TD : Statistiques à 2 variables

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1 IUT TC Année 2015/2016 TD : Statistiques à 2 variables I Tableaux de contingence Exercice 1. On étudie conjointement la couleur des cheveux X et celle des sourcils Y d une certaine population. Ces deux variables ont été classées selon deux modalités : Clairs (blonds ou roux) et Foncé (bruns ou noirs). Cheveux Sourcils Clairs Foncés Clairs Foncés Déterminer les effectifs marginaux de X et Y. 2. Donner les distributions conditionnelles de X sachant Y et de Y sachant X. 3. Parmi les personnes ayant les cheveux clairs, quelle proportion a les sourcils clairs également? Exercice 2. En 2010, étudiants ont passé les épreuves du bac. Voici les résultats obtenus : X Y Réussite Echec Total Garçons 84,2% 5,8% 100% Filles 88,9% 3,1% 100% En faisant l hypothèse que le nombre de filles et de garçons présents aux épreuves était identique, donner le tableau de contingence de X et Y. Parmi les étudiants ayant eu le bac, quelle est la proportion de garçons? Exercice 3. Dans le cadre de l exercice 1, y a-t-il une dépendance entre la couleur des cheveux et celle des sourcils au risque 1%? Exercice 4. On a demandé à 100 parents leur avis sur les voyages scolaires, que l on a réparti suivant le niveau de scolarité de leurs enfants : scolarisé dans le primaire ou dans le secondaire. Pour Contre Sans opinion Total Primaire Secondaire Total Y a-t-il un lien entre l opinion des parents et le niveau de scolarité de leurs enfants? Exercice 5. Dans une usine, on a remplacé la commande manuelle de quelques presses par une commande automatique. On aimerait savoir si cette modification a une influence sur les accidents du travail. Pour ce faire, on a relevé pendant une période donnée le nombre d ouvriers qui ont eu ou non des accidents, ainsi que le type de presses sur lesquelles ils travaillaient : Manuelle Automatique Total Accidentés Non accidentés Total La modification du type de commande a-t-elle une influence sur le nombre des accidents?

2 Exercice 6. On a représenté ci-dessous les résultats d une étude sur un échantillon de 400 personnes. Obésité Hypertension Faible Moyenne Grande Oui Non Peut-on admettre qu il y a un lien entre obésité et hypertension au niveau de confiance 95%? II Régression linéaire Exercice 7. On se propose d étudier, dans cet exercice, l influence du prix de vente moyen d un paquet de cigarettes (en euros) sur le volume des ventes (en millions d unités). Année Prix moyen du paquet Volume de vente Représenter graphiquement ce nuage de points. 2. Calculer le coefficient de corrélation. Qu en pensez-vous? 3. Déterminer finalement les paramètres de régression. 4. Pour quel prix de vente moyen théorique le volume des ventes serait-il nul? Exercice 8. Voici les données du nombre d accidents de la route en France entre 2005 et 2012 : Année Accidents Calculer le nombre moyen d accidents par année durant cette période, ainsi que son écart-type. 2. Tracer ce nuage de points. 3. Peut-on considérer que l évolution du nombre d accidents est linéaire sur cette période de temps? 4. En extrapolant les données, en quelle année n y aurait-il plus d accidents? On donne à présent le nombre de radars fixes installés au cours de cette même période de temps : Année Radars fixes Semble-t-il y avoir une relation linéaire entre le nombre d accidents et le nombre de radars? 6. Déterminer la droite des moindres carrés exprimant le nombre d accidents en fonction du nombre de radars. 7. En extrapolant les données, combien faudrait-il de radars pour qu il n y ait plus d accidents? Exercice 9. On a représenté dans le tableau ci-dessous le bénéfice d une entreprise (en milliers d euros) en fonction du nombre de produits fabriqués (en milliers). Bénéfice Produits Calculer le coefficient de corrélation linéaire de ces deux variables statistiques. Qu en pensezvous? 2. Tracer ce nuage de points, puis proposer une autre modélisation. 3. En extrapolant votre modèle, déterminer le bénéfice théorique maximal que peut espérer faire cette entreprise, ainsi que le nombre de produits à fabriquer.

3 III Séries chronologiques Exemple 1. Voici un tableau des ventes (en milliers) d une entreprise en fonction des saisons. On adoptera un modèle multiplicatif. Saison Temps : T Ventes : S Printemps Eté Automne Hiver 4 50 Printemps Eté Automne Hiver 8 60 Printemps Eté Automne Hiver Tendance : Y Rapport à la tendance 168,77 0,71 170,35 171,92 1,86 0,29 175,07 0,74 176,64 178,21 1,85 179,78 0,33 181,36 0,77 182,93 1,90 186,08 0,38 La tendance est donnée par la droite d équation : Les coefficients saisonniers valent : Printemps : C 1 = 0,71+0,74+0,77 3 = 0, 74 Eté : C 2 = Automne : C 3 = Hiver : C 4 =

4 Exercice 10. Voici le nombre d interventions d un poste de secours en montagne en fonction de la saison. Saison Trimestre : T Interventions : S Printemps 1 20 Eté 2 30 Automne 3 18 Hiver 4 40 Printemps 5 21 Eté 6 32 Automne 7 20 Hiver 8 43 Tracer ce nuage de point. En adoptant un modèle multiplicatif, représenter sur ce même dessin la courbe corrigée des variations saisonnières. A combien peut-on prévoir le nombre d interventions lors de l été prochain? Exercice 11. Voici l évolution du Chiffre d Affaires d une entreprise en milliers d euros : Trimestre Trimestre Trimestre Trimestre Tracer la droite de tendance sur ce graphique. En adoptant un modèle additif, déterminer une estimation du CA pour les 1er et 2ème trimestres Exercice 12. Voici l évolution des mariages en France depuis 2 ans : Janvier Mars Mai Juillet Septembre Novembre En adoptant un modèle additif, déterminer une estimation du nombre de mariages qui seront célébrés en mai puis novembre 2016.

5 IV Probabilités Exercice 13. Une classe de 20 élèves, 16 filles et 4 garçons, doit élire un comité de trois délégués. 1. Combien y a-t-il de comités possibles? 2. Combien y a-t-il de comités possibles ne contenant qu un garçon? On précise à présent que ce comité doit être constitué d un président, d un vice-président et d un secrétaire. 3. Combien y a-t-il de comités possibles? 4. Combien y a-t-il de comités possibles contenant au-moins un garçon? Exercice Combien de menus différents peut-on composer si on a le choix entre 3 entrées, 2 plats et 4 desserts? 2. Combien peut-on former de numéros de téléphone sachant que le premier chiffre est forcément 0? 3. Un tournoi sportif compte 8 équipes engagées. Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une seule fois. Combien doit-on organiser de matchs? Exercice 15. On tire, de façon exhaustive, deux cartes d un jeu de 52 cartes. Calculer la probabilité que l une au-moins soit un as. Que devient cette probabilité si l on effectue un tirage avec remise? Exercice 16. Dans un tiroir se trouvent en désordre 10 chaussettes blanches et 10 chaussettes noires. Mal réveillé(e), vous vous habillez un matin dans l obscurité en choisissant au hasard 2 chaussettes dans ce tiroir. Quelle est la probabilité que les deux chaussettes que vous avez mises soient assorties? Combien faudrait-il en prendre pour être sûr d avoir une paire assortie? Exercice 17. On estime à 13% le nombre de gauchers en France. Parmi les gauchers, 60% sont des hommes. On choisit une personne au hasard en France. i) Quelle est la probabilité qu il s agisse d un homme gaucher? ii) Quelle est la probabilité qu il s agisse d une femme gauchère? On considère à présent qu il y a environ autant d hommes que de femmes en France. i) On tire un homme au hasard : quelle est la probabilité qu il soit gaucher? ii) On tire une personne au hasard : quelle est la probabilité qu il s agisse d un femme droitière? Exercice 18. Alice et Bruno sont les seuls candidats à un examen. La probabilité de réussite d Alice est de 90%, et celle de Bruno de 60%. On suppose leurs réussites sont indépendantes. Calculer : 1. la probabilité que les deux échouent à l examen. 2. la probabilité que les deux réussissent l examen. 3. la probabilité seul un des deux réussisse l examen. 4. la probabilité qu Alice ait réussi, sachant que seul un des deux a réussi. 5. la probabilité seul un des deux ait réussi, sachant que Alice a réussi.

6 Soit χ 2 ν χ 2 (ν). La table donne la valeur de x telle que P(χ 2 ν x) = α (c est à-dire l aire de la surface grisée de la figure) pour différentes valeurs de α. α ν 0, 995 0, 990 0, 975 0, 950 0, 900 0, 100 0, 050 0, 025 0, 010 0, , 000 0, 000 0, 001 0, 004 0, 016 2, 706 3, 841 5, 024 6, 635 7, , 010 0, 020 0, 051 0, 103 0, 211 4, 605 5, 991 7, 378 9, , , 072 0, 115 0, 216 0, 352 0, 584 6, 251 7, 815 9, , , , 207 0, 297 0, 484 0, 711 1, 064 7, 779 9, , , , , 412 0, 554 0, 831 1, 145 1, 610 9, , , , , , 676 0, 872 1, 237 1, 635 2, , , , , , , 989 1, 239 1, 690 2, 167 2, , , , , , , 344 1, 646 2, 180 2, 733 3, , , , , , , 735 2, 088 2, 700 3, 325 4, , , , , , , 156 2, 558 3, 247 3, 940 4, , , , , , , 603 3, 053 3, 816 4, 575 5, , , , , , , 074 3, 571 4, 404 5, 226 6, , , , , , , 565 4, 107 5, 009 5, 892 7, , , , , , , 075 4, 660 5, 629 6, 571 7, , , , , , , 601 5, 229 6, 262 7, 261 8, , , , , , , 142 5, 812 6, 908 7, 962 9, , , , , , , 697 6, 408 7, 564 8, , , , , , , , 265 7, 015 8, 231 9, , , , , , , , 844 7, 633 8, , , , , , , , , 434 8, 260 9, , , , , , , , , 034 8, , , , , , , , , , 643 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 169