Exercices Régulation numérique. H. Khennouf

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1 Exercices Régulation numérique H. Khennouf IEE 2ème année 1

2 1 Boucle de régulation avec un correcteur PI numérique Soit à contrôler le système d entrée u(t) et de sortie y(t) défini par la fonction de transfert (Asservissement de vitesse d un moteur à courant continu) : G(p) = Y (p) U(p) = K 1 + τp Le correcteur est réalisé par un calculateur numérique (un PC). La mesure de la sortie y(t) arrive sur un convertisseur analogique numérique (CAN) délivrant une information toutes les T e seconde (T e est la période d échantillonnage). Un convertisseur numérique analogique (CNA), de type bloqueur d ordre, est placé au niveau de la commande u(t). Pour les applications numériques, on prendra : K = 4, τ = 25 ms et T e = 1 ms. Question 1. Représenter le schéma de régulation numérique du système G(p). Question 2. Déterminer la fonction de transfert G(z). L écrire sous la forme générique : G(z) = B(z) A(z) = b 1z a 1 z 1 et exprimer a 1 et b 1 en fonction des paramètres du système et de la période d échantillonnage. Effectuer l application numérique. Le régulateur PI numérique est caractérisé par : K P I (z) = R(z) S(z) = r + r 1 z 1 1 z 1. Le système régulé doit répondre 2 fois plus rapidement que le système en boucle ouverte (t rdes ) ; la réponse du système en boucle fermée ne présente pas de dépassement ; le système en boucle fermée doit avoir le comportement d un second ordre. Question 3. Déterminer la valeur du coefficient d amortissement ξ des et la pulsation naturelle ω ndes. Déterminer le dénominateur (exprimant les performances désirées en continu) de la fonction de transfert en boucle fermée désiré. Question 4. En déduire le polynôme caractéristique désiré en discret : P (z) = 1 + p 1 z 1 + p 2 z 2. Calculer p 1 et p 2. Effectuer l application numérique. Question 5. Déterminer la fonction de transfert du système en boucle fermée H BF (z) en fonction des polynômes A(z), B(z), R(z) et S(z). En identifiant le polynôme caractéristique désiré et le dénominateur de H BF (z), exprimer les paramètres r et r 1 du correcteur en fonction de p 1, p 2, a 1 et a 2. Effectuer l application numérique. 2

3 Question 6. Les résultats de la simulation donnent sensiblement le temps de réponse désiré, mais la réponse y(t) présente un dépassement de 15% au lieu des % escomptés. A partir de la fonction de transfert H BF (z) calculée précédemment, expliquer la raison de ce dépassement. Question 7. Proposer un schéma de régulation ainsi que le correcteur associé (et ses paramètres) permettant de répondre précisément au cahier des charges (temps de réponse et dépassement). Question 8. Justifier le choix de la période d échantillonnage. Question 9. Le régulateur PI numérique, permet-il de rejeter les perturbations constantes en entrée du système? Qu en est-il des perturbations constantes en sortie? Justifier vos réponses. 3

4 2 Régulation d une aérotherme avec un PID 2.1 Objectif L objectif de cet exercice est d assurer la régulation de la température d un procédé thermique. On impose : le temps de réponse du système bouclé. une erreur nulle en réponse à un échelon de consigne et de perturbation. 2.2 Présentation du procédé Il est constitué d une cheminée métallique dans laquelle est disposée une résistance chauffante. Un ventilateur assure une circulation d air dans la cheminée et un thermocouple permet de mesurer la température que l on cherche à réguler. La température peut varier de à 2 C. la tension fournie par le conditionnement varie de à 1V pour cette plage de température. Un amplificateur contrôle la puissance dans la résistance chauffante. La puissance varie de à la puissance maximale pour une entrée variant de à 1V. La régulation de vitesse sur le ventilateur permet de faire varier sa vitesse de V min à V max pour une entrée variant de à 1V. Figure 1 Aérotherme Dans le cadre de ce travail, les deux entrées de commande sont fournies par un PC équipé d une carte d E/S analogiques. Des voltmètres permettent la lecture des valeurs des entrées et des commandes. 2.3 Modèle On considère le système à étudier composé de : 4

5 une entrée u : entrée de commande de puissance une sortie y : mesure de la température une perturbation v : entrée de la commande de vitesse du ventilateur Le schéma bloc du système est le suivant : A partir de la réponse indicielle de la sortie y en réponse à l entrée u et à partir de la réponse indicielle de la sortie y en réponse à l entrée v autour du point de fonctionnement, on obtient les fonctions de transfert suivantes : F (p) = k 1 (1 + τp) 2 P (p) = où k 1 =.6, k 2 =.25 et τ = 5 s. Question 1. :Justifier la mise du schéma bloc sous la forme suivante : k 2 (1 + τp) 2 (1) Le correcteur est réalisé par un calculateur numérique (un PC). La mesure de température y arrive sur un convertisseur analogique numérique (CAN) délivrant une information toutes les 2 s. Un convertisseur numérique analogique (CNA), de type bloqueur d ordre, est placé au niveau de la commande de chauffage u. On choisit une période d échantillonnage, T e de 2 s. Question 2. Justifier ce choix par rapport à la dynamique du système seul et à celle du système bouclé. 2.4 Réglages d un correcteur PID discret L objectif de cette partie est de calculer un correcteur numérique pour que le système en boucle fermée réponde comme un second ordre avec des pôles dominants correspon- 5

6 dant à une double constante de temps τ des de 2.5 s. Le correcteur numérique est de la famille des PID : K(z) = R(z) S(z) = r + r 1 z 1 + r 2 z 2 (1 z 1 )(1 + s 1z 1 ). Question 3. Établir le schéma fonctionnel de l asservissement numérique. Ne pas oublier bloqueurs et échantillonneurs. Question 4. Calculer le transfert F (z) = B(z) A(z). Question 5. Déterminer l équation aux différences liant l entrée u et la sortie y lorsque la perturbation v est nulle. Question 6. Écrire littéralement les fonctions de transfert en boucle fermée en asservissement et en régulation en fonction de A(z), B(z), R(z) et S(z). Question 7. Commenter le rejet de la perturbation lorsque v est constante. Question 8. Calculer les paramètres du correcteur PID K(z). Question 9. Tester en simulation le régulateur en réponse à des créneaux de consigne de 1V puis des créneaux de perturbation de -1 V. Question 1. Expliquer les réponses en calculant les pôles et zéros de la fonction de transfert en asservissement et en régulation. Question 11. Proposer un correcteur PID numérique permettant d améliorer le comportement en asservissement. 6

7 3 Asservissement de vitesse d un groupe tournant On dispose d un moteur à courant continu à excitation indépendante dont l induit est alimenté par un pont mixte triphasé. Il entraîne une génératrice à excitation indépendante débitant sur un rhéostat de charge. La commande du moteur se fait par modification de la tension d induit au moyen d un pont mixte, dont on fait varier l angle de retard. On se propose d asservir la vitesse du moteur en mettant en oeuvre une régulation à 2 boucles imbriquées : courant (contrôle du couple) et vitesse. Le schéma électrique simplifié du montage est représenté sur la figure 1. Figure 2 Schéma électrique Dans la suite, on se propose de régler la boucle de vitesse ; la boucle de courant a déjà été réglée afin que i m (p) V iref (p) = 1/K s 1 + τ e p avec τ e = 3ms. Le schéma bloc de la boucle de vitesse est donné figure 2. On donne : K s =.4V/A : gain du capteur de courant K m = 1.8V.s/rad : f =.17N.ms/rad : coefficient de frottement visqueux du groupe J =.16kg.m 2 : moment d inertie du groupe K Ω = 1 V.s/rad : gain du capteur de courant 1π la valeur maximale admissible pour le courant est 2A. La période d échantillonnage est T e = 1ms. 7

8 Figure 3 Boucle de vitesse La boucle de vitesse sera réglée pour répondre au cahier des charges suivant : le temps de réponse désiré est t rω =.6s le système en boucle fermée doit répondre comme un second ordre avec un pôle double une perturbation additionnelle constante au niveau du couple moteur (couple de frottements secs) doit être rejetée. 1. La période d échantillonnage est déterminée en se basant sur la boucle de courant. Expliquer pourquoi? Justifer le choix de T e. 2. Déterminer la fonction de transfert H(p) = V Ω(p) V iref du système à contrôler. On (p) posera G = K ΩK m fk s. 3. Montrer que la fonction de transfert H(z) peut s écrire : H(z) = V Ω(z) V iref (z) = b 1z 1 + b 2 z a 1 z 1 + a 2 z 2 et déterminer a 1, a 2, b 1 et b 2 en fonction des paramètres du système (expression littérale puis application numérique). 4. Déterminer le dénominateur de la fonction de transfert désirée : P (z) = 1 + p 1 z 1 + p 2 z 2 et indiquer l expression littérale puis les valeurs numériques de p 1 et p On souhaite contrôler le système avec un correcteur PID : C(z) = R(z) S(z) = r + r 1 z 1 + r 2 z 2 (1 z 1 )(1 + s 1z 1 ) Justifier le choix du correcteur. Expliquer comment est choisit T (z) dans la figure 2 pour obtenir un PID. 6. Afin d obtenir les paramètres du correcteur, déterminer l équation de Bezout à résoudre en fonction des paramètres de H(z), de P (z) et de C(z). (On ne demande pas de la résoudre). 8

9 7. Le correcteur déterminé en résolvant l équation de Bezout ci-dessus est testé avec Matlab/Simulink. Les courbes obtenues en asservissement et en régulation sont données figures 3 et 4. Analyser de façon approfondie les résultats en asservissement et en régulation. 8. Afin de pallier aux défauts du correcteur précédemment calculé, proposer les modifications à effectuer sur le correcteur. Expliquer. 9. Les résultats obtenus après modification sont donnés figures 5 et 6. Analyser les résultats en asservissement et en régulation. Ces résultats vous paraissent-ils satisfaisants? Les comparer au réglage précédent. 1. En assimillant la boucle de courant à son gain statique, proposer un correcteur Proportionel Integral répondant au cahier des charges. Les différentes étapes permettant le calcul du correcteur doivent être explicitées. Les paramètres du correcteur seront calculés théoriquement et numériquement. 11. Pour le correcteur PI proposé à la question 1, déterminer l équation récurrente permettant le calcul de la consigne V iref (k) en fonction de la consigne V Ωref (k) et de la sortie V Ω (k). 9

10 1.2 Asservissement 1 V et V ref (V) courant (A) t Figure 4 Asservissement 1 Régulation Perturbation (N.m) V et V ref (V) 5 x courant (A) Figure 5 Régulation 1

11 1 Asservissement.8 V et V ref (V) courant (A) Figure 6 Asservissement 1 Régulation - 2eme réglage Perturbation (N.m) x 1-3 V et V ref (V) courant (A) Figure 7 Régulation 11

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