T.P. 3 Partie 1 Étude de la dispersion

Transcription

1 T.P. 3 Partie Étude de la dispersion Connaissances préalables : Buts spécifiques : Outils nécessaires : Consignes : otions de moyenne, TP, TP Comprendre les méthodes d évaluation de la dispersion, essentiellement la variance et l écart type. Pouvoir utiliser et comprendre la notation statistique, principalement le signe sigma et ses propriétés. Papier, crayon, éventuellement une machine à calculer. Dites-vous que vous adorez les statistiques?! Et pour rappel : les exercices supplémentaires ne sont pas facultatifs.. Voici deux séries statistiques rangées par ordre croissant, avec les i représentant les points obtenus par des étudiants à un examen noté sur 0. Série A : i Série B : i i i a) Calculez la moyenne de chacune de ces séries. Indiquez la formule utilisée. Réponses : b) Quelle est la place de l étudiant qui a 4/0 dans le classement par ordre décroissant? Réponses : Place dans la série A = Place dans la série B = c) Que valent les différences entre la note minimale et la note maximale de chacune des séries? Cette mesure s appelle l étendue. Indiquez la formule utilisée pour les données rangées par ordre croissant. Sachez pour ce faire que de manière générale : = minimum de et que = maximum de. Réponses : Etendue de la série A = Etendue de la série B = TP 3 006/007 /30

2 d) Admettons que l on ait une série de cent suets dont le moins bon a /0 et le meilleur a 9/0 mais que les 98 autres aient des résultats variant entre 8 et 4/0. Pensez-vous que l étendue vous donne une bonne idée de la dispersion des résultats? Un autre moyen d envisager la dispersion est de calculer les écarts de chaque note par rapport à la moyenne de la série et de prendre la moyenne de ces écarts. e) Calculez les écarts à la moyenne pour chacune des données de la série A et notez-les dans la colonne appropriée, puis calculez la moyenne de ces écarts et indiquez la formule utilisée. i i (Série A) Écarts à la moyenne i Moyenne des écarts à la moyenne : Ce résultat sera touours le même quelle que soit la série. C est parce que les différences positives sont annulées par les différences négatives. Dès lors, on ne peut pas prendre conscience des différences qui existent réellement par rapport à la moyenne. Un moyen de contourner ce problème est d élever toutes les différences au carré. Ainsi, tous les termes deviendront positifs. ous prendrons ensuite la moyenne du carré des écarts à la moyenne que nous appellerons variance ( S ). TP 3 006/007 /30

3 f) Calculez donc le carré des écarts à la pour les deux séries, puis la de ces écarts au carré. i i (Série A) Carrés des écarts à la moyenne ( i ) (Série A) Moyenne des carrés des écarts à la moyenne pour la série A (Variance de la série A) : i i (Série B) Carrés des écarts à la moyenne ( i ) (Série B) Moyenne des carrés des écarts à la moyenne pour la série B (Variance de la série B) : g) Dans quelle série cette valeur est-elle la plus basse? Cela est-il en accord avec la dispersion que vous constatez en comparant les séries? Les unités de la variance sont élevées au carré. Si on avait une moyenne en centimètres, on aurait des cm au carré, si on avait des kg, on aurait des kg au carré, si on avait des degrés, on aurait des degrés au carré TP 3 006/007 3/30

4 Donc, pour revenir à des valeurs du même ordre d unité que la moyenne de départ, on peut prendre la racine carrée de la moyenne des écarts à la moyenne, c est-à-dire la racine carré de la variance, et S. on obtient ainsi ce que l on appelle l écart type ( ) h) Calculez l écart type pour les deux séries. otez-en la formule. Conclusion : La dispersion d une série statistique se calcule en prenant la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne. Plutôt que de donner ce terme à rallonge, on l appellera la VARIACE (calculée au point f), elle est notée «S». Pour retourner dans des unités semblables à celles des données de base on prend la racine carrée de cette variance, c est ce que, plutôt que l appeler «racine carrée des carrés des écarts par rapport à la moyenne», on dénommera l ÉCART TYPE (calculé au point h), il est noté «S». Ces deux valeurs sont les indices de dispersion les plus utilisés en statistique. Vous avez probablement pu réaliser les différents calculs sans trop de problème. Cependant il n y avait que 6 suets. Certaines études statistiques en comptent plusieurs centaines voire plusieurs milliers. Les calculs sont exactement identiques à ceux que vous avez réalisés tant pour la moyenne que pour les indices de dispersion. Cependant, il existe une notation simple qui permet d écrire en quelques signes un calcul portant sur des milliers de suets. Vous devez IMPERATIVEMET être parfaitement familiarisés avec cette notation et en connaître les propriétés. Voici les trois formules (dont, pour rappel, la formule de la moyenne) pour une série statistique : Moyenne : = i i= S Variance : = ( i ) i= Écart type : S = ( i - ) = i= S Pour une distribution statistique non groupée des fréquences absolues, vous devrez appliquer les formules suivantes : Moyenne : J = n = S Variance : J = n ( = ) Écart type : J S = n ( ) = = S Vous appliquerez ces formules en résolvant les exercices supplémentaires correspondants. TP 3 006/007 4/30

5 T.P. 3 Partie Moyenne, variance et écart-type : exercice récapitulatif Pour que la variance x condition suivante soit remplie. S d'une série statistique simple {,... }, soit nulle, il suffit que la Condition Vrai Faux = 0 Toutes les valeurs de la série sont égales entre elles 3 La série statistique est symétrique par rapport à la moyenne 4 L'écart type est nul TP 3 006/007 5/30

6 T.P. 3 Quantiles : rappels théoriques Rappels théoriques Quantiles (ou fractiles) : Déterminer des quantiles signifie diviser la distribution en un certain nombre de portions qui contiennent les mêmes proportions (les mêmes pourcentages) des observations. Pour déterminer un quantile, quel qu il soit, il faut touours d abord ranger les données par ordre croissant des valeurs de la variable. Médiane : la médiane est un quantile qui est la valeur de la variable qui partage la distribution des données en deux parties contenant chacune le même nombre d observations. On détermine la position médiane ou rang médian soit en regardant les fréquences relatives cumulées, soit en utilisant la formule (+)/. La médiane sera la valeur de la variable correspondant à ce rang. Quartiles : Les quartiles partagent la distribution des données en quatre parties égales qui contiennent chacune environ 5% des observations. On les note Q, Q( avec Q = médiane) et Q3 qu on appelle respectivement premier, deuxième et troisième quartile. On peut aussi déterminer d autres quantiles comme les percentiles (ou centiles), les déciles, les tiertiles,... Rang : le rang est la place qu occupe une valeur (le numéro d ordre) dans une série statistique une fois que les données ont été triées par ordre croissant. Dans une série statistique, le rang correspond aux valeurs de l indice «i» que nous utilisons comme indice de sommation. Écart interquartile : c est la différence entre le troisième quartile et le premier : Q3 Q. TP 3 006/007 6/30

7 T.P. 3 partie 3 Calcul des quantile Connaissances préalables : otion de moyenne, utilisation du signe Σ. Buts spécifiques : Acquérir la notion de quantiles. Introduction à la notion de symétrie-asymétrie (lien entre médiane et moyenne). Outils nécessaires : Papier, crayon. Les TP précédents. Consignes : Les exercices sont extrêmement simples et ont pour but de vous faire comprendre une logique qui se complexifiera dans les TP suivants. Arrondissez à deux décimales. Voici les données d un test de QI de trois enfants de 8 ans : 05, 5, 95.. Représentez-les graphiquement. Graphe :. Ordonnez ces données par ordre croissant et déterminez la médiane intuitivement, puis utilisez la formule pour la trouver. 3. Calculez la moyenne de cette série statistique. otez la formule utilisée et sa décomposition. Comparez la moyenne et la médiane. TP 3 006/007 7/30

8 4. Transformez cette série de manière à ce que la médiane ne change pas, mais soit plus petite que la moyenne, sans aouter de données. Vérifiez votre réponse en calculant la moyenne. Exemple de réponse : 5. Représentez cette série graphiquement. Graphe : 6. Aoutons à la série de base, 4 données à nouveau mais uniquement d un seul côté (à droite ou à gauche). Déterminez la médiane et commentez le résultat en la comparant avec la médiane de la série de base. Exemple de réponse : TP 3 006/007 8/30

9 Dans tous les exemples précédents, le nombre de valeurs de la série était impair. 7. Calculez le rang médian puis la médiane pour la série suivante dont le nombre de valeurs est pair. Que pouvez-vous dire de la symétrie de cette série? Représentez ces données graphiquement. Graphe : 9. Soit la série suivante : Calculez la moyenne et la médiane TP 3 006/007 9/30

10 0. Commentez les valeurs de la moyenne et de la médiane. La valeur de la médiane est assez facile à déterminer sur la seule base des rangs, mais pour les autres quantiles et pour des séries ou des distributions plus grandes, il est beaucoup plus simple de se baser sur les distributions de fréquences relatives. Ci-dessous les données relatives à la pratique du sport pour 8 étudiants en psycho Les données sont présentées sous la forme d une auto-évaluation à quatre niveaux sur la question «Êtes-vous sportif?». Les réponses ont été recodées de la manière suivante : = pas du tout = un peu 3 = beaucoup 4 = intensif Catégorie de la variable sport Fréquences absolues Fréquences absolues cumulées Fréquences relatives Fréquences relatives cumulées B. : La somme des fréquences relatives devrait être de. Elle est ici de 0,99 ; ceci est dû aux erreurs d arrondis.. Sur quelle type d échelle de mesure nous situons-nous? 3. Complétez les cellules vides du tableau ci-dessus. TP 3 006/007 0/30

11 4. Pour quelle valeur de la variable sport, ordonnée de manière croissante, les effectifs cumulés dépassent-ils la moitié de l effectif total? Justifiez de deux manières votre réponse. 5. Déterminez les quantiles /4 (premier quartile), / (deuxième quartile ou médiane) et 3/4 (troisième quartile). Premier quartile : Deuxième quartile : Troisième quartile : 6. La deuxième valeur de la variable sport déterminée au point précédent est le quantile ½, appelé aussi Q ou médiane. Que signifie ce paramètre? TP 3 006/007 /30

12 7. Tracez un diagramme en barres des fréquences absolues cumulées et indiquez graphiquement où se situe la médiane. Graphique : Dans le cas particulier où la proportion correspondant au quantile est exactement atteinte pour une valeur de la variable, le quantile est défini par convention comme la moyenne entre cette valeur et la valeur suivante. Déterminons par exemple le seizième percentile. La fréquence relative cumulée 0.6 est tout uste atteinte pour la catégorie. On fait donc la moyenne entre cette valeur et la suivante pour trouver le seizième percentile. On a donc comme seizième percentile + =,5 et notre seizième percentile correspondra donc à la valeur de la variable,5 (même si celle-ci n existe pas dans nos données)..b. : Dans cet exemple, le rang est confondu avec les valeurs de la variable, mais c est bien la valeur de la variable qui donne le quantile et non son rang. 8. Sur base de cette règle, déterminez les seizième, septante et unième, et nonante-cinquième percentiles. Seizième percentile Septante et unième percentile onante-cinquième percentile TP 3 006/007 /30

13 T.P. 3 partie 4 Quantiles et boîte à moustaches modifiée et non modifiée Ci-dessous les données relatives au poids de 8 étudiants de psycho de l ULB. Fr. abs. Fr. rel. Fr. abs. Fr. rel. Poids Fr. abs. Fr. rel. Poids Fr. abs. Fr. rel. Cum. Cum. Cum. Cum. 40 0,006 0, ,0 0, ,006 0, ,006 0, ,0 0, ,0 0, ,07 0, ,08 0, ,006 0, ,08 0, ,07 0, ,0 0, ,006 0, ,006 0, ,0 0, ,07 0, ,0 0, ,0 0, ,07 0, ,0 0, ,050 0, ,039 0, ,033 0, ,006 0, ,06 0, ,0 0, ,0 0, ,039 0, ,083 0, ,07 0, ,006 0, ,088 0, ,006 0, ,0 0, ,006 0, ,039 0, ,006 0, ,033 0, ,006 0, ,033 0, ,006,000. Déterminez à partir du tableau ci-dessus les quantiles suivants, ainsi que l écart interquartile : Premier quartile Médiane Troisième quartile Écart interquartile Pour représenter graphiquement les principaux quantiles, on utilise ce qu on appelle une boîte à moustache. La version non modifiée se présente sous la forme générale suivante : min Q Méd. Q 3 Max TP 3 006/007 3/30

14 . Tracez la boîte à moustaches non modifiée à partir du tableau ci-dessus. Boîte à moustaches non modifiée : Quand les moustaches sont trop longues, cela peut refléter l existence de valeurs extrêmes. Pour les mettre en évidence, on va choisir une limite à partir de laquelle on considèrera qu un valeur est extrême. Ces valeurs sont appelées pivot droit et pivot gauche et indiquent le point à partir duquel on s éloigne respectivement de Q vers la gauche et de Q 3 vers la droite, de plus d une fois et demi la largeur de la boîte. Pour les calculer, on utilise la formule suivante : p g = Q, ( Q Q ) = Q +, ( Q Q ) 5 3 p d Calculez les valeurs pivots correspondant à nos données : Réponses : Une fois qu on a les valeurs pivots, on cherche les valeurs adacentes qui seront les limites extérieures de nos moustaches. On les trouve en regardant le tableau de données de la manière suivante : a g = la première valeur rencontrée telle que a g pg. a d = la première valeur rencontrée telle que ad pd. 4. Déterminez les valeurs adacentes pour nos données : Réponses : TP 3 006/007 4/30

15 5. Tracez la boîte à moustaches modifiée après avoir déterminé les valeurs adacentes. Boîte à moustaches modifiée : 6. Commentez ces graphiques. Commentaires : TP 3 006/007 5/30

16 T.P. 3 Exercice supplémentaire Sommes simples Introduction au calcul de la variance Connaissances préalables : Règles fondamentales d utilisation du signe SOMME ; Buts spécifiques : Préparation au calcul de la variance. Outils nécessaires : Papier/Crayon. Consigne : Utilisez la forme développée et calculer ensuite pour les valeurs données. Considérons les couples de valeurs ci-après : = 3, Y = = 8, Y = =, Y = 4 = 5, Y4 = 5 = 5, Y5 = Evaluez les sommes suivantes : FORME SIGMA FORME DEVELOPPEE RES. Que vient-on de calculer? 5 5 i- ( i - 5) = 5 ( Y i - 4) = 5 i- TP 3 006/007 6/30

17 T.P. 3 Exercice supplémentaire Calcul de la moyenne, de la variance et de l écart type d une série statistique Revoici les formules de calcul de la moyenne, de la variance et de l écart type d une série statistique. Formule de la moyenne : = i i= Formule de la variance : S = ( - ) i= i Formule de l écart type : S = S Voici le QI de dix enfants : 05, 00, 99, 38, 89, 04, 03, 98,0, 0.. Calculez le QI moyen de ces enfants. Indiquez la formule utilisée et le détail de votre calcul.. Calculez la variance du QI de ces enfants. Indiquez la formule utilisée et le détail de votre calcul. 3. Calculez l écart type du QI de ces enfants. Indiquez la formule utilisée. TP 3 006/007 7/30

18 T.P. 3 Exercice supplémentaire 3 Calcul de la moyenne, de la variance et de l écart type d une distribution statistique Revoici les formules de calcul de la moyenne, de la variance et de l écart type d une distribution statistique non groupée des fréquences absolues : Formule de la moyenne : Formule de l écart type : = J = S = S n J Formule de la variance : S = n ( ) = Voici la distribution statistique correspondant à l âge d étudiants en BA de psycho. Valeurs de la variable Fréquences absolues n =8. Calculez l âge moyen des étudiants de notre échantillon. Indiquez la formule utilisée et le détail de votre calcul. TP 3 006/007 8/30

19 . Calculez manuellement la variance des âges de nos étudiants. Indiquez la formule utilisée et le détail de votre calcul. Arrondissez à deux décimales. 3. Calculez l écart type de la taille des étudiants du premier groupe. Indiquez la formule utilisée. TP 3 006/007 9/30

20 T.P. 3 Exercice supplémentaire 4 Moyenne et variance : Effet de l aout et de la suppression de données Attention : Répondez aux différentes questions posées sans utiliser votre calculatrice. Faites plutôt appel à votre bon sens. Les auteurs d'un manuel de statistique ont représenté les situations suivantes, comme si elles étaient placées sur une balance. La moyenne se trouve au point d équilibre de la balance et en constitue donc le centre de gravité. C est d ailleurs pour cela que la somme des écarts par rapport à la moyenne est touours nulle. SITUATIO IITIALE Scores : ; 3; 3; 3; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 7; 7; 0 Moyenne des scores : 5 SITUATIO # On considère la situation nouvelle # obtenue en supprimant le score 0.. Représentez la balance et son inclinaison après cette modification. Dessin : TP 3 006/007 0/30

21 . Indiquez par une croix l'effet de cette modification sur la moyenne. La moyenne se déplace vers la gauche (elle diminue) La moyenne reste inchangée La moyenne se déplace vers la droite (elle augmente) 3. Indiquez par une croix l'effet de cette modification sur la variance. La variance des scores augmente La variance des scores ne change pas La variance des scores diminue 4. Où faudrait-il mettre la base de la balance pour rétablir son équilibre? Faites les calculs nécessaires pour la rééquilibrer. Dessin : SITUATIO # Partant de la situation initiale, on considère maintenant une situation nouvelle # obtenue en supprimant le score. 5. Représentez la balance et son inclinaison après cette modification. Dessin : TP 3 006/007 /30

22 6. Indiquez par une croix l'effet de cette modification sur la moyenne. La moyenne se déplace vers la gauche (elle diminue) La moyenne reste inchangée La moyenne se déplace vers la droite (elle augmente) 7. Indiquez par une croix l'effet de cette modification sur la variance. La variance des scores augmente La variance des scores ne change pas La variance des scores diminue 8. Où faudrait-il mettre la base de la balance pour rétablir son équilibre? Faites les calculs nécessaires pour la rééquilibrer. Dessin : SITUATIO # 3 On considère enfin une troisième modification de la situation initiale obtenue en supprimant cinq des six scores 5. On a donc les figures suivantes. Scores : ; 3; 3; 3; 5; 7; 7; 0 9. Représentez la balance et son inclinaison après cette modification. Dessin : TP 3 006/007 /30

23 0. Indiquez par une croix l'effet de cette modification sur la moyenne. La moyenne se déplace vers la gauche (elle diminue) La moyenne reste inchangée La moyenne se déplace vers la droite (elle augmente). Indiquez par une croix l'effet de cette modification sur la variance. La variance des scores augmente La variance des scores ne change pas La variance des scores diminue. Le cas échéant, où faudrait-il mettre la base de la balance pour rétablir son équilibre? Faites les calculs nécessaires pour la rééquilibrer. Dessin : TP 3 006/007 3/30

24 T.P. 3 Exercice supplémentaire 5 Moyenne, variance et écart type Pour chacune des propositions suivantes, mettez une croix dans la case correspondant à la bonne réponse. Proposition Touours vraie Parfois vraie Jamais vraie La moyenne et l'écart type sont mesurés dans les mêmes unités. La moyenne d'une distribution est égale à une valeur observée de cette distribution. 3 La moyenne d'une distribution est comprise entre la plus grande et la plus petite valeur observée. TP 3 006/007 4/30

25 T.P. 3 - Exercice supplémentaire 6 Effet d une transformation linéaire sur la moyenne, sur l écart type et sur la variance Chaque année, le rapport de la Banque ationale de Belgique publie un certain nombre de statistiques. Parmi celles-ci, vous vous intéressez, au niveau de l épargne des ménages (variable Y) par rapport aux revenus de ceux-ci (variable ). Les données se rapportent à une année antérieure à 00. Afin de pourvoir comparer ces résultats avec ceux de chercheurs étrangers, vous décidez de transformer toutes les valeurs dans une monnaie commune ( euro = 40 francs belges). Vous allez donc opérer les changements de variable : Y ' = et Y' = On demande de calculer les nouvelles valeurs des statistiques après ce changement d unités de compte (la première ligne du tableau est un exemple de réponse correcte). ous avons déterminé que : c = pour la variable et 40 d = pour la variable Y. 40 Valeurs pour analyse en milliers de FB 0 = 94 Y = 9,50 S = S = Y 9.5 Valeurs pour analyse en milliers d euros Justification (formule théorique utilisée) TP 3 006/007 5/30

26 T.P. 3 Exercice supplémentaire 7 Formules de la moyenne et de la variance d une distribution basées sur les fréquences relatives La moyenne, la variance et l écart type d une distribution statistique peuvent aussi être calculées sur base des fréquences relatives f : Formule de la moyenne : = J = n = J = n = J = n = J = f Formule de la variance : J S = n J J J n ( ) = n ( ) = ( ) = f ( ) = = = = Formule de l écart type : S = S Voici une distribution statistique correspondant à l âge d étudiants de ème BA psycho. Valeurs de la variable : Fréquences absolues : n Fréquences relatives : f 8 0, , , , , , , , , ,0 9 0,0 3 0, , , ,006 = 8 Total = TP 3 006/007 6/30

27 . Calculez manuellement l âge moyen des étudiants de notre échantillon sur base des formules utilisant les fréquences relatives. Indiquez la formule utilisée et le détail de votre calcul. Arrondissez à trois décimales.. Calculez manuellement la variance des âges de nos étudiants. Indiquez la formule utilisée et le détail de votre calcul. Arrondissez à deux décimales. 3. Calculez l écart type de l âge de nos étudiants. Indiquez la formule utilisée. TP 3 006/007 7/30

28 T.P. 3 Exercice supplémentaire 8 Quantiles et boîte à moustaches non modifiée Connaissances préalables : Fréquences absolues, relatives, cumulées. Buts spécifiques : Pouvoir identifier un quantile au moyen d un tableau statistique. Outils nécessaires : Machine à calculer (éventuellement), papier, crayon. Consignes : Résolvez cet exercice en le replaçant dans le contexte de la partie 3 du TP 3. Reprenons la série de scores de QI suivante, à partir de laquelle nous avons travaillé au TP : 05, 5, 95. Transformez cette série de manière à ce que la médiane ne change pas, mais soit plus grande que la moyenne, sans aouter de données. Vérifiez votre réponse en calculant la moyenne. Exemple de réponse :. Aoutez 6 données à la série de base de telle sorte que 05 en reste la médiane. Utilisez des données proches de celles déà existantes. Calculez la moyenne de votre nouvelle série. Exemple de réponse : TP 3 006/007 8/30

29 3. Aoutez 6 données à la série de base de telle sorte que 05 en reste la médiane. Utilisez des données éloignées de celles déà existantes à droite et proches à gauche. Comparez la médiane et la moyenne. Cette série est-elle symétrique ou asymétrique? Exemple de réponse : 4. Commentez la valeur du septante et unième percentile que vous avez calculé au point 3 de la partie 3 du TP 3. Commentaire : 5. Dessinez la boîte à moustaches non modifiée pour la variable sport de la partie 3 du TP 3. Commentez-la. Boîte à moustaches non modifiée : TP 3 006/007 9/30

30 T.P. 3 Exercice supplémentaire 9 Synthèse. Indiquez par OUI ou O si les statistiques suivantes ont un sens en fonction du type de variable Statistique Variable nominale Variable ordinale Variable de rapports Médiane Ecart interquartile Ecart type Mode Moyenne. Indiquez par OUI ou O si les statistiques suivantes sont de tendance centrale ou de dispersion Statistique Tendance centrale Dispersion Médiane Ecart interquartile Ecart type Moyenne TP 3 006/007 30/30