Grandeurs et Mesures

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1 Grandeurs et Mesures

2 Quelques phrases pour démarrer Répondre par correct ou incorrect : 1 ) Ce segment fait 3cm. 2 ) Ce segment a pour mesure 3cm. 3 ) Cette surface est de 3cm 2. 4 ) L aire de cette surface est de 3 cm 2 5 ) Il me faut 3m de ficelle. 6 ) Si le périmètre d une figure augmente, alors l aire de cette figure augmente nécessairement aussi.

3 Le volume du cylindre Etant donné un rectangle non carré, on peut fabriquer deux cylindres dont ce rectangle constitue la surface latérale :

4 Quelle est selon vous la bonne réponse? Les deux cylindres ont le même volume Le cylindre le plus haut a le plus grand volume Le cylindre le plus haut a le plus petit volume On ne peut pas savoir

5 Protocole expérimental Fabriquer deux cylindres avec deux rectangles en carton superposables. Découper les bases pour qu elles s ajustent et assembler les deux parties de façon étanche. Remplir l un des cylindres à ras bord avec du sable (ou de la semoule). Vider le sable dans l autre cylindre. Observer le résultat et faire une conjecture.

6 Solution mathématique Notons respectivement L la longueur et l la largeur du rectangle. Volume du cylindre le plus haut La hauteur est égale à la longueur L. La base du cylindre est le cercle de périmètre l et de rayon r donc l = 2π r d où r = l / 2π Le volume du cylindre est égal au produit de l aire du disque de base par la hauteur. V 1 = A 1 h L aire de la base du cylindre est donné par : A 1 = π r 2 = π (l/2π) 2 = l 2 / 4π Le volume du cylindre est donc égal à V 1 = L l 2 / 4π

7 Volume du cylindre le moins haut La base du cylindre est le cercle de périmètre L. La hauteur est égale à la longueur l. L aire de la base du cylindre est donnée par : A 2 = L 2 / 4π Le volume du cylindre est donc égal à V 2 = l L 2 / 4π

8 Conclusion Pour comparer V1 et V2, on calcule le rapport V 1 /V 2 = (L l 2 /4π) / (l L 2 /4π) = (Ll 2 4π) / (l L 2 4π) V 1 /V 2 = l / L comme l < L alors V 1 /V 2 < 1 d où V 1 < V 2 Pour tout rectangle non carré, le cylindre le plus haut a le plus petit volume. Le rapport du plus petit volume au plus grand volume est égal à l/l. Ce problème historique qui se posait aux paysans a été résolu par Galilée.

9 Quel est le plus grand rectangle? Aire, périmètre, encombrement?

10 Grandeur Tout caractère d un objet susceptible de variation chez cet objet, ou d un objet à l autre.

11 Un premier exemple très élémentaire : le cardinal d une collection Les objets sont les collections finies La grandeur est la taille de la collection ; elle peut être estimée à vue dans certains cas, sinon, la comparaison se fait par la correspondance terme à terme (protocole expérimental). L étalon est l unité au sens de «un objet» La mesure est le dénombrement associé à la structure numérique des entiers. On peut changer d étalon : la dizaine

12 Différentes grandeurs Des grandeurs non repérables par exemple : la gentillesse Des grandeurs repérables par exemple la température Des grandeurs mesurables : Relation d équivalence : avoir la même longueur que Relation d ordre total : être plus lourd que (au sens large) Un étalon permettant d attribuer un nombre : la mesure m Addition telle que m(x+y) = m(x)+m(y) Multiplication telle que km(x) = m(kx)

13 Objets: segments,polygones,cercle surfaces solides secteurs angulaires Nombres: mesure de Grandeurs: longueur aire volume angle masse

14 Avec le cube Longueurs: périmètre d une face longueur d une arête, longueur de toutes arêtes (qui n est pas la somme des périmètres des faces). Aire: aire d une face aire totale (qui est la somme des aires de chaque face). Volume: à l école: capacité, contenance au collège: volume angles masse

15 De quoi parle- t- on? 1. Paul et André ont acheté des chemises de même taille 2. Paul et André portent tous deux des chemises Paul et André ont acheté la même chemise

16 De quoi parle- t- on? 1. Le périmètre d un carré est 4 fois la longueur de son côté. 2. Le périmètre du carré est de 8 cm 3. Repasser le périmètre du carré en rouge

17 Pour comparer, il n est pas toujours nécessaire de mesurer, on peut estimer à l aide des sens (vue, toucher, ouïe, kinesthésie) ou mettre en place une procédure de comparaison.

18 Comparer sans mesurer : par superposition

19 Comparer sans mesurer : par déplacements et superposition

20 Comparer sans mesurer : en reportant des longueurs

21 Comparaison indirecte

22 Exemple d une grandeur : la longueur Cycle 1 : Un objet a des critères Observer et comparer pour distinguer des critères, Classer ranger. Cycle 2 : Des objets sont comparables selon un critère comparaison directe comparaison indirecte Le mesurage : Construire des objets définis par des mesures ( unité de grandeur fixée), Mesurer des objets (grandeur à mesurer précisée) Les unités sont le mètre et le centimètre.

23 Cycle 3 La mesure est un critère fondamental Comparer des objets selon une grandeur Opérer sur des grandeurs sans mesurer. Estimer la mesure avant l utilisation d instruments. Maîtriser les unités légales du système métrique et de leurs relations. Exprimer le résultat d un mesurage par un nombre ou un encadrement Effectuer des calculs simples sur les mesures (utilisation des équivalences entre unités usuelles de longueur) Calculer le périmètre d un polygone. Sixième - Effectuer, pour les longueurs des changements d unités de mesure. - Comparer géométriquement des périmètres. - Calculer le périmètre d un polygone. - Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d un cercle. Cinquième -. - Calculer le périmètre d une figure (Pour les polygones, dont le parallélogramme, la compréhension de la notion de périmètre suffit à la détermination de procédés de calcul ; les formules sont donc inutiles).

24 Pour pouvoir parler de la longueur d un objet, il faut pouvoir se ramener à un segment de droite. Comparer la longueur de deux objets, c est comparer les segments de droite correspondants.

25 Différents mots pour la grandeur «longueur» : Pour le cheval : la hauteur au garrot Pour un oiseau : l envergure Pour un être humain : la taille ; le tour de taille - de hanche - de cou ou de tête ; l empan de la main etc Pour un bâtiment : sa hauteur ; la longueur de sa façade ; sa largeur ou sa profondeur ; Pour une pièce : sa hauteur de plafond etc

26 Les mots du domaine des longueurs sont assez nombreux. sans être exhaustifs, citons hauteur d un monument, d un arbre (par contre la hauteur du Soleil est un angle) ; altitude d un sommet, d un avion en vol ; dénivelé d une route ; profondeur d une piscine, d un placard ; taille d une personne, tour de cou, tour de taille ; distance entre deux lieux, entre deux points ; largeur d un fleuve, d un rectangle ; périmètre d un polygone ; circonférence d un cercle Il est important pour l élève que tous ces mots, utilisés dans des contextes différents, se réfèrent au même concept, appelé en mathématiques «longueur».

27 La longueur n est pas nécessairement liée à directement à l encombrement : Longueur d un tuyau enroulé ; Longueur de l intestin ; Longueur d un coupon de tissu ; Longueur de fil sur une bobine électrique Longueur d une spirale etc.. Longueur de tube des cuivres (cor, trompette, tuba)

28 Des grandeurs sans mesure

29 Sans mesurer, on peut anticiper mentalement et/ou perceptivement les résultats d une comparaison

30 Classement des aires?

31 Classement des périmètres?

32 Dans un second temps, les comparaisons amènent à des rapports de grandeurs

33 Des rapports de grandeurs Le secteur angulaire droit peut être recouvert exactement par trois secteurs angulaires superposables au secteur angulaire jaune L angle droit est égal à 3 fois l angle jaune du triangle

34 Des rapports de grandeurs On peut recouvrir exactement le rectangle avec les deux cerfvolant qui sont superposables. L aire du rectangle est égale à deux fois l aire du cerf-volant

35 En conclusion : Sans utiliser la mesure, il est possible de comparer des grandeurs ou de trouver des rapports de grandeurs

36 Des grandeurs aux mesures

37 «Il est souvent commode, pour comparer toutes les grandeurs d un même domaine, de les comparer à une grandeur particulière...»: l unité. «Il devient dès lors possible d associer à chaque grandeur un nombre, appelé sa mesure relativement à cette unité» Document d accompagnement des programmes 2002 de l école élémentaire

38 On peut dans un premier temps, enrichir le travail de comparaison de grandeur, de la procédure par comptage d unités* Cette procédure devient plus efficace quand il s agit de transmettre par écrit, sans dessin, des informations permettant de construire un objet de même grandeur.

39 Différents étalons (Différentes formes) pour une même unité 1L 1L 1L

40 Etalon Objet ou instrument qui matérialise une unité de mesure, et sert de référence, de modèle légal : mètre étalon, étalon de masse, de poids etc.. (Le Petit Larousse Illustré, 1994)

41 Différents étalons (Différentes formes) pour une même unité A vous : L unité choisie est l aire d un carré de coté 1. Dessiner au moins quatre étalons pour cette unité (surfaces de formes différentes ayant même aire).

42 Différents étalons pour une même unité 1 unité D après «le tour de l aire» (IREM de Lyon)

43 Le système métrique Des unités en relation les unes avec les autres dans des rapports qui sont des multiples de 10 Un système très largement utilisé dans la plupart des pays pour la vie quotidienne et les activités scientifiques Les élèves doivent être familiarisés avec la signification des préfixes usuels ( Kilo, hecto ) Les exercices de transformations de mesure doivent rester raisonnables.

44 Le travail de mesure

45 La mesure peut être obtenue : par une estimation, par un mesurage, par une lecture directe dans un énoncé, par un raisonnement et un calcul.

46 Estimation Il est souhaitable d apprendre à estimer avant de procéder au mesurage, Soit à l œil, soit par geste, soit à partir de mesures connues.

47 La mesure peut être obtenue : par une estimation, par un mesurage, par une lecture directe dans un énoncé, par un raisonnement et un calcul.

48 Mesurage La mesure est la plupart du temps obtenue par lecture d une graduation ( sauf pour les aires). La fabrication d un instrument de mesure permet de soulever la question du choix d un étalon pour une unité donnée, et de la graduation. Une réflexion sur la précision des mesures doit être menée lors des activités de mesurage.

49 La mesure peut être obtenue : par une estimation, par un mesurage, par une lecture directe dans un énoncé, par un raisonnement et un calcul.

50 Lecture directe Dans des problèmes de mesures la prise d information peut se faire par mesurage, par lecture de côtes, par calcul. Le choix de la lecture directe de l information n est pas toujours évident pour l élève.

51 Prise d information A B C Quelle est la mesure de BC? Mesurage

52 Prise d information A B 7 cm C Quelle est la mesure de BC? Lecture directe

53 Prise d information A Sur ce dessin 1cm représente 5 cm. B 7 cm C Quelle est la mesure de BC? Calcul

54 La mesure peut être obtenue : par une estimation, par un mesurage, par une lecture directe dans un énoncé, par un raisonnement et un calcul.

55 Raisonnement et calcul 12 cm 10 cm Sophie a dessiné 3 étiquettes rectangulaires toutes identiques sur une plaque de carton, comme le montre le dessin. a) Calcule la longueur réelle d une étiquette b) Calcule la largeur réelle d une étiquette D après l évaluation 6 ième

56 Raisonnement et calcul 4,5 m 7,5 m A 6 m La surface B est obtenue en collant 4 figures A comme le montre le dessin. Calculer le périmètre de B. B

57 Raisonnement et calcul?? 100? Quelle est la masse inconnue?

58 Raisonnement et calcul Combien de temps s est écoulé entre 9 h 27 min et 11 h 5 min? min 1 heure 5 min ou 2 heures ou 1 heure 33 min - (27min-5min) 5 min 33min + 1 heure + 5 min Avec des cadrans

59 Exemples à l école et au collège OBJET GRANDEUR MESURE Segment Contour d'une surface plane Longueur Nombre d unités Surface plane Aire Nombre d'unités. Solide Secteur angulaire Volume ( capacité) Masse angle formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle. formule de l aire d un rectangle, d un triangle, d un parallélogramme, d une sphère. Nombre d'unités. formule du volume du pavé droit, du prisme droit, du cylindre de révolution, de la pyramide, du cône de révolution, de la boule. Nombre d'unités (gabarit) Pas de formule Temps durée Pas de techniques de calculs

60 Reprise de Quelques phrases pour démarrer Répondre par vrai ou faux : 1 ) Ce segment fait 3cm. 2 ) Ce segment a pour mesure 3cm. 3 ) Cette surface est de 3cm 2. 4 ) L aire de cette surface est de 3 cm 2 5 ) Il me faut 3m de ficelle. 6 ) Si le périmètre d une figure augmente, alors l aire de cette figure augmente nécessairement aussi.

61 Réponses (du point de vue des mathématiques) 1 ) Ce segment fait 3cm. INCORRECT 2 ) Ce segment a pour mesure 3cm. INCORRECT 3 ) Cette surface est de 3cm 2. INCORRECT 4 ) L aire de cette surface est de 3 cm 2 CORRECT 5 ) Il me faut 3m de ficelle. INCORRECT 6 ) Si le périmètre d une figure augmente, alors l aire de cette figure augmente nécessairement aussi. FAUX