Le calculateur numérique pour la commande des processus

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1 Le calculateur numérique pour la commande des processus par Daniel JAUME Maître de Conférences au Laboratoire d Automatique du Conservatoire National des Arts et Métiers et Michel VERGÉ Professeur des Universités au Laboratoire d Automatique de l École Nationale Supérieure d Arts et Métiers. Constitution d un calculateur «temps réel»... R Nécessité d un environnement temps réel Architecture d un calculateur temps réel Différentes fonctions d un calculateur numérique Aspects théoriques Échantillonnage Blocage Choix de la période d échantillonnage Quantification ransformée en z Définitions Association de blocs de transfert ransformation inverse, recherche d originales Stabilité des systèmes échantillonnés Implantation d un correcteur Représentation d état des systèmes échantillonnés Discrétisation des systèmes linéaires continus Matrice de transfert en z ransformée en delta Définition Mise sous forme d état Exemple d application Présentation du procédé à commander Modélisation Correction Commande par calculateur numérique Détermination du correcteur Résultats Conclusions... 6 Pour en savoir plus... Doc. R 7 0 L a commande des procédés par calculateur numérique est une technique en pleine évolution. commencée il y a une trentaine d années pour des processus de fabrication, la commande par calculateur s applique maintenant à des objets de la vie courante : matériel vidéo, lave-linge, voiture, etc. Cette évolution est due aux progrès technologiques rencontrés dans l industrie informatique. echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle R 7 0

2 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS Avant que l informatique ne pénètre le milieu industriel, les procédés de fabrication (sidérurgie, chimie, agroalimentaire...) étaient commandés par des régulateurs continus PID en technologie électrique ou pneumatique à la satisfaction des utilisateurs, tant la loi de commande de type PID était robuste, c est-à-dire peu sensible à des erreurs de modélisation et à des variations lentes du processus. Dans un premier temps, les calculateurs numériques ont été utilisés comme générateurs de points de consigne pour les régulateurs analogiques ; ainsi, en cas de défaillance de l informatique, le procédé restait régulé autour de la dernière valeur de consigne émise par le calculateur. Dans cette situation, la technologie numérique ne remplaçait pas la technologie analogique, mais permettait une observation de son comportement, notamment au plan de la fiabilité. Les calculateurs numériques, à cette époque, étaient volumineux, consommateurs d énergie et peu performants ; ils se trouvaient dans une salle spécialement équipée. L unité centrale était constituée d opérateurs logiques câblés ; la mémoire centrale utilisait des tores ferromagnétiques. Les vols habités vers la Lune, à la fin des années 60, ont validé les techniques de commande optimale d une part et la commande par calculateur numérique d autre part. Les années 70 ont connu une pénétration des calculateurs dans la commande des procédés, notamment à cause du premier choc pétrolier qui a imposé une minimisation des coûts énergétiques. Si quelques désillusions sont apparues, dues au manque de fiabilité des matériels informatiques, on peut dire qu à partir de 975 la commande des procédés par calculateur numérique est devenue opérationnelle en milieu industriel. Les unités centrales microprogrammées, les mémoires à semiconducteur sont autant d éléments qui ont rendu les calculateurs plus rapides, plus fiables et plus performants. Les premiers microprocesseurs apparaissent à la fin des années 70 et permettent, avec d autres composants associés, l émergence d architectures informatiques industrielles de faibles dimensions. L année 98 voit apparaître le premier Personal computer (PC) d IBM qui entraîne une modification de l image du calculateur numérique : celui-ci devient une machine de bureau d un coût modeste. La baisse des coûts de ces calculateurs numériques a provoqué un changement de la structure de commande. Au calculateur unique et puissant se substitue une structure informatique où un calculateur de gestion pilote un ensemble de calculateurs situés auprès des systèmes à commander et reçoit des comptes rendus de fonctionnement. C est la commande hiérarchisée qui permet une gestion optimisée des ressources de production et une reconfiguration de l atelier de production en cas de défaillance d un outil de production. Le progrès technologique ayant permis une intégration plus importante des composants, des calculateurs complets avec leur unité d échange sont intégrés dans un seul composant «monochip» ; ils sont connus sous le terme de microcontrôleur et assurent toutes les fonctions d un microprocesseur et son environnement d entrées-sorties. Cette dernière génération de calculateurs numériques, d un coût très faible, ouvre des perspectives nouvelles pour les applications dites grand public ou d autres applications où l encombrement constitue une contrainte. L utilisation d un calculateur numérique pour la commande d un procédé fait appel à plusieurs compétences ; l exploitant du procédé doit dialoguer avec plusieurs équipes : au niveau du procédé : il faut déterminer les mesures qui doivent être effectuées par le calculateur, leur période de scrutation, les actionneurs à piloter par le calculateur et les lois de commande à programmer pour satisfaire un cahier de charges ; ces compétences sont généralement apportées par les automaticiens ; au niveau informatique : une architecture doit être définie pour satisfaire les objectifs de la conduite ; des sécurités doivent être prévues en cas de dysfonctionnement. Enfin, toutes les interfaces entre le calculateur et le procédé doivent être choisies ; de plus, des dispositifs de communication entre l opérateur et le calculateur doivent être déterminés. Ces compétences sont apportées par les informaticiens. R echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle

3 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS. Constitution d un calculateur «temps réel». Nécessité d un environnement temps réel Pour les procédés continus commandés par des régulateurs continus, dès qu une perturbation apparaît, elle est prise en compte par le système de commande. Le remplacement d un régulateur continu par un calculateur numérique pose deux problèmes fondamentaux. Le calculateur numérique exécute des instructions séquentiellement, dans l ordre où elles ont été placées dans la mémoire programme (hormis les instructions de rupture de séquence). Pour commander un procédé, il faut exécuter une séquence d instructions significative. Pendant le temps d exécution de cette séquence, le calculateur ne pourra pas prendre en compte un événement (perturbation ou sollicitation) survenant sur le procédé. Le calculateur numérique est un système de commande discontinu. On peut objecter que la rapidité d exécution d un calculateur est très grande, de telle sorte qu il pourrait être considéré comme un système continu ; fondamentalement, le calculateur numérique reste un système discontinu. Pour commander les procédés de façon efficace, l automaticien a besoin d un modèle mathématique. Le procédé étant continu, il se représente en général par un modèle continu du type équations différentielles, fonction de transfert ou représentation d état continue [4] [5]. Pour étudier le comportement global du procédé et du système de commande, il est nécessaire de disposer des modèles de même nature. Celui du calculateur étant discontinu, il faut transformer le modèle continu du procédé en modèle discontinu. La discontinuité du modèle du procédé sera liée à celle du modèle du calculateur numérique ; c est-à-dire à la fréquence de scrutation du calculateur. Le choix d une cadence de scrutation est le premier problème à résoudre dans la commande des procédés par calculateur. Ce point est explicité au paragraphe 2.3. Ainsi, le mode de commande d un procédé par calculateur numérique fait apparaître l exécution, à des instants réguliers, d une tâche qui réalise l acquisition des mesures, un traitement spécifique et la commande des actionneurs. Cette tâche est réactivée par un signal d horloge de façon périodique dans le temps. Pour cela, le calculateur possède des signaux particuliers appelés interruptions qui agissent sur le déroulement du programme. C est la présence d un système d interruptions qui confère à un calculateur numérique le label calculateur temps réel. Pratiquement tous les calculateurs actuels sont dotés d un système d interruptions. La gestion du temps est obtenue en raccordant un signal électronique à fréquence fixe à l une des entrées interruptions. Le plus souvent, un composant particulier, généralement nommé timer, assure cette fonction. Figure Architecture générale d un microcontrôleur La mémoire de programme est la zone de stockage des codes des instructions à exécuter ; elle se trouve physiquement dans une partie de la puce du microcontrôleur et peut être étendue, au besoin, dans un composant externe du type EPROM*. Cette mémoire est écrite à l aide d un programmateur de mémoire et effacée aux rayons ultraviolets. *EPROM : Erasable PROM (Programmable Read Only Memory). La mémoire de données peut être lue et écrite par l unité centrale du microcontrôleur. Elle est de type volatile, c est-à-dire que les données sont perdues à la disparition de l alimentation électrique. On trouve quelquefois des mémoires de données du type EEPROM* qui conservent des données malgré une rupture d alimentation. *EEPROM : Electrically Erasable Programmable Read Only Memory. Le chien de garde est un dispositif qui alarme l unité centrale si un transfert ne se termine pas dans un délai acceptable après son initialisation. Lorsqu une mémoire unique contient le programme et les données, la structure est dite de Von Neuman ; quand elles sont séparées, cela correspond à une architecture interne dite Harvard. Dans une architecture de Von Neuman, l unité centrale doit d abord lire le code à l aide du bus de données et ensuite l exécuter, c est-à-dire acquérir un opérande (par le bus de données) et éventuellement écrire un résultat dans une mémoire par le bus de données. Pour améliorer la rapidité d exécution, certains microcontrôleurs utilisent une structure dans laquelle les instructions et les données sont différenciées et circulent sur des bus différents (figure 2)..2 Architecture d un calculateur temps réel La disponibilité de structures informatiques de faible coût avec des performances élevées conduit à élaborer une commande distribuée. L idée générale est d affecter un microcalculateur (microcontrôleur) à chaque tâche élémentaire. Ainsi, un microcontrôleur sera affecté à la commande d un actionneur à partir d une mesure fournie par un capteur et d une consigne programmée. Cette tâche étant simple, elle pourra être exécutée à l aide d un nombre réduit d instructions, donc rapidement. Une structure de commande de niveau supérieur supervise et synchronise les tâches effectuées par les microcalculateurs élémentaires. Généralement, le microcontrôleur se présente sous l architecture classique de la figure. Figure 2 Structure à deux bus ou à quatre bus echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle R 7 0 3

4 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS.3. âche de régulation Figure 3 Utilisation d un processeur dans la commande d un procédé Les performances des microcontrôleurs ont connu un accroissement considérable dû à une conception en architecture RISC (Reduced Instruction Set Computer : circuit à jeu d instructions réduit). En fait, l avantage de cette structure est de permettre l exécution d une instruction simultanément avec la recherche de l instruction suivante, grâce à une structure dite pipeline. Le principe du pipeline permet d accroître la vitesse d exécution par rapport aux microprocesseurs classiques, renommés par opposition de type CISC (Complex Instruction Set Computer). Si le jeu d instructions d une architecture RISC est réduit, toutes les instructions doivent avoir le même temps d exécution, c est-à-dire un cycle d horloge instruction. Il résulte de tout cela des performances pouvant atteindre 5 MIPS (millions d instructions par seconde). Des procédés très rapides (guidage d engins balistiques, par exemple) peuvent maintenant être pilotés par calculateurs numériques. Les microcontrôleurs sont performants en terme de rapidité dans la mesure où les traitements demandés peuvent s effectuer sur des nombres entiers, car une opération (addition, multiplication...) est généralement réalisée par une seule instruction. Il en va autrement lorsque le traitement nécessite des opérations sur des nombres réels (sinus, logarithme...). Il est possible de programmer toutes ces opérations mais, dans ce cas, les temps d exécution deviennent importants. La solution consiste à utiliser un composant dédié au traitement scientifique appelé DSP (Digital Signal Processor). Le DSP ou processeur possède l architecture d un microprocesseur classique, le plus souvent selon une structure Harvard et une architecture RISC. Par contre, son unité d échange ne lui permet pas toujours d être utilisé seul pour une application temps réel. Son domaine d utilisation majeur est d effectuer un traitement scientifique important de façon très rapide pour le compte d un microcontrôleur ou d un microprocesseur à vocation temps réel. Les échanges entre les deux composants s effectuent le plus souvent par une liaison série synchrone à cadence d échange élevée. La figure 3 présente une application type. Les échanges entre le microcontrôleur et le procédé à commander s effectuent à l aide des voies numériques parallèles et des voies analogiques ; entre le microcontrôleur et le processeur, les échanges se feront par une liaison série synchrone. Le système d interruptions du microcontrôleur gère ces échanges. C est la tâche essentielle en commande des procédés. Elle est activée avec une périodicité constante dépendant de la dynamique du phénomène physique. Il peut arriver qu un procédé fasse apparaître des parties rapides (débit, pression) et des parties plus lentes (niveau, température). Dans ce cas, le calculateur utilisera plusieurs fréquences de scrutation. La tâche de régulation est affectée d une priorité élevée lorsque plusieurs tâches sont programmées ; elle est déclenchée par une interruption activée par l horloge temps réel. La tâche de régulation comprend plusieurs sous-tâches qui s enchaînent séquentiellement. Acquisition Il s agit de prélever une ou plusieurs informations délivrées par des capteurs. La conversion analogique-numérique peut être effectuée directement dans le capteur ou dans un convertisseur multiplexé situé à proximité du calculateur. La première solution est préférable si le capteur est éloigné du calculateur : un signal numérique s altère moins qu un signal analogique dans un environnement parasité. Filtrage Les phénomènes observés sont entachés d erreurs provenant du bruit de processus : par exemple, la mesure de niveau d un liquide en ébullition. L acquisition étant ponctuelle, elle risque de s effectuer sur une valeur de pic de la mesure, alors que l on souhaite une acquisition de la valeur moyenne du signal à mesurer. Le filtrage assure cette fonction. Le filtrage est généralement effectué de façon analogique avant la numérisation, par un filtre passe-bas électronique qui atténue les oscillations haute fréquence extérieures au spectre naturel du phénomène physique. Il peut être complété de façon numérique en utilisant les valeurs acquises aux instants d échantillonnage précédents. Le filtre programmé peut être du type passe-bas transposé d un filtre continu (filtre de Butterworth, par exemple). Il se programme toujours par une équation récurrente faisant intervenir l acquisition à l instant k et les valeurs filtrées passées. Calcul de la commande À partir d une mesure de la grandeur à régler (et des valeurs passées) et à partir d une consigne à respecter, il faut calculer la valeur du signal qui, appliqué à l entrée du procédé, amènera la grandeur à régler à sa valeur de consigne en respectant un cahier des charges (rapidité, précision, amortissement). L automatique traite ce problème. Dans le cas de systèmes monovariables, la commande agit sur un actionneur. Lorsque le système est multivariable, il présente plusieurs grandeurs de sortie, chacune d entre elles dépend de plusieurs grandeurs d entrées. La figure 4 présente la structure de commande d un système multivariable..3 Différentes fonctions d un calculateur numérique Les calculateurs numériques assurent des fonctions diverses pour la commande des procédés au sens large : de la conception du procédé, avant qu il n existe (.3.3), aux tâches de bilan lorsque le procédé est en fonctionnement. Figure 4 Structure fonctionnelle de commande de procédé par calculateur numérique R echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle

5 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS Dans le cas des systèmes multivariables, la loi de commande est plus complexe à établir ; chaque commande u i est à calculer en fonction des mesures y j. On peut plus affecter un microcontrôleur à chaque grandeur mesurée, à cause de l interactivité entre les grandeurs de sortie. Commande d actionneurs Les valeurs calculées sont envoyées sur des convertisseurs numériques-analogiques (CNA) et dirigées vers les actionneurs. Certains actionneurs sont conçus pour accepter des signaux numériques. Le convertisseur numérique-analogique assure la fonction mémorisation de la dernière valeur envoyée par le calculateur jusqu à la période d échantillonnage suivante. Déroulement des sous-tâches La tâche de régulation doit s effectuer en respectant une contrainte de durée représentée à la figure 5. Figure 5 Récurrence de la tâche de régulation Mémorisation des variables importantes C est le journal de bord ; il constitue une trace du fonctionnement du procédé. Le fichier constitué pourra être exploité en temps différé pour établir des statistiques sur le fonctionnement global du procédé (rendement, incidents de fonctionnement...). Détection de défauts Un procédé en fonctionnement peut se trouver en situation de défaut ou de dysfonctionnement. Ces défauts peuvent avoir un caractère soudain (fuite d un fluide) ou évolutif (encrassement de tuyau, usure). Il est intéressant pour l exploitant de détecter, puis de localiser les défauts sur l installation. Le calculateur de commande est tout à fait capable d assurer cette fonction, dans la mesure où il est disponible dans la tranche de temps entre t et (figure 5). out d abord, un défaut peut être considéré comme une modification des relations entre les entrées et les sorties du système. Plusieurs outils permettent de reconnaître cette modification. On peut distinguer deux classes de systèmes, selon que l on dispose d un modèle mathématique du procédé ou non. Dans le premier cas, on pourra utiliser l identification ou l estimation en temps réel des paramètres du modèle mathématique à l aide d algorithmes appropriés, et ensuite, par une procédure de test statistique, une modification significative d un ou plusieurs paramètres conduira à la décision «processus en état de défaut». Dans le second cas, les technique de reconnaissance des formes, par analyse des données mesurées sur le procédé, permettent de distinguer l état normal de l état défaut. L absence du modèle est compensée par une phase d apprentissage où l on collecte des données pour chaque état possible du procédé. Ces méthodes sont développées dans les ouvrages de Brunet et de Dubuisson [2] [3]. Les sous-tâches présentées s exécutent séquentiellement ; la durée d exécution est représentée par t. Cette tâche est réactivée à l instant (période d échantillonnage). On doit respecter la relation : t Pour la plupart des procédés et compte tenu de la rapidité des calculateurs, il est facile de respecter cette relation. Lorsqu on cherche à commander des procédés ayant une dynamique rapide (impliquant une période d échantillonnage inférieure à une milliseconde), la relation précédente devient une contrainte..3.2 âches liées à la conduite des procédés C est entre les temps t et, à chaque période d échantillonnage, que le calculateur pourra exécuter d autres tâches. Nous en citons quelques-unes, mais cette liste n est pas exhaustive et dépend de la nature du procédé à commander. Acquisition des paramètres de conduite Certains systèmes de commande sont fermés, c est-à-dire que le système de commande a été déterminé complètement, et l utilisateur n a pas la possibilité de changer les réglages ; c est, par exemple, le cas du calculateur assurant la commande de l injection électronique sur un véhicule. Dans d autres cas, le système est ouvert, et à l aide d un clavier et d une console, l utilisateur peut définir certains points de consigne ou des coefficients du correcteur numérique. Visualisation des variables contrôlées Le calculateur joue le rôle assuré jadis par les enregistreurs papier en visualisant l évolution temporelle d une ou plusieurs variables sur un horizon donné. Ceci permet à l opérateur de conduite de vérifier visuellement le bon fonctionnement de l installation..3.3 Simulation du fonctionnement du procédé Lors de la phase de conception du procédé, il faut prévoir la loi de commande qui permettra la conduite sous les contraintes du cahier des charges. La loi de commande peut être testée sur un simulateur du procédé, c est-à-dire un calculateur numérique programmé pour élaborer des signaux qui ont le même comportement dynamique que les variables du procédé. Ceci permet un gain de temps et d efficacité lors du démarrage de l installation. Pour construire un simulateur, il faut disposer d un modèle mathématique du procédé, et d algorithmes de résolution numérique d équations différentielles linéaires et non-linéaires à l aide de méthodes d intégration numérique explicites (Euler, Runge-Kutta) ou implicites (Adams, Gear). Des logiciels spécifiques assurent cette fonction (MatrixX, Matlab, Basile, Acsyde, Control-C...) implémentables sur des calculateurs de bureau ou des stations de travail. Les simulateurs peuvent être utilisés pour la formation des opérateurs. 2. Aspects théoriques Dans le cas d un système à commander ayant une entrée, une sortie, il est possible de représenter la boucle de commande par la figure 6. Dans cette figure, les interrupteurs associés au symbole, représentent des opérations complexes que l on ne peut pas toujours séparer des convertisseurs notés CNA ou CAN. Nous désignons par échantillonnage, la transformation d une fonction continue du temps en une suite d unités d informations sur cette fonction arrivant à des instants discrets du temps. Nous représentons symboliquement l opérateur d échantillonnage par un interrupteur généralement associé à la valeur de la période d échantillonnage. echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle R 7 0 5

6 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS Figure 6 Schéma d une boucle de régulation Figure 7 Symbolisation des opérations d échantillonnage La fonction f *(t ) dénote le résultat de l échantillonnage de la fonction continue f ( t ). Les largeurs des impulsions d échantillonnage sont habituellement négligées par rapport à. Par exemple, à la figure 6, u (t), y(t), n (t) sont des signaux continus et le signal n *(t ) résulte de l échantillonnage de n (t ). D autre part, la conversion d un signal continu en un signal numérique est désignée par quantification. Les aspects pratiques concernent le choix des matériels et plus spécialement le choix de la période d échantillonnage, ainsi que celui des convertisseurs. 2. Échantillonnage L opération d échantillonnage est une modulation d amplitude. Le lecteur pourra consulter les articles [5] et [7] pour une plus ample information. La fonction échantillonnée f *(t ) s écrit : où δ(t ) représente l impulsion de Dirac. Illustrons ceci par la figure 7, où l on admet que les impulsions de f *(t ) sont de largeur infiniment petite. 2.2 Blocage f ( t ) = f ( k) δ ( t k) k = 0 Figure 8 Blocage : exemple du bloqueur d ordre zéro et k t < ( k + ) u (t ) = s * ( k ) Considérons la figure 8 présentant l allure des signaux s *(t ) et u (t ). Le blocage est une opération associée à une fonction de transfert. Nous notons B 0 (p ) cette fonction de transfert où p désigne l opérateur de Laplace. Dans le cas le plus simple, nous reconstituons le signal f (t ) entre deux instants d échantillonnage par : f (k + τ ) = f (k ) avec k nombre entier positif et 0 L extrapolateur obtenu, nommé «bloqueur d ordre zéro» possède une mémoire limitée à un seul coefficient. Il maintient constant le dernier échantillon entre deux instants d échantillonnage. La fonction de transfert B 0 (p ) est donnée par : exp ( p) B 0 ( p) = p L opération de blocage est la transformation d une fonction s*(t ), définie à des instants discrets du temps nommés instants d échantillonnage, en une fonction continue du temps u (t ). Il existe plusieurs types de bloqueurs : dans le cas du bloqueur d ordre zéro, la transformation est donnée par : k, u (k ) = s*(k ) R echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle

7 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS Ainsi, un bloqueur d ordre zéro introduit un gain et un déphasage du signal d origine. Examinons les courbes de Bode associées à B 0 (p ). Posons a = ω/2 et p = jω : B 0 ( jω) exp ( jω) expja exp( ja) = = -- exp( j a) jω 2 ja = exp ( j a) sina a Le module de l exponentielle étant égal à, il vient : sin a B 0 ( jω ) = = ω a ω Sur la figure 9, nous avons tracé, en fonction de ω, le module de B 0 (jω) ainsi que celui de l extrapolateur idéal. Figure 0 Spectre du signal à échantillonner En pratique, la période d échantillonnage est choisie telle que : Figure 9 Comparaison des modules des bloqueurs Remarque : dans le but d obtenir une reconstitution plus complète de la fonction f (t ), il est possible d effectuer une meilleure approximation en considérant deux termes de la série : f (k + τ) = f (k ) + τ[f (k ) f (k ) ]/ L extrapolateur obtenu, nommé bloqueur d ordre un, effectue dans ce cas, à l aide de deux valeurs consécutives d échantillonnage, des évaluations de la dérivée première de f (t ) et ses performances peuvent être analysées comme dans le cas précédent. outefois, ces bloqueurs d ordre un sont assez peu utilisés dans les systèmes industriels. Nous renvoyons le lecteur à l ouvrage de P. Borne [7]. 2.3 Choix de la période d échantillonnage Le choix de la période d échantillonnage est un élément particulièrement décisif pour le choix d un système informatique. En effet, si la période d échantillonnage retenue est excessivement faible, le calculateur devra effectuer le traitement très rapidement et les problèmes de stockage d information se produiront très certainement (vitesse, volume). Par ailleurs, l échantillonnage à une cadence trop rapide pose de nombreux problèmes numériques. Par conséquent, la période d échantillonnage doit être choisie en tenant compte de la dynamique du système à commander. Ce choix est basé sur l hypothèse d un spectre F (jω) de la fonction f (t ) limité en fréquence, comme le montre la figure 0, et sur le théorème de Shannon qui s énonce ainsi : «oute fonction du temps f ( t ) possédant un spectre de fréquence limitée à ± / c peut être transformée par échantillonnage périodique, de période inférieure ou égale à c /2, sans aucune perte d information.» soit encore, si l on désigne par f c la fréquence de coupure du processus à commander, et par f la fréquence d échantillonnage, on doit respecter : 5 f c < f < 0 f c En prenant les transformées de Laplace des deux membres de la relation : f ( t ) = f ( k )δ ( t k ) on obtient : F ( p) c > > 5 = k = F k = c 0 2π p + jk L échantillonnage étant une modulation d amplitude, F (p ) est une fonction périodique de période ω e = 2π/, où ω e est la pulsation d échantillonnage. Le spectre de F*(jω) reproduit le spectre de F (jω) si la fréquence d échantillonnage est correcte, comme le montre la figure où le spectre de F (jω) est limité. Il faut remarquer qu en pratique les mesures sont bruitées, quelquefois les phénomènes observés sont également bruites, de sorte que la bande passante du système à commander est plus faible que celle des signaux observés. Cela provoque, par repliement de spectre, des distorsions sur le spectre du signal. Pour limiter ces distorsions, il est indispensable de placer des filtres analogiques passe-bas sur le signal continu. Ces filtres continus sont généralement constitués de plusieurs filtres passe-bas du second ordre (du type de Butterworth ou de chebychef) et sont désignés par filtres antirepliement. Par exemple, un système du premier ordre possède une constante de temps τ (en secondes). Une règle classique est de choisir la période d échantillonnage comprise entre le cinquième et le dixième de la constante de temps. Dans l espace fréquentiel, la bande passante du premier ordre est caractérisée par la pulsation ω = /τ (rad/s) ou la fréquence f = /2 π τ (Hz). Si l on choisit = τ/5, la fréquence d échantillonnage est f e = / = 5/τ. Le rapport f e /f est égal à 0 π, donc la condition de Shannon est largement respectée. L analyse à partir du temps de réponse ( r = 3 τ ) du système du premier ordre montre que le rapport r / = 3 τ/(τ/5) = 5. De façon classique, on choisit souvent la période d échantillonnage entre r /30 et r /50. Désignons par ω 0 la pulsation de coupure (à 3 db) d un système à commander. Nous savons qu il existe une relation entre la pente de la courbe de gain et l ordre du système analysé : pour un echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle R 7 0 7

8 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS 2.4 Quantification La quantification est l opération qui traduit une grandeur continue en une représentation binaire. C est donc une correspondance entre un nombre infini de valeurs possibles du signal d entrée et un nombre fini de valeurs du signal de sortie. Cette opération introduit des erreurs qui dépendent directement du format du convertisseur analogique-numérique (CAN), c est-à-dire du nombre de bits caractérisant ce convertisseur. Notons le pas de quantification d un CAN : par exemple, si le convertisseur numérise le signal exprimé en volts sur r = 2 bits, q représente la différence des tensions d entrée provoquant deux codes de sortie différents : q = 2 2 = 024. Dans ce cas, la loi de quantification est dite uniforme. Le choix du nombre de bits r dépend du compromis entre la rapidité de conversion et la précision souhaitée. Cependant, si le signal est bruité, il n est pas indispensable de faire appel à un convertisseur de plus de 2 bits. Notons x (t ) le signal continu à numériser et d (t ) le signal obtenu après numérisation. La différence n = d (t ) x (t ) représente l erreur de discrétisation et est nommée bruit de quantification. Il est commode de considérer le signal quantifié (figure 3) comme la somme de x (t ) et d un bruit aléatoire n (t ). Dans le cas de la quantification à loi uniforme, le pas de quantification q est constant ; on représente à la figure 4 les signaux d (t ) et x (t ). Dans ce cas, la variance du bruit de quantification est donnée par : 2 q 2 σ n = Figure Repliement de spectre Figure 3 Modélisation du signal quantifié Figure 2 Erreur d échantillonnage selon l ordre du système à discrétiser système d ordre n la pente est de 20 n décibels par décade. Supposons que la courbe de Bode d un système présente une pente de m décibels par décade, image de l ordre de ce système. L abaque de la figure 2 donne l erreur d échantillonnage en fonction du rapport ω e /ω 0 avec ω e = 2 π /. Figure 4 Représentation des signaux d et n R echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle

9 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS Cette formule est obtenue en supposant que le bruit de quantification est décrit par une loi de densité de probabilité uniforme entre q /2 et + q /2 ce qui constitue une hypothèse acceptable. Par conséquent, le rapport signal sur bruit est donné par : En considérant que q = 2 r, cette formule montre que le rapport signal sur bruit de quantification, mesuré en décibels, varie linéairement en fonction du nombre r de bits du convertisseur. Cependant, on montre que la quantification, même grossière, d un signal ne modifie pas ses propriétés statistiques, si le signal est gaussien. À partir du calcul de variance du bruit de quantification, on peut prédéterminer la propagation de la variance dans toute équation récurrente simulant un filtre linéaire (ou un correcteur). Le lecteur intéressé peut consulter l ouvrage de Kunt [8]. 3. ransformée en z La transformée en z joue, vis-à-vis des systèmes linéaires échantillonnés, le même rôle que la transformée de Laplace vis-à-vis des systèmes linéaires continus : la variable z est liée à la variable de Laplace p par la relation : z = exp ( p ) où représente la période d échantillonnage. Les définitions et propriétés essentielles sont rappelées. Elles sont établies dans la référence [4]. 3. Définitions 2 σ x 2 σ 2 x σ n q 2 Soit f *(t ) la suite des échantillons correspondant à l échantillonnage idéal de la fonction f (t ), alors : [ f ( t )] = f ( k ) exp ( kp) = F ( p) k = 0 avec opérateur de transformée de Laplace [6] En posant z = exp (p ), nous associons à la fonction temporelle f (t ) la fonction F (z ) par : Fz ( ) = f( k) z k k = 0 Si cette série converge, F (z ) est appelée transformée en z de f (t ) ; elle est notée : [ ft ( )] ou F (z ). Nota : le lecteur pourra consulter l article [4] pour des exemples et les propriétés de cette transformation. 3.2 Association de blocs de transfert 3.2. héorème fondamental Considérons la fonction de transfert H (z ) (figure 5). Nous avons, avec les notations classiques : Y (z ) = H (z ) X(z ) Figure 5 Hypothèse : fonction de transfert unique Figure 6 Régulation numérique d un système continu Système bouclé Dans le cas du système bouclé monovariable représenté à la figure 6, le capteur G (p ) est relié directement à la sortie y (t ) d un système continu représenté par H (p ). On a : Xz ( ) ε ( z ) = Cz ( ) [ Gp ( ) Hp ( )] Y (z ) = H (z ) U (z ) = H (z ) C (z ) ε (z ) Yz ( ) Hz ( ) Cz ( ) = Xz ( ) + Cz ( ) [ Gp ( ) Hp ( )] Ces relations montrent qu il est possible de calculer le transfert en z reliant Y (z ) à X (z ). On notera que le dénominateur des expressions ε (z ) et de Y (z ) est nommé polynôme caractéristique en z. 3.3 ransformation inverse, recherche d originales Connaissant H (z ), la transformation inverse consiste à déterminer la suite d échantillons h (k ) tels que : hk ( ) z k = k = 0 Hz ( ) Plusieurs méthodes sont utilisables : nous limitons cette présentation à la méthode basée sur l équation récurrente. Illustrons ceci par l exemple suivant. Nz ( ) Exemple : donner l inverse de Hz ( ) = = Dz ( ) z 2 3z + 2 Cette méthode consiste à associer une équation récurrente correspondant à la fonction de transfert H (z ) que l on écrit : Hz ( ) = où Yz ( ) Vz ( ) y (k ) est la sortie et v (k ) est une impulsion discrète. Pour obtenir une récurrence, nous remplaçons z par un retard temporel : Yz ( ) z 2 Hz ( ) = Vz ( ) = z 2 = z + 2 3z + 2z 2 Y (z )[ 3z + 2z 2 ] = V (z) z 2 Y (z ) 3 Y (z )z + 2Y (z ) z 2 = V (z ) z 2 echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle R 7 0 9

10 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS Utilisons le théorème du retard : [ f( t k )] = z k Fz ( ) Le théorème du retard, avec k 0, donne : y (k ) 3y (k ) + 2y (k 2) = v (k 2) qui constitue l équation récurrente associée à H (z ) dont on recherche l originale. Or v (k ) est une impulsion discrète, v (0) = et v (k ) = 0 k non nul, et y (t ) étant nul pour t négatif, on en déduit : y (k ) = 0 pour k < 0. L équation récurrente fournit donc : y (0) = 3y ( ) 2y ( 2 ) + v ( 2 ) = 0 y ( ) = 3y (0) 2y ( ) + v ( ) = 0 y (2 ) = 3y ( ) 2y (0) + v (0) = y (3 ) = 3y (2 ) 2y ( ) + v ( ) = 3 y (4 ) = 3y (3 ) 2y (2 ) + v (2 ) = 9 2 = 7 Nous obtenons les valeurs suivantes : k h (k ) Stabilité des systèmes échantillonnés En matière de commande des procédés, la stabilité est une préoccupation majeure. Le système est asymptotiquement stable si les racines du polynôme caractéristique ou si les pôles de la fonction de transfert ont leur module strictement inférieur à (figure 7). Figure 8 ransformation de Mobius et correspondance entre zones de stabilité des plans complexes On retiendra que lorsque l on transpose une commande continue à une commande par calculateur numérique, l échantillonnage dégrade la stabilité, d autant plus que la période d échantillonnage augmente. 3.5 Implantation d un correcteur Ce problème se pose lorsque l on désire remplacer une correcteur continu par un correcteur numérique «approximativement» équivalent. En effet, de nombreuses lois de commande s élaborent en continu. L utilisation d un calculateur numérique suppose l existence de méthodes simples de transposition de correcteurs continus vers une version échantillonnée. Une équation différentielle linéaire, à coefficients constants peut se résoudre en utilisant la transformée de Laplace : il lui correspond une fonction de transfert en p. De même une équation récurrente linéaire, à coefficients constants correspond à une fonction de transfert en z. Or, il existe des méthodes informatisées (techniques numériques) pour résoudre une équation différentielle : il y a donc une autre correspondance entre le continu et le discret. Considérons par exemple la fonction de transfert C (p ) du premier ordre : Vp ( ) ε ( p) C ( p b = ) = p + a Cette transmittance est équivalente à l équation différentielle : Figure 7 Zone de stabilité (plan des z ) Il est possible d éviter le calcul des pôles de la matrice de transfert en utilisant, par exemple, la transformation conforme dite de Möbius : w = z z qui transforme le disque de rayon unitaire du plan complexe z en demi-plan de gauche de la variable complexe w, puis en appliquant le critère de Routh Hurwitz [4] au polynôme en w obtenu à partir du polynôme caractéristique en z par le changement de w + variable : z = Cette transformation a reçu le nom de transformation bilinéaire, (figure w 8). ou, sous forme intégrale : dv( t) = b dt 0 ε ( t ) a v() t t v( t) = [ b 0 ε( ) a v ( ) ] d 0 Nous nous intéressons aux instants multiples de la période d échantillonnage : k v[ ( k + ) ] = [ b 0 ε ( ) a v ( ) ]d 0 v [(k + ) ] = v (k ) + S où S est la surface hachurée sur la figure 9. ( k + ) [ b 0 ε ( ) a v ( ) ]d + k R echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle

11 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS Ces substitutions correspondent naturellement à des approximations qu il est parfois utile de corriger par un examen comparatif des courbes de Bode de la fonction C (p) et de sa transmittance H(z ) associée dans l approximation retenue. Cependant, la synthèse d un correcteur s effectue de façon plus précise en utilisant des méthodes spécifiques et non en transformant un correcteur continu : par exemple, l utilisation de la représentation d état conduit à une implantation des correcteurs sans avoir à faire des approximations. Figure 9 Surface élémentaire L approximation de la surface élémentaire S par un rectangle ou un trapèze fournit une équation aux différences reliant v [(k + ) ] et v (k ). Considérons l approximation par les rectangles inférieurs S = w(k ) = [b 0 ε (k ) a v (k )] v (k + ) = ( a )v(k) + b 0 ε(k) En prenant les transformées en z, nous obtenons l approximation d Euler : Vz ( ) b b = = ε( z) z ( a ) z a Approximation par les rectangles supérieurs S = w (k + ) d où : v (k + ) = v (k ) + [b 0 ε (k + ) a v (k + )] En prenant les transformées en z, nous obtenons : Approximation trapézoïdale Vz ( ) b z b = = ε( z) z( + a ) z a z wk ( + ) + w( k) S = v [(k + ) ] = v (k ) + [b 0 ε (k + ) a v (k + )] /2 + [b 0 ε (k ) a v (k )]/2 En prenant les transformées en z nous obtenons l approximation de ustin : Vz ( ) b ( z + ) b = = ε( z ) ( 2 + a )z + a z ( z ) + z ( + ) a L examen des trois approximations données par les transmittances H(z ) et de la transmittance C (p ) montre que la transposition du correcteur peut s effectuer, dans les transformées de Laplace, par les substitutions suivantes : z Formule d Euler : p = z Rectangle supérieur : p = z 2( z ) Formule de ustin : p = ( z + ) 4. Représentation d état des systèmes échantillonnés 4. Discrétisation des systèmes linéaires continus La représentation d état est un outil puissant permettant (entre autres) : d étudier des systèmes possédant plusieurs entrées ou sorties ; de simuler le comportement d un système linéaire continu ; de réaliser la synthèse de correcteurs performants. La représentation d état des systèmes continus est présentée dans [5]. 4.. Représentation d état des systèmes échantillonnés L utilisation d un échantillonneur bloqueur placé à l entrée d un système dynamique défini par la représentation d état implique une entrée u (t ) où chaque composante est formée d une succession de paliers, comme à la figure 20 : u x y vecteur d entrée de dimension r, ; vecteur d état de dimension n, ; vecteur de sortie de dimension m,. Figure 20 Représentation d état d un système continu et de ses échantillonneurs bloqueurs out système échantillonné peut être représenté sous la forme suivante appelée représentation d état discrète : xk ( + ) = Fx ( k ) + Gu ( k ) équation d état y( k) = Cx( k) + Du ( k ) équation de sortie avec F = exp (A ) ( période d échantillonnage), G = exp( Aα) dα B 0 F est la matrice d état discrète de dimension n, n G est la matrice de commande discrète de dimension n, r C est la matrice d observation de dimension m, n D est la matrice de liaison directe de dimension m, r. echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle R 7 0

12 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS L argument k de la représentation d état est une notation qui doit s interpréter comme la valeur de la variable à l instant k, où désigne la période d échantillonnage. Ainsi, x( k) et x( k) ont la même signification. Les notations x( k) et x( k) seront adoptées indifféremment dans toute la suite de ce chapitre. Nous supposerons que les matrices F, G, C, D sont des matrices constantes, indépendantes du temps ; le système est dit stationnaire ou invariant. L équation d état est une équation récurrente linéaire vectorielle du premier ordre. Lorsqu un système est décrit par une équation récurrente linéaire, à coefficients constants, d ordre n, il est possible de la remplacer par une équation d état vectorielle où le vecteur d état est la dimension n Réponse d un système échantillonné Les conditions initiales connues sont résumées par le vecteur x ( 0). La réponse du système aux instants d échantillonnage et soumis à l entrée u est donnée par : et : La réponse entre les instants d échantillonnage k et ( k + ) est donnée, pour 0 τ < par : 4.2 Matrice de transfert en z Soit une représentation d état d un système discret. La matrice de transfert (de dimension m, r ) établit le lien entre la transformée en z du vecteur de sortie et la transformée en z du vecteur d entrée pour des conditions initiales nulles : avec H (z ) = C [z I F ] G + D, I matrice identité x( k) F k k = x ( 0) + F k j Gu( j) j = 0 y( k) = Cx( k) + Du( k) x( k + τ) = exp ( Aτ) x( k) + exp ( Aµ )Bdµ u( k ) 0 y( k + τ) = Cx( k+ τ) + Du( k) y( z) = Hz ( )u( z) 5. ransformée en delta Pratiquement, la transformée en z conduit à des équations récurrentes qui sont parfois mal conditionnées, c est-à-dire pour lesquelles une petite variation de l entrée ne provoque pas une petite variation de la sortie : se pose alors le problème d une implantation numérique plus robuste.lorsque la période d échantillonnage est très faible vis-à-vis d une des constantes de temps (par exemple le centième), la transformée en delta fournit une méthode d implantation efficace. 5. Définition L opérateur delta est défini à partir de l opérateur z par : z δ = Attention, il s agit d un opérateur et non d une fonction ou d une distribution. Il n y a donc pas d ambiguïté avec l impulsion de Dirac notée δ(t ). Si l on désigne par x (k ) la valeur de x à l instant k, nous aurons : δ [ xk ( )] xk ( + ) x( k) = La relation entre z et δ étant linéaire, les transformations en z et en δ possèdent des propriétés très voisines. Si la période d échantillonnage tend vers 0, alors δ(x ) tend vers la dérivée dx /dt. La définition de l opérateur δ conduit à la relation : z = + δ Définition de la transformée À partir de cette relation, on définit la transformée en delta d un signal f (t ) échantillonné (pour t > 0) par : k = F( δ ) = f ( k )( + δ ) k k = 0 Noter que cette définition est similaire à la définition de la transformée en z ; cependant le terme supplémentaire peut être considéré comme un facteur d échelle temporelle. Exemple : la transformée en delta du signal échelon u ( t ) peut s obtenir à partir de la définition. Nous avons u ( t ) = pour t > 0 : k = U( δ ) = ( + δ ) k k = 0 Sous réserve de convergence, la série géométrique s écrit : U( δ ) ( + δ ) ( + δ ) = = ( + δ ) U( δ ) ( + δ ) + δ = = δ δ Conséquence La définition de la transformée en delta conduit immédiatement à la relation : H (δ ) = H(z ) z = + δ Cette relation montre que l on peut utiliser les tables de transformées en z et remplacer z par z = + δ, puis multiplier le résultat par la période d échantillonnage. Notations Plusieurs notations sont couramment utilisées : F (δ ) désigne la transformée de f (t ) où f (t ) n est définie que pour t = k. Les notations [f (t )] et [F (z )] sont également possibles. La transformation en delta possède de nombreuses propriétés que le lecteur trouvera dans l ouvrage de Middleton []. Il est possible de construire une table de correspondance entre les diverses transformées. Donnons quelques cas classiques dans le tableau. R echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle

13 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS Impulsion Échelon u ( t ) Rampe t u ( t ) Premier ordre () = par convention. ableau able des transformées Fonction du temps ransformée ransformée ransformée de Laplace en z en delta signal : s ( t ) S ( p ) S ( z ) S ( δ ) δ (t ) en continu Kroneker en discret / si 0 t < --- exp ( t ) p p p () z z z ( z ) 2 z z exp( ) () + δ δ + δ δ 2 + δ δ + exp( ) 5.2 Mise sous forme d état 5.2. Représentation d état Soient A, B, C, D les matrices de la représentation d état continue du régulateur à programmer et F, G, C, D, celles de la représentation d état discrète. Nous désirons obtenir une forme récurrente discrète associée à la représentation d état en delta. Supposons les conditions initiales nulles ; la représentation d état discrète donne : zx( z) = Fx( z) + Gu( z) y = Cx + Du Remplaçons z par z = + δ, il vient : ( I + δ I )x( k) = Fx( k) + Gu( k) y = Cx + Du Finalement, la représentation d état en delta se met sous la forme classique : δ x( k) = F d x( k) + G d u( k) y = Cx + Du F I G avec F d = et G d = Comme on le constate, cette formule permet de traiter formellement les représentations en delta comme les autres représentations. Pour l aspect calcul numérique, les matrices F d et G d se calculent par les séries infinies convergentes faisant intervenir les matrices de la représentation d état continue : A A 2 2 A 3 3 F d = I ! 3! 4! A A A 2 2 A 3 3 G d = I ! 3! 4! B On observe que si tend vers 0, alors F d tend vers A, contrairement à F qui tend vers I. On peut espérer que si la période d échantillonnage est faible, l information contenue dans A restera présente dans F d (alors qu elle a tendance à disparaître dans la matrice F ). De même pour G d Programmation Connaissant F d, G d, C, D de la représentation d état en delta, il s agit de donner les équations récurrentes associées. Pour cela, on applique la définition au vecteur x( k). La représentation d état devient : x( k + ) x( k) = F d x( k) + G d u( k) y = Cx + Du ou : La programmation basée sur cette représentation discrète correspond à un ensemble d équations récurrentes dont la robustesse numérique est nettement meilleure que l implantation correspondant à la simple représentation d état discrète associée à la transformée en z. En effet, dans les équations en delta, la matrice F d ne tend pas vers la matrice identité lorsque la période d échantillonnage tend vers zéro, mais F d tend vers A, matrice d état du système continu. Plus généralement, le système discrétisé en delta tend vers le système continu pour de faibles périodes d échantillonnage. D une façon générale, si l ordre du système à programmer est élevé (par exemple supérieur à 0), de nombreux problèmes numériques peuvent surgir. Dans le cas particulier de la programmation de filtres numériques, l ordre de ces filtres est généralement élevé. Ce problème a retenu l attention des concepteurs de filtres, tant en numérique qu en analogique. Une règle assez simple consiste à décomposer le filtre H (p ) ou H(z ) en éléments simples du premier ou du second ordre. Par exemple, x( k + ) = x( k) + [ F d x( k) + G d u( k) ] y = Cx + Du Hz ( ) = n a k + z z k b m z + c m z 2 + α m z + β m fournit un k = m = ensemble d équations récurrentes dont la précision est globalement supérieure à l équation récurrente directement obtenue à partir de H (z ). Ces mêmes techniques sont évidemment applicables à la transformée en delta, ce qui conduit à des implantations de filtres (ou de correcteurs) numériquement très robustes. n 2 echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle R 7 0 3

14 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS 6. Exemple d application 6. Présentation du procédé à commander Nous avons choisi de présenter une machine d enroulementdéroulement de film commandée par calculateur. Cette machine est représentative d autres procédés d enroulement-déroulement, notamment dans les secteurs de la papeterie, de la sidérurgie ou des matières plastiques. Le but est de maintenir constant l effort de traction au cours de l enroulement du film cinématographique pour éviter la rupture. Le schéma du procédé est présenté sur la figure 2. La machine se compose de deux bobines de film commandées par deux actionneurs de couple constitués de viscocoupleurs à poudre placés dans l axe de moteurs électriques asynchrones. Les parties gauche et droite sont symétriques. Le ressort central joue un double rôle. Il sert à accumuler la quantité de film résultant de la différence des vitesses linéaires instantanées entre l enroulement et le déroulement. Son élongation y est une image de la tension du fil ; un capteur inductif fournit une mesure de cette tension. Pour régler l amortissement de la commande en couple, la poulie de renvoi supérieure gauche entraîne une dynamo chargée de façon à produire un couple de freinage. Au cours de l enroulement, le rayon d une bobine R varie de 0,2 à 0,4 m, ce qui provoque une forte variation d inertie. Selon la valeur du rayon de la bobine, le couple appliqué induit une tension variable dans le film. 6.2 Modélisation Le système étant linéaire et multivariable, nous avons choisi de le modéliser à l aide d une représentation d état continue. Le vecteur de commande est composé des couples appliqués aux bobines, soit : u = [ C d C g ] ( : transposé) Le vecteur d observation est composé des grandeurs y (élongation du ressort) et V d (vitesse linéaire) qui représentent les variables mesurées que l on souhaite contrôler : y = [ y V d ] En négligeant les inerties j d, j g et J r des poulies de renvoi ainsi que l élasticité du film, il reste trois éléments d accumulation d énergie : les deux inerties J d et J g pour l énergie cinétique, et le ressort de raideur k r pour l énergie potentielle. Nous sommes conduits à un modèle d ordre trois qui se traduit par un vecteur d état composé de : x = [ W d W g y] L application des lois de la mécanique permet d écrire des équations qui, présentées sous forme d une représentation d état continue, conduisent aux matrices suivantes de la représentation d état en boucle ouverte : A = 2 2 R d R f 3d f 2d d + + f r 2 t d J d R d R g f 4J t g R d R g f 4J t k r R d d 2J d 2 2 R g R f 3g f 2g g + + f 2 t r g J g k r R g 2J g R d R g J d B = C = D = R J d 0 0 g 0 0 Les rayons des bobines étant variables, le système est instationnaire. La figure 22 présente la réponse dynamique y (t ) du système à un échelon de couple C d pour différentes valeurs du rayon R d de la bobine de droite. On peut juger, sur cette figure, de l influence importante de la valeur du rayon. 6.3 Correction Figure 2 Présentation de la machine Nous envisageons une commande en vitesse linéaire telle que la tension du film (représenté par y ) reste aussi constante que possible quels que soient les rayons R d et R g des bobines et la vitesse V d de défilement. Pour atteindre cet objectif, on place un correcteur (multivariable) en cascade dans une boule d asservissement classique (figure 23). La commande est multivariable ; le correcteur reçoit les écarts consigne-mesure sur y et V d et élabore les couples C d et C g. R echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle

15 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS Cette recherche de correcteur passe par diverses étapes, parmi lesquelles la mise sous forme standard joue un rôle essentiel : le système bouclé de la figure 23 devient celui de la figure 24. À la figure 24, r désigne les perturbations et les bruits, y représente les mesures et éventuellement les écarts consigne-mesure. L objectif est résumé dans le vecteur z et dépend du cahier des charges. Si l on désigne par H (p ) le transfert entre z et r, la synthèse du correcteur utilise la norme H de H ( p ). Rappelons que la norme infinie d une matrice H (p ) est définie par : Figure 22 Réponse à un échelon de couple C d pour différentes valeurs du rayons R d En boucle fermée nous désirons que : le système reste stable ; le temps de réponse soit de l ordre de 0 secondes ; le système ne présente pas d erreur statique ; la variation de couple à l entrée du système soit comprise entre ± 2,5 N m. Ces performances doivent être maintenues lorsque les rayons des bobines varient et en conservant un correcteur unique. Hp ( ) = supσ max ( Hp ( )) ω où σ max (H (p )) désigne la plus grande des valeurs singulières de H (p ). Dans le cas monovariable, la norme infinie d une fonction de transfert représente le gain maximal de la courbe de Bode. Pour les systèmes multivariables, si r est un vecteur bruit de puissance unité sur chaque composante, alors la norme infinie représente la puissance maximale recueillie sur le vecteur z. L idée directrice est que cette méthode de détermination de la loi de commande permet de prendre en compte des incertitudes sur le modèle du procédé. Cela se traduit par une modulation de l objectif z par des fonctions de pondérations tenant compte des incertitudes associées au modèle. Outre que cette technique laisse un large choix à l ingénieur, elle permet, en modulant les performances dans le domaine fréquentiel, d obtenir des performances adaptées à la connaissance et à l incertitude sur le processus. 6.4 Commande par calculateur numérique En vue de la commande par calculateur numérique, les grandeurs physiques suivantes sont mesurées et raccordées à une carte d acquisition analogique industrielle avec un format de conversion sur 2 bits : élongation du ressort y ; vitesse de rotation de la poulie de renvoi w d. Les couples appliqués aux bobines sont générés par des actionneurs spécifiques commandés par calculateur à travers un convertisseur numérique-analogique qui réalise la fonction blocage, c est-à-dire la mémorisation de la dernière valeur envoyée par le calculateur. Le calculateur numérique est du type PC ; durant la phase de conduite, le dialogue opérateur s effectue au moyen du clavier, de l écran et de la souris. La période d échantillonnage a été fixée à la valeur = 0,22 s, adaptée à la dynamique du système (figure 22) et des possibilités de programmation. 6.5 Détermination du correcteur Afin d obtenir un correcteur répondant au cahier des charges pour des rayons différents, la synthèse du correcteur est effectuée par la méthode de la commande robuste utilisant les techniques H. Actuellement, cette technique est développée dans le cadre des systèmes continus (pour plus de détails, se reporter à la bibliographie [5]). Figure 23 Schéma du système bouclé Figure 24 Forme standard : P ( p ) matrice de transfert du processus (lie les variables r, u d une part et z, y d autre part) K(p ) matrice de transfert du correcteur La synthèse du régulateur passe par la résolution d un problème de minimisation dont la solution mathématique se ramène à la résolution de deux équations de Riccati. Ce correcteur assure des performances acceptables dans le pire des cas, puisqu il utilise la norme H de la matrice de transfert. Cela conduit à des solutions robustes ; voir par exemple l ouvrage de Green [5]. Cette méthode a conduit à un correcteur défini par sa représentation d état continue : ẋ c = A c x c t ( ) + B c ε ( t ) u( t) = C c x c ( t ) echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle R 7 0 5

16 LE CALCULAEUR NUMÉRIQUE POUR LA COMMANDE DES PROCESSUS avec ε ( t ) = [Cons (y) y (t) Cons (V d ) V d (t )] u( t) = [ C d C g ] où le vecteur d état x c est de dimension 7 et n a pas d interprétation physique. L implantation sur un calculateur de conduite nécessite de transformer ce correcteur sous la forme d une représentation d état échantillonnée à la période de = 0,22 s. Cette représentation se présente sous la forme d une équation récurrente : x c ( k ) = F c x c ( k ) + G c ε ( k ) u( k) = C c x c ( k ) 6.6 Résultats La figure 25 représente les réponses y (t ) et V d (t ) à une variation de consigne sur V d de,5 m/s pour une tension de film constante. Sur chaque graphe, on trouve deux courbes qui représentent les réponses en simulation et sur le processus réel. L essai a été effectué pour un rayon R d maximal et un rayon R g minimal, alors que le correcteur a été calculé pour le rayon nominal. On remarque que le cahier des charges est respecté, à savoir que la tension du film, proportionnelle à y revient bien à zéro, c est-à-dire à sa valeur nominale, avec une dynamique qui dépend de la valeur des rayons. On notera que, si le couple C d revient à sa valeur nominale, le couple C g évolue vers un régime statique différent en fonction de la valeur des rayons. Enfin, le temps de réponse et les valeurs des couples C d et C g sont compatibles avec le cahier des charges. 7. Conclusions La pénétration industrielle des calculateurs numériques est de plus en plus forte. On peut penser que l évolution de la technologie, associée à celle du mode de pensée des utilisateurs et des concepteurs, ne fera développer l utilisation des calculateurs. Cette évolution présente de nombreux avantages, parmi lesquels on peut citer les suivants. ) La nécessité de mieux connaître le système à commander associée aux techniques de traitement du signal (identification, simulation) améliorent les performances du système asservi. En général, la mise en œuvre d un calculateur suppose une étude complète de tous les scénarii, et parfois même une nouvelle définition du nombre de capteurs de sorte que le processus à commander devienne facile à commander et à surveiller (au sens du diagnostic de défauts). 2) L aide par des outils de visualisation, des écrans et postes de travail dont l ergonomie doit être soigneusement définie, permet une meilleure qualité, un meilleur suivi du processus de fabrication. 3) Des régulateurs nettement plus performants contribuent également à l amélioration de la qualité des produits. Figure 25 Réponse du système commandé par calculateur 4) L aspect sécurité est également un élément décisif : un dispositif sensible peut faire l objet d une surveillance particulière. Dans une centrale nucléaire, un ensemble de calculateurs est chargé des fonctions de surveillance. Dans un véhicule (automobile, métro, avion, train), de nombreuses fonctions de surveillance sont confiées à des calculateurs. 5) L aspect archivage ou mémorisation des actions effectuées en cours de production a amené une prise de conscience accrue des intervenants, améliorant ainsi la fabrication. R echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle

17 Le calculateur numérique pour la commande des processus P O U R E N [] BASSEVILLE et NIKIFOROV. Detection of abrupt changes. Prentice Hall, (993). [2] BRUNE, JAUME, LABARRÈRE, RAUL et VERGÉ. Détection et diagnostic de pannes. Hermès, (990). [3] DUBUISSON (B.). Diagnostic et reconnaissance des formes. Hermès, (990). [4] FRANKLIN (G.F.) et POWELL (J.D.). Digital Control of Dynamic Systems. Addison Wesley, (989). [5] GREEN (M.) et LIMEBEER (D.). Linear robust control. Prentice Hall, (995). [6] JAUME (D.), VERGÉ (M.) et HEILLIEZ (S.). Commande des systèmes dynamiques par calculateur. Eyrolles, (99). par Daniel JAUME Maître de Conférences au Laboratoire d Automatique du Conservatoire National des Arts et Métiers et Michel VERGÉ Professeur des Universités au Laboratoire d Automatique de l École Nationale Supérieure d Arts et Métiers Références bibliographiques [7] BORNE (P.) et autres. Analyse et régulation des processus industriels. Éditions echnip, (993). [8] KUN (M.). raitement numérique des signaux. Dunod, (98). [9] MAX (J.) et autres. Méthodes et techniques de traitement du signal et applications aux mesures physiques. Masson, (987). [0] DE COULOMB (F.). héorie et traitement des signaux. Dunod, (984). [] MIDDLEON (R.) et GOODWIN (G.). Digital control and estimation : a unified approach. Prentice Hall, (990). [2] FOULARD (C.), GENIL (S.) et SANDOZ (J.P.). Commande et régulation par calculateur numérique. Eyrolles, (987). [3] LANDAU (I.). Identification et commande des systèmes. Hermès, (993). Dans les echniques de l Ingénieur : [4] GILLE (J.C.). Systèmes et signaux déterministes. ransformées et abaques. R 7 00, traité Informatique industrielle, avril 995. [5] CLIQUE (M.) et GILLE (J.C.). Représentation d un système. R 7 30, traité Informatique industrielle, janv [6] HUMBER (C.) et AUBRUN (M.). Étude fréquentielle des systèmes échantillonnés. R 7 80, traité Informatique industrielle, oct [7] AUVRAY (J.). Paramètres caractéristiques d un signal. R 300, traité Mesures et Contrôle, juil S A V O I R P L U S oute reproduction sans autorisation du Centre français d exploitation du droit de copie est strictement interdite. echniques de l Ingénieur, traité Informatique industrielle Doc. R 7 0