I. GÉNÉRALITÉS. 1. Définition. 2. Vocabulaire TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX 1

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1 TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX I. GÉNÉRALITÉS. Définition On dit qu un train d'engrenages est «épicycloïdal» lorsque les res dentées les pignons qui composent le train ne trnent pas ts autr d'axes fixes dans le repère lié au bâti de l'appareil. Il résulte immédiatement de la définition précédente que le caractère épicycloïdal d'un train d'engrenages qualifie un mode de fonctionnement et dépend du repère dans lequel se place l'observateur. Exemple : les deux schémas représentent le même train d'engrenages. Figure -a Figure -b 4 4 Figure -a : l'observateur immobile comme le solide 4 voit ts les autres solides qui composent le train trner autr d'axes fixes ; on est en présence d un train simple. Figure -b : l'observateur immobile comme le solide voit le solide trner autr d'un axe qui se déplace au crs du temps ; c'est un train épicycloïdal. Vocabulaire Le pignon qui trne autr d'un axe en mvement dans le repère lié au bâti est appelé satellite. Les trajectoires des points du satellite dans le repère fixe sont des crbes cycloïdales, d'où le nom donné au dispositif. Le satellite est le premier élément qu'il faut repérer quand on étudie un train épicycloïdal (sur la figure -b, c'est bien sûr le solide ). Lorsqu'on a déterminé le satellite, on peut rechercher les trois "entrées" du train : - le satellite est en liaison pivot avec le porte satellite (solide 4 de -b) - les dentures du satellite sont en contact avec les deux planétaires Les planétaires trnent autr d'axes fixes dans le repère de l observateur et engrènent avec le satellite. Les planétaires peuvent être des pignons (solide ) des cronnes dentées intérieures (solide ).

2 TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX Le porte satellite et les deux planétaires constituent les trois «entrées» usuelles d'un train épicycloïdal. Si le porte satellite je un rôle bien caractérisé, en revanche les deux entrées sur les planétaires jent des rôles tt à fait symétriques. CLASSIFICATION Train plan : train construit à partir d engrenages à axes parallèles. Train sphérique : train construit à partir d engrenages à axes concrants. Train élémentaire : train à trois entrées, comme sur la figure -b. Train composé : train résultant de la juxtaposition de plusieurs trains élémentaires ; l étude d un train composé nécessite sa décomposition en trains élémentaires. Train à base fuyante : train composé résultant de la juxtaposition d'un de plusieurs trains épicycloïdaux et d'un variateur ; la chaîne cinématique est réglable. Train valseur : train épicycloïdal dans lequel la sortie de puissance s effectue par le satellite II. CINÉMATIQUE. Relation de Willis La relation de Willis est une expression quantitative de la loi de comportement d'un train épicycloïdal indépendamment de son mode effectif de fonctionnement. Elle relie les fréquences de rotation des trois entrées mesurées par rapport à n'importe quel référentiel R dans lequel les axes de rotation des planétaires et du porte satellite sont des droites fixes. Pr l'établir, on doit : Définir clairement le train auquel on s'intéresse, déterminer le satellite, le porte satellite, les entrées sur planétaires E et Placer l observateur sur le porte satellite : il voit alors un train simple (les axes sont ts fixes dans le repère d'observation) et peut donc déterminer, en fonction des caractéristiques des dentures, la «raison de base» du train, c est-à-dire le rapport : E / λ E/ E Figure Bâti Changer de repère : E/ E/ / et E / E / / Ecrire la relation définitive entre les trois entrées, appelée «formule de Willis» dans la littérature. E / / λ E/ / λ + λ ( ) E / E/ /

3 TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX Remarques Les deux planétaires ayant des rôles exactement symétriques, on prra vérifier à titre d exercice que l on trve une relation exactement identique intervertissant E/ ces deux entrées, c est-à-dire en partant de λ λ E / Il est très vivement déconseillé d'apprendre la formule par cœur ; on risque de passer beaucp plus de temps à faire «coller» les notations qu'il n'en faut pr refaire le raisonnement. La fréquence de rotation du porte satellite apparaît comme la moyenne pondérée (barycentre) de celle de l'entrée E de poids λ et de l'entrée de poids. Ceci permet en particulier d affirmer que si on astreint deux des trois entrées du train à trner à la même vitesse, alors tt le train est rigidifié et trne en bloc à cette vitesse.. Fonctionnement d'un train épicycloïdal Pr faire fonctionner un train épicycloïdal, il faut imposer la fréquence de rotation de deux des trois «entrées». La manière la plus crante consiste à fixer l'un des entrées par rapport au repère d'observation (bâti), d'imposer le mvement d'une autre et de récupérer la sortie sur la troisième Figure -a : Porte satellite bloqué (fonctionnement en train simple) donc / / / λ / λ λ / E Figure -a Bâti Figure -b : Entrée E bloquée donc E / / E / E / / λ λ E Figure -b Bâti

4 4 TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX Figure -c : Entrée bloquée donc E / / E/ λ λ E/ λ λ / E Figure -c Bâti Remarque Il existe des modes de fonctionnement complexes pr lesquels on impose des fréquences de rotation différentes (mais non nulles) sur entrées - Voir ci-après trains composés. Différentiels On appelle différentiel un train épicycloïdal de raison de base λ. La relation de Willis devient : E / + E/ / La fréquence de rotation du porte satellite est la moyenne des fréquences de rotation des deux autres entrées. Exemple : différentiel d'automobile Sommateur de vitesses 4. Associations de trains épicycloïdaux Comment s'aperçoit-on qu'on est en présence d'un train composé? en examinant le mécanisme, on peut détecter un certain nombre de symptômes caractéristiques d'une telle situation, entre autres : il y a plusieurs satellites guidés par des porte satellite différents (figure 4-a) E E E4 Bâti Figure 4-a

5 TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX 5 un satellite est en contact avec plus de deux planétaires (figure 4-b) E E Bâti Figure 4-b un même porte satellite guide deux satellites qui ne sont pas en contact avec les mêmes planétaires (figure 4-c) E E E4 Bâti Figure 4-c Méthode de mise en équation : Rechercher les trains épicycloïdaux élémentaires. Pr cela on envisage chaque satellite séparément, et chaque cple de planétaires en contact avec ce satellite Écrire les relations de Willis pr chacun de ces trains élémentaires, indépendamment de leur mode de fonctionnement dans l'ensemble Traduire les liens entre ces trains élémentaires Traduire les conditions de fonctionnement

6 6 TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX 5. Trains valseurs On appelle train valseur un mode d'utilisation très particulier d'un train épicycloïdal qui consiste à prendre comme sortie le mvement du satellite. Il est alors nécessaire de connaître les fréquences de rotation / et / BATI. On peut distinguer deux ss cas : (exemple d'un malaxeur) train complet, entrée par un planétaire, porte satellite réduit au rôle de guidage Figure 5-a Bâti Figure 5-b Bâti 4 4 Pr exprimer /4 et / en fonction de / (respectivement de /) dans ce cas, il suffit d'écrire d'une part la relation entre /4 et /4 (respectivement /4 et /4), d'autre part la relation de Willis pr le train, puis d'éliminer 4/ entre les deux équations. entrée par le porte satellite, train avec un seul planétaire (l'autre est omis). Figure 6-a Bâti Figure 6-b Bâti 4 4 Le traitement du problème est très simple à condition de se placer sur le porte satellite pr exprimer la relation entre /4 et /4 (respectivement /4 et /4) en fonction des caractéristiques des dentures, d'effectuer le changement de repère, puis de traduire les conditions de fonctionnement.