Cours de Résistance des Matériaux (RDM) PARTIE 3 : TRACTION / COMPRESSION / TORSION

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1 olides déformables Cours de Résistance des Matériau (RDM) PARTIE 3 : TRACTION / COMPREION / TORION Contenu 1 OICITATION DE TRACTION COMPREION EXEMPE TOREUR DE COHEION EN TRACTION OU COMPREION PURE CONTRAINTE NORMAE AU EIN D UNE ECTION DROITE (N/MM² OU MPA) DEFORMATION DE A POUTRE : AONEMENT DIMENIONNEMENT D UNE POUTRE EN TRACTION COMPREION EXEMPE IMPE Barre en traction Poteau béton en compression Dimensionnement d un tirant de levage... 2 TORION PURE (POUTRE CYINDRIQUE OU TUBUAIRE) EXEMPE TOREUR DE COHEION EN TORION PURE DEFORMATION EN TORION CONTRAINTE EN TORION OI DE COMPORTEMENT EN TORION DIMENIONNEMENT D UNE POUTRE EN TORION CONCENTRATION DE CONTRAINTE CAIQUE EN TORION EXEMPE IMPE DE CACU EN TORION Arbre plein et arbre creu Arbre de transmission de moteur électrique Arbre d entraînement d hélice de bateau...8 JC ROIN 11/2016 (crédits B. Havette) 1 ycée Eiffel Dijon

2 1 OICITATION DE TRACTION COMPREION 1.1 Eemples es sollicitations en traction ou compression sont fréquentes dans les poutres, on prendra comme eemple : Mécanique : câble de levage Enrouleur / dérouleur (Etrait Centrale I2 2011) Bielle de moteur Centre Pompidou (arch. R. Piano et R. Rogers, ing. P. Rice ) «les éléments tendus sont plus élancés que les éléments comprimés» Equilibrage des poussées par tirant (Maison Jaoul e Corbusier) Pont suspendu : Pylône béton en compression, Câble acier verticau en traction Quelques liens vidéos Arc en chaînette inversée (compression pure) Essai du poteau de Frank loyd Wright pour le bâtiment Johnson Wa Essai de traction d une éprouvette Test de rupture Câble de Tyrolienne JC ROIN 11/2016 (crédits B. Havette) 2 ycée Eiffel Dijon

3 1.2 Torseur de cohésion en traction ou compression pure avoir écrire le torseur de cohésion dans la base locale. Une poutre droite est soumise à une sollicitation de traction ou compression si dans un tronçon de cette poutre le torseur de cohésion se résume à : T coh ( ) N Baseocale F y F N > 0 sollicitation de traction pure N < 0 sollicitation de compression pure avoir définir la contrainte normale. 1.3 Contrainte normale au sein d une section droite (N/mm² ou MPa) Pour la traction ou compression pure, la contrainte normale au sein de chaque section a une répartition uniforme. 0 : traction M, T. n avec ( M, n) 0 : compression A a contrainte normale est poutre) N ( section de la 1. Déformation de la poutre : allongement Répartition homogène de la contrainte normale avoir déterminer l allongement d une poutre de section constante. Tout au long de la poutre, et P ( poutre ), cste. N Δ D après la loi de Hooke = = E. = E. Pour un matériau homogène E = cste d où cste. d N Or u(), on en déduit : u( ) u0 d E. i la poutre est encastrée en = 0, u 0 =0. Pour une section constante et une longueur totale soumise à un effort normal (N) égal à F, le déplacement à son etrémité (Δ) donne F.. E. 1.5 Dimensionnement d une poutre en traction compression avoir dimensionner une poutre selon un cahier des charges avec un coefficient de sécurité. objectif recherché est d avoir une contrainte normale maimale au sein de la poutre ( ma ) inférieure à la résistance pratique à l etension (Rpe) a résistance pratique à l etension (Rpe) est inférieure à la limite élastique (Re) du matériau constituant la poutre. Elle dépend du coefficient de sécurité (s) choisi pour le dimensionnement. ma R Pe R Pe Re s JC ROIN 11/2016 (crédits B. Havette) 3 ycée Eiffel Dijon

4 1.6 Eemples simples Barre en traction Pour éviter le flambage de poteau, on met en place des tirants constitués de barres d acier de 10 mm de diamètre. effort de traction est de N Poteau béton en compression Quelle est la contrainte normale dans la barre? Quelle est l allongement de la barre sur 5 mètres si E = N/mm² (210 Pa)? a charge maimale rapportée d un bâtiment sur un poteau en béton de section circulaire est de 5.10 N. a contrainte maimale admissible en compression du béton est de 7 N/mm², son module de Young vaut E = 1000 N/mm² (1Pa). Déterminer le diamètre D du poteau en mm avec un coefficient de sécurité s = 5. Déterminer sa déformation si le poteau a une longueur = m Dimensionnement d un tirant de levage ection A Contrainte σ 1N/mm² = 1 MPa Allongement Δl R e N 7 ma ma 1, N / mm ² 1, ma s 5 N ma ,32.10 mm² 0,32m² 1, 1,.D² > 0,32m² donne D > 0,63m N ma Δl = = 6 = E , ,mm Un profil IPE sert de chemin de roulement pour un palan et il est suspendu par 3 tirants de 10 mm et de longueur 00 mm. Ces tirants sont en acier dont la limite élastique vaut Re = 20 MPa et de module de Young E = MPa. Il s agit d une pièce mécanique issue d un appareil de levage, nous utiliserons un coefficient de sécurité s = 8 en accord avec les normes qui régissent ce type d application. e tirant le plus chargé supporte une charge de 600 N. e cahier des charges impose également un allongement maimal de 0,5 mm. e pas de la vis vaut p = 1,5 mm. Pour un filetage IO triangulaire, on a la relation suivante d 3 =d-1,2268.p et un coefficient de concentration de contraintes Kt = 2,5. 1. Vérifier que ce tirant peut supporter cette charge dans des conditions satisfaisantes de sécurité. 2. Vérifier que l allongement reste acceptable. JC ROIN 11/2016 (crédits B. Havette) ycée Eiffel Dijon

5 2 TORION PURE (POUTRE CYINDRIQUE OU TUBUAIRE) eules les poutres de section circulaire pleine ou creuse sont traitées, car elles respectent les conditions de Navier Bernoulli, à savoir que les sections droites restent planes (pas de gauchissement). 2.1 Eemples errage de vis Barre de torsion (suspension auto) Arbre de transmission, ici de camion 2.2 Torseur de cohésion en torsion pure avoir écrire le torseur de cohésion dans la base locale. Mise en situation : Une poutre de section circulaire est encastrée à son etrémité gauche suivant la section droite ( A ) de centre A. On applique à l'etrémité droite de la poutre, sur toute la section ( B ) de centre B, une action mécanique modélisable par un torseur couple. y 0 A C. 0 B 0 Une poutre est sollicitée en torsion simple si, en un point quelconque de la ligne moyenne, le torseur de cohésion est représentable par un couple Mt porté par la tangente à la ligne moyenne d ae. Torseur de cohésion en torsion pure : T coh Mt 0 0 Baseocale ocaliser les angles de torsion et de cisaillement. CONTATATION application du couple de torsion permet de visualiser une déformation correspondant : - A une rotation entre les 2 sections etrêmes de la poutre d un angle α de torsion, - A la déformation de la génératrice P 0 P 1 d un angle de cisaillement. a P P () P 0 A P P P 1 P 1' B atotp1 P 1 C. 0 B α angle de torsion et angle de cisaillement a génératrice P 0 P 1, droite avant la déformation, se déforme en P 0 P 1, après la déformation. - Toute section plane, normale à la ligne moyenne, reste plane et normale à la ligne moyenne (hypothèse de Navier-Bernoulli vérifiée). - a distance entre deu sections droites données reste inchangée, le diamètre et la longueur de la poutre ne varient pas. - e déplacement d'une section droite () est uniquement une rotation d'angle α autour de l ae (, ), - les sections droites glissent les unes par rapport au autres et la rotation d une section est proportionnelle à la distance A =. angle de glissement ou cisaillement est lié à la résistance au cisaillement ou glissement du matériau. angle de torsion α caractérise la déformation de la poutre dans des situations ou le positionnement est important. JC ROIN 11/2016 (crédits B. Havette) 5 ycée Eiffel Dijon

6 2.3 Déformations en torsion Pour une poutre de révolution, on définit l angle de torsion unitaire en radians /m comme le rapport entre l angle de torsion total sur la longueur de la poutre : atot (rad.m -1 ) Avec - a B l angle de rotation de la section terminale en B ( B ) par rapport à la section initiale ( A ) - la longueur de la poutre. i la poutre est régulière et les déformations petites, cette définition permet d écrire au point : 2. Contraintes en torsion a. a contrainte en un point P quelconque d une section droite () d une poutre de révolution, sollicitée en torsion, est une contrainte tangentielle ( P) portée par une perpendiculaire au rayon de la poutre. On montre que :.. r e module de la contrainte tangentielle est proportionnel au rayon r du point P considéré. Cette contrainte est maimale lorsque r = r ma = R d où :..R ma () (P) P Contrainte tangentielle en un point P quelconque d une section () r (P) () ma Contrainte tangentielle tout le long d un diamètre d une section () R 2.5 oi de comportement en torsion Au même titre que pour une poutre en fleion, pour dimensionner un arbre en torsion on introduit un moment quadratique relatif à la rotation angulaire, le moment quadratique polaire I ou (I 0 ). e moment quadratique polaire (I ) caractérise la répartition de surface () autour du point en m ou mm. Par définition, I r² ds, avec r²= y² +z² I = I Y + I Z.. ( ) CQFD : On peut donc déduire le moment quadratique polaire à partir des 2 moments quadratique de fleion On retiendra les cas pratiques cicontre. Poutre de section circulaire pleine R D Poutre de section tubulaire d D ection rectangulaire creuse () () Pour calculer l angle de torsion d un arbre de transmission D I = = 2.I z = 2. I 32 y Relation valable sur un tronçon où M t et I sont constants : Mt.. Mt Ou aussi :. I I I D d 32 M t (Nm) : moment de torsion au centre d une section droite (Pa) : module d élasticité transversale ou de Coulomb θ (rad.m -1 ) : angle de torsion unitaire I (m ) : moment quadratique polaire de la section () en JC ROIN 11/2016 (crédits B. Havette) 6 ycée Eiffel Dijon

7 2.6 Dimensionnement d une poutre en torsion Un arbre en torsion est dimensionné pour : - résister à la torsion, - éviter les vibrations trop importantes (phénomène de résonance pour une vitesse de rotation > 1000 tr/min). Rupture fragile en torsion (angle de 5 ) Relations pratiques pour calculer la contrainte Calcul de la contrainte en un point P quelconque d une Mt surface () :. r I avec r distance radiale P. Calcul de la contrainte maimale, à la surface de la poutre) ma Mt Mt. R I I R avec R le rayon etérieur de la section droite () Dimensionnement d une poutre en torsion CONDITION DE REITANCE objectif recherché est d avoir une contrainte tangentielle maimale au sein de la poutre (τ ma ) inférieure à la résistance pratique au glissement ou cisaillement (Rpg) ma R Pg a résistance pratique au glissement ou cisaillement (Rpg) est inférieure à la limite élastique au glissement (τ e ) du matériau constituant la poutre. Elle dépend du coefficient de sécurité (s) choisi pour le dimensionnement. R Pg e s CONDITION DE RIIDITE Une limitation de la déformation d un arbre en torsion peut également être imposée pour limiter les vibrations dans le cas où la fréquence de rotation est élevée et éviter des phénomènes de résonance. 2.7 Concentrations de contrainte classiques en torsion limite Dans la pratique, pour transmettre un couple il est nécessaire de réaliser sur l arbre des accidents de formes tels que : rainures de clavette, épaulements, cannelures, Clavette entre arbre et moyeu Arbre avec alésage pour goupille Changement de diamètre, épaulement, congé Cannelure, montage de joint, circlips Ces accidents de forme générent une augmentation significative de contrainte tangentielle. a contrainte tangentielle maimale théorique doit donc être multipliée par un coefficient K t déterminé par des epérimentations. a nouvelle contrainte maimale se calcule ainsi K. ma t théorique - théorique contrainte calculée au rayon maimal de la poutre. - K t le coefficient de concentration de contraintes Eemple : Cas d une rainure de clavette - ma la contrainte maimale. r/c Kt JC ROIN 11/2016 (crédits B. Havette) 7 ycée Eiffel Dijon

8 2.8 Eemples simples de calculs en torsion Arbre plein et arbre creu On veut dimensionner un arbre de transmission soit plein (diamètre d,), soit creu (diamètre etérieur D, diamètre intérieur d = 0,80D) -2 en utilisant un acier de module d élasticité transversal = N.mm. e couple à transmettre est M t = 200 Nm, la résistance pratique au cisaillement adoptée est R pg = 100 N.mm- 2. Pour 2 arbres de mêmes longueurs, le rapport des masses est égal au rapport des sections soit m , 51 m Arbre de transmission de moteur électrique Un moteur électrique d une puissance de 10 kw tourne à la vitesse de 750 tr/min. on arbre est en acier XC32 de limite élastique Re = 320 N/mm 2, sa contrainte au cisaillement est égale à 0,58 R e =R pg Déterminer son diamètre si on prend un coefficient de sécurité égal à 2,3. Recherche de la contrainte admissible 1 1 Recherche du moment de torsion Recherche du diamètre Arbre d entraînement d hélice de bateau oit un arbre creu, d hélice de bateau de 15 m de long, de diamètre intérieur d et de diamètre etérieur D tel que d/d = 0,6. arbre transmet une puissance de,5 MW à la vitesse de 350 tr/min. a contrainte de cisaillement admissible de l acier de l arbre est τ adm = 80 N.mm - ², le module d élasticité transversal = N.mm 2. a) Déterminer les diamètres intérieur et etérieur d et D de cet arbre avec un coefficient de sécurité = 2. b) Calculer l angle de torsion à pleine puissance entre les deu etrémités distantes de 15 m. JC ROIN 11/2016 (crédits B. Havette) 8 ycée Eiffel Dijon