Cours 6. Reponse en frequence

Transcription

1 Cours 6 Reponse en frequence

2 Revision: nombres complexes L analyse en frequences nous force a utiliser les nombres complexes Ces notions ont ete couvertes dans les cours prealables Passons quelques acetates pour se mettre a jour Commencons par definir des termes: Il existe les nombres reels et imaginaires La combinaison des deux: complexes

3 Revision: nombres complexes Format conventionnel: x + jy Partie reelle: x Partie imaginaire: y Par definition: j Autre definition: conjugues complexes nombres complexes qui ont la meme partie reelle, mais la partie imaginaire inverse ( a + jb) ( a jb) 3

4 Revision: Graphiquement Parfois c est interessant de tracer des graphiques On peut faire ca avec les nombres complexes: On definit un plan complexe Axe des X: Reel Axe des Y: Imaginaire Imaginaire (+j) Dans cet exemple, on a trace: ) +j ) -3-j (-3-j) Reel Allons voir les proprietes differentes des nombres complexes 4

5 Revision: Arithmetique Multiplication par scalaire: Multiplie les parties imaginaires et reelles c ( a + jb) ( ac + jbc) Addition de nombres complexes: Additionner les parties reelles ensemble Additionner les parties imaginaires ensemble ( a + jb) + ( c + jd ) ( a + c) + j( b + d ) 5

6 Revision: Arithmetique Multiplication de nombres complexes ( a + jb)( c + jd ) Comme multiplication de polynomes Produit de tous les elements et on en fait la somme ac + adj cbj bd On regroupe les reels et imaginaires + ( ac bd ) + j( ad + cb) Rappel: j * j - 6

7 Revision: Arithmetique Propriete interessante: Multiplication de conjugues complexes donne nombre reel Preuve: On prend deux conjugues ( a + jb )( a jb ) On les multiplie (Les imaginaires disparaissent) ( aa + jab jab + jb( jb) ) Resultat ( a + b ) 7

8 Revision: Arithmetique Division nombres complexes (cartesien) ( a jb) ( c + jd ) + Notre job: enlever l imaginaire au denominateur On multiplie par la conjuguee du denominateur ( a + jb) ( c jd ) ( c + jd ) ( c jd ) Ca se simplifie ( ac + bd ) + j( bc ad ) ( c + d ) Voyons pourquoi c est utile 8

9 Revision: Graphiquement On sait comment mettre (+j) et (-3-j) dans un plan complexe: ( + j) Comment fait-on pour mettre ( + 3 j) dans le plan complexe? 9

10 Revision: Graphiquement Le probleme est qu on ne sait pas quoi faire avec le denominateur complexe Division pour mettre denominateur reel ( + j) ( 3 j) ( + 3 j) ( 3 j) Imaginaire Resultat 8 j (8/3)+(j/3) Reel On peut maintenant le placer dans le plan 0

11 Revision: Polaire On a vu coordonnees cartesiennes ) X: Distance sur l axe horizontal ) Y: Distance sur l axe vertical Autre notation: coordonnees polaires ) Amplitude ) Phase (angle vs. l axe reel positif) Imaginaire Amplitude Reel + Imaginaire (+j) Phase tan Imaginaire Reel (-3-j) Reel On s exprime differemment pour dire la meme chose

12 Revision: Polaire Transformons les donnees precedentes du cartesien au polaire: +j Imaginaire + j j 3 j (-3-j) (+j) Reel Note: Ne PAS inclure la lettre j dans le calcul des phases et amplitudes

13 Revision: Polaire Pourquoi polaire? Manipulation facile pour multiplication et division Multiplication: Amplitude: Multiplication d amplitudes Phase: Addition de phases Division: Amplitude: Division d amplitudes Phase: Soustraction de phases 3

14 Revision: Polaire Revenons a notre exemple precedent Avec coordonnees cartesiennes on a obtenu ceci ( + j) ( + 3 j ) Refaisons ca en polaire: Numerateur: Denominateur: Resultat: 8 j ( + j) ( + 3 j)

15 Exemple (seul) Faites la division de nombres complexes 3+ j 40 Faites-le de facons: En utilisant les coordonnees cartesiennes j (en multipliant par le conjugue du denominateur) En utilisant les coordonnees polaires 5

16 Revision: Polaire Multiplication par conjugue j ( j) ( 40 + j) ( 40 + j) Etape intermediaire ( j) + ( 40 j ) 40 + Resultat Amplitude j 04 Phase tan Faisons-le maitenant de l autre facon 6

17 Revision: Polaire Convertir numerateur et denominateur en polaire: Resultat: 3 + j 40 jj 3 + tan tan 40 Amplitude Phase ( 7.7)

18 Rappel: types de reponse Quand on stimule un systeme, il reagit d une certaine maniere Il y a plusieurs facon de decrire les reponses: Reponse forcee Reponse naturelle Regime transitoire Regime permanent Ca veut dire quoi? 8

19 Rappel: types de reponse Reponse forcee: Reponse determinee par l input Apres le changement initiale, c est la reponse forcee Ex: J applique 5v a 3 filtres passe-bas A la fin, j ai toujours 5v 5v c est la reponse FORCEE parce que ca depend de l input 9

20 Reponses Reponse naturelle: Caracteristiques du systeme. Independant de l entrée. Exemple: Filtre passe bas. Monte plus ou moins lentement en reponse a un echelon. «Comment il reagit AVANT de se stabiliser» 0

21 Reponses La reaction initiale s appelle aussi le regime transitoire C est determine par la reponse naturelle La reaction eventuelle s appelle le regime permanent C est determine par l input Regime Transitoire (reponse naturelle) Regime Permanent (reponse forcee) En regime permanant, il ne reste que la reponse forcee t

22 Reponses Depuis le debut du cours, on s interesse aux regimes transitoires et permanents: On trouve vout(t) qui englobe les Souvent, les regimes vont nous interesser Une fois de temps en temps, c est le regime permanent qui nous interesse Je veux savoir comment le systeme se comporte une fois stabilise

23 Reponses Je veux savoir comment ma suspension se comporte: Je teste pour savoir sa reaction apres un input Je teste pour savoir comment il se comporte en regime permenant: Transitoire Permanent

24 Reponses Dans cette partie du cours, on s interesse a la e situation: On s interesse au regime permanent Et on s interesse a lui quand le stimulus est un sinus (on imagine que les bosses sont des sinus) On appelle ca: regime sinusoidal etabli Considerons un autre exemple 4

25 Reponse Imaginez un reseau electrique On envoie un signal electrique de 60Hz On veut savoir si ca se rend bien aux maisons Le reseau electrique est un gros circuit: L entrée du circuit est une sinusoide de 60Hz. La sortie va aussi etre une sinusoide une fois stabilisee Il manque beaucoup de details en passant.. 5

26 Reponses Comment faire une analyse en regime sinusoidal etabli? On stimule avec un sinus On neglige des effets transitoires On n observe QUE lorsque c est stable 6

27 Reponse Reprenons le reseau electrique de tantot On pourrait l analyser avec Laplace et trouver V OUT (s) On l inverse, ca donne v out (t) 7

28 Reponses Vout(t) avec Laplace donne les regimes transitoire et permanent Vert En regime sinusoidal etabli, on va ignorer le regime transitoire Bleu Laplace Regime sinusoidal etabli Les deux On va faire semblant que le regime transitoire n existe pas 8

29 C est quoi l idee de base? Comment analyser un systeme en regime sinusoidal etabli? On commence par une analyse en s En analysant le systeme, on trouve sa fonction de transfert: T ( s) OUTPUT ( s) INPUT ( s) On pourrait rearranger l equation: OUTPUT ( s) T ( s) INPUT ( s) 9

30 C est quoi l idee de base? On s interesse au regime sinusoidal etabli Notre input sera donc une sinusoide C est quoi un sinus dans Laplace? On regarde la tableau: INPUT ( s) On met ca dans l autre equation A ω in s + ωin OUTPUT ( s) T ( s) INPUT ( s) OUTPUT ( s) Maintenant, pour T(s) T ( s) s Aω + ω in in 30

31 C est quoi l idee de base? On va dire que T(s) a la forme suivante: T ( s) La sortie serait: K ( s + a)( s + b)...( s + c) OUTPUT ( s) T ( s) s Aω + ω in in OUTPUT ( s) K Aω in ( s + a)( s + b)...( s + c) ( s + ω ) in Pour trouver output(t), il faut l inverse: On fait les fractions partielles: OUTPUT ( s) M N k k in in + ( s + jω ) ( s jω ) ( s + a) ( s + b) ( s c) On peut maintenant faire l inverse Laplace k 3

32 C est quoi l idee de base? Regardons la forme de de output(s): OUTPUT ( s) Reponse forcee M N k k in in + ( s + jω ) ( s jω ) ( s + a) ( s + b) ( s c) e jωt : Sinusoides de frequence ω in Reponse naturelle e -σt: Exponentielles decroissantes Apres un certain temps, les exponentielles tombent a 0: La sortie sera une sinusoide de meme frequence que l entree k Avec une sinusoide a l entrée, on aura une sinusoide de MEME frequence a la sortie 3

33 C est quoi l idee de base? On resume: Je mets un sinus dans un systeme Il reagit d une maniere au debut (on l ignore) Apres un temps, les reponses naturelles disparaissent Il ne reste que la reponse forcee La sortie est donc une sinusoide de meme frequence que l entrée 33

34 C est quoi l idee de base? Il est IMPOSSIBLE d avoir des frequences differentes a l entree et a la sortie Vrai pour les systemes lineaires en regime sinusoidal etabli (permanent) Quand l entree est un sinus, choses peuvent changer en regime permanent: L amplitude: peut sortir plus gros ou plus petit La phase: peut sortir en retard ou en avance Comment est-ce que ca affecte notre analyse? 34

35 C est quoi l idee de base? Avec Laplace, s est une frequence complexe Frequence complexeimaginaire + reelle Reelles: oscillations d amplitudes constantes Imaginaires: attenuation ou agrandissement Frequence reelle Frequence imaginaire Frequence complexe 35

36 C est quoi l idee de base? Avec Laplace, on utilise sσ+jω Input Frequences imaginaires (σ):attenuation ou agrandissement Frequences reelles (ω): oscillations a amplitude constante En regime transitoire, il y a les deux types En regime permanent, il ne reste que les frequences reelles... Transitoire Permanent Systeme

37 C est quoi l idee de base? Donc, pour une analyse complete, on utilise Laplace: On a des frequences imaginaires et reelles Traduction mathematique: sσ+jω En regime sinusoidal etabli: Il n y a plus d attenuation ou d agrandissement Il n y aura plus de frequences imaginaires Donc σ0 Il reste seulement les frequences reelles: jω. 37

38 C est quoi l idee de base? Si on veut analyser le comportement complet, on considere sσ+jω Signal en VERT Si on ne veut voir le signal QUE lorsqu il est stabilise, on peut mettre sjω Signal en ROUGE En regime permanent, les sont pareils -0.5 Passons aux mathematiques

39 Passons aux mathematiques Pour l analyse, mon input est un sinus INPUT ( s) s Aω + ω in in En regime sinusoidal, les frequences sont reelles sjω INPUT( jω) ω A ω Ca pourrait etre un nombre complexe Si on le voulait, on pourrait l exprimer en forme polaire in + ω in INPUT ( jω) INPUT ( jω) INPUT ( jω) On pourrait faire la meme chose avec le systeme 39

40 Passons aux mathematiques Mon systeme de tantot avait T(s) de.. T ( s) ( s + a)( s + b)...( s + c) On fait l analyse en regime sinusoidal sjω T ( jω) C est un nombre complexe On pourrait l exprimer en forme polaire K K ( jω + a)( jω + b)...( jω + c) T ( jω) T ( jω) T ( jω) 40

41 Passons aux mathematiques On sait que OUTPUT ( s) T ( s) INPUT( s) En regime sinusoidal etabli, on aurait OUTPUT ( jω) T ( jω) INPUT ( jω) Output est une multiplication de nombres complexes : Amplitudes se multiplient OUTPUT ( jω) T ( jω) INPUT ( jω) Phases s additionnent OUTPUT ( jω) T ( jω) + INPUT ( jω) Rappel: frequence en entrée frequence en sortie 4

42 Passons aux mathematiques Recette magique. T(s) T(jω): Remplacer s par jω. Exprimer T(jω) en polaire 3. Exprimer INPUT(jω) en polaire 4. Multiplier les amplitudes 5. Additionner les phases x + jy Amplitude + Phase : tan : x y y x 4

43 Exemple # Trouvez T(jω) et T(jω) du circuit: Etapes ) Fonction de transfert Laplace T(s) ) Regime sinusoidal etabli: s jω 3) Trouver amplitude et phase 43

44 Exemple # Diviseur de tension (avec impedance): T ( s) s 0.s + 0. s ( ) s ( ) 0. En regime sinusoidal etabli, on a sjω On n a que des frequences reelles T ( s) 0.s + ( ) s ( ) 0. s + T ( jω) j ω 0.+ On est encore en «cartesien»... Transformons ca en «polaire» 44

45 Exemple # En coordonnees polaires, on a l amplitude et la phase. L amplitude est T ( jω) jω0.+ ω 0. On peut la tracer: T ( jω) j ω Amplitude Frequence (ω) 45

46 Exemple # La phase est: T ( jω) 0 tan 0.ω tan 0. ω On peut la tracer: Phase Frequence 46

47 Exemple # Que veulent dire ces graphiques? Si l entree etait un sinus de 0 rad/s Le systeme aurait une amplitude a ~0.4 Le systeme aurait une phase de -0.8rads Amplitude 0 Phase Frequence Frequence 47

48 Exemple # Sachant que OUTPUT ( jω) T ( jω) INPUT( jω) En polaire, les amplitudes se multiplient et les phases s additionnent La sortie sera un sinus de la meme frequence que l entree (0rad/s): Qui est ~0.4 fois plus grand que l entree Et qui est decale et 0.8rads 0 Amplitude gain Phase dephasage

49 Exemple # Voyons ce qu il se passe si on appliquait des sinus de frequence differentes ω ω0 ω Reponse en frequences (amplitude): Prenons maintenant un signal compose de plusieurs sinus 49

50 Exemple # Dans le temps Dans le temps Basses frequences passent Hautes frequences sont attenuees En frequence 0.4 En frequence Circuit passe bas Remarquez le ratio des grandeurs

51 Exemple # (seul) Trouvez:. Fonction de transfert sinusoidale. Gain (amplitude) vs frequence 3. Trouvez les amplitudes pour ω, 0 et 00rad/s 4. Dephasage vs frequence V IN V OUT 0.F Ω 5

52 Exemple # (seul) On se rappelle des etapes: Trouver la fonction de transfert en s Substituer s par jω Trouver amplitude/phase du nombre complexe On trouve la fonction de transfert C est un diviseur de tension avec impedances T ( s) R R + sc V IN C V OUT R 5

53 Exemple # (seul) C est un peu laid... on l arrange: T ( s) R R + sc R R sc + sc sc scr scr + En regime sinusoidal etabli, sjω Pas changement d amplitude, donc σ0 T ( jω) jωcr jωcr + Avec les valeurs T ( jω) j0.ω j0.ω + 53

54 Exemple # (seul) On trouve son amplitude T ( jω) j0.ω j0.ω + T ( jω) 0.ω 0.0ω En meme temps on va trouver la phase T ( jω) tan 0.ω 0 Retournons a l amplitude.. 90 tan On voulait la gain pour ω, 0 et ω 0.ω tan 54

55 Exemple # (seul) Avec l equation, c est une simple question de substituer les chiffres: 0.ω T ( jω) 0 0.0ω + jω 0. T ( ) T ( jω) T ( jω) A basse frequences, le gain est faible A haute frequences, le gain tend vers 55

56 Exemple # (seul) On trace la courbe de gain vs frequence Pouvez-vous relier ce graphique aux calculs precedents? (ω,0 et 00) Frequence ω ω0 ω

57 Exemple # (seul) Qu est-ce qui se passerait si on passait un signal compose? (pas juste un sinus) Chaque composante est traitee separement Allons voir le cas d une onde carree 57

58 Exemple # (seul) Dans le temps Dans le temps Basses frequences attenuees Hautes frequences passent x En frequence x x x 05 En frequence Circuit passe haut Remarquez le ratio des grandeurs

59 Exemple #3 (seul) Trouvez:. Fonction de transfert sinusoidale. Gain (amplitude) vs frequence 3. Dephasage vs frequence 59

60 Exemple #3 (seul) On va combiner L et C en parallele: + + s s s s Z 60 T(s): diviseur de tension entre Z et R: ) ( s s s s Z Z s T

61 Exemple #3 (seul) Fonction de transfert: ) ( s s s s Z Z s T ) ( + + s s s s T 6 Fonction de transfert sinusoidale: sjω Apres simplification + s ) ( + + ω ω ω ω j j j T ( ) ω ω ω ω j j j T + ) (

62 Exemple #3 (seul) T(jω) est un nombre complexe On peut trouver son amplitude: T ( jω) jω ( ω ) + j ω T ( jω) En developpant, on retrouve ceci: ω T ( jω) 4 ω ω + ω ( ω ) + ω 6

63 Exemple #3 (seul) Graphique de l amplitude vs frequence ω T ( jω) 4 ω ω

64 Exemple #3 (seul) Dephasage T ( jω) jω ( ω ) + jω T ( jω) 90 tan ω ω

65 Exemple #4 Considerez le circuit suivant: Si l entrée etait cos(0000t+π/4), quelle serait la sortie? 65

66 Exemple #4 La question est differente, mais pas plus difficile On se rappelle des etapes: On trouve la fonction de transfert en s On met sjω pour le regime permanent en sinus On calcule le gain (amplitude) On calcule le dephasage (phase ) On multiplie les amplitudes On additionne les phases 66

67 Exemple #4 On utilise un diviseur de tension: T ( s) s En regime sinusoidal etabli, sjω: C est un nombre complexe. On trouve Son amplitude Sa phase 0 T ( jω) 0 + jω

68 Exemple #4 L amplitude c est: T ( jω) ω 0.00 On connait l amplitude pour n importe quelle frequence Ici, on s interesse a ω T ( j0000) Un sinus de 0000rad/s qui entre ressortira 0.7 fois plus gros 68

69 Exemple #4 La phase est: T ( jω) tan 0 0 tan ω On s interesse a ω0000 T ( jω) 0 tan 0 0 π 4 Un sinus de 0000rad/s qui entre ressortira decale de π/4 rads 69

70 Exemple #4 Sortie vout ( t).4 cos(0000t ) cos(0000t+π/4) Cos(0000t) x

71 Exemple #5 (Seul) Quel est le signal a la sortie si l entrée etait sin(5t) On vient tout juste de calculer ceci: T ( jω) jω ( ω ) + jω 7

72 Exemple #5 (Seul) Amplitude: Phase: ω T ( jω) 4 ω ω + Avec ω5, amplitude0.04 Avec ω5 T ( jω) 90 tan T ( jω) 90 tan ω [ ] ω ( ) 78 Partie reelle negative 7

73 Exemple #5 (Seul) On trace la reponse a la sortie: sin(5t) sin(5t-78 )