Chapitre 5. Comprendre SQL grâce à l Algèbre Relationnelle

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1 Chapitre 5 Comprendre SQL grâce à l Algèbre Relationnelle 1

2 Langage de requêtes pour les BDs relationnelles (1/2) Langage de requêtes : ils permettent de manipuler et de retrouver des données d une base de données Le modèle relationnel supporte des requêtes simples et expressives Les langages de requêtes pour les BDs relationnelles sont fondés sur des bases formelles solides (logique du premier ordre) 2

3 Langage de requêtes pour les BDs relationnelles (2/2) Langage de requêtes langage de programmation Un langage de requêtes n a pas pour but d être utilisé pour faire des traitements ou calculs complexes But : être facile d utilisation et offrir un accès efficace aux données 3

4 Langages de requêtes formels 2 langages de requêtes formels existent (fondement de SQL) L algèbre relationnelle : langage opérationnel, une requête s écrit comme une succession d opérations effectuées sur des relations Calcul relationnel : langage déclaratif, une requête s écrit comme la spécification du résultat attendu (sous forme logique) 4

5 Préliminaire 1 Une requête s applique à des instances de relations et le résultat d une requête est aussi une instance de relation Autrement dit : Une requête se pose sur des tables qui ont un contenu (potentiellement vide) et renvoie une table avec un contenu (potentiellement vide) R1 : table R2 : table Requête Q prenant en entrée R1 et R2 Résultat de Q = une table 5

6 Préliminaire 2 Le schéma du résultat d une requête sera toujours le même, quelque soit le contenu des relations La table résultat d une requête mettra toujours en jeu les mêmes attributs (quelque soit le contenu!) 6

7 Préliminaire 3 Les schémas des relations prises en entrées par une requête sont fixés Une requête s exprime grâce à des noms d attributs et de tables Mais une requête ne doit jamais dépendre des instances des relations Aucune connaissance du contenu des tables ne doit être nécessaire pour bien comprendre la requête 7

8 Algèbre relationnelle Opérateurs de base Sélection ( ), Projection ( ), Produit cartésien (X), Différence (\ ou -) et Union (U) Autres opérateurs Intersection, jointure, division, renomage: très utiles aussi! Puisque chaque opérateur appliqué à une relation renvoie une relation, les opérateurs peuvent être imbriqués (clôture de l Algèbre relationnelle) 8

9 Projection : introduction Notation : A 1,,A p (R) avec r relation et A 1,,A p attributs de R Supprime les attributs qui sont différents des attributs de la liste de projection (A 1,,A p ) Le schéma du résultat contient exactement les champs de la liste de projection (A 1,,A p ) NB : L opérateur de projection élimine les redondances (ce n est pas le cas en SQL) 9

10 Projection : exemple Q1= NumClient, DateRes(Reservation) Reservation Q1 NumRes Classe DateRes NumClient NumClient DateRes /11/ /11/ /11/ /11/2007 NB : la projection est un opérateur qui n agit pas sur les lignes du résultat mais sur les colonnes (c est-àdire sur le schéma) 10

11 Projection : Définition formelle Input r une relation de schéma R X un ensemble d attributs tels que X R Output X(r)={t(X) / t r} Où t(x) est la restriction de t sur les attributs de X Ensemble des n-uplets de r restreints aux attributs de X Le schéma de X(r) est X 11

12 Sélection : introduction Sélection des n-uplets (lignes) qui satisfont la condition de sélection Le schéma du résultat est identique au schéma pris en entrée 12

13 Sélection : exemple ET Q2= (DateRes< Classe=2)(Reservation) Condition de sélection Réservation Q2 NumRes Classe DateRes NumClient NumRes Classe DateRes NumClient /11/ /11/ /11/ /11/

14 Sélection : Définition formelle Input r une relation de schéma R une condition de sélection (définie ci-après) Output (r)={t / t r et (t)} L ensemble des n-uplets de la relation r pour lesquels la condition est vraie Le schéma de (r) est R 14

15 Définition formelle de la condition Définition récursive Base : Soient 2 attributs A et B (non nécesairement différents), et a Dom(A) peut prendre les formes suivantes A =B, A < B, A=a, A < a (on utilisera aussi >,, et ) Si 1 et 2 sont deux conditions alors ( 1 ), 1 (négation), 1 2 (et) et 1 2 (ou) sont des conditions de sélection 15

16 Exemples de conditions DateRes Classe = 2 Nom = Payen (DateRes = DateRes = ) Classe = 2 NumClient = NumSS 16

17 Exercice 1 Quel est le résultat de la requête Q3 suivante en considérant l instance de la relation R ci-dessous? Q3 = Nom ( Prénom = Jean (Enseignant) ) Enseignant NumEns Nom Prénom 1 Voisin Jean 2 Benzaken Claudine 3 Forest Jean 17

18 Correction (Exercice 1) Quel est le résultat de la requête Q3 suivante en considérant l instance de la relation R ci-dessous? Q3 = Nom ( Prénom = Jean (Enseignant) ) Enseignant NumEns Nom Prénom 1 Voisin Jean 2 Benzaken Claudine 3 Forest Jean Q3 Voisin Forest Nom 18

19 Produit cartésien : Introduction Opérateur binaire (prend deux relations entre entrée : r1 et r2) Chacun des n-uplets de r1 est combiné avec chacun des n-uplets de r2 Le schéma du résultat a l union des attributs des relations NB : Si les deux relations ont un attribut de même nom, on renomme cet attribut 19

20 R1 A a1 B b1 b2 Produit cartésien : Exemple C c1 R1 x R2 Renommage c2 R1.A B C R2.A D R2 A a3 D d2 d3 d4 a1 b1 c1 d2 a1 b1 c1 d3 a1 b1 c1 a3 d4 b2 c2 d2 b2 b2 c2 c2 a3 d3 d4 20

21 Produit cartésien : Définition formelle Input r, s deux relations de schéma R et S Output r x s = {t / t(r) r et t(s) s} La restriction du produit aux attribut de R est r et celle aux attributs de S est s r x s a pour schéma R+S NB : R+S est l union disjointe de R et S {R.A / A R } U {S.B / B S} 21

22 SQL par défaut fait un produit cartésien! Reservation NumRes 1 2 Classe DateRes NumClient 1 18/11/ /11/ Client NumSS Nom Prénom Payen Olivier Payen Judith Quoti Mathilde SELECT Nom, Prenom, Reservation.NumRes, DateRes FROM Reservation, Client WHERE DateRes < Nom Prenom NumRes DateRes Payen Olivier 1 18/11/2007 Payen Judith 1 18/11/2007 Quoti Mathilde 1 18/11/2007 Ces deux lignes mélangent des informations qui n ont rien à voir!! 22

23 Jointure naturelle : Introduction Opération binaire fondamentale (optimisation)! Utilise R1 et R2 qui ont des attributs communs (appelons-les X) Le schéma du résultat est similaire au schéma du produit cartésien modulo que les attributs X n apparaissent qu une fois Au niveau des lignes : on combine les lignes de R1 avec les lignes de R2 qui ont même valeur pour les attributs X 23

24 R1 A a1 B b1 b2 Jointure naturelle : Exemple C Équivaut à c1 c2 R1 R2 R1 R2 R1.A = R2.A R2 A a3 D d2 d3 d4 A B C D b2 c2 d2 b2 c2 d3 24

25 Jointure naturelle : Définition formelle Input r et s de schéma R et S Output r s = {t / t(r) r et t(s) s} r s = R union S (r x s) Avec R S = {B1,, Bp} : t(r.b1)= t(s.b1) t(r.bp)= t(s.bp) 25

26 Phi (ou théta) Jointure Cas particulier de jointure avec condition R1 R2 est une condition de sélection R2 A D R1 E B C R1 R2 R2.A > R1.C A D E B C

27 Union, Intersection, Différence : Introduction Tous ces opérateurs prennent en entrée 2 relations qui doivent avoir le même schéma Union (R1 R2) : ensemble de n-uplets qui sont dans R1 ou dans R2 Intersection (R1 R2) ensemble de n-uplets qui sont dans R1 et dans R2 Différence (R1 \ R2 ou R1 R2) : ensemble de n-uplets qui sont dans R1 mais pas dans R2 27

28 Union, Intersection, Différence : Exemples R1 R2 R1 R2 R1 \ R2 R1 A a1 a3 B b1 b2 b3 R2 A a1 a3 B b1 b3 b4 A a1 a3 a3 B b1 b2 b3 b3 b4 Les n-uplets de R1 union ceux de R2 A a1 B b1 Les n-uplets à la fois dans R1 et dans R2 A a3 B b2 b3 Les n-uplets de R1 mais qui ne sont pas dans R2 Pas de doublon 28

29 Union, Intersection, Différence : Définitions formelles Input r, s deux relations de même schéma R Output r s = { t / t r ou t s } r s = { t / t r et t s } r \ s = { t / t r et t s } de schéma R 29

30 Exercice 2 Quel est le résultat de la requête Q4 suivante en considérant les instances des relations ci-dessous? Q4 =( A,B ( C c1 (R1) )) R2 R1 R2 A B C A B a1 b1 c1 b2 a3 b2 b3 c2 c3 a3 b3 b4 30

31 Correction (Exercice 2) 1/3 Quel est le résultat de la requête Q4 suivante en considérant l instance des relations ci-dessous? Q4 = A,B ( C c1 (R1)) R2 R1 R2 A B C A B a1 b1 c1 b2 a3 b2 b3 c2 c3 a3 b3 b4 31

32 Correction (Exercice 2) 2/3 Quel est le résultat de la requête Q4 suivante en considérant l instance des relations ci-dessous? Q4 = A,B ( C c1 (R1)) R2 R1 R2 A B C A B a1 b1 c1 b2 a3 b2 b3 c2 c3 a3 b3 b4 32

33 Correction (Exercice 2) 3/3 Quel est le résultat de la requête Q4 suivante en considérant l instance des relations ci-dessous? Q4 =( A,B ( C c1 (R1))) R2 R1 R2 Q4 A B C A B A B a1 b1 c1 b2 b2 a3 b2 b3 c2 c3 a3 b3 b4 33

34 Propriétés algébriques L union et l intersection sont commutatifs et associatifs r s = s r, r (s1 s2) = (r s1) s2 De même pour Le produit cartésien est associatif et commutatif* La jointure est associative et commutative* D autres propriétés peuvent être énoncées : monotonie de certains opérateurs, fermeture etc. *si on considère un ordre sur les colonnes 34

35 Exemple d équivalences Les relations d équivalence de l algèbres sont des égalités entre des formules Elles sont à la base des optimisations de requêtes! Exercice Sachant que les schémas de R et S sont les mêmes et si X R, trouvez un contre exemple aux égalités qui sont fausses et démontrez celles qui sont justes X (r s) = X (r) X (s) X(r s) = X (r) - X (s) X(r s) = X (r) X (s) 35

36 Exemple d équivalences (correction) Exercice Sachant que R = S (schémas) et X R, trouvez un contre exemple aux égalités qui sont fausses et démontrez celles qui sont justes X (r s) = X (r) X (s) NON X(r s) = X (r) - X (s) NON X(r s) = X (r) X (s) OUI! 36

37 Non Distributivité de l intersection X (r s) = X (r) X (s) NON Contre exemple A a r s A (r s) = B A B A (r) A (s) = {a} b a b 37

38 Non Distributivité de la différence X (r - s) = X (r) - X (s) NON Contre exemple A a r s A (r - s) = {a} B A B A (r) - A (s) = b a b 38

39 Distributivité de l union : Démonstration X (r s) = X (r) X (s) On se ramène aux définitions Rappel : X(r)={t(X) / t r} ; t X(r) t r et t (X)=t t X (r s) t, t (r s) et t (X)=t // par définition de la projection t ((t r) ou (t s)) et t (X)=t // par définition de l union t ((t r) et t (X)=t) ou ((t s) et t (X)=t) // distrib. de «et» sur «ou» ( t, t r et t (X)=t) ou ( t, t s et t (X)=t) // distributivité de t X (r) ou t X (s) // par définition de la projection t ( X (r) X (s)) // par définition de l union 39

40 Conclusion L algèbre relationnelle est définie de façon très rigoureuse et offre un langage de requêtes à la fois simple et puissant L algèbre relationnelle est à la base De SQL Des plans de requêtes utilisés par les SGBD pour optimiser les requêtes 40