Algorithmes sur les graphes

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1 Algorithmes sur les graphes Problème du voyageur de commerce: Algorithme de Little Département informatique

2 Introduction Problème du voyageur de commerce

3 Formulation du problème Problème du voyageur de commerce (Traveling Salesman Problem - TSP) : Calculer une tournée longueur minimale passant une et une seule fois par n villes Exemple avec n = 36 :

4 Formalisation du problème Soit G un graphe d'ordre n avec : V(G) l'ensemble des s, chaque modélisant une ville E(G) l'ensemble des arcs. Le poids w(e) associé à chaque arc e E(G) modélise au coût de déplacement entre deux villes. Notons que les poids ne sont pas nécessairement symétriques. Le problème du voyageur de commerce consiste à calculer un cycle hamiltonien de coût minimal dans G. Exemple avec n = 6 :

5 Algorithmes de résolution exacte Garantissent une solution optimale, mais ne peuvent s'exécuter en un temps en temps polynomial en n. Force brute : complexité temporelle factorielle en n Programmation dynamique : complexité spatiale + temporelle exponentielle en n Branch & Bound : complexité temporelle exponentielle en n Au mieux, le temps de calcul requis est exponentiel en n, mais des stratégies astucieuses et des structures de données optimisées permettent d'augmenter la taille de problème n traitable en un temps de calcul donné. temps de calcul (ms) Little (963) Keld&Karp (967) nombre de villes n

6 Algorithmes de résolution approchée Se basent sur des heuristiques (règles empiriques) Heuristiques de construction (élaboration gloutonne une tournée) Heuristiques d'amélioration (modifications locales d'une tournée existante) Métaheuristiques (souvent stochastiques et/ou inspirées du monde du vivant)... Exemple : Construction : Nearest Neighbor choisit la ville la plus proche Amélioration : 2-opt «décroise» les trajets

7 Le branch & bound Problème du voyageur de commerce

8 Optimisation combinatoire Un problème d'optimisation combinatoire consiste à minimiser/maximiser une fonction f(x,x2,...,xk) Chaque variable xi appartient à un domaine Di fini et discret (donc énumérable) Des contraintes restreignent les valeurs utilisables dans Di (réalisables) Exemple (programme linéaire) : min f(x, x2) = 3x - 2x2 x2 Domaines : x et x2 dans {,2,3,4} Contraintes : 4 x + x2 3 x2 x 3 2x x x

9 Optimisation combinatoire Résolution par énumération x= x=2 x=3 x=4 x2= x2=2 x2=3 x2=4 x2= x2=2 x2=3 x2=4 x2= x2=2 x2=3 x2=

10 Le branch & bound Etapes Branch (séparation) : on sépare le problème initial en sousproblèmes (par exemple, en découpant les intervalles initiaux en sous-intervalles) ; on obtient un arbre dans lequel chaque modélise un sous-problème Bound (évaluation) : pour chaque, on évalue un intervalle pour la fonction objectif (par exemple, en propageant les intervalles des variables dans les contraintes) Cut (coupure) : si un N a été évalué à [a,b] et s'il existe un autre N' évalué à [c,d] tel que a > d, alors on peut couper la branche au niveau de N sans risque de manquer la solution optimale

11 Optimisation combinatoire Résolution par branch & bound [-5, 8.5] x= x=2 x=3 x=4 [-,-] [0,4] [,3] x2=2 0 > - => coupure > - => coupure - x2 x=2 x2 [,3] f [0,4] x

12 Principe de l'algorithme de Little Problème du voyageur de commerce

13 Source Little, J. D., Murty, K. G., Sweeney, D. W., & Karel, C. An algorithm for the traveling salesman problem. Operations research, (6), , 963 Fichier PDF

14 Principe L'algorithme de Little est un algorithme de résolution du TSP par Branch & Bound La séparation consiste à considérer l'inclusion ou l'exclusion d'un trajet (i,j) dans une tournée. Chaque séparation produisant deux branches, l'arbre de recherche est binaire (fig. b) L évaluation fournit une borne inférieure du coût de la tournée en effectuant des opérations sur la matrice de coûts (fig a) Figure (tirée de l'article)

15 Principe On développe l'arbre de façon préférentielle vers la droite (inclusion de trajets) pour rapidement aboutir à une tournée complète T, de coût c Dans la figure, T contient les trajets (,4), (2,), (5,6), (3,5), (4,3) et (6,2), ce qui donne T = (,4,3,5,6,2,), de coût 63 On développe ensuite les autres branches pour tenter de trouver une meilleure tournée que T. Dès qu'un a un coup supérieur ou égal à c, on peut interrompre la branche Dans la figure, toutes les branches sont de coût 63, on est donc sûr que T est la tournée optimale Figure 2 (tirée de l'article)

16 par l'exemple Problème du voyageur de commerce

17 Déroulement sur un exemple 6 villes B: Bordeaux L: Lyon N: Nantes P: Paris M: Montpellier D: Dijon 60 tournées possibles (20 si coûts asymétriques)

18 Visite du La racine va contenir une première borne inférieure pour le coût de la tournée optimale, tous les trajets étant encore possibles en

19 Visite du Matrice de coûts B L N P M D B L N P M D Contient ici les distances en km pour chaque trajet possible (matrice symétrique) en

20 Visite du Matrice de coûts B L N P M D B L N P M D Peut contenir d'autres types de coûts (temps de parcours, énergie dépensée...) la rendant asymétrique en

21 Visite du Matrice de coûts B L N P M D B L N P M D min ligne: Réduction de la matrice: lignes en

22 Visite du Matrice de coûts Suppression du min ligne par ligne B L N P M D B L N P M D min ligne: Réduction de la matrice: lignes Total supprimé: 650 en

23 Visite du Matrice de coûts B L N P M D B L N P M D min colonne: Réduction de la matrice: colonnes Total supprimé: 60 en

24 Visite du Matrice de coûts 80 B L N P M D B L N P M D Évaluation par défaut du : = 80 en

25 Visite du 80 Matrice de coûts Regret = min ligne + min colonne B L N P M D B 460 0(30) L min ligne : 60 N P M D min colonne: 70 Calcul des regrets dans toutes les cases de valeur 0 en

26 Visite du 80 Matrice de coûts Regret = min ligne + min colonne B L N P M D B 460 0(30) L (60) 0 N min ligne : 0 P M D min colonne: 60 Calcul des regrets dans toutes les cases de valeur 0 en

27 Visite du Matrice de coûts 80 B L N P M D B 460 0(30) L (60) 0(0) N 0(80) 380 0(50) P (70) M 80 0(80) D 460 0(50) Calcul des regrets dans toutes les cases de valeur 0 en

28 Visite du Matrice de coûts 80 B L N P M D B 460 0(30) L (60) 0(0) N 0(80) 380 0(50) P (70) M 80 0(80) D 460 0(50) On privilégie l'étude du trajet de regret maximal: Nantes-Bordeaux (en cas d'égalité: choix arbitraire) en

29 Visite du Matrice de coûts B L N P M D B 460 0(30) L (60) 0(0) Trajet Nantes-Bordeaux exclu Trajet Nantes-Bordeaux inclus N 0(80) 380 0(50) P (70) M 80 0(80) D 460 0(50) On crée deux fils (2 et 3) correspondant à l'inclusion ou à l'exclusion du trajet Nantes-Bordeaux dans la tournée en

30 Visite du Matrice de coûts = (regret) B L N P M D B 460 0(30) L (60) 0(0) N 0(80) 380 0(50) P (70) M 80 0(80) D 460 0(50) L'évaluation d'un de type trajet exclu est déjà connue, sans autre calcul: il s'agit de la valeur du père + la valeur de regret en

31 Visite du Matrice de coûts B L N P M D B 460 0(30) L (60) 0(0) N 0(80) 380 0(50) P (70) M 80 0(80) D 460 0(50) L'évaluation d'un de type trajet inclus correspond à l'évaluation par défaut de ce (obtenue par réduction de la matrice des liaisons encore possibles) en

32 Visite du Matrice de coûts B L N P M D B 460 0(30) L (60) 0(0) N 0(80) 380 0(50) P (70) M 80 0(80) D 460 0(50) On visite en priorité les s de type trajet inclus. Les s de type trajet exclu (ici 2) sont empilés pour une visite ultérieure en Pile 2

33 Visite du 3 Matrice de coûts L N P M D B L P M D On manipule une nouvelle matrice: la ligne de la ville départ (Nantes) et la colonne de la ville d'arrivée (Bordeaux) du trajet ont été supprimées. en Pile 2

34 Visite du 3 Matrice de coûts L N P M D B L P M D On supprime tous les trajets aboutissent à des sous-tournées incomplètes (n'incluant pas toutes les villes) ici BN, aboutissant à la sous-tournée -BN en Pile 2

35 Visite du = Matrice de coûts L N P M D B L P M D supprimé: supprimé: Réduction de la matrice Total supprimé: 80 en Pile 2

36 Visite du Matrice de coûts L N P M D B (40) 280 L (0) 0(0) P 50 0(360) 340 0(0) M 0(200) D 0(0) 360 0(90) 200 Calcul des regrets en Pile 2

37 Visite du 3 Matrice de coûts = L N P M D B (40) 280 L (0) 0(0) P 50 0(360) 340 0(0) M 0(200) D 0(0) 360 0(90) 200 Regret maximal: Paris-Nantes (360) - Création des fils 4 et 5. - Affectation de la valeur de 4 - Empilage de 4 en 4 Pile 2

38 Visite du 5 Matrice de coûts L P M D B L M D en 4 Pile 2

39 Visite du 5 Matrice de coûts L P M D B L M D Élimination du trajet BP (aboutissant à la sous-tournée --BP) en 4 Pile 2

40 Visite du Matrice de coûts L P M D B L M supprimé: = + 0 D supprimé: Réduction de la matrice Total supprimé: 0 en 4 Pile 2

41 Visite du 5 Matrice de coûts L P M D B 400 0(280) 280 L 50 0(0) 0(200) M 0(200) D 0(0) 0(50) 200 Calcul des regrets en 4 Pile 2

42 Visite du 5 Matrice de coûts L P M D B 400 0(280) 280 L 50 0(0) 0(200) M 0(200) D 0(0) 0(50) Regret maximal: Bordeaux-Montpellier (280) = Création des fils 6 et 7. - Affectation de la valeur de 6 - Empilage de 6 en 6 4 Pile 2

43 Visite du Matrice de coûts L P D L 50 0 M D Élimination du trajet MP (aboutissant à la sous-tournée ---MP) en 6 4 Pile 2

44 Visite du 7 Matrice de coûts L P D L 50 0 M D supprimé: = + 0 supprimé: Réduction de la matrice Total supprimé: 0 en 6 4 Pile 2

45 Visite du Matrice de coûts L P D L 50 0(350) M 0(200) 200 D 0(0) 0(50) Calcul des regrets en 6 4 Pile 2

46 Visite du Matrice de coûts L P D L 50 0(350) M 0(200) 200 D 0(0) 0(50) Regret maximal: Lyon-Dijon (350) 8 LD = LD - Création des fils 8 et 9. - Affectation de la valeur de 8 - Empilage de 8 8 en 6 4 Pile 2

47 Visite du Matrice de coûts L P M 0 D LD LD 8 en 6 4 Pile 2

48 Visite du 9 Matrice de coûts L P M 0 D 0 Élimination du trajet DL LD LD (aboutissant à la sous-tournée LD-DL) 8 en 6 4 Pile 2

49 Visite du 9 Matrice de coûts L P M 0 D 0 supprimé: supprimé: 0 0 Total supprimé: LD LD Réduction de la matrice = en 6 4 Pile 2

50 Visite du Matrice de coûts L P M 0 D LD LD, ML, DP Il n'y a plus de choix possible: il faut intégrer les trajets ML et DP pour finir la tournée 8 en 6 4 Pile 2

51 Premier résultat Branche terminée LD en * LD, ML, DP Une première solution trouvée, contenant les trajets:,,, LD, ML et DP On peut donc construire une tournée au départ de n'importe quelle ville, par exemple Bordeaux: ML LD DP Valeur de référence (*): km Pile 2

52 Backtracking On visite à présent les s empilés pour tenter d'améliorer cette première solution. LD LD, ML, DP * 8 en * référence : 6 4 Pile 2

53 Visite du Valeur du 8: 2340 référence LD LD, ML, DP * en * référence : 6 4 Pile 2

54 Visite du Valeur du 8: 2320 référence Pas d'amélioration possible. LD LD, ML, DP * en * référence : 6 4 Pile 2

55 Visite du Valeur du 6: 2270 référence LD LD, ML, DP * en * référence : 4 Pile 2

56 Visite du Valeur du 6: 2270 référence Pas d'amélioration possible. LD LD, ML, DP * en * référence : 4 Pile 2

57 Visite du Valeur du 4: 2350 référence LD LD, ML, DP * en * référence : Pile 2

58 Visite du Valeur du 4: 2350 référence Pas d'amélioration possible. LD LD, ML, DP * en * référence : Pile 2

59 Visite du Valeur du 2: référence LD LD, ML, DP * en * référence : Pile

60 Visite du Valeur du 2: référence Pas d'amélioration possible. LD LD, ML, DP * en * référence : Pile

61 Solution finale 80 Fin de l'algorithme Tournée optimale au départ de Bordeaux: ML LD DP Valeur: km LD * LD, ML, DP #s s: 9 << 565 Nombre maximal de s s (cf. exercice d'approfondissement) en * référence : Pile

62 En images Trajet inclus dans la tournée Trajet parasite en

65 En images LD LD * en

66 En images LD * LD, ML, DP en

67 Résumé Algorithme de Little

68 C* = + L'algorithme de Little Résumé Élimination des sous-tournées Réduction de la matrice évaluation par défaut E Suppression du trajet (i,j) non E C*? non Matrice 2x2? non Calcul des regrets oui oui Fin de la branche non E < C*? oui C* E Màj meilleure tournée Suppression de la ligne i et de la colonne j oui Fin de la branche E + R C*? Identification du trajet (i,j) de regret maximal R Fin de la branche Branche (i,j) Branche (i,j)

69 Exercice d'application Algorithme de Little

70 Application Appliquer l'algorithme de Little pour résoudre problème de voyageur de commerce suivant: - 6 villes: A,B, C, D, E, F - matrice de coûts: A B C D E F A B C D E F

71 Solution partielle 22 BE 6 9 DA BE 6 DA 9 Tournée optimale au départ de A: AC-CF-FB-BE-ED-DA (coût: 20) CA CA AC AC CF 32 CF, ED, FB 20

72 Exercice d approfondissement Algorithme de Little

73 Étude de complexité Le tableau ci-dessous donne le nombre maximal de s N(n) s par l'algorithme de Little pour n 3 villes : n N(n) Démontrer par récurrence l'expression de N(n) et vérifier votre résultat sur l'intervalle [3,20] à l'aide du tableau fourni.

74 Étude de complexité Réponse : N(3) = 8 Pour n>3 : N(n) = (n ) ( + N(n ) )