UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Statistiques Descriptives. Représentations graphiques

Transcription

1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire L1 Économie Cours de B. Desgraupes Statistiques Descriptives Séance 02: Représentations graphiques Table des matières 1 Introduction 1 2 Diagrammes à secteurs circulaires 1 3 Diagrammes en bâtons 3 4 Diagrammes d effectifs cumulés 6 5 Histogrammes 7 6 Polygônes de fréquence 12 7 Diagrammes de dispersion 14 8 Courbes d évolution 18 1 Introduction La statistique descriptive a deux approches pour décrire un jeu de données observées : 1. une approche graphique qui a pour objectif de fournir des représentations graphiques permettant de visualiser la distribution des données. 2. une approche quantitative qui a pour but de calculer des indices numériques caractérisant la répartition des données, les tendances, la dispersion, la concentration, etc. Le présent document passe en revue les principales représentations graphiques utilisées dans les analyses statistiques et économiques ainsi que dans les articles. Selon le type de variable statistique étudié, on a recours à des graphiques différents. 1

2 2 Diagrammes à secteurs circulaires Les diagrammes à secteurs circulaires sont aussi appelés camemberts (ou pie en anglais). Ils conviennent pour représenter des variables qualitatives ou des variables quantitatives discrètes. Il est préférable qu il y ait un nombre restreint de modalités pour que le graphique reste lisible. Ce sont des disques découpés en secteurs dont l angle est proportionnel aux proportions (ou fréquences) de chaque modalité. Le secteur total étant de 360, si f i est la fréquence de la i-ième modalité, on la représente par un secteur d angle α i défini comme ceci : Exemple α i = f i 360 = n i N 360 On utilise les données suivantes : Taux de réussite au baccalauréat en 2013 dans l académie de Lille Si on isole les trois grands types de baccalauréats, on obtient les résultats suivants : Type Total Proportions Angles Baccalauréat général % 168 Baccalauréat technologique % 77 Baccalauréat professionnel % 115 L effectif total est = Bac général Bac techno Bac pro Ce diagramme représente les parts relatives de chacun des types de baccalauréats. Exercice 1 2

3 Réaliser un diagramme à secteurs circulaires pour les sous-catégories du baccalauréat général. Corrigé Les données sont les suivantes : Type Effectifs Proportions Angles Littéraires % 54 Sc. économiques et sociales % 108 Sc. Ecologie Agronomie % 4 Scientifiques SVT % 180 Sciences de l Ingénieur % 14 Ensemble % 360 SES Agronomie Littéraires Ingénieurs SVT Remarque : Les diagrammes à secteurs circulaires sont très populaires dans la presse mais sont considérés comme extrêmement imprécis et même trompeurs. En effet, l oeil humain a du mal à apprécier les différences de taille angulaire et des expériences ont montré qu on pouvait facilement être abusé par des effets d optique dus à la position du diagramme ou aux couleurs utilisées... 3 Diagrammes en bâtons Les diagrammes en bâtons s appellent aussi des diagrammes à bandes. Ils conviennent pour représenter des variables qualitatives ou des variables quantitatives 3

4 discrètes. Il est préférable qu il y ait un nombre restreint de modalités pour que le graphique reste lisible. Les modalités sont représentées en abscisse et les effectifs correspondants sont représentés par des lignes ou des bandes verticales dont la hauteur est proportionnelle à la valeur. C est donc la hauteur des lignes ou des bandes qui permet d apprécier les tailles relatives des différentes modalités. Les diagrammes en bâtons sont plus faciles à lire que les diagrammes circulaires. Dans le cas d une variable qualitative, la position des modalités en abscisse n a pas de signification particulière. Si la variable est ordinale, on placera les modalités dans leur ordre naturel. Exemple On obtient le dia- Reprenons l exemple des catégories du baccalauréat. gramme suivant : général techno pro On peut aussi faire les diagrammes en proportions plutôt qu en effectifs: 4

5 général techno pro Fréquences et effectifs étant proportionnels (dans le rapport N), l aspect visuel est rigoureusement identique. Seules changent les valeurs sur l axe vertical. Un avantage des diagrammes en bâtons par rapport aux diagrammes circulaires est qu ils permettent de représenter plusieurs distributions en parallèle. Pour une même modalité, on peut placer côte à côte plusieurs lignes ou bandes verticales, correspondant à des sous-ensembles différents. Un autre mode de représentation consiste à empiler les valeurs verticalement en faisant plusieurs segments. Exemple Le tableau suivant donne les proportions de réussite au baccalauréat dans l académie de La Réunion pour les filles et les garçons de 2005 à Année Filles 60,1 59,7 63,8 63,3 65,5 65,9 Garçons 42,8 44,2 43,5 47,1 48,4 49,4 Les valeurs sont exprimées en pourcentage. Dans le diagramme suivant les valeurs sont placées côte à côte. 5

6 Taux de réussite filles/garçons au bac Académie de La Réunion Dans le diagramme suivant les valeurs sont empilées verticalement. Taux de réussite filles/garçons au bac Académie de La Réunion La ligne brisée qui joint les sommets des bâtons s appelle polygône des effectifs. Par exemple, en reprenant les taux de réussite au bac chez les filles, on obtient le diagramme suivant : 6

7 Taux de réussite des filles au bac Académie de La Réunion 4 Diagrammes d effectifs cumulés Les diagrammes d effectifs cumulés représentent la répartition de la distribution des effectifs. Pour chaque modalité, on place en ordonnées la valeurs des fréquences (ou parfois des effectifs) cumulées. On représente la progression par une fonction en escaliers. Les fréquences constituent les paliers. Ce type de graphique n a de sens que si les modalités sont ordonnées. Exemple Reprenons les données concernant le nombre de pièces des résidences principales. On avait les effectifs et proportions suivants : Nombre de pièces Effectifs Fréquences Fréq. cumulées 1 pièce ,75% 5,75% 2 pièces ,50% 18,25% 3 pièces ,93% 39,18% 4 pièces ,29% 64,47% 5 pièces ,44% 83,91% 6 pièces ,10% 100% 7

8 Diagramme de fréquences cumulées Pourcentages Nombre de pièces dans résidence principales 5 Histogrammes Les histogrammes sont des graphiques qui permettent de visualiser les proportions au moyen de rectangles verticaux. Ils concernent les variables quantitatives discrètes ou les variables quantitatives continues qu on regroupe en classes contiguës. Un histogramme peut être dessiné en effectifs ou en fréquences : comme ce sont des grandeurs proportionnelles, cela ne change pas l allure du graphique mais seulement les valeurs portées sur l axe vertical. Dans un contexte de recherche de densités, on préfèrera un histogramme en fréquences. Voici un histogramme correspondant à des notes obtenues à un examen par 1000 étudiants. 8

9 Histogramme en effectifs de 1000 notes Histogramme en fréquences de 1000 notes Effectifs Effectifs Notes Notes Le principe de construction d un histogramme consiste à découper les données en classes et à dessiner des rectangles dont la surface est proportionnelle aux effectifs (ou aux fréquences). La base des rectangles correspond à chaque intervalle [e i, e i+1 [. La largeur de ces intervalles est l amplitude a i = e i+1 e i. Si on désigne la hauteur par h i, la surface du rectangle est alors S i = a i h i Cette valeur doit correspondre à l effectif n i (pour un histogramme en effectifs) ou à la fréquence f i (pour un histogramme en fréquences). 9

10 La surface représente l effectif n i a i h i h i e i a i e i+1 On a relevé le loyer annuel de 500 domiciles d une agglomération et obtenu le tableau d effectifs suivant : Classes Effectifs [4,5[ 13 [5,6[ 56 [6,8[ 224 [8,10[ 115 [10,12[ 46 [12,14[ 29 [14,16[ 15 [16,18[ 2 Les loyers sont indiqués en milliers d euros et répartis en classes. 10

11 Histogramme des loyers On remarque que les deux premières classes ont une amplitude de 1 (c està-dire 1000 euros) tandis que les suivantes ont une amplitude de 2 (c est-à-dire 2000 euros). Cela a pour conséquence que les deux premiers rectangles sont deux fois plus hauts et en particulier que le deuxième et le quatrième ont approximativement la même hauteur. En effet le deuxième correspond à la valeur n 2 = 56 qui a été multipliée par 2, à savoir 112, tandis que le quatrième correspond à la valeur n 4 = 115. Dans le cas d un histogramme en fréquences (ou proportions), la surface S i s interprète comme la fréquence f i c est-à-dire la proportion des observations qui se trouvent dans l intervalle [e i, e i+1 [. On peut écrire : S i = P (e i X < e i+1 ) L intérêt de cette représentation est qu on peut représenter la proportion d observations qui sont dans plusieurs intervalles contigus en additionnant les surfaces des rectangles correspondants. Par exemple, dans le diagramme suivant, la zone hachurée correspond à la proportion P (5000 X < 10000) où X est le loyer. 11

12 P(5000 < loyer < 10000) Interprétation des hauteurs La grande différence entre les diagrammes en bâtons et les histogrammes est que dans les premiers n i est représenté en hauteur tandis que, dans les seconds, il est représenté en surface. Quelle est alors la signification de la hauteur dans un histogramme? On a n i a i h i = h i n i a i Le rapport d i = n i a i est la densité de la classe C i. Donc lorsqu un rectangle est plus haut qu un autre, c est que la densité de son intervalle est plus grande, autrement dit qu il comporte plus de données à amplitude égale. Les histogrammes appréciés en hauteur donnent un aperçu de la densité de répartition des données. 12

13 Histogramme des loyers Le rectangle en pointillés représente la fusion des deux premières classes. Leur effectif cumulé est de = 69 et le rectangle a donc une hauteur de 69 pour une amplitude de Précédemment on avait deux rectangles de hauteurs respectives 2 13 = 26 et 2 56 = Polygônes de fréquence On obtient le polygône de fréquence en joignant, par une ligne polygonale, les points situés au milieu des arêtes supérieures des rectangles. Ces graphiques permettent de visualiser les densités au moyen d une ligne continue plutôt que par des paliers. L effet obtenu est de lisser les créneaux des 13

14 histogrammes Polygône de fréquences Polygône de fréquences On utilise cette technique pour des histogrammes dont les rectangles ont tous la même amplitude. En effet, dans ce cas, la surface située sous la courbe polygonale est la même que celle des rectangles. On voit sur les graphiques suivants comment les aires des triangles délimités par les rectangles de l histogramme et la ligne polygonale se compensent. 14

15 L interprétation de la surface située sous le polygône de fréquences entre des bornes a et b est la proportion P (a X < b) de données appartenant à l intervalle [a, b[. 7 Diagrammes de dispersion Les diagrammes de dispersion servent à représenter les corrélations qui peuvent exister entre des observations portant sur deux variables différentes. Si x et y sont les deux variables observées, pour chaque observation O i, on place le point de coordonnées (x i, y i ). L ensemble des points obtenus s appelle un nuage. Le graphique qui suit est un diagramme de dispersion correspondant à deux variables x et y distribuées uniformément. Cela signifie simplement que les valeurs observées pour chacune des deux variables sont équiréparties sur l intervalle où elles sont définies. On voit que les points obtenus sont uniformément répartis dans le carré. Cet exemple est typique de l absence de corrélation entre les variables x et y. 15

16 Diagramme de dispersion uniforme y x Les deux graphiques qui suivent sont des diagrammes de dispersion correspondant à deux variables x et y distribuées. Cette notion sera vue avec précision par la suite, mais ici cela signifie simplement que les observations sont massées autour d une valeur centrale et qu elles se raréfient quand on s en éloigne. Le deuxième graphique ajoute justement des petits traits (le long des axes) qui matérialisent la répartition des x et des y. On voit que les points obtenus sont uniformément répartis autour d un point central. Cet exemple est typique de l absence de corrélation entre les variables x et y. 16

17 Diagramme de dispersion normale Diagramme de dispersion normale y y x x L exemple qui suit est un diagramme qui suggère une corrélation positive entre les x et les y. Le nuage de points semble orienté dans une direction particulière. On verra par la suite comment calculer une droite qui ajuste au plus près les points du nuage. C est ce qu on appelle une droite de régression. Diagramme de dispersion corrélé Diagramme de dispersion corrélé y y x x 17

18 On peut généraliser la notion de diagramme de dispersion au cas de jeux de données comportant plus de deux variables. On présente sur un même graphique les diagrammes de dispersion établis par paires de variables. C est un moyen d explorer ce type de jeux de données en recherchant visuellement si certaines variables semblent corrélées ou pas. Sur la diagonale, on indique le nom des variables. Ce graphique est symétrique par rapport à la première diagonale. Exemple On utilise le jeu de données suivant appelé airquality : Table de données météorologiques Il est constitué de mesures relatives à la qualité de l air relevées à l aéroport La Guardia de New York entre le 1er mai et de 30 septembre Il comporte 153 observations portant sur les 6 variables suivantes : Ozone Taux d ozone en ppb (parts per billion) Solar.R Rayonnement solaire (langleys) Wind Vitesse du vent (miles par heure) Temp Température (degrés Fahrenheit) Month Mois (entre 1 et 12) Day Jour du mois (entre 1 et 31) Ozone Solar.R Wind Temp

19 8 Courbes d évolution Ce sont des diagrammes qui sont utilisés pour représenter des données qui évoluent dans le temps. On parle dans ce cas de séries temporelles ou données longitudinales. Le graphique suivant représente l évolution des températures dans le jeu de données météorologiques. Températures Degrés Fahrenheit Mai Septembre 1973 On peut représenter en parallèle plusieurs de ces graphiques comme sur l exemple suivant où on peut suivre l évolution séparément du taux d ozone, du rayonnement solaire, de la vitesse du vent et de la température. On observera qu il y a des trous par endroits. Ceux-ci correspondent aux données manquantes. 19

20 Air quality Temp Wind Solar.R Ozone Mai Septembre 1973 Enfin on peut parfois représenter plusieurs courbes sur un même graphique d évolution mais cela n est pas toujours lisible si jamais les courbes s entrecoupent. Cela pause aussi un problème d échelle car les intervalles de valeurs peuvent différer considérablement entre différentes variables. La solution dans ce cas est de présenter les données comme des variations par rapport à une base commune. On choisit en général une base 100 pour la première observation et on ajuste les autres données par rapport à cette base. Reprenons l exemple des taux de réussite au baccalauréat dans l académie de La Réunion, pour les filles et les garçons, de 2005 à Le graphe suivant montre l évolution de ce taux pour les filles et pour les garçons séparément. 20

21 Baccalauréat à La Réunion Taux de réussite Filles Garçons Exercice 2 La table suivante indique le mode de cohabitation des ans en France en ) Faire un diagramme circulaire représentant les proportions des diverses catégories. 2-2 ) Faire un diagramme en bâton représentant les répartitions. 2-3 ) Faire un diagramme en bâton représentant les répartitions en distinguant les femmes et les hommes. Mode de cohabitation Effectifs Répartition Ensemble Hommes Femmes Enfant d un couple 2 053,2 36,7 41,0 32,3 Enfant de famille monoparentale 774,8 13,8 15,5 12,2 En couple sans enfant 708,4 12,7 9,3 16,1 En couple avec enfants 259,9 4,6 2,7 6,6 Parent de famille monoparentale 76,0 1,4 0,1 2,6 En ménage avec d autres 527,0 9,4 9,7 9,2 Seul 883,7 15,8 14,9 16,7 Hors ménage 312,2 5,6 6,8 4,3 Total 5 595,1 100,0 100,0 100,0 Les angles des secteurs circulaires sont proportionnels aux proportions. Les proportions sont : 36.70% 13.85% 12.66% 4.65% 1.36% 9.42% 15.79% 5.58% En multipliant par 360, on obtient les angles suivants en degrés (arrondis en nombres entiers): 21

22 Mode de cohabitation Enfant couple Enfant fam. monopar. Couple sans enfant Hors ménage Couple avec enfants Parent fam. monopar. Ménage avec autres Seul Dans le diagramme en bâtons, les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux effectifs (ou aux proportions) Enfant couple Enfant fam. monopar. Couple sans enfant Couple avec enfants Parent fam. monopar. Ménage avec autres Seul Hors ménage De la même manière, on peut représenter un diagramme en bâtons où sont accolés deux bâtons pour chaque catégorie : celui de gauche correspond aux pro- 22

23 portions chez les hommes et celui de droite aux proportions chez les femmes. Ce diagramme est plus lisible et permet plus facilement de faire des comparaisons Enfant couple Enfant fam. monopar. Couple sans enfant Couple avec enfants Parent fam. monopar. Ménage avec autres Seul Hors ménage 23