le débit : η = A(S C), (10) d où A est une amplitude dépendant du nombre de Schmidt, et d le débit du jet. La décroissance de η en fonction du débit nous paraît naturelle : à fort débit, le mélange se fait très bien, et très rapidement, il n est pas nécessaire de lisser beaucoup l image pour avoir une variance faible, et donc η est faible. Au contraire, à faible débit, l image représenterait quelques taches de colorant intenses, il faudrait donc lisser beaucoup pour obtenir une variance faible, et donc η serait grand. Par ailleurs, nous observons que les courbes convergent asymptotiquement pour se superposer à fort débit, quel que soit le coefficient de diffusion : lorsque la turbulence mélange de façon trop efficace, la diffusion n entre plus significativement en jeu. Ce résultat confirme que la diffusion a bien un effet dans le mélange turbulent, mais cet effet décroit avec le taux de turbulence jusqu à être négligeable. Nous pouvons quantifier un peu plus le phénomène en étudiant l évolution de l amplitude A en fonction du nombre de Schmidt. Nous connaissons S C pour 3 des 5 points (rhodamine, dextran et colloïdes) ; la tendance obtenue pour ces 3 points nous permettra alors de déterminer le nombre de Schmidt effectif pour le dextran et les colloïdes avec sel. Une loi de puissance sur les 3 points connus nous donne une tendance pour l évolution recherchée : 14

17 (a) Les deux images représentent un domaine d une image prise lors de l expérience avec la rhodamine à un débit de 0, 25 L/min, l intensité est normalisée par le maximum d intensité de l image brute. L image de gauche est l image brute, l image de droite correspond à l image de base lissée à l échelle η définie ci-dessous VARIANCE η 10 1 ECHELLE DE FLOUTAGE (mm) (b) Variance de l intensité d une image en fonction de l échelle à laquelle on la lisse. La variance est normalisée par sa valeur sur l image non lissée et nous définissons η,la longueur de mélange, comme la largeur à mi-hauteur de cette courbe, comme indiqué sur la figure. Figure 12 Explication du processus de lissage et définition de la longueur de mélange. 15

18 α Rhodamine Dextran Dextran LiCl DEBIT (L/min) Figure 13 Évolution de l argument de l exponentiel des PDF d intensité en fonction du débit du jet turbulent, pour différents colorants. L expérience pour la rhodamine à un débit de 0, 5 L/min a échoué à cause d un mauvais réglage de l appareil constaté a posteriori. Elle sera refaite ultérieurement Rhodamine Dextran Dextran LiCl Colloides Colloides LiCl η (mm) DEBIT (L/min) Figure 14 Échelle de mélange η en fonction du débit du jet, pour les différents colorants utilisés. Les courbes en pointillés représentent un ajustement en (debit) 1. 16

19 A = βs n C, β = 0, 65 ± 0, 04 mm.min.l 1, n = 0, 10 ± 0, 01. (11) Cette évolution est bien en accord avec la tendance trouvée par Villermaux et al [3], à savoir η décroît lorsque S C croît. Cependant, l exposant que nous avons trouvé (n = 0, 1) est environ 4 fois plus petit que celui trouvé par Villermaux et al (n = 2/5). Les expériences de Villermaux et al portaient sur des nombres de Schmidt très différents (S C [ ]) des nôtres. Il est probable que les différentes évolutions trouvées ne soient valables que dans des domaines de nombre de Schmidt différents. Le croisement entre la loi de puissance (équation 11) et la valeur des amplitudes pour le dextran et les colloïdes avec LiCl nous permet de donner une estimation de leur nombre de Schmidt effectif (figure 15 et équation 12). A (mm.min/l) Sc Figure 15 Évolution de l amplitude de η en fonction du nombre de Schmidt, en axes logarithmiques. La courbe bleue représente les données expérimentales pour la rhodamine, le dextran et les colloïdes. La courbe pointillée noire correspond à l ajustement en loi de puissance des ces 3 points. La courbe rouge correspond à la valeur de l amplitude pour le dextran avec sel, avec en pointillé l erreur sur cette mesure. La courbe verte représente la même chose pour les colloïdes avec sel. 17

20 SC ColloidesLiCl = 1, SC DextranLiCl = 1, SC ColloidesLiCl SC Colloides SC DextranLiCl SC Dextran Cette estimation, bien que peu précise, donne une bonne idée de l ordre de grandeur de la modification du nombre de Schmidt. En effet, les barres d erreurs sur l amplitude nous permettent de donner des intervalles pour les valeurs du nombre de Schmidt effectif, qui entoure les valeurs données ci-dessus : (12) S ColloidesLiCl C [ ] S DextranLiCl C [ , ] (13) L observation faite en micro-fluidique lorsque le sel est ajouté au colorant est que le coefficient de diffusion est multiplié par environ 150 (un coefficient négatif signifie un mouvement qui rassemble les particules au lieu de les disperser). Il n est certes pas possible d obtenir un coefficient de diffusion négatif pour un scalaire dans un champ turbulent, mais nous avons pu mesurer une diminution du coefficient de diffusion plus d un ordre de grandeur. Il serait très intéressant de faire l expérience complémentaire : injection de colloïdes et dextran sans sel dans un bain d eau salée, pour observer le phénomène opposé et mesurer le coefficient de diffusion dans ce cas, où l on attend au contraire une accélération du mélange. 18

21 Conclusion Nous avons caractérisé la dispersion et le mélange de diverses substances en régimes laminaire et turbulent avec l objectif de mettre en évidence l influence de la diffusion moléculaire ainsi que le rôle éventuel d un mécanisme diffusiophorétique sur le mélange macroscopique. Bien que les expériences en écoulement laminaire n aient pas été concluantes, faute d un contrôle suffisant des conditions expérimentales, des résultats intéressants et inédits ont été obtenus en régime turbulent. Nous avons notamment montré que, dans les gammes à très haut nombre de Schmidt considérées, ce paramètre n influence pas significativement la distribution de probabilités des substances mélangées. En revanche il influence la structure spatiale du champ scalaire. L étude par lissage du mélange de la rhodamine, du dextran et des colloïdes montre en effet que la longueur de mélange est d autant plus grande que la substance considérée diffuse peu. Cette évolution est en accord avec des études précédentes à S C plus faible [3], bien que l exposant de la loi de dépendance à S C que nous avons trouvé diffère de celles-ci. Enfin nous avons montré que l adjonction de sel lors du mélange de macromolécules (dextran et colloïdes) diminue leur diffusion, en accord avec le mécanisme de focalisation diffusiophorétique observé en micro-fluidique observé par Abecassis et al [1]. Il est vraisemblable que ce mécanisme intervienne ici au niveau des forts gradients salins induits par le mélange simultané du sel dans le bain d eau claire. Ce résultat illustre pour la première fois le rôle macroscopique d un mécanisme de transport microscopique. Pour compléter cette étude, des expériences supplémentaires où les macromolécules en eau claire seront injectées dans un bain d eau salée, seront réalisées prochainement. Il est alors attendu que le mélange des macromolécules soit accéléré. Les conséquences de cette étude sont potentiellement importantes pour toutes applications au mélange et à son contrôle. Elle permettraient par exemple de mieux comprendre la dynamique de mélange de l eau douce dans la mer au niveau des estuaires. Ce stage m a permis de découvrir d avantage le quotidien de la recherche et de mieux comprendre le fonctionnement d un laboratoire. L utilisation de logiciels appliqués à la recherche expérimentale (Matlab, Labview...) fut très enrichissante. Je pense avoir grandement développé mon autonomie, et j ai également appris à résoudre des problèmes de façon indépendante. 19

22 Références [1] C.Ybert A.Ajdari B.Abecassis, C.Cottin-Bizonne and L.Bocquet. Boosting migration of large particles by solute contrasts. Nature, 7 : , [2] C.Bailly and G.Comte-Bellot. Turbulence. CNRS Editions, [3] E.Villermaux and J.Duplat. Coarse grained scale of turbulent mixtures. Physical Review Letters, [4] K. Gawedzki G. Falkovich and M. Vergassola. Particles and fields in fluid turbulence. Reviews of Modern Physics, 73 : [5] H.Tennekes and J. L. Lumley. A first course in turbulence. MIT press, [6] J.Duplat. Melange turbulent sources elementaires et loi de composition. PhD thesis, LEGI, [7] A. Kolmogoroff. The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large reynolds numbers. Dokl. Akacl. Nauk SSSR, 30 : , [8] J. M. Ottino. The Kinematics of Mixings : Streching, Chaos and Transport. Cambridge University Press, [9] B. Satyaprakash R. Antonia and A. Hussain. Measurements of dissipation rate and some other characteristics of turbulent plane and circular jets. Physics Of Fluids, 23 : [10] P. J. W. Roberts and D. R Webster. Turbulent diffusion. Environmental Fluid Mechanics Theories and Application, edited by H. Shen, A. Cheng, K.-H. Wang, M.H. Teng, and C. Liu, ASCE, [11] I. Wygnanski and H. Fiedler. Some measurements in self-preserving jet. Journal Of Fluid Mechanics, 38 : ,

23 5 Annexe : le système optique Le phénomène que nous avons étudié nécessite de pouvoir distinguer des objets de l ordre du millimètre. Nous comprenons alors qu une nappe optique simplement obtenue avec une lentille cylindrique divergente, ayant une épaisseur d environ 4 mm, ne convient pas à notre étude à cause de la divergence naturelle de notre laser. C est pourquoi, entre le système de miroirs qui transportent le faisceau laser jusqu à la lentille, nous avons placé une lunette (deux lentilles convergentes sphériques de focales différentes). Cette lunette permet d une part de focaliser le faisceau et donc de diminuer sa taille, mais elle permet aussi d obtenir un faisceau parallèle (ce qui corrige l élargissement du faisceau inhérent au laser). Ainsi, nous obtenons une nappe laser plus fine, et dont l épaisseur ne varie pas dans la cuve. Figure 16 Image du montage optique réalisé. 1 : laser, 2 : miroirs, 3 : lunette, 4 : lentille cylindrique divergente. 21