2. Les Nombres Relatifs

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1 - 1 - Les Nombres Relatifs. Les Nombres Relatifs.1 Approche intuitive Exemple 1 : M. Untel, qui possède sur son compte en banque un solde de 15'000 Fr., désire acquérir une automobile d'une valeur de 17'000 Fr. Il doit donc emprunter une somme de 000 Fr. Avant son achat son solde était de : Après son achat son solde est de : 15'000 Fr. -'000 Fr. Exemple : 3 décembre de l'an 003. Température : 5 Prévision de la météo: «chute de 8 de la température» 4 décembre de l'an 003. Température : -3. L'ensemble Z Définition : Droite des entiers relatifs : { ; -4 ; -3 ; - ; -1 ; 0 ; 1 ; ; 3 ;...} Remarque : Z

2 - - Les Nombres Relatifs.3 Déplacements sur la droite Z Une addition correspond à un déplacement vers la droite. Une soustraction correspond à un déplacement vers la gauche. Premier type de calcul : 1 + 5? Se placer sur 1 et effectuer 5 "pas" vers la droite. Le résultat sera 6 Z Deuxième type de calcul : 3 7? Se placer sur 3 et effectuer 7 "pas" vers la gauche. Le résultat sera -4 Troisième type de calcul : -6 +? Se placer sur -6 et effectuer "pas" vers la droite. Le résultat sera -4 Quatrième type de calcul : -5 3? Se placer sur -5 et effectuer 3 "pas" vers la gauche. Le résultat sera -8 Exercice : a) 8 5 b) 5 8 c) 5 d) 7 3 e) 3 7 f) g) -4 6 h) i) 0 5

3 - 3 - Les Nombres Relatifs.4 L'ensemble Z Z Un couple d'entiers relatifs est un objet de la forme < a ; b > avec a et b dans Z a et b sont respectivement la première et la deuxième coordonnée du couple < a ; b > Remarque : L'ensemble de tous les couples possibles est noté Z Z Représentation : Exercice 1 : Placer : A< ; 5 > B < ; -3 > C < 0 ; 3 > D < 5 ; 0 > E < - ; -1 > F < - 3 ; 5 > Exercice : Placer : A < 0 ; 6 > B < 3 ; 0 > C < 0 ; -3 > D < - 4 ; 0 > E < 0 ; 0 >

4 - 4 - Les Nombres Relatifs.5 Ecriture simplifiée et première approche des additions et soustractions dans Z Règle : On peut transformer une suite d'additions et de soustractions dans Z en une suite de déplacements "gauche, droite" sur la droite Z en utilisant la règle suivante : en dernier on applique la règle du.3 +(+ ) devient + +(- ) devient (+ ) devient (- ) devient + En d autres mots, on parle d écriture simplifiée où le + ne change pas le signe du nombre dans la parenthèse et le signifie prendre l opposé du nombre dans la parenthèse. Exemples : (+) (+5) (-) + (-3) (+1) (-3) + (-5) -(-) -(-5) (-5) (-5) + (-0) -(-5) + (-5) (-4) (-4) + (-3) + (-1) (-4) Exercice : a) ( 14) + ( + 8) e) ( 1) + ( 13) b) ( 16) + ( 8) f) 15 ( + 18) c) ( 3) + ( + 35) g) ( 17) ( 17) d) ( + 13) + ( + 15) h) 0 + ( 5)

5 - 5 - Les Nombres Relatifs.6 Notion de valeur absolue et une autre manière de voir l addition dans Z : Soit a un nombre entier relatif. Exemples : La valeur absolue de a est un nombre positif qui est en fait le nombre a sans son signe. Notation : " valeur absolue de a " a Règle : Pour additionner deux nombres relatifs : Si les nombres sont de même signe, on garde le signe et on les additionne les valeurs absolues : Exemples : ( 3) + ( 4) 7 ( + 6) + ( + ) + 8 Si les nombre sont de signes contraires, on détermine le signe par celui qui est le plus éloignée de l origine (plus grande valeur absolue) et on effectue la différence : Exemples : ( 3) + ( + 8) + 5 ( 9) + ( + 5) 4 Pour soustraire deux nombres relatifs, on transforme la soustraction en une addition en considérant l opposé du ème nombre. Exemples : ( ) ( 8) ( ) + ( + 8) + 6 ( 5) ( + 8) ( 5) + ( 8) 13 N.B. L usage de l écriture simplifiée est fortement recommandé. (voir.5) Exercice 1 : a) (+3) (+4) + (-5 ) f) -(+7) + (+4) + (-5) + (-8) b) (-1) + (-) (-5) (-3) g) (+3) (-5) + (-5) (-1) + (-) c) (-4) (-4) + (-1) (-) h) (+1) (+1) + (-1) (-1) + (-1) d) -(+8) (+3) - (-) (+3) i) (+) + (+4) (-5) + (-1) + (-) e) -(-3) (+) + (-1) (-1) j) -(-1) (+4)

6 - 6 - Les Nombres Relatifs Exercice : a) 16 ( ) b) 54 ( 17) + ( 9) c) ( 0 5) d) 3 8 ( 8) + ( 6) ( 5) e) 6 ( 7) (9 4+ 1) f) 6 ( 3 + 7) g) 6 + ( 9 18) h) + ( ) 5.7 Multiplications et divisions dans Z Règle : La règle est la même pour la multiplication et la division. On multiplie (divise) les valeurs absolues et le signe du résultat sera déterminé à l'aide du tableau suivant : ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ):( + ) ( + ) ( ):( ) ( + ) ( + ):( ) ( ) ( ):( + ) ( ) Exemples : a) (+) (+3) b) (-) (+3) c) (+) (-3) d) (-) (-3) e) (+8) : (+4) f) (+8) : (-4) g) (-8) : (+4) h) (-8) : (-4) Exercice : a) (+) (-3) f) (-1) (-) (-3) (-4) (-5) b) (-1) (-4) (-1) g) (+41) (-876) (+0) (-1) c) (+3) (-1) (-1) h) (+34) : (-) d) (+) (+3) 0 i) (-34) : (-) e) (-4) (-) (-3) (-1) j) (-34) : (+) Remarque : Lorsqu'un nombre est positif, il n'est pas obligatoire de mettre le signe + devant le nombre. Exemple : +3 3

7 - 7 - Les Nombres Relatifs.8 Exponentiation ou puissances (entières et positives) D une manière plus générale, pour un nombre a et un entier n > 0, on note : n a a a a a et définition, on écrit : 1 si n facteurs a 0 a > 0 n On appelle a la puissance n de a. Ce symbole se lit : «a puissance n». n Dans le symbole a, l entier n s appelle l exposant et le nombre a s appelle la base. Exemples : a) (-) 3 b) (-) c) (-1) 45 d) (-1) 3 e) (-3) 3 f) (-3) Attention : g) - 3 h) - i) -1 5 j) Morale : Généralement on a que : ( a) n a n.9 Ordre des opérations Comme pour les nombres entiers, c'est l'ordre P P M D A S Exemples : a) 5 4 b) 10 ( 1 4 ) c) d) 5 ( 3 4 ) e) 40 : ( 5 8 ) f) [ 3 ( 7 ) ] g) - + (-) (1) LES PARENTHESES () LES PUISSANCES (et RACINES) (3) LES MULTIPLICATIONS et DIVISIONS (4) LES ADDITIONS et SOUSTRACTIONS

8 - 8 - Les Nombres Relatifs Exercice : a) 9 ( 8) (10 5 ) b) ( 5) ( 8) c) 38 ( 4 7) d) 5 ( 8 9) e) (1 4 ) 3.10 La distributivité La multiplication est distributive sur l'addition (et sur la soustraction). (c.f. dans N) a ( b+ c) a b+ a c Exemples : a) (5 7 ) b) -4 (1 3) Exercice : Calculer en distribuant. a) (4 5) b) -3 (3 6) c) (-1 4) d) -4 (-1 ) e) 0 ( + 5 ) Application : 99 6

9 - 9 - Les Nombres Relatifs. 11 Exercices Ex 1 : Calculs sur la droite Z 1) ) ) ) ) ) Ex : Calculs dans Z 1) 10 ( 7 5 ) 11) -1 (3 5) ) ) -1 + (3+5) 3) ) -1 + (3 5) 4) 14 (1 + 6 ) 14) (5 6) (7 9) 5) ) (5 6) (9 7) 6) -1 (5 + 3) 16) (5 6) (-9 7 ) 7) -1 (5 3) 17) 7 4 (5 3 6) 8) -1 + (5 + 3) 18) (5 3 6) 9) -1 + (5 3) 19) 7 4 ( ) 10) -1 (3 + 5 ) 0) ( ) (1 5) Ex3 : a) 10 4 b) c) 4 10 d) ( 3) 5 Ex4 : 1) (-3) ) -3 3) (-) - 4) 3 (-) 3 5) 3 6) (3 5) 4 7) (3 5) 5 8) ) (-3) 1 Ex5 : 1) ) 5 7 3) ( ) ) ) 5 4 7) ) ) ( 3) ( 3) 10)

10 Les Nombres Relatifs. 1 Exercices supplémentaires Exercice 1 a) 68 ( ) b) 71 + ( 15) ( 9) c) (18 1) d) ( ) ( ) ( ) e) 7 + ( 7) ( 3) + ( 4) f) 8 + ( 7) ( ) g) 5 ( 6 + ) h) 1 (7 19) i) 1 (7 34 1) + 3 Exercice a) ( ) 4 ( 3) f) ( 144) : ( + 1) b) ( 5) ( ) ( 1) g) ( 88):( + 44) ( ) c) ( 3 ) ( ) ( ) h) ( 1) ( 3 ) d) 3( 3)( 1)5 i) ( 1) 3 ( 4) e) ( 5) ( 1) ( 5) ( ) ( ) Exercice 3 a) ( 5) ( 4) ( ) b) 9 5 ( ) + ( 3) c) ( 5 8) d) 6 ( 7 + 8) e) ( 5) (10 3 5) ( 4) Exercice 4 a) ( 3 6) ( 6 3) + ( 3 6) b) (5 + 6) + (5 6) ( 6 5 ) c) 3+ (5 + 3) 5+ (5 3) d) ( 3 4) + ( 4 + 3) e) ( 4 6) ( 6 3) 4 + ( 3 6) Exercice 5 a) 3 b) ( ) 3 3 c) d) 3 ( 5) e) ( ) + ( 3) f) ( 3)( 4)( 1)( ) g) ( 3 4)( ) h) ( 16+ 8)( 1 ) i) ( 6 8 4)( ) f) ( 1) 7 ( ) ( 1) 14 g) ( 1) ( 1)( ) + ( 1) 3 h) ( 3) + ( 1)( )( 4) ( 5) 3 3 i) ( 6) ( 1) + ( ) j) ( 1) ( ) ( 3) 3 ( 1) 3

11 Exercice 6 Calculer: a) ( ) b) 3 15 ( 3 16 ) : ( 1) ( 3) 3 c) ( 3 16) 5 ( 6 4) Exercice : a) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 b) ( 8 7) ( 5) ( 11 13) ( ) c) ( 7 ) ( 3) ( 4) Exercice 8 Calculer: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) 4 ( 5+ 7) ( 8) 3 c) ( 3 5) 3 ( ) ( + 3) 3 ( 5) ( 10) d) ( 4 ) + ( 3+ 6 ) :( 5) + ( 1) ( 1) e) ( ) ( ) ( ) Les Nombres Relatifs Exercice 9* Compléter en précisant la démarche. 1) ) ( + 5 ) ( 3 ) )... [ ( 5 ) + ( 3 ) ] + ( 7 ) 4 4) ) ( 11 ) + ( 3 ) ) ) [ ( 11 )... ] ( + 3 ) ( 4 ) 0 8) ) ( + 7 ) +... ( 5 ) ( 3 ) 6 10) ) [ ( 7 )... ] ( 5 ) + ( 3 ) ) ) (... ) ( + 1 ) ( 10 ) + ( + 5 ) ) ) ( 8 ) + ( + 15 ) [ ] ( ) ( ) 3

12 - 1 - Les Nombres Relatifs Solutions Page : a) 3 ; b) -3 ; c) -3 ; d) 4 ; e) -4 ; f) ; g) -10 ; h) 0 ; i) -5 Page 4 : a) -6 ; b) -4 ; c) +1 ; d) +8 ; e) -5 ; f) -3 ; g) 0 ; h) -5 Page 5 : Ex 1 : a) -6 ; b) 5 ; c) 1 ; d) -1 ; e) 1 ; f) -16 ; g) ; h) -1 ; i) 8 ; j) -3 Page 6 : Ex : a) 68 ; b) 6 ; c) 31 ; d) ; e) 7 ; f) ; g) -1 ; h) -44 Page 6 : Ex : a) -6 ; b) -4 ; c) 3 ; d) 0 ; e) 4 ; f) -10 ; g) 0 ; h) -17 ; i) 17 ; j) -17 Page 8 : Ex : a) 0 ; b) +64 ; c) +66 ; d) -85 ; e) -4 Page 8 : a) b) c) d) e) Page 9 : Ex Ex : Ex 3: a) - b) c) - d) 43 Ex 4: Ex 5 : Page 10-11: Ex 1 : a) 40 ; b) 65 ; c) 6 ; d) ; e) 3 ; f) 9 ; g) 1 ; h) 4 ; i) 43 Ex : a) 4 ; b) 10 ; c) 4 ; d) 45 ; e) 100 ; f) 1 ; g) 4 ; h) 6 ; i) 4 Ex 3 : a) 10 ; b) 5 ; c) 60 ; d) 6 ; e) 100 Ex 4 : a) 15 ; b) 1 ; c) ; d) 10 ; e) 1 ; f) 4 ; g) ; h) ; i) 36 Ex 5 : a) 8 ; b) 8 ; c) 8 ; d) 16 ; e) 9 ; f) 6 ; g) ; h) 6 ; i) 9 ; j) 3 Ex 6 : a) 3 ; b) -565 ; c) 94 Ex 7 : a) 47 ; b) 57 ; c) 148 Ex 8 : a) 5 ; b) 9 ; c) 1984 ; d) 7 ; e) 44 Ex 9 : 1) 1 ; ; ) 1 ; 3) -5 ; 4) 4 ; 5) 16 ; 6) 16 ; 7) 3 ; 8) 6 ; 9) 16 ; 10) 11 ; 11) 3 ;1) 0 ; 13) 18 ; 14) 4 ; 15) 0