premier coffret Segments : une propriété caractéristique Demi-droites opposées Angles opposés par le sommet Symétrie centrale

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1 Partie 2 : la boîte à outils premier coffret Segments : une propriété caractéristique Demi-droites opposées Angles opposés par le sommet Symétrie centrale Angles alternes ou correspondants et droites parallèles Ces outils, ce sont des propriétés et des mécanismes d'association - on les appelle des «transformations» - qui te serviront tout au long de ta scolarité dans la démonstration de nouvelles propriétés. Au collège, les deux grandes transformations sont la symétrie centrale et la symétrie axiale. Pour pouvoir étudier correctement la première, il me faut d'abord voir avec toi une propriété caractéristique des segments puis observer des angles opposés par le sommet. (Pour introduire la symétrie axiale, j aurai besoin d un théorème que la symétrie centrale me procurera.) On y va? Segments : Une propriété caractéristique - et précieuse! Mais qu'est-ce qu'une propriété caractéristique? Eh, oh, M sieur, c'est quoi, une propriété, déjà? Ah non! Là, je ne suis pas d'accord! Relis «qu'est-ce qu'un raisonnement?»... Ou va regarder dans l'annexe des définitions : définition logique Dlog-4. Bon, parce que c'est la première fois : une propriété est une affirmation dont tu as pu démontrer qu'elle était vraie. Une «propriété caractéristique» est une propriété qui... Caractérise!... Qui met en évidence un trait de caractère commun à tous les éléments d'une famille d'objets, et uniquement aux éléments de cette famille. Une propriété caractéristique d'une famille d'objets peut donc servir de définition de rechange pour cette famille. En général, une famille d'objets peut être caractérisée de plusieurs façons : il lui correspond donc plusieurs propriétés caractéristiques. Parmi ces différentes propriétés, on en choisit une comme «définition» de la famille, et on appelle les autres «propriétés caractéristiques». (On pourrait les appeler D-bis, D-ter Mais on essaie de ne garder qu une définition par famille - sauf dans les cas où le passage de l'une à l'autre semble simple : par exemple, pour D-32 (boule) et D-36 (disque) j'ai défini les familles de plusieurs façons différentes, mais très proches.) Quelle propriété caractéristique choisit-on comme définition? Là, ça dépend des mathématiciens! Et parfois, ça pose quelques problèmes d'adaptation entre les textes et les démonstrations de mathématiciens différents... Mais on y arrive! 87

2 Et maintenant, la précieuse propriété caractéristique des segments (que je vais classer, comme toutes les propriétés, parmi les théorèmes - et que je vais démontrer!) : T-8 première version Propriété caractéristique des segments. Soient A, B et C trois points de l'espace : T-8 a Si B appartient à [AC] alors AB + BC = AC. Et T-8 b Si AB + BC = AC alors B appartient à [AC]. Les mathématiciens étant, tu le sais, très paresseux, ils ont inventé un mot pour rassembler T-8 a et T-8 b en une seule phrase : T-8 Propriété caractéristique des segments. Soient A, B et C trois points de l'espace : B appartient à [AC] équivaut à AB + BC = AC. Et voici une démonstration de T-8 a : si B appartient à [AC] alors d'une part, [AB] et [BC] sont deux lignes limitées ayant une extrémité en commun (le point B) et n'ayant aucun autre point commun que cette extrémité, d'autre part, [AC] est la ligne formée de l'ensemble des points de [AB] et de [BC], donc, d'après M-10 : AB + BC = AC. Puis une démonstration de T-8 b : AB + BC est la longueur de la ligne formée de [AB] et [BC]. Si B n'appartenait pas à [AC], cette longueur serait, d'après M-11, supérieure à AC : elle ne pourrait donc pas lui être égale Donc si elle lui est égale, B doit être un point de [AC]! En réalité, T-8 ne porte pas sur des longueurs, mais sur des distances. Je devrais l'énoncer : Angles opposés par le sommet : B appartient à [AC] équivaut à (distance entre A et B) + (distance entre B et C) = distance entre A et C. Mais tu te rappelles peut-être (sinon : cinquième voyage, croisière unique, escale-terminus) que : la distance entre deux points est la longueur du segment qui les relie. Alors, comme tu ne disposes pas au collège d'une écriture rapide pour «distance entre A et B», j'écris T-8 avec des longueurs de segments. (Pour une ligne courbe, si AC signifiait longueur de la ligne entre A et C, et [AC] la partie de la ligne entre A et C, T-8 caractériserait «entre». Heureusement, [AC] représente exclusivement un segment, et AC la longueur de [AC], donc également une distance!) La figure formée par deux angles opposés par le sommet est - tout au moins dans la définition restreinte - très facile à visualiser... Et moins facile à définir! Pour y arriver, je vais commencer par une définition intermédiaire : 88

3 D-65 Demi-droites opposées : deux demi-droites adjacentes d'une même droite. [BP) et [BA) sont opposées. Et voici maintenant une première définition, restreinte à des angles non nuls et strictement inférieurs à l'angle plat, de deux angles opposés par le sommet. Cette définition va me permettre de mettre en évidence une propriété de la symétrie centrale... Puis la symétrie centrale, à son tour, me permettra de rédiger une définition générale de deux angles opposés par le sommet (générale parce qu'elle s'appliquera à tous les angles). D-66 Angles opposés par le sommet (définition restreinte) : P B A deux angles, strictement compris entre l'angle nul et l'angle plat, tels que chaque côté de l'un des angles soit opposé à un côté de l'autre angle. A 1 et A 3 sont opposés par le sommet, A 2 et A 4 le sont également. A 1 A 4 A 2 A 3 Mais M sieur, vous avez dit qu'un angle, c'était une surface... «Compris entre», c'est pas pour des nombres? Bon, d'accord... Tu marques un point! J'aurais dû écrire : «dont l écart angulaire est strictement compris entre celui d'un angle nul et celui d'un angle plat»... J'ai fait un «abus de langage». C est parfois acceptable : lorsque tout le monde comprend, comme toi, qu il s agit d un abus de langage, pour alléger une expression. Mais il ne faut pas en Abuser. Deux remarques rapides, et puis un théorème - très simple, mais bien utile. Tu t'en rendras bientôt compte! Première remarque : Deuxième remarque : puisque deux demi-droites opposées ont la même origine, deux angles opposés par le sommet ont le même sommet. puisque deux droites sécantes définissent un plan unique, deux angles opposés par le sommet sont coplanaires. Et le théorème promis : 89

4 T-9 Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure Démonstration, pour les angles A 1 et A 3 du dessin précédent : A 1 et A 4 sont supplémentaires. Mais A 3 et A 4 le sont également, donc A 1 = A 3 Et c est fini (Tu as bien sûr remarqué qu'avant «donc», je parle des angles... Et qu après, je parle de leurs mesures!) Eh, pas d accord! Comment ça, c est fini??? Je ne comprends pas! Pas de panique J ai peut-être été un peu rapide. Appelle a 1 l écart angulaire de A 1, en degrés, a 3 celui de A 3 et a 4 celui de A 4 : A 1 et A 4 sont supplémentaires donc a 1 + a 4 = 180 A3 et A4 sont supplémentaires donc a 3 + a 4 = 180 Mais alors : a 1 + a 4 = a 3 + a 4 a 1 + a 4 a 4 = a 3 + a 4 a 4 a 1 = a 3 Et voilà! Maintenant, tu as les connaissances nécessaires pour aborder la... Symétrie centrale 90

5 Une histoire vraie : Il y a quelques années, j'ai construit une «boîte magique» pour introduire la symétrie centrale, en cinquième... Construit, pas inventé : ce n'est qu'une application de la «camera obscura» de Léonard de Vinci - et même, bien avant lui, de Ibn Haitham (Wikipedia?) Maintenant, je ne pourrais plus m en passer! Elle est en bois, et les panneaux avant et arrière se démontent. Au début, je m en sers pour projeter un dessin sur le tableau de la classe, et je repasse ce dessin au feutre. La face avant de la boîte est à 70 cm du tableau - mais si, c'est important, tu verras! Ensuite, je la démonte. Démontée, elle ressemble à peu près à ceci : arrière de la boîte (vue intérieure) avant de la boîte (vue intérieure) trou Halogène 500 W 70 cm Feuille d'aluminium (réflecteur) 40 cm Et là, si tu étais en classe avec mes élèves, tu constaterais comme eux que les 2 dessins, celui du fond de la boîte et celui du tableau, ont apparemment la même taille et la même forme Mais ils sont «inversés» : par exemple, le soleil est en bas à gauche sur le dessin de la boîte, et en haut à droite sur le tableau. (Il t apparaît en bas à droite sur le dessin parce que j'ai ouvert le panneau arrière!) Tu constaterais également qu'à part une feuille d'aluminium, une lampe halogène et le dessin, la boîte est vide : pas de miroir, pas de lentilles, rien! Euh La feuille d alu, C est pas un miroir??? Pas vraiment, non : bien sûr, elle réfléchit la lumière de la lampe halogène. Mais je ne l'ai placée là que pour protéger le panneau en bois. Bon, d accord Mais comment vous avez fait, alors? Et Pourquoi vous le faîtes? C est des maths, ça? Ne t inquiète pas, je vais te répondre. Dans l ordre! 91

6 D abord, comment l image est-elle apparue? Que s'est-il passé? La lampe halogène et la feuille d'aluminium ont constitué un projecteur, qui a violemment éclairé le dessin du fond, qui a, à son tour, renvoyé la lumière : chaque "point d'encre" du dessin est devenu une lampe qui éclairait tout autour d'elle. Une sorte d'objet ponctuel brillant. Mais, de tous les rayons lumineux émis par chaque point d'encre, un seul réussissait à sortir de la boîte, par le trou. Tous les autres rayons se cognaient aux parois et s'affaiblissaient petit à petit, puis disparaissaient. Et comme un dessin remplace parfois un long discours, regarde, et tu comprendras mieux pourquoi les 2 dessins sont inversés : J'ai enlevé le panneau de dessus et le panneau de droite de la boîte, et j'ai un peu découpé l avant (pour ne pas gêner la vue du dessin projeté). Tu dois imaginer que le fond de la boîte est transparent, ce qui te permet de voir le dessin. Je n'ai représenté que quelques-uns des rayons lumineux qui s'échappent par le trou. Pourquoi les 2 dessins ont-ils la même taille? Parce qu'il y a la même distance entre le fond de la boîte et le trou qu'entre le trou et le tableau! Si j'avais rapproché la boîte du tableau, le dessin projeté aurait été plus petit. Si je l'avais éloignée, il aurait été plus grand Évidemment, même si le trou est très petit, il est infiniment plus gros qu'un point. Alors, quand j'écris qu'un seul rayon lumineux réussit à sortir de la boîte, j'exagère! En pratique, plus le trou est gros, plus l'image est floue (mais aussi, plus elle est lumineuse). Ensuite, pourquoi cette expérience? D'abord, parce qu'elle met en... Lumière le fonctionnement de nombreux appareils d'optique : les appareils photo, les caméras, les projecteurs. Et même l'œil! Mais tu as raison, tout ça, c'est de la physique, pas des maths! Seulement voilà : notre géométrie s'inspire de l'univers dans lequel nous vivons. Alors les mathématiciens ont inventé une machine à associer des images (à des figures géométriques) qui fonctionne exactement comme ma «boîte magique». Ils l'ont appelée : symétrie centrale. 92

7 Pour définir une symétrie centrale : Il te faut un point, et le mécanisme de construction des images. Le point, c'est toi qui le choisis. En théorie, n'importe quel point de l'espace. En pratique, c'est en géométrie plane que tu étudies les symétries centrales au collège - donc tu choisis un point du plan dans lequel tu travailles : le plan de la feuille sur laquelle tu écris, ou le plan du tableau, ou celui de ton écran d'ordinateur... Ce point sera le centre de ta symétrie. A tout point correspond une symétrie unique dont il est le centre (en géométrie, un centre, c'est un point «star», un point qui a un rôle... Central dans tes préoccupations du moment). Donc tu t'es choisi un centre de symétrie. Il va correspondre au trou de la «boîte magique». Et maintenant, le mécanisme de construction des images. Lui, il ne dépend pas de toi, c'est le même pour toutes les symétries centrales (c'est le mécanisme caractéristique des symétries centrales) Et il correspond au trajet du rayon lumineux d'un «point brillant» à travers le trou - depuis le fond de la boîte jusqu'au tableau : Si par exemple tu cherches l'image d un point A de «ton» plan, dans la symétrie de centre C : 1 2 imagine un rayon lumineux qui part de A, et qui traverse C. Imagine maintenant qu'après avoir traversé C, il parcourt la même distance que de A à C, puis qu'il s arrête en un point, que tu appelles B. A C 2 (Donc A et B sont deux points d'un cercle de centre C.) Tu viens d'imaginer, en deux étapes, le mécanisme de construction des images dans une symétrie centrale : B est l'image de A dans la symétrie de centre C! B 1 [AC) En pratique, bien sûr, tu traces la demi-droite [AC), puis le cercle de centre C et qui passe par A : l'image de A est le point où ce cercle recoupe [AC). Deux minuscules remarques, puis une définition : si maintenant, tu construisais l'image de B dans la symétrie de centre C, tu retrouverais A. (B est un point de [AC), donc, d'après M-1, [AC) et [BC) sont deux demi-droites de la même droite, (BC). C est entre A et B, et AC = BC.) je ne peux pas utiliser ce mécanisme de construction pour déterminer l'image de C, parce que «la demi-droite [CC)», ça n'a pas de sens! Mais si tu choisis des points de plus en plus proches de C, et si tu construis leurs images, tu constates que ces images sont également de plus en plus proches de C Alors ce serait bien de se dire que l'image de C, c'est C lui-même! A partir de ces deux remarques, les mathématiciens ont défini une symétrie centrale de façon très précise, et en très peu de mots... C'est ça, la classe! 93

8 Seulement voilà : parmi ces mots, il y a «transformation». Une notion qui ne fait pas du tout partie des programmes du collège. Alors je vais faire un compromis : je t'écris la définition d'une symétrie centrale... Sans m'y attarder. D'accord? Ah mais non, monsieur, pas d'accord du tout! Une définition, vous devez l'écrire avec des mots qu'on comprend. Sinon, à quoi elle sert? Tu as raison, bien sûr. Mais une transformation est un cas particulier de bijection, qui est un cas particulier d'application, qui est un cas particulier de fonction, qui est un cas particulier de relation... Ces concepts sont totalement hors collège (tu commences à peine à y étudier quelques fonctions numériques). Alors dis-toi simplement qu une transformation est une machine à associer un point-image à chaque point de l'espace. Mais vous n'avez pas le droit! Ça ne se fait pas, ça : vous nous sortez plein de mots, et après, vous refusez d en parler! Vous n'êtes pas sérieux, là!!! D'accord, d'accord, ne t'énerve pas... Bon, sur le site mathemagique.com, je t'écrirai un micro-chapitre sur les relations. Ça te va? Je ne peux vraiment pas faire plus, sinon ce livre va peser des tonnes. D'accord, monsieur. Comme ça, ça va! Maintenant que nous sommes d'accord (mais tu avais raison), une définition qui ne te surprendra pas, puis la définition hors programme promise : D-67 Milieu d une ligne (limitée, ne se recoupant pas) : soit l une ligne limitée par les points A et B (et ne se recoupant pas). C est le milieu de l signifie : C est le point de l, qui sépare l en 2 lignes adjacentes de même longueur. Pourquoi «le»? Parce que, d'après Mphy-3, il existe une façon unique de diviser la longueur de l par deux! Au collège, «milieu» n est habituellement utilisé que pour des segments, C est le milieu de [AB] signifie donc : C appartient à [AB] et AC = CB. Et voici enfin la définition hors programme Suivie d une définition qui elle, est au programme : D-68 Symétrie (centrale) de centre C (C étant un point de l'espace) : transformation qui, à tout point A de l'espace, associe le point B tel que C soit le milieu de [AB]. D-69 Image(s) dans une symétrie centrale : 94 soient A, B et C trois points de l'espace. «B est l'image de A dans la symétrie de centre C» signifie : C est le milieu de [AB]. On dit alors que : «A et B sont symétriques par rapport à C». Par extension, «(figure 2 ) est l image de (figure 1 ) dans la symétrie de centre C» signifie : les points de (figure 2 ) sont les images des points de (figure 1 ) dans cette symétrie. (Et oui, tu diras encore que «(figure 1 ) et (figure 2 ) sont symétriques par rapport à C».)

9 Tu ne trouves pas que c'est astucieux de voir C comme le milieu du segment [AB]? Non seulement ça met en évidence que l image de A est unique : B est le seul point de (AC) tel que C soit entre A et B et tel que BC = AC Non seulement ça met en évidence que A et B jouent le même rôle : B est l'image de A et A est l'image de B Mais ça permet également de dire que l'image de C est bien C lui-même : [CC] existe (ce segment contient un seul point) et le milieu de *CC+ est C Donc l'image de C est C! Bien joué, non? Une dernière remarque : j ai écrit «B est l'image de A et A est l'image de B» Donc, pour tout point A de l espace, l image de l image de A est A! Les mathématiciens disent alors que les symétries centrales sont des transformations involutives, ou plus simplement (?) des involutions. Mais je n en fais pas une définition, c est trop hors-programme! Une propriété fondamentale d une symétrie centrale : T-10 Dans une symétrie centrale, la distance entre les images de deux points est la même que la distance entre ces deux points. Ou : une symétrie centrale conserve les distances. Deux points distincts ont donc deux images distinctes! Démonstration : soient A, B, C, D et E cinq points de l'espace tels que, dans la symétrie de centre C, D soit l'image de A et E l'image de B. D'après D-69, BC = CE et AC = CD. A B C E BCA et ECD sont opposés par le sommet donc, d'après T-9, BCA = ECD. Alors, d après M-15, les triangles ABC et DEC sont isométriques Donc ED = AB! D Pourquoi cette propriété (un théorème est une propriété, n'est-ce pas?) est-elle fondamentale? Parce que c'est elle qui permet de démontrer que dans une symétrie centrale : l'image d'un segment est un segment (et de même mesure), l'image d'un cercle est un cercle (et de mêmes mesures)... Une figure et son image sont isométriques : l image d un(e) est un(e) (de mêmes mesures)! (C'est pour cela que les mathématiciens appellent «isométries» les transformations qui, comme les symétries centrales, conservent les distances... Et oui, il y en a d'autres!) Et parce que c'est elle qui te permet de construire rapidement l'image d'une figure quelconque. 95