Sixième, Collège Saint-Exupéry

Transcription

1 Chapitre 2 : Introduction à la géométrie Sixième, Collège Saint-Exupéry Ce cours est plus détaillé que la leçon dictée aux élèves. Les figures doivent être reproduites dans le cahier de cours. Pour alléger le cahier cours, il est inutile de recopier les paragraphes Consignes, Remarque et Justification, qui sont toutefois expliqués à l oral. Les textes encadrés doivent être appris par coeur. 1. Introduction à la géométrie 1.1. La géométrie Définition 1. La géométrie est l étude de la forme des objets et de leurs propriétés. Justification. En simplifiant notre vision du monde, la géométrie nous permet de mieux le comprendre. ujourd hui, la conception 3D nous permet de concevoir des objets usuels : crayons, chaises, tables, portes, maisons, ordinateurs, etc... Même les cartes de France sont conçues à l aide d outils géométriques. Exercice. Citer des activités ou des métiers qui font appel à la géométrie La figure Définition 2. La figure est un objet stylisé, qui n a ni poids ni épaisseur. c 1/6

2 Justification. Pour étudier un objet de la vie courante, par exemple un ballon vu de haut, on trace un cercle sur une feuille de papier. Pour étudier le toit d une maison vu de côté, on trace un triangle. Exercice. Citer des objets capables de dessiner des figures sur papier Le point Définition 3. Le point définit un emplacement, qui n a ni épaisseur ni poids ni étendue. On nomme le point par une lettre majuscule. Par exemple. Justification. Pour indiquer à un(e) ami(e) l emplacement de sa maison, on peut prendre une carte et y placer un point. Le point n indique pas la taille de la maison, seulement son emplacement La ligne Définition 4. La ligne est le tracé d un point se déplaçant sur une feuille. Justification. Lorsque le point est légèrement imbibé d encre et qu il se déplace sur une feuille, il trace un ligne La ligne droite Définition 5. La ligne droite est le tracé tendu reliant deux points et. Justification. Une ficelle tendue entre deux points donne l idée de ligne droite. Propriété 6. Par deux points et, on ne peut faire passer qu une seule ligne droite. On nomme cette droite (). 2/6

3 Justification. Les points sont des lieux géométriques infinitésimaux, qui n ont pas d étendue. Si on fait passer deux droites par les points et, elles se superposent. Comme les droites sont des lieux géométriques infinitésimaux, il s agit d une seule et même figure. Propriété 7. Une ligne droite n a pas d extrémité. Justification. Lorsque le crayon se déplace, on imagine qu il ne s arrête jamais et que la feuille sur laquelle il écrit s agrandit au fur et à mesure. Propriété 8. Une ligne droite peut glisser sur elle-même. Justification. Parce que la ligne droite n a pas d extrémité Points alignés Définition 9. On dit que, et C sont alignés s ils appartiennent à une même droite. D C Remarque. Cette droite peut se nommer (), (C) ou (C). Il s agit bien d une seule et même droite, mais qu on peut nommer de trois manières différentes : (), (C) ou (C) ppartenance à une droite Notation 10. Soit un point situé sur la droite D. On note D, qui se lit appartient à D. Notation 11. SoitMunpoint situéendehorsdeladroite D. OnnoteM / D,qui selit M n appartient pas à D. M D 1.8. La ligne brisée, la ligne courbe Définition 12. Une ligne brisée est une suite de segments de droite, tels que deux segments consécutifs ne soient pas en ligne droite. D F C E 3/6

4 Définition 13. Une ligne courbe est une ligne qui ne forme aucun segment de droite. 2. Parties d une droite 2.1. Demi-droite Définition 14. Une demi-droite est l une des portions d une droite déterminée par un point. y x O Notation 15. On note [Ox) la demi-droite issue de O et d extrémité x Segment Définition 16. Le segment [] est la portion de droite comprise entre deux points et. 3. Le plan, l espace Dans cette section, seul le plan fait partie du programme. On abordera à l oral les notions d espace et de demi-plan L espace Définition 1. L espace est un lieu géométrique infini, qui s étend dans toutes les directions. Il s étend quand on le parcourt à ses limites. Propriété 17. En géométrie euclidienne, une figure ne peut pas sortir de l espace. Justification. Une fusée qui parcourt l espace et arrive aux confins de l univers est toujours dans l espace. Elle ne peut pas en sortir. 4/6

5 3.2. Le plan Définition 2. Le plan est la surface de l espace engendrée par trois points non-alignés. Intuitivement, le plan peut être visualisé comme une feuille d épaisseur nulle, qui s étend à l infini. Propriété 18. Le plan peut contenir une droite toute entière. Propriété 19. Le plan peut contenir n importe quelle figure géométrique plane. Propriété 20. Le plan peut se déplacer dans l espace sans modifier ce qu il contient. Justification. Dessinez une figure sur une feuille de papier. Retournez la feuille de papier et déplacez-là d une table à une autre. Les données du problèmes de géométrie n ont pas changé Le demi-plan Définition 3. Le demi-plan est la partie d un plan délimité par une doite. Propriété 21. Si onplieleplanàl emplacement dela droite, lesdeux demi-plans se rabattent l un sur l autre. Justification. Une ménagère (ou un homme à la maison) fait sécher un drap de taille infinie sur un fil infini en attendant que son mari (ou sa femme) rentre du travail. Le drap se replie sur lui-même et forme deux demi-plans La surface Définition 4. On appelle surface ce qui sépare le plan de l espace environnant. En se déplaçant, une ligne engendre une surface. Une surface n a pas d épaisseur. Justification. Dans un lac, la surface est la partie infime qui sépare l eau de l air. 5/6

6 4. Exercices Exercice. Placer un point dans le plan et tracer une droite C passant par : Exercice. Placer deux points et dans le plan et tracer une droite C passant par et. Placer un point M / C : 6/6