Statistique Biosciences Licence 1

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1 Statistique Biosciences Licence 1 Richard Emilion February 14, 2012

2 2 / 36 Indications sur le Cours Chapitre I : Statistique Descriptive Univariée

3 2 / 36 Indications sur le Cours Chapitre I : Statistique Descriptive Univariée

4 2 / 36 Indications sur le Cours Chapitre I : Statistique Descriptive Univariée

5 Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Indications sur le Cours 3 / 36

6 Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Horaires 4 / 36 4 cours de 2h Mardi 24/01, 14/02, 06/03, 13/03, 15h45-17h45 (Orléans) Jeudi 26/01, 16/02, 08/03, 15/03, 15h30-17h30 (Chartres) richard.emilion@univ-orleans.fr 4 séances de TD de 2h

7 Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Contenu du Cours 5 / 36 Chapitre I : Statistique descriptive univariée Chapitre II : Régression linéaire simple

8 Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Contenu du Cours 5 / 36 Chapitre I : Statistique descriptive univariée Chapitre II : Régression linéaire simple Chapitre III : Test de Student

9 Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Contenu du Cours 5 / 36 Chapitre I : Statistique descriptive univariée Chapitre II : Régression linéaire simple Chapitre III : Test de Student

10 Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Contenu du Cours 5 / 36 Chapitre I : Statistique descriptive univariée Chapitre II : Régression linéaire simple Chapitre III : Test de Student

11 Horaires Contenu du Cours Chapitre I : Statistique descriptive univariée Chapitre I : Statistique descriptive univariée 6 / 36

12 Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633)

13 Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868)

14 Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt ( ) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville

15 Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt ( ) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie

16 Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt ( ) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie Biologie Statistique

17 Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt ( ) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie Biologie Statistique Sir R.A. Fisher : Biologie, Génétique, Statistique

18 Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt ( ) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie Biologie Statistique Sir R.A. Fisher : Biologie, Génétique, Statistique Interaction : biostatistique, biotechnologies, bioinformatique

19 Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt ( ) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie Biologie Statistique Sir R.A. Fisher : Biologie, Génétique, Statistique Interaction : biostatistique, biotechnologies, bioinformatique Biologie Statistique Informatique

20 Bref Historique 7 / 36 Status (latin), Stato (Italien) : État Statistique Statista (1500), Statistica (1633) Statistik (1746), Statistics (1798), Statistique (1868) John Graunt ( ) : tables de naissance/mortalité, estimation de la population d une ville A l origine : Statistique Démographie Biologie Statistique Sir R.A. Fisher : Biologie, Génétique, Statistique Interaction : biostatistique, biotechnologies, bioinformatique Biologie Statistique Informatique

21 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) 8 / 36

22 Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude...

23 Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique

24 Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique Ex : ω = une baleine, ω = une cellule, ω = une goutte

25 Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique Ex : ω = une baleine, ω = une cellule, ω = une goutte Échantillon de Ω : sous-ensemble fini de Ω : ω 1,..., ω N Exemples : 30 baleines, 100 cellules, 1000 gouttes

26 Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique Ex : ω = une baleine, ω = une cellule, ω = une goutte Échantillon de Ω : sous-ensemble fini de Ω : ω 1,..., ω N Exemples : 30 baleines, 100 cellules, 1000 gouttes Taille N de l Échantillon : nombre d éléments de l échantillon. Ex : N = 30, 100, 1000.

27 Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique Ex : ω = une baleine, ω = une cellule, ω = une goutte Échantillon de Ω : sous-ensemble fini de Ω : ω 1,..., ω N Exemples : 30 baleines, 100 cellules, 1000 gouttes Taille N de l Échantillon : nombre d éléments de l échantillon. Ex : N = 30, 100, Échantillonnage : techniques de choix judicieux et réaliste de l échantillon

28 Population, Individus, Unité, Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillon 9 / 36 Ensemble que l on veut étudier : Population, Ω Exemples : Ω = {baleines}, Ω = {cellules du foie}, Ω = Sang de Claude... Élément ω de Ω : individu ou unité statistique Ex : ω = une baleine, ω = une cellule, ω = une goutte Échantillon de Ω : sous-ensemble fini de Ω : ω 1,..., ω N Exemples : 30 baleines, 100 cellules, 1000 gouttes Taille N de l Échantillon : nombre d éléments de l échantillon. Ex : N = 30, 100, Échantillonnage : techniques de choix judicieux et réaliste de l échantillon

29 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Objectif 10 / 36 Objectif : A partir de l échantillon observé, inférer (déduire) des propriétés sur Ω Intérêts pratiques : décrire, contrôler, prédire, apporter une aide à la décision

30 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Objectif 10 / 36 Objectif : A partir de l échantillon observé, inférer (déduire) des propriétés sur Ω Intérêts pratiques : décrire, contrôler, prédire, apporter une aide à la décision

31 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillonnage, Strates 11 / 36 L échantillonnage peut être Probabiliste : toute unité a une chance d être choisie Non probabiliste : choix arbitraire des sondés

32 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillonnage, Strates 11 / 36 L échantillonnage peut être Probabiliste : toute unité a une chance d être choisie Non probabiliste : choix arbitraire des sondés Stratifié : Ω est partitionné en strates (groupes) homogènes disjoints, sélection dans chaque strate d un petit échantilllon. Exemple : strates d âges, de profession,...

33 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillonnage, Strates 11 / 36 L échantillonnage peut être Probabiliste : toute unité a une chance d être choisie Non probabiliste : choix arbitraire des sondés Stratifié : Ω est partitionné en strates (groupes) homogènes disjoints, sélection dans chaque strate d un petit échantilllon. Exemple : strates d âges, de profession,...

34 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Échantillonnage, Strates 11 / 36 L échantillonnage peut être Probabiliste : toute unité a une chance d être choisie Non probabiliste : choix arbitraire des sondés Stratifié : Ω est partitionné en strates (groupes) homogènes disjoints, sélection dans chaque strate d un petit échantilllon. Exemple : strates d âges, de profession,...

35 Table de nombres au hasard

36 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Caractère, Domaine, Modalites 13 / 36 Caractère ou Variable X : Application de Ω dans un ensemble connu V appelé Domaine. Les éléments de V sont appelés Modalités Caractère, Variable, Descripteur

37 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Caractère, Domaine, Modalites 13 / 36 Caractère ou Variable X : Application de Ω dans un ensemble connu V appelé Domaine. Les éléments de V sont appelés Modalités Caractère, Variable, Descripteur Exemple : Ω = {baleines}, X : Ω [0, + [ X (ω) : poids de la baleine ω. Donc ici V = [0, + [.

38 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Caractère, Domaine, Modalites 13 / 36 Caractère ou Variable X : Application de Ω dans un ensemble connu V appelé Domaine. Les éléments de V sont appelés Modalités Caractère, Variable, Descripteur Exemple : Ω = {baleines}, X : Ω [0, + [ X (ω) : poids de la baleine ω. Donc ici V = [0, + [. Exemple : Ω = {cellules}, X : Ω V = {cancéreuse, non cancéreuse }

39 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Caractère, Domaine, Modalites 13 / 36 Caractère ou Variable X : Application de Ω dans un ensemble connu V appelé Domaine. Les éléments de V sont appelés Modalités Caractère, Variable, Descripteur Exemple : Ω = {baleines}, X : Ω [0, + [ X (ω) : poids de la baleine ω. Donc ici V = [0, + [. Exemple : Ω = {cellules}, X : Ω V = {cancéreuse, non cancéreuse }

40 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Caractère, Domaine, Modalites 13 / 36 Caractère ou Variable X : Application de Ω dans un ensemble connu V appelé Domaine. Les éléments de V sont appelés Modalités Caractère, Variable, Descripteur Exemple : Ω = {baleines}, X : Ω [0, + [ X (ω) : poids de la baleine ω. Donc ici V = [0, + [. Exemple : Ω = {cellules}, X : Ω V = {cancéreuse, non cancéreuse }

41 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée

42 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω.

43 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω. Quantitatif continu : V non dénombrable. Ex : Temps de réaction.

44 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω. Quantitatif continu : V non dénombrable. Ex : Temps de réaction. Caractère Qualitatif : type, couleur, profession

45 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω. Quantitatif continu : V non dénombrable. Ex : Temps de réaction. Caractère Qualitatif : type, couleur, profession Qualitatif ordinal. Ex. V = {Blanc, Gris, Noir} peut être ordonné

46 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω. Quantitatif continu : V non dénombrable. Ex : Temps de réaction. Caractère Qualitatif : type, couleur, profession Qualitatif ordinal. Ex. V = {Blanc, Gris, Noir} peut être ordonné Qualitatif nominal. Ex. V = {Homme, Femme}

47 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω. Quantitatif continu : V non dénombrable. Ex : Temps de réaction. Caractère Qualitatif : type, couleur, profession Qualitatif ordinal. Ex. V = {Blanc, Gris, Noir} peut être ordonné Qualitatif nominal. Ex. V = {Homme, Femme}

48 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Typologie des Variables 14 / 36 Caractère Quantitatif : on peut faire des opérations arithmétiques sur V. En général V = N, Z, R, R 2,... Exemples : Poids, Taille, Durée Quantitatif discret : V est dénombrable. Ex : X (ω) = Nombre de feuilles de ω. Quantitatif continu : V non dénombrable. Ex : Temps de réaction. Caractère Qualitatif : type, couleur, profession Qualitatif ordinal. Ex. V = {Blanc, Gris, Noir} peut être ordonné Qualitatif nominal. Ex. V = {Homme, Femme}

49 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Observations, Notation : x i 15 / 36 Si l échantillon a N éléments : ω 1,..., ω N on note x 1 l observation X (ω 1 ),..., x N l observation X (ω N ).

50 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Observations, Notation : x i 15 / 36 Si l échantillon a N éléments : ω 1,..., ω N on note x 1 l observation X (ω 1 ),..., x N l observation X (ω N ). Exemple : N = 30 baleines, X : Poids en Kg x i = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

51 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Observations, Notation : x i 15 / 36 Si l échantillon a N éléments : ω 1,..., ω N on note x 1 l observation X (ω 1 ),..., x N l observation X (ω N ). Exemple : N = 30 baleines, X : Poids en Kg x i = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , On dit aussi qu on a observé une distribution de N nombres.

52 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Observations, Notation : x i 15 / 36 Si l échantillon a N éléments : ω 1,..., ω N on note x 1 l observation X (ω 1 ),..., x N l observation X (ω N ). Exemple : N = 30 baleines, X : Poids en Kg x i = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , On dit aussi qu on a observé une distribution de N nombres.

53 Population, Individus, Unité, Échantillon Objectif Échantillonnage Table de nombres au hasard 12 / 36 Caractère, Domaine, Modalités Typologie des Variables Observations, Notation : x i, Distribution Effectif, Notation : (x i, N i ) Effectif, Notation : (x i, N i ) 16 / 36 Pour simplifier l affichage, si une donnée (une observation) x i se répète N i fois on affiche simplement (x i, N i ). Exemple : x i = 5, 3, 4, 3, 7, 5, 4, 3, 9, 7, 3, 4, 5, 7, 4, 8, 4, 9 se notera (x i, N i ) = (3,4), (4,5), (5,3), (7,3), (8,1), (9,2). Ces dernières valeurs sont distinctes. N i s appelle l effectif de la valeur x i Ici la taille de l échantillon est N = 18. Noter que la somme des effectifs vaut 18, la taille de l échantillon. De manière générale, on a N i = N i

54 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul 17 / 36

55 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Moyenne 18 / 36 Variable quantitative. On appelle moyenne m de l échantillon observé la moyenne arithmétique des observations: m = x x N N Si les observations distinctes sont exprimées avec des effectifs, en remarquant que = 3x5, on a x x N = i N i x i et donc m = i N i x i N

56 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Propriétés de la Moyenne 19 / 36 la moyenne résume la distribution de N nombres en un seul nombre on peut montrer que c est le meilleur, en un certain sens, résumé

57 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Propriétés de la Moyenne 19 / 36 la moyenne résume la distribution de N nombres en un seul nombre on peut montrer que c est le meilleur, en un certain sens, résumé la moyenne indique une tendance générale de la distribution.

58 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Propriétés de la Moyenne 19 / 36 la moyenne résume la distribution de N nombres en un seul nombre on peut montrer que c est le meilleur, en un certain sens, résumé la moyenne indique une tendance générale de la distribution. Quand N est assez grand, on montre que la moyenne m est une bonne estimation (approximation) de la moyenne inconnue, notée µ, de la population Ω x x est de moyenne nulle : on a centré x

59 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Propriétés de la Moyenne 19 / 36 la moyenne résume la distribution de N nombres en un seul nombre on peut montrer que c est le meilleur, en un certain sens, résumé la moyenne indique une tendance générale de la distribution. Quand N est assez grand, on montre que la moyenne m est une bonne estimation (approximation) de la moyenne inconnue, notée µ, de la population Ω x x est de moyenne nulle : on a centré x

60 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance avec biais 20 / 36 Variance, var : moyenne des carrés des écarts entre observations et m. var 0, On pose s = var, soit var = s 2. Donc s 0 et s 2 = (x 1 m) (x N m) 2. N On va montrer que s 2 = x x2 N N m 2 s 2 = moyenne des carrés moins carré de la moyenne. Si les observations distinctes sont exprimées avec des effectifs, on a s 2 = i N i x 2 i N m 2

61 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance : Démonstration 21 / 36 On part de (x i m) 2 = xi 2 2x i m + m 2 On a (x i m) 2 = xi 2 2m x i + m 2 i i i i = xi 2 2mNm + Nm 2 car i i x i = Nm = i x 2 i Nm 2 en divisant les deux membres par N on obtient donc s 2 = x x 2 N N m 2

62 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m

63 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m variance grande : distribution dispersée par rapport à m

64 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m variance grande : distribution dispersée par rapport à m s 2 : estimation de la variance inconnue de la population, s écarte de celle-ci : estimation avec biais.

65 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m variance grande : distribution dispersée par rapport à m s 2 : estimation de la variance inconnue de la population, s écarte de celle-ci : estimation avec biais. N On pose σ = N 1 s soit σ2 = N N 1 s2

66 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m variance grande : distribution dispersée par rapport à m s 2 : estimation de la variance inconnue de la population, s écarte de celle-ci : estimation avec biais. N On pose σ = N 1 s soit σ2 = N N 1 s2 σ 2 : estimation sans biais de la variance inconnue de la population

67 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Variance sans biais 22 / 36 si les observations sont en mètres, variance : en mètres carrés variance petite : distribution concentrée autour de m variance grande : distribution dispersée par rapport à m s 2 : estimation de la variance inconnue de la population, s écarte de celle-ci : estimation avec biais. N On pose σ = N 1 s soit σ2 = N N 1 s2 σ 2 : estimation sans biais de la variance inconnue de la population

68 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Ecart-type 23 / 36 On appelle écart-type le nombre s = var s est dans la même unité que les observations

69 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Ecart-type 23 / 36 On appelle écart-type le nombre s = var s est dans la même unité que les observations s exprime une distance entre la distribution et la moyenne m

70 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Ecart-type 23 / 36 On appelle écart-type le nombre s = var s est dans la même unité que les observations s exprime une distance entre la distribution et la moyenne m plus s est petit plus la distribution est concentrée autour de la moyenne m

71 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Ecart-type 23 / 36 On appelle écart-type le nombre s = var s est dans la même unité que les observations s exprime une distance entre la distribution et la moyenne m plus s est petit plus la distribution est concentrée autour de la moyenne m σ est l écart-type correspondant à une variance sans biais.

72 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Ecart-type 23 / 36 On appelle écart-type le nombre s = var s est dans la même unité que les observations s exprime une distance entre la distribution et la moyenne m plus s est petit plus la distribution est concentrée autour de la moyenne m σ est l écart-type correspondant à une variance sans biais.

73 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Erreur standard, coefficient de variation 24 / 36 On appelle Erreur standard (e.s.) le nombre s N ou dans le cas sans biais σ N s m : Coefficient de Variation. Indicateur de turbulence en physique, de volatilité en finance

74 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Erreur standard, coefficient de variation 24 / 36 On appelle Erreur standard (e.s.) le nombre s N ou dans le cas sans biais σ N s m : Coefficient de Variation. Indicateur de turbulence en physique, de volatilité en finance

75 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Erreur standard, coefficient de variation 24 / 36 On appelle Erreur standard (e.s.) le nombre s N ou dans le cas sans biais σ N s m : Coefficient de Variation. Indicateur de turbulence en physique, de volatilité en finance

76 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Graphique moyenne, Erreur-Standard 25 / 36 L intervalle [m s N,m + s N ] centré en m : souvent choisi comme intervalle qui contient la vraie moyenne µ de la population avec une grande confiance. Richard Emilion sstatistique Biosciences s Licence 1

77 Moyenne Propriétés de la Moyenne Variance avec biais Variance : Démonstration Variance sans biais Ecart-type Erreur standard, coefficient de variation Graphique moyenne, Erreur-Standard Exemple de calcul Exemple de calcul 26 / 36 Temps de réaction (secondes) par ordre croissant Σ x i N i N = 465 N i x i N i xi N i cum m = 9,11, s 2 = 1,205, s = 1,098. e.s. = s 465 = 0, 051

78 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Mode 27 / 36 Temps de réaction (secondes). Σ x i N i N = 465 N i x i N i xi N i cum Mode = 9. Valeur pour laquelle l effectif est le plus grand. Ici il n y a qu un seul mode. Distribution monomodale. Il se peut qu il y ait deux modes : distribution bimodale, ou plusieurs modes : distribution multimodale.

79 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N impair 28 / 36 N = 11 longueurs de pétales d iris (Fisher) x i = Ranger par ordre croissant

80 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N impair 28 / 36 N = 11 longueurs de pétales d iris (Fisher) x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.1, x (5) = 4.4, x (6) = 4.4, x (7) = 5.1, x (8) = 5.1, x (9) = 5.4, x (10) = 5.6, x (11) = 6.1

81 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N impair 28 / 36 N = 11 longueurs de pétales d iris (Fisher) x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.1, x (5) = 4.4, x (6) = 4.4, x (7) = 5.1, x (8) = 5.1, x (9) = 5.4, x (10) = 5.6, x (11) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus.

82 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N impair 28 / 36 N = 11 longueurs de pétales d iris (Fisher) x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.1, x (5) = 4.4, x (6) = 4.4, x (7) = 5.1, x (8) = 5.1, x (9) = 5.4, x (10) = 5.6, x (11) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus. Dans ce cas-ci : Médiane = x (6) = 4.4. Il y a 6 observations en dessous de cette valeur et 6 au dessus (en comptant la médiane).

83 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N impair 28 / 36 N = 11 longueurs de pétales d iris (Fisher) x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.1, x (5) = 4.4, x (6) = 4.4, x (7) = 5.1, x (8) = 5.1, x (9) = 5.4, x (10) = 5.6, x (11) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus. Dans ce cas-ci : Médiane = x (6) = 4.4. Il y a 6 observations en dessous de cette valeur et 6 au dessus (en comptant la médiane).

84 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N impair 28 / 36 N = 11 longueurs de pétales d iris (Fisher) x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.1, x (5) = 4.4, x (6) = 4.4, x (7) = 5.1, x (8) = 5.1, x (9) = 5.4, x (10) = 5.6, x (11) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus. Dans ce cas-ci : Médiane = x (6) = 4.4. Il y a 6 observations en dessous de cette valeur et 6 au dessus (en comptant la médiane).

85 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = Ranger par ordre croissant

86 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.4, x (5) = 4.4, x (6) = 5.1, x (7) = 5.1, x (8) = 5.4, x (9) = 5.6, x (10) = 6.1

87 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.4, x (5) = 4.4, x (6) = 5.1, x (7) = 5.1, x (8) = 5.4, x (9) = 5.6, x (10) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus.

88 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.4, x (5) = 4.4, x (6) = 5.1, x (7) = 5.1, x (8) = 5.4, x (9) = 5.6, x (10) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus. Dans ce cas-ci : Médiane = x (5)+x (6) 2 = = 4.75.

89 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.4, x (5) = 4.4, x (6) = 5.1, x (7) = 5.1, x (8) = 5.4, x (9) = 5.6, x (10) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus. Dans ce cas-ci : Médiane = x (5)+x (6) 2 = = Il y a 5 observations en dessous et 5 au dessus de cette valeur.

90 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.4, x (5) = 4.4, x (6) = 5.1, x (7) = 5.1, x (8) = 5.4, x (9) = 5.6, x (10) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus. Dans ce cas-ci : Médiane = x (5)+x (6) 2 = = Il y a 5 observations en dessous et 5 au dessus de cette valeur.

91 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane, N pair 29 / 36 N = 10 longueurs de pétales d iris x i = Ranger par ordre croissant x (1) = 1.5, x (2) = 1.5, x (3) = 1.7, x (4) = 4.4, x (5) = 4.4, x (6) = 5.1, x (7) = 5.1, x (8) = 5.4, x (9) = 5.6, x (10) = 6.1 Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus. Dans ce cas-ci : Médiane = x (5)+x (6) 2 = = Il y a 5 observations en dessous et 5 au dessus de cette valeur.

92 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane 30 / 36 Obrservations x 1,..., x N Ranger par ordre croissant

93 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane 30 / 36 Obrservations x 1,..., x N Ranger par ordre croissant x (1)... x (i)... x (N)

94 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane 30 / 36 Obrservations x 1,..., x N Ranger par ordre croissant x (1)... x (i)... x (N) Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus.

95 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane 30 / 36 Obrservations x 1,..., x N Ranger par ordre croissant x (1)... x (i)... x (N) Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus. Médiane = x ( N+1 ) si N est impair 2 x ( N 2 ) +x ( N 2 +1) 2 si N est pair

96 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Médiane 30 / 36 Obrservations x 1,..., x N Ranger par ordre croissant x (1)... x (i)... x (N) Médiane : valeur centrale, 50% de l échantillon est au dessous de cette valeur, 50% au dessus dessus. Médiane = x ( N+1 ) si N est impair 2 x ( N 2 ) +x ( N 2 +1) 2 si N est pair

97 Mode Médiane (1) Médiane (2) Médiane (3) Quartiles Quartiles 31 / 36 Temps de réaction (secondes). Ranger par ordre croissant. Σ x i N i N = 465 N i x i N i xi N i cum er quartile Q 1 = 8, plus petite valeur de x i où le cumul des N i dépasse 25% de 465 = 116,25. 2ème quartile = Médiane, Q 2 = 9 (cum dépasse 50% 465 = 232,5). 3ème quartile Q 3 = 10 (cumul dépasse 75% 465 = 348,75).

98 Boîte à moustache Diagramme sectoriel Histogramme Fonction de Répartition Fonction de Répartition Boîte à moustache 32 / 36 Figure: Min, Q 1, Q 2, Q 3, Max Max - Min : Étendue, Q 3 Q 1 : Écart interquartile

99 Boîte à moustache Diagramme sectoriel Histogramme Fonction de Répartition Fonction de Répartition Diagramme sectoriel 33 / 36 Variable Qualitative. Séquence ADN. x i = A, C, G, C, A, T, C, G, A, A, C, T, T, G, A, A, A, A, G, A, G, G, A, A, C, T, C, C, A, A. Figure: A (43.3%), C (23.3%) G(20%) T(13.3%)

100 Boîte à moustache Diagramme sectoriel Histogramme Fonction de Répartition Fonction de Répartition Histogramme de fréquence 34 / 36 N = 100, m = , s 2 = 43.03, s = 6.56, σ 2 = 43.46, σ = 6.59 Poids de 100 Baleines (Tonnes) Densité < Surface S3 = > < Surface S2 = > <--Surface S1 = > q1 = q2 = q3 = 155 Surface Totale des rectangles = Poids (Tonnes) Figure: Histogramme de fréquence et quartiles

101 Boîte à moustache Diagramme sectoriel Histogramme Fonction de Répartition Fonction de Répartition Fonction de Répartition 35 / 36 Variable Quantitative Discrète. Nombre de fourmis (50 feuilles). (x i, N i ) = (1, 5), (2, 9), (3, 15), (4, 10), (5, 6), (6, 3), (8, 2). Figure: Cumul des fréquences 1 (0.1), 2 (0.18), 3 (0.3), 4 (0.2), 5 (0.12), 6 (0.06), 8 (0.04)

102 Boîte à moustache Diagramme sectoriel Histogramme Fonction de Répartition Fonction de Répartition Fonction de Répartition 36 / 36 Variable Quantitative Continue. Longueur de pétale de 50 Iris Ventosa (Fisher). (x i, N i ) = (]4.5 5], 9), (]5 5.5], 16), (]5.5 6], 16), (]6 6.5], 5), (]6.5 7], 4) Fréquences : 0.18, 0.32, 0.32, 0.10, Iris Vetosa Fréquence cumulée Q1=5.12 Q2=5.5 Q3= Longueur de Pétale Figure: Fonction de Répartition, Quartiles