La Géométrie plane au Cycle 3

Transcription

1 La Géométrie plane au Cycle 3

2 Les performances des élèves en géométrie plane a) Les résultats des évaluations nationales b) Les résultats des évaluations sur trois classes de CM2 La disposition non prototypique des figures ont fait obstacle pour 70% des élèves Aucun élève de CE2 et de CM1 n a utilisé l équerre Aucun élève n a été capable de construire un carré à partir de sa diagonale Les progrès sont nets en vocabulaire mais encore 36% des CM2 nomment le cercle «rond»

3 L analyse et la conclusion Les élèves ont peu progressé entre le CE2 et le CM2 Les élèves en sont encore au stade perceptif dans la reconnaissance des figures et ne parviennent pas à utiliser les instruments pour vérifier les propriétés d une figure, moins encore pour les construire.

4 Quelles sont les causes probables de telles difficultés?

5 L enseignement de la géométrie «Que nul n entre ici s il n est géomètre» Platon

6 Une tradition magistrale et déductive Un savoir géométrique considéré comme ontogénique Une pédagogie de l ostention Un prétexte pour montrer que l on sait raisonner juste Rôle hypertrophié de la définition Tentation de commencer par un lexique

7 Des «dogmes» géométriques Construction à la règle et au compas sur papier blanc La démonstration comme objectif final

8 Des obstacles liés à la discipline

9 1) Construire l espace intellectuellement «A l école, il est moins question de géométrie que d espace. Il s agit d établir des représentations mentales et de les maîtriser, en un mot, il s agit de : commencer à penser l espace» F. Boule

10 a) La spatialité «L école n aide pas aux apprentissages spatiaux» Berthelot-Salin -Construire le langage de la spatialité (la géométrie est le langage de l étendue et de l espace: les formes en sont «le lexique» et les relations «la syntaxe») -Mettre en relation les trois espaces Micro-espace: le vécu Méso-espace: le perçu Macro-espace: le conçu

11 b) Représenter trois dimensions avec deux dimensions - Les mathématiques commencent quand on a trouvé un espace de représentation où on peut évoquer la situation pour résoudre le problème sans avoir vraiment besoin de manipuler - Or représenter des objets de l espace demande la maîtrise de la perspective et du patron

12 c) Articuler le plan et l espace 1) Avant 1985, on passait du plan à l espace (en 5è) 2) Depuis 1985, on commence par les solides (palpables) pour aller vers le plan en observant les faces. 3) Mais, le travail sur les solides se heurte très vite à la difficulté de la représentation Conclusion: Il faut organiser un apprentissage conjoint qu il serait utile d articuler avec d autres disciplines

13 2) Formes et relations spatiales On doit séparer les formes et les relations spatiales pour les conceptualiser alors que le sens tient justement à leurs rapports mutuels Car étudier un objet c est étudier les relations qui le constituent et qui le distinguent d un autre.

14 3) La construction des concepts géométriques Une géométrie naturelle ou de l observation: approche concrète de l espace, la validation est pratique. Une géométrie schématique (modélisation des objets de l espace): on valide par le raisonnement et l utilisation des instruments. Une géométrie théorique et abstraite, validation par la démonstration. (à partir du collège) F. Boule, C Houdement et A. Kuzniak

15 Comment aider les élèves de cycle 3 à passer de l espace sensible à la géométrie intelligible? Comment passer de l objet au concept?

16 1) Repartir des programmes Depuis 1985, la démarche empirique qui part des objets physiques et en fait un objet d étude pour faire émerger les invariants qui seront les concepts mathématiques reste un principe indépassable. Les 4 verbes d action: reconnaître, décrire, nommer et reproduire proposent la trame d un plan de travail sur les objets physiques.

17 Les programmes Cycle 3 «L objectif principal de l enseignement de la géométrie est de permettre aux élèves de passer progressivement d une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure» Palier 1 du socle commun : «Reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels» Palier 2 : «Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels»

18 2) Apprendre à se passer de manipuler Les mathématiques ne commencent que quand on travaille sur des représentations sur papier de l objet et du concept. Il y a donc 4 instances géométriques à ne pas confondre L objet physique: présent ou imaginé La reproduction de cet objet (supports variés) La représentation géométrique codifiée sur papier du concept mathématique. Le concept mathématique.

19 3) Représenter Voir le concept dans l objet: apprendre à coder Voir l objet dans la représentation: apprendre à décoder Dépasser les représentations surdéterminantes

20 Hypothèses de travail Les connaissances spatiales des élèves en cycle 3 ne sont pas achevées, ils doivent continuer à manipuler pour arriver à se passer de manipuler Partir de l espace (3D) pour mieux s appuyer sur les connaissances spatiales des élèves pour arriver à la géométrie (2D) en gérant la perte d information Développer les représentations mentales pour anticiper et dispenser les élèves d une action réelle sur les objets afin de favoriser l accès à une géométrie plane.

21 Expérimentation Une évaluation initiale pour évaluer la capacité des élèves à se représenter l espace La mise en place d ateliers (2 séances) Une évaluation finale (la même que l initiale) L analyse des résultats des élèves

22 L évaluation

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24 Les ateliers En autonomie: 1. Les mosaïques: M2U00161.MPG 2. Le tangram et le pentamino M2U00167.MPG 3. Les polydrons : M2U00199.MPG En apprentissage: 1. Du 2D en 3D :..\M2U00204.MPG 2. Du 3D en 2D : M2U00164.MPG M2U00165.MPG 3. «La main dans le sac»: M2U00203.MPG M2U00212.MPG

25 Titre de l'axe Les résultats de l évaluation 90% résultats de l'évaluation 80% 70% 60% 50% 40% 30% % de réussite 1 % de réussite 2 20% 10% 0% 1: Compter le nombre de cubes constituant une construction (dont certains cubes sont cachés) 2: Replier un patron mentalemennt pour déterminer les faces touchant la face noire 3: Vue d'un solide en perspective 4: Faire correspondre un solide à son patron

26 L analyse Les résultats montrent une progression générale de la classe sur toutes les compétences évaluées. Les ateliers ont été efficaces pour mener les élèves à mieux représenter l espace. Mais quels apprentissages géométriques construisent effectivement les élèves? Dans quelle mesure la progression des élèves dans le domaine des représentations de l espace aura-t-elle un impact sur les résultats en géométrie?

27 Prolongements et pistes de travail Chacune des pistes de travail suivantes doit être envisagée dans les trois espaces. doit alterner activités de codage et de décodage

28 Programmes À Partir de Procédures Reconnaître un solide Reconnaître une figure plane Son empreinte Son patron Son portrait (description) Sa représentation en 2D (perspective, photo, vues) Figure seule position prototypique ou pas Figure dans un lot Figure complexe reconnaissance perceptive (globale ou analytique) Reconnaissance par superposition Reconnaissance instrumentée en utilisant les propriétés Variables didactiques Complexité du solide Nombre de solides Différentes vues utilisées Choix de la représentation Instruments mis à disposition Position des figures complexité des figures Supports utilisés Impact de l apprentissage sur les représentations mentales Gestion de la perte d information entre la représentation en 2D et l objet 3D Plier et déplier mentalement le solide en patron Retourner et déplacer mentalement une figure pour la superposer Décomposer mentalement une figure complexe en figure simple

29 Programmes Objectifs Procédures Variables didactiques Impact de l apprentissage sur les représentations mentales Décrire un solide Décrire une figure Utiliser le vocabulaire en situation Identifier les propriétés d un solide ou d une figure pour l identifier parmi d autres Se décentrer pour décrire le processus de construction Description verbale Description écrite Description schématique: de la représentation à main levée à la figure géométrique Mise à distance ou pas de l objet à décrire Complexité et éléments constitutifs de l objet à décrire Contraintes imposées sur le mode de description Décomposer mentalement la figure ou le solide pour en décrire les propriétés Lors d une mise à distance des objets: garder en mémoire une image mentale de l objet à décrire

30 Programmes À Partir de Procédures Construire un solide Construire une figure plane Un modèle 3D (maquette, construction complexe ) Une représentation 2D (image, photo, dessin ) Un patron Une description Un programme de construction Un modèle Une description Un programme de construction Construction par manipulation avec matériel : cubes, polydrons, patrons, pailles Construction avec des gommettes Représentation de la construction Tracé à main levé Tracés instrumentés Variables didactiques Construction en 3D ou construction en 2D par une représentation Mise à distance ou pas de l objet à construire Matériel utilisé Conformité au modèle (identique ou semblable) Support ou matériel utilisé (Géoplan, papier uni, quadrillé, pointé ) Les objets imposés pour débuter la construction Impact de l apprentissage sur les représentations mentales Gestion de la perte d information entre la représentation en 2D et l objet 3D Construire des représentations mentales permettant d évoquer les objets en leur absence Identifier mentalement les solide ou les figures de base qui composent l objet à construire «Dérouler» mentalement l enchaînement chronologique des actions à effectuer

31 Conclusion Construire les savoirs géométriques Aborder conjointement objets et relations Travailler dans les différents espaces Favoriser les apprentissages spatiaux Utiliser le tracé à main levée comme outil d anticipation et de conceptualisation.

32 Bibliographie «Apprentissages géométriques et résolution de problèmes» ERMEL (2006) «Apprentissages géométriques aux cycles 2 et 3» Jean-François Grelier (2004) «Apprendre à se représenter l espace» Fabien Emprin et Claude Rajain (scérén 2004) JDI septembre 2000 François Boule, André Deledicq et André Myx