Application BAEP 1 Poutre continue à deux travées

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1 ENPC Béton Armé Et Précontraint Application BAEP Poutre continue à deu travées On considère une poutre continue à deu travées de 8,m de portée a poutre est en béton C5 et a une section en T de 6cm de hauteur a table a une épaisseur de 5cm et une largeur de m a largeur de l'âme est égale à 8cm es appuis de la poutre sont constitués de appuis néoprènes de 5mm 5mm Hypothèses complémentaires : On utilisera des armatures HA de classe B On considère un environnement de classe XC et une classe structurale S4 On considère des charges uniormément réparties : o Charges permanentes y compris poids propre : 8 kn/ml o Charges d'eploitation : 5 kn/ml On rappelle les coeicients de combinaison sur l'action variable : o =,7 ; =,5 ; =, On considère un coeicient de luage 6 m appuis 5mm*5mm 8 m 8 m 6 m 5 m m 6 m 8 m Travail à eectuer : Séance : Déterminer le erraillage pratique (leion et eort tranchant) des sections critiques de la poutre Séance : Déterminer l'épure d'arrêt des barres Etudier les zones d'about Dessiner le erraillage pratique d'ensemble de la poutre Séance : Faire les vériications ES et déterminer le ratio de erraillage de la poutre On donne les eorts dans les sections critiques : ab t a Section a Section t Section ab oment de leion Eort tranchant oment de leion Eort tranchant Combinaison ondamentale EU 9 knm 77 kn 7 knm 46 kn Combinaison caractéristique ES 86 knm 5 kn 5 knm kn Combinaison réquente ES 759 knm 468 kn 445 knm 87 kn Combinaison quasi permanente ES 78 knm 44 kn 44 knm 7 kn On donne pages suivantes les courbes d'eorts enveloppes de la poutre Application Calcul d une poutre continue à deu travées /8

2 ENPC Béton Armé Et Précontraint Eorts tranchants enveloppes EU (kn) 77 kn kn g g+,5q g+,5q g+,5(q+q),5g,5g+,5q,5g+,5q,5g+,5(q+q) IN AX Application Calcul d une poutre continue à deu travées /8

3 ENPC Béton Armé Et Précontraint oments de leion enveloppes EU (knm) knm knm g g+,5q g+,5q g+,5(q+q),5g,5g+,5q,5g+,5q,5g+,5(q+q) IN AX Application Calcul d une poutre continue à deu travées /8

4 ENPC Béton Armé Et Précontraint Plan du corrigé ) Détermination des enveloppes d'eorts 6 Combinaisons à étudier 6 Calcul des sollicitations 6 Détermination des enveloppes ) Détermination de l'enrobage ) Détermination des armatures de leion en ace inérieure de la poutre Détermination de la largeur participante de la poutre : Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers 4 Détermination de la section d acier 5 4 Détermination du erraillage pratique 5 4) Détermination des armatures de leion en ace supérieure de la poutre 6 4 Détermination de la largeur participante de la poutre : 6 4 Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers 6 4 Détermination de la section d acier 7 44 Détermination du erraillage pratique 7 5) Dimensionnement des armatures transversales 8 5 Vériication de la contrainte de compression dans les bielles et détermination de leur inclinaison 8 5 Eort tranchant réduit à l'appui central 8 5 Détermination des armatures d eort tranchant à l'appui central 8 54 Eort tranchant réduit au etrémités 9 55 Détermination des armatures d eort tranchant au etrémités 9 56 Vériication du tau minimal d armatures transversales 9 57 Ferraillage pratique 9 6) Epure d'arrêt des barres 6 Décalage de la courbe des moments 6 Calcul des moments résistants 6 Détermination de l'épure des barres 7) Etude des zones d'appui 7 7 Ancrage des aciers sur appui 7 7 Vériication de la bielle d'about sur les appuis d'etrémités 8 7 Vériication de la bielle d'about sur l'appui central 8) Retour sur le choi de l angle d inclinaison des bielles d eort tranchant 9) Plan de erraillage pratique 9 Armatures sur appui 9 Répartition des armatures d'eort tranchant 9 Plan de erraillage ) Détermination du coeicient d équivalence 4 ) Vériications des contraintes à l'es 5 Détermination de l inertie issurée à mi-travée 5 Calcul des contraintes à mi-travée 6 Détermination de l inertie issurée sur l appui central 6 4 Calcul des contraintes sur l appui central 6 ) Vériication de l'ouverture des issures 8 Vériication oraitaire 8 Application Calcul d une poutre continue à deu travées 4/8

5 ENPC Béton Armé Et Précontraint Valeur limite de l'ouverture calculée des issures (w ma ) 9 Calcul de l'ouverture des issures (w k ) 4 ) Vériication des lèches 4 Vériication oraitaire 4 Flèche sous combinaison quasi-permanente 44 Vériication du critère de lèche nuisible 46 Calcul de la lèche par intégration des courbures 49 4) Ratio de erraillage 5 5) Calcul des armatures de couture entre l'âme et la table 5 5 Principe du calcul 5 5 Vériication de la contrainte de compression dans les bielles 5 5 Calcul des armatures de couture 5 6) Calcul au eu 5 6 Vériication par le calcul 5 6 Vériication des dispositions minimales 5 7) Annee : Rappel théorique : calcul des armatures de leion à l EU 55 7 Principes générau de la leion simple 55 Déinition de la leion simple 55 Equations d équilibre d une poutre en béton armé 55 Eemple : Etude d une poutre isostatique 55 7 Dimensionnement d une section rectangulaire 56 Rappel des hypothèses de calcul liées au EU 56 Principes de dimensionnement 57 Equations d équilibre 59 Approimation rectangulaire 6 Pivot A ou Pivot B? 6 Détermination de la section d acier 6 Vériication de la hauteur utile 64 Synthèse de la méthode de calcul des armatures dans une section rectangulaire 64 oment réduit 66 Inluence du pivot A 67 Inluence du type de diagramme retenu pour les aciers 68 Inluence de l approimation rectangulaire 69 7 Dimensionnement d une section en Té 7 Déinition d une poutre en Té 7 Détermination de la largeur participante 7 Détermination de la section d acier 7 Vériications complémentaires 7 74 Détail du calcul des armatures de couture âme-table 74 8) Annee : Rappel théorique : calcul des armatures d eort tranchant à l EU 75 8 Eort tranchant résistant sans armatures 75 8 Vériication des bielles 76 8 Vériication des tirants Inluence du choi de l inclinaison des bielles Réduction de l eort tranchant au appuis Dispositions minimales 8 87 Synthèse de la méthode de calcul des armatures d eort tranchant 8 Application Calcul d une poutre continue à deu travées 5/8

6 ENPC Béton Armé Et Précontraint ) Détermination des enveloppes d'eorts Combinaisons à étudier Pour déterminer les enveloppes d'eorts dans une poutre continue, il aut considérer que chaque travée de la poutre peut être chargée ou non par l'action variable De plus, le poids propre peut avoir pour eet de aire diminuer localement le moment de leion, il aut donc appliquer alternativement au poids propre les coeicients, et,5 On appelle Q l'eet de l'action variable appliquée sur la première travée et Q l'eet de l'action variable appliquée sur la seconde travée On obtient ainsi 8 combinaisons EU à prendre en compte :,G,5G,G +,5Q,5G +,5Q,G +,5Q,5G +,5Q,G +,5Q +,5Q,5G +,5Q +,5Q Calcul des sollicitations Pour résoudre le problème hyperstatique qui nous est posé, on se ramène à deu problèmes isostatiques, en appliquant le principe de superposition : = p + A B B C p p = + Ainsi, pour résoudre le cas d'une poutre continue à deu travées chargée uniormément, on considère d'une part les deu travées indépendamment l'une de l'autre de manière isostatique et soumises à la même charge répartie et d'autre part, on applique le même moment à l'etrémité de chaque travée pour retrouver la continuité a valeur de ce moment sera calculée de manière à obtenir la même rotation de section à gauche et à droite de l'appui Application Calcul d une poutre continue à deu travées 6/8

7 ENPC Béton Armé Et Précontraint Application Calcul d une poutre continue à deu travées 7/8 p R A A p R p R V A A A p p p p V p B u C u C B p p E I u B p p E I p p p E I R A A R R V A A A V 6 6 B u C u C B E I u B E I p R A A p R p R V B B B p p p p V p B u C u C B p p E I u B p p E I p p p E I R A A R R V B B B V 6 B u C u C B E I u B E I

8 ENPC Béton Armé Et Précontraint Application Calcul d une poutre continue à deu travées 8/8 6 E I E I En appliquant le principe de superposition, on obtient : pour p p V pour p p V pour p p pour p p pour p p p E I pour p p p E I a rotation de la section de la poutre continue est identique à gauche et à droite On a donc l'égalité suivante : 4 4 p E I p E I On en déduit donc : 8 p On obtient donc : pour p p V pour p p V pour p p p pour p p

9 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On utilise la même méthode pour résoudre le problème ci-dessous : = p + A B B C p p = + On obtient le résultat suivant : p et : 6 7 p V p pour 6 p V pour 6 7 p p 6 p p 6 6 pour pour On trace page suivante les diagrammes d'eort tranchant et de moment pour G, Q, Q et Q +Q Année - 9/8

10 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Eort tranchant Eort tranchant g q Eort tranchant 5 Eort tranchant q q+q 5 oment de leion oment de leion g q oment de leion oment de leion q q+q Année - /8

11 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Détermination des enveloppes En eectuant les 8 combinaisons EU, on obtient les courbes d'eort suivantes avec lesquelles on détermine les enveloppes Eorts tranchants enveloppes EU (kn) 8 g 6 g+,5q 4 g+,5q g+,5(q+q),5g,5g+,5q ,5g+,5q,5g+,5(q+q) oments de leion enveloppes EU (knm) 5 g g+,5q g+,5q g+,5(q+q),5g,5g+,5q 5,5g+,5q,5g+,5(q+q) 5 Année - /8

12 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU ) Détermination de l'enrobage 'enrobage nominal c nom est la distance entre la surace de l'armature et le parement c nom 'enrobage nominal est déini par la ormule suivante : c nom = c min + c dev où c dev = mm est la marge pour tolérances d'eécution et c min est donné par la ormule suivante : avec : c min,b = c min,dur = c dur, = c dur,st = c dur,ad = enrobage minimal vis-à-vis des eigences d adhérence enrobage minimal vis-à-vis des conditions d environnement marge de sécurité réduction en cas d acier inoydable réduction en cas de protection supplémentaire c min,dur dépend des conditions d'environnement et de la classe structurale On détermine la valeur de c min,dur grâce au tableau suivant : Tableau 44NValeurs de l'enrobage minimal c min,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de béton armé conormes à l'en 8 On en déduit c min,dur = 5 mm et donc c nom = ma(5 mm ; + mm) Année - /8

13 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU ) Détermination des armatures de leion en ace inérieure de la poutre e point de départ du calcul est le moment réduit EU où b est la largeur participante de la poutre, d la hauteur utile et cd le tau de b d cd ck 5 travail de calcul du béton : cd, Pa C,5 On rappelle que d représente la distance du haut de la section de la poutre au centre de gravité des aciers Cette distance n est connue qu une ois le erraillage pratique dessiné Il aut donc aire une première approimation de cette valeur On utilise pour cela la ormule suivante : d min,9 h ; h,, on en déduit donc d =,5m On vériiera par la suite que d réelle d Détermination de la largeur participante de la poutre : a largeur participante d'une section en T est donnée par la ormule suivante :, l be be, i bw b avec be, i, bi, l bi b e,i est la largeur eicace de l'aile i b e est la largeur participante de la section en T b i est la largeur de l'aile i b w est la largeur de l'âme l est la distance entre points de moment nul Dans notre cas, nous avons : b = b =,6 m b w =,8 m Pour déterminer la distance entre points de moment nul dans une poutre continue, on peut utiliser le schéma ci-dessous : Dans le cas d'une poutre à deu travées, nous avons donc l =,85l soit pour notre eemple : l =,85 8, = 6,885 m On en déduit :,b +,l =,89 m et donc b e, = b e, = b = b =,6 m Ainsi, b e = m Année - /8

14 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers On vériie EU l,t = b e h cd (d-h /) =,975 Nm a compression se situe donc entièrement dans la table de compression EU,7 On en déduit, 6 b d,5, e cd On remarque que > AB =,56 Nous sommes donc en pivot B De la valeur du moment réduit, on déduit la hauteur de béton comprimé d :,5, 8, soit d =,4 m On remarque que le béton comprimé se situe uniquement dans la table de compression, ce qui valide l'hypothèse de b = m On en déduit le bras de levier z = d(-,4) =,484m Nous sommes en pivot B, on a donc c =,5 On en déduit st,5 9,7 st = 9,7 > ys /E s = 45/ =,7 es aciers ont donc plastiié Pour déterminer la contrainte dans les aciers st, on a le choi entre la branche horizontale et la branche inclinée du diagramme contrainte-déormation de l acier Branche horizontale : st = 45 Pa yd k yd yd st E s st yd yd uk E Branche inclinée : 9,7,7 st ,7 46 Pa st s c = 5 cd =, Pa h =,6m d =,5m d =,4m z = d(-,4) =,484m,8d st = 9,7 st = 46 Pa Année - 4/8

15 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Détermination de la section d acier EU,7 Ast 4,7 cm z st, On retient une section de,6 cm² ou A st EU z st,7,484 46,6 cm 4 Détermination du erraillage pratique Pour déterminer le nombre de barres par lit, on cherche en général à obtenir un espacement horizontal entre barres de l'ordre de 5 à cm Cet espacement nous conduit ici à disposer 5 barres par lit On rappelle dans le tableau ci-dessous les diamètres disponibles dans le commerce et leur section associée nominal encombrement A nom HA 8 8 mm mm 5 cm² HA mm mm 79 cm² HA mm 4 mm cm² HA 4 4 mm 7 mm 54 cm² HA 6 6 mm 9 mm cm² HA mm 4 mm 4 cm² HA 5 5 mm mm 49 cm² HA mm 8 mm 84 cm² Pour obtenir,6 cm², il aut 6,5 cm² pour chaque groupe de barres Pour optimiser les quantités d'acier, on cherche à disposer les barres suivant plusieurs lits On arrêtera chaque lit de barres en onction de la courbe enveloppe des moments car nous n'avons pas besoin de cm² d'acier tout le long de la poutre mais uniquement au droit du point de moment maimum Avec 5 barres HA, 5 barres HA6 et 5 barres HA4, on obtient environ,5 cm² e erraillage pratique que l on met en œuvre est donc lit de 5 HA, lit de 5 HA6 et lit de 5 HA4 On représente le erraillage sur le schéma ci-dessous : = = = 57 5 On en déduit que le barycentre des aciers est situé à 84mm du parement, ce qui correspond à une hauteur utile réelle de,56m, ce qui valide notre première hypothèse sur d Année - 5/8

16 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 4) Détermination des armatures de leion en ace supérieure de la poutre 4 Détermination de la largeur participante de la poutre : a largeur participante correspond à la largeur de la zone de béton comprimé Pour le calcul des armatures supérieures, la zone de béton comprimé se situe en partie basse de la section, soit dans l'âme a largeur à prendre en compte est donc b =,8m 4 Détermination de la hauteur de béton comprimé, du bras de levier et de la contrainte dans les aciers EU,9 On en déduit, 56 b d cd,8,5, On remarque que > AB =,56 Nous sommes donc en pivot B De la valeur du moment réduit, on déduit la hauteur de béton comprimé d :,5,, soit d =,88 m 77 On en déduit le bras de levier z = d(-,4) =,45m Nous sommes en pivot B, on a donc c =,5 On en déduit st,5 5,78 st = 5,78 > ys /E s = 45/ =,7 es aciers ont donc plastiié Pour déterminer la contrainte dans les aciers st, on a le choi entre la branche horizontale et la branche inclinée du diagramme contrainte-déormation de l acier Branche horizontale : st = 45 Pa yd k yd yd st E s st yd yd uk E Branche inclinée : 5,78,7 st ,7 48 Pa st s st = 5,78 st = 48 Pa h =,6m d =,5m z = d(-,4) =,45m d =,88m c =,5,8d cd =, Pa Année - 6/8

17 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 4 Détermination de la section d acier EU,9 Ast 64,5 cm z st,45 45 On retient une section de 64, cm² ou A st EU z st,9 64, cm, Détermination du erraillage pratique Pour déterminer le nombre de barres par lit, on cherche en général à obtenir un espacement horizontal entre barres de l'ordre de 5 à cm Cet espacement nous conduit ici à disposer 5 barres par lit On rappelle dans le tableau ci-dessous les diamètres disponibles dans le commerce et leur section associée nominal encombrement A nom HA 8 8 mm mm 5 cm² HA mm mm 79 cm² HA mm 4 mm cm² HA 4 4 mm 7 mm 54 cm² HA 6 6 mm 9 mm cm² HA mm 4 mm 4 cm² HA 5 5 mm mm 49 cm² HA mm 8 mm 84 cm² Pour obtenir 64, cm², il aut,8 cm² pour chaque groupe de barres Pour optimiser les quantités d'acier, on cherche à disposer les barres suivant plusieurs lits Comme le moment sur appui diminue très vite, on se contentera de deu lits Avec 5 barres HA et 5 barres HA5, on obtient environ 64,8 cm² e erraillage pratique que l on met en œuvre est donc lit de 5 HA et lit de 5 HA5 On représente le erraillage sur le schéma ci-dessous : 5++9 = 64 mm 64+4 = 98mm 5 On en déduit que le barycentre des aciers est situé à 77mm du parement, ce qui correspond à une hauteur utile réelle de,5 m, ce qui valide notre première hypothèse Année - 7/8

18 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU V 5) Dimensionnement des armatures transversales 5 Vériication de la contrainte de compression dans les bielles et détermination de leur inclinaison Rd,ma cw b cot an w z cd tan cw = b w =,8m z =,45m,6 ck =,56 5 cd =, Pa cotan(),5 Avec cotan() =,5 on obtient V Rd,ma =,49 N Cette valeur est largement supérieure à V EU On choisit donc cotan() =,5, soit =,8 car c est la valeur de l inclinaison des bielles qui ait utiliser le moins d aciers transversau 5 Eort tranchant réduit à l'appui central a vériication de l eort tranchant n est pas nécessaire à une distance inérieure à d des appuis On prolonge le erraillage calculé à la distance d des appuis jusqu au bout de la poutre De plus, dans les régions sans discontinuité de V ed (charges uniormes) la détermination de l eort tranchant sur une longueur l=z(cotgθ+cotg) peut être eectuée en utilisant la plus petite valeur de V ed sur cette longueur eort tranchant de calcul V Ed calculé à la distance l=z(cotanθ+cotan) des appuis vaut : V EU ( = -z(cotanθ+cotan)-,5) = 77 - p EU,5 = 555 kn = V Ed 5 Détermination des armatures d eort tranchant à l'appui central A s,555, cm 45,45,5 ml sw Il aut vériier VRd, s z ywd cot an VEd On en déduit A sw s Année - 8/8

19 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 54 Eort tranchant réduit au etrémités a vériication de l eort tranchant n est pas nécessaire à une distance inérieure à d des appuis On prolonge le erraillage calculé à la distance d des appuis jusqu au bout de la poutre De plus, dans les régions sans discontinuité de V ed (charges uniormes) la détermination de l eort tranchant sur une longueur l=z(cotgθ+cotg) peut être eectuée en utilisant la plus petite valeur de V ed sur cette longueur eort tranchant de calcul V Ed calculé à la distance l=z(cotanθ+cotan) des appuis vaut : V EU ( = z(cotanθ+cotan)-,5) = 46 - p EU,5 = 79 kn = V Ed 55 Détermination des armatures d eort tranchant au etrémités A s,79 5,7 cm 45,45,5 ml sw Il aut vériier VRd, s z ywd cot an VEd On en déduit A sw s 56 Vériication du tau minimal d armatures transversales On calcule le erraillage minimal d eort tranchant par la ormule : A,8 ck bwsin,8 5,8 rw,min bwsin 7,6 cm s 5 sw min yk ml 57 Ferraillage pratique Pour déterminer le erraillage pratique, on commence par calculer l espacement maimal des armatures s ma = 75d(+cotan()) =,75 m e erraillage longitudinal est constitué de 5 barres par lit Nous mettrons donc au minimum un cadre et trois épingles pour constituer la cage de erraillage, ce qui représente 5 armatures transversales Si on considère que ces barres sont des HA8, on obtient A sw =,5 cm² On en déduit s =,cm au niveau de l'appui central Au etrémités, on dispose 7,6 cm²/ml, correspondant au erraillage minimal, soit un espacement de cm On respecte bien l espacement maimal On dispose donc un cadre HA8 et trois épingles HA8 tous les cm au niveau de l'appui central et tous les cm au etrémités FIN DE A ère SEANCE Année - 9/8

20 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 6) Epure d'arrêt des barres es sections d'armature déterminées précédemment correspondent au armatures nécessaires dans les sections critiques de la poutre Cependant, en dehors de ces sections, les sollicitations sont plus aibles et les sections d'acier nécessaires sont donc moins importantes Ainsi, il est possible d'arrêter certains lits d'armatures lorsque celui-ci n'est plus nécessaire 'épure d'arrêt des barres consiste à déterminer la longueur minimale de chaque lit d'armatures ain que la courbe des moments résistants de la poutre englobe au plus près l'enveloppe des moments sollicitant 6 Décalage de la courbe des moments a bielle de béton qui équilibre les eorts dans une section donnée s appuie sur des armatures de leion situées dans la section voisine, il aut tenir compte du surcroît de traction correspondant e décalage de la courbe des moments permet de tenir compte de cet eet Pour obtenir la courbe de moment décalé, il aut décaler les courbes enveloppes de moment cot cot d'une longueur a l dans le sens le plus déavorable, avec a l z On peut considérer z,9 d, 45 m On obtient la courbe décalée suivante : 5 a l a l a l a l a l oment IN oment AX oment IN décalé oment AX décalé a l - -5 Année - /8

21 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 6 Calcul des moments résistants Pour calculer les moments résistants, on ait l'hypothèse du pivot B et on utilise l'approimation rectangulaire En considérant dans un premier temps la branche horizontale du diagramme contraintedéormation des aciers : On ait l'hypothèse que les aciers sont plastiiés N A N,8 d b st yd A yd,8 d b,4 cd c cd st c On vériie que les aciers sont plastiiés et que nous sommes en pivot B,7 st 45 Si les hypothèses sont vériiées, on a alors d A R On considère maintenant la branche inclinée du diagramme contrainte-déormation des aciers : yd N st st A st A st,8 d b,4 c N cd c,8 d b cd On ait l'hypothèse que les aciers sont plastiiés :,8 st yd yd st uk yd yd E E s s En remplaçant st et dans l'équation ci-dessus, on obtient une équation du second degré en st dont les solutions sont : yd yd b E b E, s s yd b,8 d b cd st yd,8 yd,8 A yd yd yd uk E uk E uk s s Es Après avoir vériié les hypothèses,7 st 45, on obtient : d A R st On obtient les moments résistants suivants pour les armatures inérieures : Année - /8

22 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU lits lits lit b m m m cd Pa Pa Pa A 45 cm² 575 cm² 57 cm² d 56 m 54 m 54 m st 465 Pa 466 Pa 466 Pa d 4 m m m z 499 m 5 m 55 m c st Vériication st 465 Pa 466 Pa 466 Pa R 77 Nm 66 Nm 9 Nm On obtient les moments résistants suivants pour les armatures supérieures : lits lit b 8 m 8 m cd Pa Pa A 6475 cm² 4 cm² d 5 m 56 m st 477 Pa 44 Pa d 9 m 9 m z 447 m 488 m c 5 5 st 6 Vériication st 477 Pa 44 Pa R 67 Nm 868 Nm On remarque pour les armatures inérieures que nous sommes en pivot A pour les calculs avec lits et lit On utilise néanmoins l'approimation rectangulaire, ce qui génère une erreur sur le bras de levier z Cependant, l'ordre de grandeur de cette erreur est inérieur à % et cela n'a donc pas d'incidence sur le résultat inal 6 Détermination de l'épure des barres En cherchant l'intersection de chaque droite de moment résistant avec les courbes décalées de moment déinies précédemment, on détermine l'épure d'arrêt des barres On obtient le résultat suivant : Année - /8

23 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU Il aut ensuite vériier que les longueurs d'ancrage sont bien assurées entre deu lits successis On calcule pour cela les longueurs d ancrage des diérents lits d armatures a longueur d'ancrage de réérence est donnée par la ormule suivante : sd lb, rqd 4 bd avec sd la contrainte de calcul de la barre, bd =,5 ctd ctd = ctk,5 / C = /5 =,47 Pa = si les conditions d'adhérence bonnes, sinon, =,7 = car mm Année - /8

24 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On a donc bd =, Pa pour les armatures inérieures et bd =, Pa pour les armatures supérieures sd = st ( ud ) = 466, Pa On a donc l b,rqd = 5 pour les armatures inérieures et l b,rqd = 5 pour les armatures supérieures On peut maintenant déterminer la longueur d'ancrage de calcul : l bd = 4 5 l b,rqd l b,min =, pour des ancrages droits 5,7 On considère ici que les coeicients,, 4 et 5 sont égau à On a donc l bd = l b,rqd En reportant les longueurs d'ancrage sur les courbes précédentes, on trouve : l bd (ème lit) l bd (ème lit) 5 6, 5,9 4,58,77,96,5,4,5 9,7 8,9 8, 7,9 6,48 5,67 4,86 4,5,4,4,6, Année - 4/8

25 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On remarque que sur appuis, le second lit n'est pas suisamment ancré avec les longueurs initialement calculées, il aut donc augmenter la longueur du second lit jusqu'à obtenir une courbe de moment résistant qui englobe complètement les courbes enveloppes de moment sollicitant On obtient alors : 5 6, 5,9 4,58,77,96,5,4,5 9,7 8,9 8, 7,9 6,48 5,67 4,86 4,5,4,4,6, Ain d'économiser des armatures en ace supérieure de la poutre, on remplace les premier lit de HA par un lit de 5 HA8 à partir d'une abscisse que l'on détermine de la même manière que précédemment On obtient la courbe d'épure suivante : 5 6, 5,9 4,58,77,96,5,4,5 9,7 8,9 8, 7,9 6,48 5,67 4,86 4,5,4,4,6, Année - 5/8

26 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU On reporte sur les courbes précédentes les longueurs à prendre en compte pour chaque lit 'ae des ordonnées a été inversé ain de dessiner les armatures inérieures en bas et les armatures supérieures en haut 6, 5,9 5 HA8 4,58,77 5 HA,96,5 5 HA5,4,5 9,7 8,9 8, 5 HA4 5 HA6 5 HA 7,9 6,48 5,67 4,86 4,5,4,4,6, Année - 6/8

27 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 7) Etude des zones d'appui 7 Ancrage des aciers sur appui es bielles d'eort tranchant arrivent sur appui avec une inclinaison ce qui génère un eort horizontal qu'il aut équilibrer Pour cela, on calcule l'eort de traction à ancrer sur appui dont on déduira la section sur appuis 'eort de traction à ancrer sur les appuis d'etrémité est donné par la ormule suivante : cot cot FE VEd soit FE,58 N et A, cm On doit aussi vériier A appui Atravée mais = dans l'annee nationale rançaise 'ancrage du premier lit suit donc On calcule maintenant la longueur d'ancrage nécessaire pour reprendre l'eort de traction sur appui a longueur d'ancrage de réérence est donnée par la ormule suivante : sd lb, rqd 4 bd avec sd la contrainte de calcul de la barre, bd =,5 ctd ctd = ctk,5 / C = /5 =,47 Pa = car conditions d'adhérence bonnes = car mm On a donc bd =, Pa = mm sd = F E / A =,58 /,57 = 69,4 Pa On a donc l b,rqd = 8 On peut maintenant déterminer la longueur d'ancrage de calcul : l bd = 4 5 l b,rqd l b,min =,7 si c d > sinon =, c d = min(c ; a/) (c schéma ci-contre) l b,min > ma(,l b,rqd ; ; mm) 5,7 On considère ici que les coeicients,, 4 et 5 sont égau à On a donc l bd =,7l b,rqd = =,4 m cot Sur l'appui central, il n'y a pas d'eort de traction à ancrer car V Ed (on a un z eort de compression) Il aut cependant ancrer les aciers avec une longueur minimale l bd = Année - 7/8

28 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 7 Vériication de la bielle d'about sur les appuis d'etrémités Il aut maintenant vériier la contrainte de compression du béton au niveau des appuis Pour les appuis d'etrémités, la contrainte maimale admissible est donnée par la ormule ck suivante : Rd, ma,85 cd 7, Pa 5 Pour calculer la contrainte de compression dans la bielle, on considère le schéma ci-dessous : (zcot())/ (zcot())/ ' bielle a bielle z u/ u/ a/ a/ On calcule ' à l'aide du triangle rectangle vert ci-dessous : (zcot())/ (zcot())/ ' z u/ u/ bielle a/ a/ ' a bielle z (zcot())/ Année - 8/8

29 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU a u zcot a u On en déduit : cot cot soit cot cot z z z On en déduit : cot = 84 (avec u/=57m et z= 45m) soit =8,5 a contrainte dans la bielle est obtenue en considérant le triangle rectangle violet ci-dessous : (zcot())/ (zcot())/ ' bielle a bielle z u/ u/ ' a/ a/ (ucot('))/ a/ a bielle / VEd,46,966 N sin,477 b,5,5 m a bielle appui bielle VEd sin b appui a bielle ucos asin,9 m On en déduit : bielle,8 Pa 8 Rd, ma On rappelle sur le schéma ci-contre le principe de conception du nœud suivant la théorie des bielles et tirants Année - 9/8

30 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 7 Vériication de la bielle d'about sur l'appui central Pour l'appui central, la contrainte maimale admissible est : ck Rd, ma cd, Pa 5 Pour calculer la contrainte de compression dans la bielle, on considère le schéma ci-dessous : dcotan()/ dcotan()/ dcotan()/ dcotan()/ V Ed, V Ed, a Dans le cas particulier où V Ed, = V Ed, comme c'est le cas ici, la contrainte est identique sur les trois aces du noeud a contrainte de compression sur les aces du noeud vaut donc : VEd noeud avec V Ed =,77 N ; a =,5 m ; b appui =,5 m a b appui Ainsi, noeud,8 Pa Rd, ma On remarque donc que la vériication des bielles d'about peut avoir une incidence sur le reste du calcul Ainsi, si nous n'avions disposé qu'un seul néoprène de 55mm à chaque appui, on aurait dépassé la contrainte admissible dans la bielle d'about, ce qui aurait remis en cause l'hypothèse cotan() =,5 Il aurait alors allu calculer l'angle optimal permettant de respecter la contrainte admissible dans les bielles d'about puis recalculer les armatures d'eort tranchant et l'épure d'arrêt des barres Année - /8

31 Béton armé et précontraint - Fleion simple EU 8) Retour sur le choi de l angle d inclinaison des bielles d eort tranchant e choi de l angle d inclinaison des bielles d eort tranchant a une inluence non négligeable sur les quantités d armatures es équations montrent que lorsque diminue, les armatures d eort tranchant diminuent, tandis que les armatures de leion augmentent en raison d un décalage de la courbe des moments plus important objecti lorsque l on travaille dans un bureau d études d eécution est de mettre en œuvre la quantité minimale d armatures permettant d assurer la tenue structurelle de l ouvrage, tout en respectant la règlementation e choi de l angle est un paramètre important pour atteindre cet optimum Il n eiste pas de règle simple permettant de déterminer l angle donnant le moins d armatures au global, sau à reaire le calcul complet et comparer les quantités d armatures pour plusieurs valeurs de Il semblerait néanmoins que pour des poutres courantes, correctement dimensionnées, l angle optimum se situe autour de cot = alheureusement, cette analyse n est pas généralisable à toutes les poutres Un autre point ayant une incidence sur le choi de l angle q est la présence ou non d une reprise de bétonnage dans la poutre (lorsque l on coule d abord la retombée de poutre, c est-àdire jusque sous la dalle, ou que cette retombée est préabriquée, puis, dans un second temps la partie de poutre se situant dans l épaisseur de la dalle) Cette reprise de bétonnage constitue un plan de aiblesse Il aut donc vériier qu il y a suisamment d armatures traversant ce plan (des armatures verticales) pour assurer un bon onctionnement de la poutre Cette vériication conduit à augmenter signiicativement la quantité d armatures d eort tranchant Dans ces conditions, la diérence de quantité d armatures d eort tranchant entre cot = et cot =,5 devient négligeable et l angle optimum est proche de Note : la vériication des suraces de reprise ne ait pas partie du programme de BAEP On donne ci-dessous des eemples de reprises de bétonnage etraits de l Eurocode a partie hachurée représente le béton coulé en seconde phase Année - /8