EXERCICE 1 : OSCILLATIONS LIBRES ET FORCÉES

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1 EXERCICE 1 : OSCILLATIONS LIBRES ET FORCÉES Dans cet exercice, on étudie les oscillations libres et forcées d un oscillateur élastique du type masse ressort. Au préalable on détermine la valeur de la constante de raideur de ce système par une méthode statique et une méthode dynamique A - ÉTUDE STATIQUE Dans un premier temps, on se propose de vérifier la valeur de la constante de raideur du ressort. Pour cela on mesure la longueur du ressort seul et on trouve une longueur l 0.On suspend ensuite une masse m au ressort, celui-ci prend alors une longueur l. A-1 Expliquer le principe de la mesure en énonçant la loi de Newton correspondante ainsi que les différentes forces en présence qui devront apparaitre sur un schéma. Quelle relation vectorielle vérifient ces forces? A-2 Calculer la valeur de la constante de raideur k du ressort. B - ETUDE DYNAMIQUE On utilise un système d'acquisition de données schématisé figure 1. Deux électrodes A et B, immobiles plongées dans la solution S, sont reliées aux bornes +5V et 5 V d'un générateur de tension (voir schéma ci-dessous). Une tige métallique t, recouverte d'un isolant sur toute sa longueur, est fixée à la masse m. Son extrémité E, légèrement dénudée de son isolant, suit donc exactement le mouvement de la masse m. La mesure de la tension entre le point E et la borne 0V du générateur permet de détecter la position de E (le dispositif de mesure n'est pas représenté sur le schéma). Ainsi, il est possible de connaître la position de la masse m au cours des oscillations. Après réglage des paramètres du logiciel d'acquisition, on écarte la masse m vers le bas, de 1 cm, et on laisse le système osciller librement. Le déclenchement de l'acquisition se fait par le passage à la position d'équilibre. La courbe obtenue est en annexe figure a B-1 Indiquer comment mesurer la période d'oscillations de la masse m suspendue au ressort et donner la valeur de cette période. B-2 Cette valeur est-elle en accord avec la valeur m théorique T = 2 π? k B-3 Sachant que le newton a la dimension kg.m.s 2, montrer que T s'exprime en secondes. B-4 On remplace la solution conductrice par une solution S' légèrement visqueuse. Dessiner sur la figure b de l'annexe (À REMETTRE AVEC LA COPIE) l'allure de la courbe obtenue après une nouvelle acquisition. 2

2 C - ÉTUDE DES OSCILLATIONS FORCEES On relie maintenant l'extrémité du ressort à un excentrique mû par un moteur (figure 2) et on réalise plusieurs enregistrements pour différentes vitesses de rotation du moteur mesurées par la fréquence de rotation f en Hertz. Il relève l'amplitude de chaque courbe enregistrée. f (Hz) x max (cm) 1,5 2 2,5 2,8 3,1 3,2 3,3 3,6 4 4,5 0,4 0,6 1 1,5 2,1 2,3 2 1,5 1 0,7 C-1 Quel nom donne-t-on au moteur muni de l'excentrique? C-2 Quel nom donne-t-on au système (ressort + masse)? C-3 Quel phénomène obtient-on à f = 3,2 Hz? C-4 En déduire la période des oscillations à la résonance. C-5 Comparer cette période à celle des oscillations libres. C-6 Quel(s) changement(s) observerait-on si on utilisait la solution visqueuse S'. Données : k = 40 N.m -1 m = 100 g l 0 = 10,0 cm l = 12,4 cm g = 10 N.kg -1 3

3 ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE 4

4 EXERCICE 2 : DIPÔLE RLC On considère le circuit électrique comportant un générateur de tension continue de f.é.m E = 6 V, un condensateur de capacité C, une bobine d'inductance L et de résistance négligeable, deux conducteurs ohmiques de résistance R et deux interrupteurs K et K (voir figure 1). On utilise un dispositif informatisé d'acquisition de données qui permet de visualiser sur la voie 1 la tension u 1 aux bornes du condensateur en fonction du temps. A Première expérience Dans cette expérience, on ferme K (en maintenant K ouvert). Le dipôle (R,C) est alors soumis à un échelon de tension de valeur E. 1. Quel est le nom du phénomène observé sur la voie 1 à la fermeture de K? 2. Reproduire sur la copie la partie de circuit concernée et indiquer sur ce schéma, juste après la fermeture de l interrupteur K, le sens du courant, le signe des charges de chacune des armatures du condensateur. Indiquer la flèche-tension u 1 aux bornes du condensateur. 5

5 3. Sur la voie 1, on obtient la courbe de la figure 2 ci-dessous Déterminer graphiquement, la constante de temps τ du dipôle (R,C) en expliquant la méthode utilisée. Sachant que R = 20 Ω, en déduire la valeur de la capacité C. 4. L'étude théorique du dipôle(r,c) conduit à l équation différentielle τ du 1 dt + u 1 = E. a) Retrouver cette équation différentielle en appliquant la loi d'additivité des tensions b) Compte tenu des conditions initiales, la solution de cette équation est de la forme t u 1 = E. 1 e τ. Calculer la valeur de u 1 pour t = 5τ. Conclure. B Deuxième expérience Une fois la première expérience réalisée, on ouvre K puis on ferme K. Le circuit est alors le siège d'oscillations électriques. On utilise le même dispositif informatisé d'acquisition de données pour visualiser, sur la voie 1, la tension u 1 aux bornes du condensateur et sur la voie 2, la tension u 2 aux bornes du conducteur ohmique R. L'acquisition est synchronisée avec la fermeture de l'interrupteur. On obtient les courbes de la figure 3 : 6

6 1. Attribuer à chaque courbe de la figure 3 la tension correspondante en justifiant brièvement pour une courbe seulement. 2. Mesurer la pseudo-période T des oscillations. Calculer la période propre correspondant au cas où les résistances R sont négligeables. Conclure. 3. Influence des paramètres : on réalise à présent la deuxième expérience en modifiant un seul des paramètres L ou C. Deux cas sont proposés. Dans l'un, on a diminué la valeur de L, dans l'autre, on a augmenté la valeur de C. On obtient les figures 4 et 5. Attribuer à chaque cas proposé la figure qui lui correspond. Justifier. 7

7 EXERCICE 3 : L ÂGE DE LA TERRE Dans cet exercice, on se propose d expliquer la technique de datation à l Uranium-plomb qui permit de déterminer assez précisément l âge de la Terre 1. Étude de la famille uranium 238 plomb 206 Le noyau d'uranium 238, naturellement radioactif, se transforme en un noyau de plomb 206, stable, par une série de désintégrations successives. Nous allons étudier ce processus. (Au cours de ces différentes désintégrations,on considère que les noyaux fils obtenus ne sont pas dans un état excité c'est-à-dire qu on ne tiendra pas compte de l'émission γ ) Dans la première étape, un noyau d'uranium U subit une radioactivité α. Le noyau fils est du thorium (symbole Th) Qu'est-ce qu'un noyau radioactif? Écrire l'équation de la réaction nucléaire en précisant les règles utilisées Dans la deuxième étape, le noyau de thorium 234 se transforme en un noyau de protactinium Pa. L'équation de la réaction nucléaire est : Th 91Pa + 1e Préciser, en justifiant, le type de radioactivité correspondant à cette transformation L'équation globale du processus de transformation d'un noyau d'uranium 238 en un noyau de plomb 206 est : 238U 206Pb + 6 0e + 8 4He Déterminer, en justifiant, le nombre de désintégrations α et β de ce processus. 2. Géochronologie : On a constaté d'une part, que les minéraux d'une même couche géologique, donc du même âge, contiennent de l'uranium 238 et du plomb 206 en proportions remarquablement constantes, et d'autre part que la quantité de plomb dans un minéral augmente proportionnellement à son âge relatif. Si on mesure la quantité de plomb 206 dans un échantillon de roche ancienne, en considérant qu'il n'y en avait pas initialement, on peut déterminer l'âge du minéral à partir de la courbe de décroissance radioactive du nombre de noyaux d'uranium 238. Étudions un échantillon de roche ancienne dont l'âge, noté t Terre, correspond à celui de la Terre On considère la courbe de décroissance radioactive du nombre N U (t) de noyaux d'uranium 238 dans un échantillon de roche ancienne. (VOIR ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE) Indiquer la quantité initiale N U (0) de noyaux d'uranium Déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps τ de l'uranium 238 (représenter la construction sur la courbe de l'annexe). En déduire la valeur de sa constante de radioactivité λ Donner l'expression de N U (t), nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à la date t, en fonction de N U (0). Calculer le nombre de noyaux d'uranium 238 qui restent dans la roche à la date t 1 =1, années. Vérifier graphiquement votre résultat Définir et déterminer graphiquement le temps de demi-vie t l/2 de l'uranium 238 (représenter la construction sur la courbe de l'annexe) La quantité de plomb mesurée dans la roche à la date t Terre, notée N pb (t Terre ), est égale à 2, atomes Établir la relation entre N U (t Terre ), N U (0) et N pb (t Terre ). Calculer la quantité N U (t Terre )de noyaux d'uranium Déterminer l'âge t Terre de la Terre. 8

8 EXERCICE 4 : LUMIERE LASER On dispose d'une diode laser S émettant un faisceau lumineux monochromatique de longueur d'onde λ = 0, 740 µm. 1. Quelle est la couleur de la lumière émise par cette diode laser? 2. La lumière émise résulte d'une transition entre deux niveaux d'énergie E 1 et E 2 tels que E 2 < E 1. Calculer en électronvolts l'écart énergétique E = E 1 - E 2 entre ces deux niveaux. Données : Célérité de la lumière dans le vide c = 3, m.s -1, Constante de Planck h = 6, J.s, 1 ev = 1, J. 9

9 ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE Courbe de décroissance radioactive de l'uranium 238 N U (noyaux d'uranium) t (années) 10

10 CORRECTION DU SUJET EXERCICE 1 A - ÉTUDE STATIQUE A.1. Système : masse m Référentiel: le laboratoire (référentiel terrestre supposé galiléen) Inventaire des forces: poids et force de rappel du ressort Le système est à l'équilibre V = 0 donc d'après le principe d'inertie (1 ère loi de Newton): P + F = 0 donc P = F et P = F m.g = k'. ( l l 0 ) m. g k' = ( l ) G l 0 A2. k' = 42 N.m 1 B - ÉTUDE DYNAMIQUE B-1. La période est la durée T écoulée entre chaque passage successif par la position x = + 1 cm. On mesure plusieurs périodes afin d'améliorer la précision de la mesure. T = 0,32 s m B-2. T = 2π. k T = 0,31 s Cette valeur est en accord avec la valeur théorique. m B-3. T = 2π. N a la dimension kg.m.s 2 k 2T k en N.m 1 donc k en kg.s 2 on remplace chaque grandeur par son unité et on ne tient pas compte de 2π kg [T] = T s'exprime donc en s kg. s 2 B-4. Solution plus visqueuse donc les frottements sont plus importants. Les oscillations seront amorties. C - ÉTUDE DES OSCILLATIONS FORCEES C-1. Le moteur muni de l'excentrique est appelé "excitateur". C-2. Le système (ressort+masse) est le "résonateur". 11

11 C-3. Pour f = 3,2 Hz, on constate que l'amplitude des oscillations est plus élevée que pour les autres fréquences. Il se produit un phénomène de résonance. C-4. À la résonance: T = 1/f = 0,31 s C-5. La période des oscillations forcées à la résonance est égale à celle des oscillations libres. C-6. Si la solution est encore plus visqueuse, les frottements seront plus importants encore. La résonance sera moins marquée, elle peut éventuellement ne plus avoir lieu si les frottements sont très importants. Exercice 2 Dipôle RLC A Première expérience A.1. A la fermeture de l interrupteur, le condensateur se charge. On observe un régime transitoire (u 1 ne passe pas immédiatement de 0 à 6V). A.2. Voir figure ci-contre: +q u R i + u 1 A.3. Pour u 1 = 0,63 E = 3,8 V, on a t = τ Soit τ = 0,4 ms On peut tracer la tangente à la courbe en t =0s, elle coupe l'asymptote horizontale en t = τ. E 3 τ 0,4.10 C= = = 20µ F R 20 A.4.a) D après la loi d additivité des tensions: on a E = u 1 + u R dq Soit E = u 1 + R i or i = et q = C u1 dt τ du Il vient E = u 1 + R C 1 dt on retrouve l équation différentielle proposée avec τ = R C 5τ A.4.b) Pour t = 5τ, on a : u 1 = E. 1 e τ = E (1 e 5 ) = 0,99 E = 5,96 V On peut considérer que pour une durée égale à 5τ, le condensateur est chargé. 12

12 B Deuxième expérience B.1. A t = 0 s, quand on ferme l interrupteur K', le condensateur est chargé donc u 1 = E = 6 V ; la courbe 1 représente u 1 et la courbe 2 u 2. (à t = 0s, i =0 donc u 2 = 0 V) B.2. Sur la courbe trois pseudo-périodes correspondent à (88 12) = 76 ms, donc T = 25 ms T 0 = 6 π LC = 2π 0, =25 ms 2 La pseudo-période et la période propre sont égales, l effet des résistances est donc négligeable sur la valeur de T. B.3. Si on diminue L, alors T 0 diminue Si on augmente C, alors T 0 augmente. La figure 4 correspond à T = 40 ms, correspond à une augmentation de C La figure 5 correspond à T = 20 ms, correspond à une diminution de L. 13

13 Exercice 3 : âge de la terre. 1. Étude de la famille uranium 238 plomb Un noyau radioactif est un noyau instable qui peut se désintégrer spontanément en un autre noyau plus stable en émettant un rayonnement U He + 90Th 2 He : particule α Dans une réaction nucléaire, il y a conservation du nombre de nucléons et conservation du nombre de charges (lois de Soddy) 1.2. Au cours de cette réaction il y a émission d un électron, c est donc une radioactivité β Au cours de ce processus, il y a 8 particules α émises et 6 électrons. Il y aura 8 désintégrations α et 6 désintégrations β. 2. Géochronologie : D après le graphique, on lit : N U (0) = noyaux d'uranium Pour déterminer la valeur de la constante de temps, on trace la tangente à la courbe N U =f(t), à la date t = 0, celle-ci coupe l axe des abscisses en t = τ. τ = 6, ans méthode peu précise, ne pas donner le résultat avec trop de chiffres significatifs Constante radioactive: λ 1 = soit τ 1 λ = = 1, an 1 9 6,5.10 N U (0) N(t 1 ) N U (0) 2 t = τ t 1 t 1/ La loi de décroissance radioactive nous donne : N U (t) = N U (0) e λ.t À la date t 1 = 1, années, on a N U (t 1 ) = (voir courbe ci-dessus). e 1, ,5.109 = noyaux. On vérifie ce résultat graphiquement 14

14 Le temps de demi-vie correspond à la durée nécessaire à la désintégration de la moitié de la population initiale en uranium 238. On a N U (t 1/2 ) = N U (0)/2. Graphiquement, on lit que N(t) = N U (0)/2 pour t = t l/2 = 4, ans Un noyau d uranium, en se désintégrant, donne un noyau de plomb donc: N U (0) = N U (t Terre ) + N Pb (t Terre ). N U (t Terre ) = N U (0) N Pb (t Terre ) N U (t Terre ) = , = 2, noyaux N U (t Terre ) = N U (0) e λ.t N U ( t ) Terre. = e λ t N (0) U NU ( tterre ) λ tterre = ln NU (0) t t Terre Terre 1 N ( ) ln U t Terre = λ NU (0) NU ( tterre ) = τ.ln NU (0) t Terre = 6,5.10 ln( ) = 4, ans Exercice 4 : Lumière Laser 1. La longueur d onde de la lumière émise est proche de 800 nm, c est donc du rouge. c 2. E = E 1 E 2 = h ν = h. E = 6, , λ 0, Pour convertir en ev, il suffit de diviser le résultat par e : E = 1,68 ev 6 = 2, J 15