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1 ARTICLE Techniques d enseignement des mathématiques Introduction Devenir enseignant ne doit pas être un but lucratif. Cela doit être avant tout une vocation. Malheureusement, la vocation n est pas tout. Il est aussi nécessaire d avoir quelques techniques pour transmettre notre savoir. Les personnes se destinant à une carrière d enseignant ont rarement le temps de réfléchir aux techniques qu elles souhaitent mettre en place. De plus, le monde de l enseignement est, depuis quelques années, fortement ébranlé par les diverses réformes. Ainsi, des enseignants, certes motivés, peuvent se sentir désarmés face à certaines classes. Je ne prétends pas que les techniques que je vais exposer dans ce document peuvent à coup sûr assurer une ambiance parfaite de travail, mais elles pourront apporter quelques idées aux lecteurs. La rentrée des classes Pour plus de facilité, je mettrai au masculin le mot «enseignant». C est sans doute le jour le plus important de l année scolaire pour un enseignant : s il laisse passer le moindre faux pas ce jour-là, il sera, à mon avis, difficile de revenir sur l autorité qu il souhaite imposer. Ce jour-là, l enseignant, même s il est stressé, doit être posé, calme, paraître serein. Il ne doit pas être souriant et démonstratif mais peut esquisser de temps en temps un subtil sourire lorsqu il reçoit les élèves. Les élèves doivent le percevoir comme déterminé et sûr de lui. Il peut se déplacer d un pas certain et lent, ce qui se perçoit par les élèves comme un acte rassurant. Il doit occuper l espace durant toute la séance (et cela reste valable tout au long de l année) afin que les élèves comprennent qu il est là pour eux. À mon avis, l enseignant doit profiter de cette heure pour bien connaître ses élèves : lors de l appel, il peut prendre le temps de bien regarder chacun d eux lorsqu il énonce leur prénom et leur nom. Il est aussi indispensable de regarder le dossier de chaque élève afin de voir s il y en a certains qui se détachent du lot (comportement, assiduité, problèmes familiaux,...). Plus l élève sentira que l enseignant est proche de lui, plus il le respectera. Je le répète : enseigner, c est avoir réellement envie de transmettre un savoir et pour se faire, il faut s adapter à ce qu est le public. Enfin, il me semble positif de remercier les élèves à la fin de la séance pour leur attention. Les élèves aiment exister aux yeux des enseignants, même s ils prétendent le contraire. N oublions pas que ce sont des adolescents et qu ils se construisent ; ils ont donc besoin de repères divers et les enseignants en sont. 1

2 Les programmes Il se peut que certains enseignants ne comprennent pas la logique des programmes. Il se peut même qu ils soient en désaccord avec certaines notions imposées. En ce qui concerne la logique, c est une logique dite de l enseignement en spirale : on voit une notion en 6 e, que l on revoit en 5 e afin de l approfondir légèrement, puis en 4 e et en 3 e pour approfondir chaque année. D accord ou pas, les enseignants doivent faire avec. Il est donc indispensable de savoir exactement ce qu il faut traiter l année en cours pour ne pas aborder ce qui va être vu l année suivante. Si la classe a un bon niveau, et si l enseignant a le temps, rien ne l empêche d aller au-delà s il en éprouve l envie (il faut aussi se faire plaisir quelques fois). Le raisonnement chez les ados Il y a un point que j estime très important dans l enseignement des mathématiques au collège : la démonstration. C est une notion perçue comme très compliquée par certains élèves et il ne faut surtout pas croire qu ils sont tous armés de la même façon pour l affronter... Ceci s explique de façon biologique en regardant de plus près le cortex préfrontal. «Les voies du cortex préfrontal qui gouvernent ces capacités sont propres au cerveau humain et prennent du temps avant de parvenir à leur maturité. Les premières connexions se forment pendant l enfance. Entre trois et cinq ans, les circuits du cortex préfrontal entrent dans une phase de développement accéléré et établissent des interconnexions essentielles avec le système limbique. Pendant l adolescence et au début de l âge adulte, les voies neuronales sont affinées et deviennent plus efficaces. Les voies du cortex préfrontal sont liées de manière très complexe avec les voies du système limbique propres à la réaction au stress. Ces voies interagissent pour permettre aux enfants de» participer, de réfléchir et d agir de manière intentionnelle. [Source : http ://pointsurlapetiteenfance.org] En d autres termes, la partie qui sert notamment au raisonnement n est pas encore entièrement formée chez les élèves de collèges et lycées. L enseignement des mathématiques, et notamment du raisonnement déductif, est justement une occasion pour développer le cortex préfrontal. Il ne s agit donc pas ici de penser que les élèves ont les mêmes capacités de raisonnement que les adultes donc qu il ne sert à rien d en demander beaucoup car les élèves n ont pas tous reçu une même éducation entre 3 et 5 ans. Tenir une classe Il n y a malheureusement pas de remède miracle : il arrive que des enseignants aient une classe avec pas mal d élèves perturbateurs au sein d un établissement où le chef ne fait pas toujours ce qu il faut pour que les élèves s arrêtent. Je me rappelle avoir été, au cours de ma première année d exercice, dans un collège où le chef d établissement se vantait d être un excellent pédagogue et de surcroît un très bon principal. Le fait est que c était un homme carriériste qui cachait autant que possible les «faits divers» qui pouvaient avoir lieu dans son collège. Il ne venait nullement en aide aux enseignants qui en avaient besoin (et j en 2

3 faisais partie) et les élèves savaient donc qu ils ne risquaient rien s ils ne se comportaient pas correctement en classe. À cette époque, je n avais pas assez de recul sur ce que je pouvais faire et je dois bien avouer que ce fut la pire année de ma vie professionnelle. Tout ceci pour dire qu en tant qu enseignant, on a le droit d être surpassé par les événements, surtout quand ils ont lieu dans des établissements dits en zone prioritaire (entendre par là «attention! Va y avoir de la baston!»). Un moyen d obtenir le silence dès le début de l heure est de parler à voix basse et d augmenter le volume en fonction du silence. Cela incite les élèves à s installer rapidement et à se taire. Bien entendu, certains continueront à parler. Dans ce cas, continuer à parler tout en s approchant du (des) élèves un peu trop bavards pour leur prendre le carnet de correspondance est une bonne chose. Il est donc primordial d imposer une règle à laquelle il faudra s attacher tout au long de l année : chaque élève doit, en début de cours, mettre son carnet de correspondance sur sa table de sorte à ce que l enseignant puisse le voir à tout moment. Si un élève n a pas son carnet de correspondance, il est «hors-la-loi» et doit aller au bureau du (de la) C.P.E. car c est une obligation. Il faut toujours garder en mémoire qu un pas lent et sûr impressionne les élèves (enfin... normalement!) : fixer un(e) élève bavard(e) tout en continuant de parler peut le (la) dissuader de continuer. Si tel n est pas le cas, il faut continuer à le (la) fixer tout en avançant vers lui (elle) d un pas décidé mais lent. Le but n est pas de punir à tout prix mais de comprendre pourquoi un élève bavarde. Il est donc nécessaire de s entretenir gentiment en fin de séance avec les élèves (un par séance, pas tous en même temps) qui posent problème. Généralement, c est un problème de respect et d intérêt. «Respect» car il ne respecte pas le temps de parole de l enseignant. On peut donc lui faire comprendre ce manque de respect en lui posant une question (à laquelle nous sommes sûrs qu il va répondre) et en parlant à un élève du premier rang par exemple pendant qu il parle. Là, il se sentira nécessairement vexé et l enseignant soulignera ce fait en lui disant que c est exactement ce qui se passe quand l élève parle en même temps que l enseignant. «Intérêt» car si un élève parle en même temps que le professeur, c est qu il ne voit pas toujours l intérêt de ce qui se dit. L intérêt que l on porte à une chose est toujours relatif. On ne peut pas toujours trouver les bons mots pour susciter l intérêt des élèves. Peut-être est-il donc de bon ton d avoir une attitude attractive en étant soit-même motivé(e) par ce que l on dit : on revient alors à la condition sine qua non pour être enseignant : être «amoureux» de sa discipline et assez cultivé pour la rendre intéressante. Des anecdotes Les mathématiques sont perçues comme une discipline ingrate à partir de la 4 e, voire de la 5 e. Que se passe-t-il de la 6 e (où les élèves aiment beaucoup les mathématiques) à la 5 e? Peutêtre que les enseignants ont perdu leur côté enchanteur? Les mathématiques devraient être perçues comme un jeu. Bien entendu, il y a des côtés rébarbatifs aux mathématiques (en tout cas, qui peuvent être vus comme tels par les élèves). Aux enseignants de tout faire pour changer leur point de vue. Un peu plus haut, je parlais d être cultivés. Quand on souhaite devenir enseignant, on suit un cursus plutôt classique mais on oublie les sentiers parallèles : l histoire de la discipline. Il me semble que la moindre des choses quand on enseigne, c est de connaître un minimum la chronologie des notions et la vie des mathématiciens comme Euclide, Pythagore, Thalès (pour le collège) afin de pouvoir parler aux élèves d autre chose que de mathématiques pures. Et 3

4 si l on est réellement passionné par les mathématiques, on pourra même leur parler d autres personnages moins connus mais qui ont tout de même contribuer à l évolution de la discipline (Viviani, Varignon, Pick, plus récemment Johnson, Descartes et Viète - sans qui l algèbre ne serait pas ce qu elle est,...). Pour les enseignants radins, je conseillerais de consulter des sites spécialisés comme : Il suffit de faire une recherche sur Internet pour avoir bon nombres de sites. Les élèves aiment quand leur enseignant se détache du scolaire pur et dur pour aller vers des sentiers battus que nul autre professeur n ose emprunter.et puis, cela permet de faire un petit break quand on sent que les élèves n en peuvent plus... Devoirs en temps libre (DTL) Plus communément appelés «Devoirs Maison», les devoirs en temps libre sont en général perçus par les élèves comme une aubaine pour remonter leur moyenne et du coup, ne jouent pas le jeu correctement : pour avoir une bonne note, la plupart n hésitent pas à recopier sur d autres élèves meilleurs qu eux pour arriver à leurs fins. Ceci est anti-productif. C est la raison pour laquelle ces devoirs ne devraient pas être notés. Mais pour inciter les élèves à les faire, il faut leur expliquer leur but. Un DTL a pour objectif de faire réfléchir les élèves sur une ou plusieurs notions fraîchement abordées afin de les consolider ou de les approfondir. C est un moyen efficace pour l enseignant de voir où les élèves en sont sur l échelle de la compréhension de ces notions avant le devoir surveillé. Il faut donc dire aux élèves que les DTL sont un entraînement au devoir surveillé, que ce dernier pourra ressembler au DTL et qu en conséquence, plus ils feront le DTL sérieusement et plus grande sera leur chance de réussir le devoir surveillé. Bien entendu, certains élèves pourraient tout de même ne pas rendre les DTL. Il faut donc convenir d une «sanction» : le 0 pour travail non rendu est illégal donc inutile d y penser. Cependant, on peut mettre en retenue les élèves n ayant pas rendu leur devoir afin qu ils le fassent. C est d ailleurs le rôle de l enseignant de s assurer que tout travail est fait donc là, au moins, il sera sûr que le DTL sera fait. Devoirs surveillés (DS) À mon avis, un devoir surveillé doit mesurer le degré de compréhension de l élève sur une notion vue en classe. Dans certaines classes, on peut imaginer un exercice qui aurait pour but d aller plus loin mais il me semble judicieux de le mettre en «bonus» pour ne pas pénaliser les élèves en grande difficulté. On pourra ainsi voir ceux qui ont plus de facilité à utiliser une notion pour établir un résultat non déjà vu précédemment. Les enseignants ne doivent pas perdre de vue leur rôle : accompagner leurs élèves, aussi bien dans l aisance que dans la difficulté. Il faut donc ne pas négliger la correction des copies et ne pas se contenter d une note. Un commentaire bien étoffé qui explique les raisons de la note ainsi que des conseils sont toujours appréciés par les élèves (et leurs parents, mais ça, c est 4

5 facultatif...). Pour éviter de perdre trop de temps, il est donc primordial de bien penser le sujet. Deux mêmes notions ne doivent pas apparaître sur un même sujet (c est réellement inutile vu l objectif d un contrôle) L enseignant doit clairement identifier ce qu il souhaite contrôler pour chaque question afin de dire explicitement ce qui ne va pas si la question est mal traitée On pourrait imaginer un programme, mis à la disposition de l enseignant, qui donnerait les points à revoir ainsi que des conseils en fonction des réponses incorrectes. Par exemple, voici un exercice : Exercice 1. Théorème de Pythagore Soit un triangle ABC rectangle en A. On sait que AB = 3 cm et que AC = 4 cm. On construit alors le triangle BCD tel que BD = 12 cm et CD = 13 cm. 1 Calculer BC. 2 Le triangle BCD est-il rectangle? Il est ici clairement question de voir si l élève sait, d une part, appliquer le théorème de Pythagore et, d autre part, sa réciproque. Il y a donc les points suivants à noter : Connaissance du théorème de Pythagore Utilisation correcte du théorème de Pythagore dans le but de trouver une longueur dans un triangle rectangle Résoudre une équation Connaissance de la réciproque du théorème de Pythagore Rédaction du raisonnement qui mène à utiliser la réciproque du théorème de Pythagore Le programme, dans un premier temps (lors de la conception du sujet par exemple), pourra demander à l enseignant chaque notion abordée dans chaque question, ainsi (éventuellement) que le barème et dans un second temps (lors de la correction des copies), élève par élève, le programme pourra demander à l enseignant si les notions ont été abordées correctement (auquel cas l ensemble des points sera compté), moyennement (auquel cas la moitié des points attribués à la notion sera comptée) ou nullement (auquel cas, aucun point ne sera attribué). J aurais aimé concevoir un tel programme mais mes connaissances ne me le permettent pas. Si quelqu un souhaite s y pencher, je suis prêt à lui donner un algorithme. L avantage d un tel programme serait évident : pour chaque copie, le programme fournirait une correction détaillée, avec les notions acquises ou pas, ce qui n est (avouons-le) pratiquement jamais le cas... Les cours particuliers J aborde ici un thème qui me concerne tout particulièrement car je n enseigne plus en classe. Enseigner à domicile est un exercice différent ; en effet, il faut nécessairement s adapter à la pédagogie de l enseignant de chaque élève. Il faut donc, en début de chaque cours, regarder ce qui a été fait depuis la précédente séance et voir avec l élève ce qui n a pas été compris. 5

6 Ensuite, il faut être capable de choisir rapidement des exercices qui ont pour but de pallier aux difficultés de l élève et là, il faut avoir beaucoup de recul si l on veut fournir un travail correct. L élève a souvent tendance à dire qu il comprend telle ou telle notion mais il faut toujours vérifier à l aide d un exercice basique. Enseigner à domicile, c est aussi analyser les raisons possibles de l échec scolaire (s il y a lieu). Cela peut remonter loin... Il faut donc instaurer une relation de confiance entre l enseignant et l élève pour qu après plusieurs séances, l enseignant comprenne ce qui fait défaut à l élève. Je le répète, je ne prétends pas être un expert en pédagogie. J ai souhaité écrire cet article dans le but de donner des idées, des pistes, aux enseignants afin qu ils fournissent un travail à la hauteur de leurs espérances. Bien entendu, toute critique constructive est la bienvenue ; vous pouvez me contacter par à l adresse suivante : 6

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