TRANSFERT DE CHALEUR

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1 TP - L3 Physique - Plate-forme TTE - C.E.S.I.R.E. - Université Joseph Fourier - Grenoble TRANSFERT DE CHALEUR Document à lire avant de commencer TOUT TP de Thermodynamique Ce document est un résumé des notions fondamentales concernant le transfert de chaleur entre 2 corps solides ou fluides. Il est nécessaire de le lire avant de commencer les TP de Thermo. 1. GÉNÉRALITÉS Le transfert d une quantité de chaleur δq pendant un intervalle de temps δt correspond à un flux de chaleur φ = δq dt. Un flux de chaleur équivaut à une puissance échangée par un système à travers sa frontière sous forme de chaleur. Les flux de chaleur φ se mesurent en Watts. Comme le flux de chaleur n est pas nécessairement uniforme sur toute la surface d échange S, on introduit la notion de densité de flux locale J (en W m 2 ). Le flux φ est alors l intégrale de la densité de flux sur la surface d échange S, φ = S J ds où ds représente un élément de surface orienté de telle sorte que le flux est sortant si J. ds > 0 entrant si J. ds < 0. D un point de vue plus physique, le transfert de chaleur trouve son origine dans les écarts de température. Ainsi, un transfert d énergie sous forme de chaleur sera obtenu chaque fois qu un gradient de température existera au sein d un système ou lorsque deux systèmes, à températures différentes, seront mis en contact par l intermédiaire d une surface d échange S. Le processus de transmission de la chaleur n est pas régi par une relation unique mais résulte d une combinaison de mécanismes physiques indépendants. On distingue trois modes de transmission de la chaleur qui sont la conduction, la convection et le rayonnement. Ces trois modes s effectuent la plupart du temps en parallèle. 2. TRANSMISSION DE LA CHALEUR PAR CONDUCTION 2.1. Définition. Loi fondamentale. Conductivité thermique. La conduction est un processus physique de transmission de la chaleur qui s appuie sur un milieu matériel (solide, liquide, gaz), sans mouvement de matière, et qui fait passer la chaleur des zones chaudes aux zones froides à l aide de mécanismes à l échelle microscopique (vibrations atomiques ou moléculaires, diffusion électronique,...). La conduction est le seul mécanisme qui permet à la chaleur d être transmise dans un solide. Par contre, si un fluide est soumis à un fort gradient thermique, la conduction devient rapidement négligeable devant la convection naturelle. La loi fondamentale de la conduction (loi de Fourier) a pour expression J = κ gradt où gradt représente le gradient local de température (c est-à-dire le taux de variation spatiale de la température au point considéré). Le vecteur gradient est, par définition, perpendiculaire aux isothermes. κ est le coefficient de conductivité thermique du milieu de transmission ( unité W m 1 K 1 ). Les conductivités thermiques des matériaux varient d une façon considérable d une substance à une autre, de sorte que l on distingue en général les matériaux conducteurs de la chaleur des matériaux isolants suivant l ordre de grandeur de leur conductivité thermique. La conductivité thermique dépend également de la température. Elle dépend aussi de l état du matériau considéré (solide, liquide ou gaz). Le tableau ci-contre donne quelques valeurs de κ pour divers matériaux à la température ambiante. Remarque : c est à la conductivité que le corps est sensible, impression quand on touche du métal, de chaud pour le bois, dans une pièce où la température est homogène. 1

2 TAB. 1. Conductivité thermique de quelques matériaux Valeur à température ambiante Matériaux k (W m 1 K 1 Argent 417 Cuivre 380 Aluminium 230 Métaux et alliages Laiton Fer pur 72 Acier 52 Plomb 35 Acier inoxydable 15 Béton plein 1.75 Béton vermiculite 0.31 Béton cellulaire 0.24 Matériaux de construction Briques réfractaires 0.11 à 0.61 Plâtre 0.43 Bois 0.15 Liége compensé 0.1 Verre 1.15 Liquides Eau 0.56 Alcool 0.13 Air 0.02 Gaz Vapeur d eau Gaz carbonique Liège expansé Laine de verre Laine Isolants Amiante 0.15 Amiante ciment 0.8 Polyuréthane 0.03 Polystyrène 0.04 Polychlorure de vinyle Equation de la chaleur. On applique le premier principe de la thermodynamique ( du = δw + δq) à un système constitué d un volume V limité par une surface S. - On a δw = 0. - δq est la somme de la chaleur δq e entrant dans le volume V pendant dt et de la chaleur δq i dégagée par les sources internes, de densité volumique q (effet Joule, courants de Foucault,) δq e = dt J. ds = dt div J dv S δq i = dt V qdv - Pendant le temps dt, on a : du = dt ρc dt V dt dv En utilisant la loi de Fourier, on obtient l équation de la chaleur div(κ gradt ) + q = ρc dt dt En considérant le milieu comme homogène et k comme isotrope et constant, cette équation se simplifie et devient : 2 V

3 κ T + q = ρc dt dt 2.3. Régime permanent. L équation de la chaleur se ramène alors à κ T + q = 0. On ne sait pas résoudre analytiquement cette équation différentielle dans le cas de 2 ou 3 dimensions. Des méthodes dapproximation (différences finies ou éléments finis) sont utilisables mais hors de propos dans ce document Cas du mur plan. Dans ce cas, on peut ramener le problème à un problème à une dimension en coordonnées cartésiennes et q = 0. L équation de la chaleur se ramène à d2 T dx 2 = 0. Dans le cas simple de la transmission de la chaleur à travers un mur plan, d épaisseur e et de conductivité κ, en supposant chacune de ses faces à température uniforme (respectivement T 1 et T 2 avec T 1 > T 2 ), on obtient, en intégrant l équation ci-dessus, une variation linéaire de la température en fonction de la distance T = T 1 T 1 T 2 e x. Le gradient de température est constant et égal à T 1 T 2 e. Le flux transmis à travers le mur est alors : φ = κs gradt = κ S e (T 1 T 2 ) en désignant par S la surface du mur. Le résultat peut aussi s écrire sous la forme φ = K(T 1 T 2 ) avec K = κ S e. Le coefficient K est la conductance thermique. On introduit également la notion de résistance thermique définie comme l inverse de la conductance R th = 1 K. Ainsi, la résistance thermique d une couche plane est R th = e κs. Le flux de chaleur s exprime alors comme φ = T 1 T 2 R th Cas d une coquille cylindrique. Considérons une conduite transportant de l eau chaude. On suppose les températures des parois intérieure et extérieure constantes. Le flux de chaleur est alors radial et on peut ramener le problème à un problème à une dimension en coordonnées cylindriques. L équation d dr ( r dt dr ) = 0. On montre facilement que la résistance thermique vaut dans de la chaleur se ramène à ( 1 r ce cas R th = 1 2πκL ln R1 R 2 )où R 1 et R 2 sont respectivement les rayons intérieur et extérieur de la conduite, L sa longueur et κ la conductivité thermique du matériau. Le flux échangé entre l intérieur et l extérieur est donc φ = T 1 T 2 R th où T 1 et T 2 sont les températures de surface des parois interne et externe de la couche cylindrique Analogie Loi d Ohm - Loi de Fourier. La loi de Fourier appliquée à un mur plan φ = T 1 T 2 R th présente une certaine analogie avec la loi d Ohm I = V 1 V 2 R elec où la différence de potentiel joue le rôle de la différence de température et le flux de chaleur celui du courant électrique. De même J = κ gradt est à rapprocher de J = σ gradv On peut ainsi établir les correspondances suivantes : Loi d Ohm Loi de Fourier Potentiel Température Courant Puissance transmise 3

4 TAB. 2. Conductivité thermique et difusivité de quelques matériaux Valeurs à température ambiante Diffusivité 10 4 m 2 s 1 Conductivité W m 1 K 1 Cuivre Fer Acier inoxydable Aluminium Béton Verre Eau Air 0.02 Champ électrique Gradient de température Densité de courant Flux thermique Résistance électrique Résistance thermique R elec = ρ L S = 1 L σ S R th = 1 e κ S On pourra donc, pour analyser un problème thermique, effectuer une transposition en construisant le schéma électrique correspondant (circuit en série, en parallèle) et adopter le même type de calcul Régime variable. En l absence de sources de chaleur et en ne considérant que les problèmes à une dimension en coordonnées cartésiennes, l équation de la chaleur devient D dt = dt dx 2 dt où D = κ ρc est la diffusivité thermique (unité m 2 s 1 ) ( ρ masse volumique, C chaleur spécifique ). Alors que la conductivité thermique k intervient en régime permanent (ne dépendant pas du temps), la diffusivité thermique intervient lors des régimes transitoires (dépendant du temps). Ainsi la constante de temps τ de mise en équilibre d un objet est typiquement τ = L2 D où L est une dimension caractéristique de l objet considéré. 3. TRANSMISSION DE LA CHALEUR PAR CONVECTION La convection est un processus physique de transmission de la chaleur qui s appuie sur un milieu matériel avec mouvement de matière. On ne peut donc avoir de convection que dans les liquides et les gaz. Le flux de chaleur transmis par convection, entre une paroi à température T 1 et un fluide à température T 2 (température mesurée loin de la paroi), peut s écrire sous la forme φ = h c S(T 1 T 2 ) (loi de Newton) où h c est le coefficient d échange par convection ( unité W m 2 K 1 ). On définira de la même façon que précédemment la résistance thermique de surface par R th = 1 h cs. Cette relation ne constitue pas une loi, mais plutôt une description phénoménologique du processus de transmission par analogie avec la conduction. Quel que soit le régime d écoulement, y compris turbulent, il existe au voisinage immédiat de la paroi une zone d écoulement laminaire appelée couche limite (voir figure ci-dessous). Ce film est adjacent à la surface avec condition d arrêt de l écoulement le long de la paroi (vitesse nulle). 4

5 Ce film constitue la principale résistance thermique au transfert de chaleur entre la paroi et le fluide en mouvement. C est pourquoi on parle souvent de coefficient de film pour désigner le coefficient de transfert convectif à la paroi. Lorsque la turbulence de l écoulement augmente, l épaisseur du film laminaire diminue, sa résistance thermique décroît. Le flux de chaleur, pour un écart de température donné, est donc d autant plus important que le régime d écoulement est turbulent. Dans la pratique, on détermine la valeur de h c à partir d expériences. Les résultats de ces expériences sont traduits en terme de lois de corrélations faisant intervenir des grandeurs adimensionnelles. On distingue deux types de convection La convection forcée. Le mouvement du fluide est imposé par des actions mécaniques extérieures (pompes, ventilateurs, etc...). L écoulement est alors laminaire ou turbulent suivant la valeur du nombre de Reynolds Re = ρvx µ où X est une échelle de longueur caractéristique de l écoulement (par exemple diamètre, dans le cas d un écoulement de conduite), v est une vitesse caractéristique de l écoulement (par exemple, la vitesse moyenne v = ṁ ρs dans le cas d un écoulement de conduite, ṁ représentant le débit massique et S la section de passage), µ la viscosité dynamique (en Poiseuille (Pl) en SI) et ρ la masse volumique. Les coefficients d échange h c sont exprimées par l intermédiaire du nombre de Nusselt Nu défini par Nu = hcx κ ( κ conductivité thermique du fluide, X échelle de longueur caractéristique). Le nombre de Nusselt caractérise l efficacité du transport thermique convectif par rapport à ce que serait le seul transport conductif dans le gaz. L expérience montre que Nu = f(p r, Re) où P r = µc κ est le nombre de Prandtl qui résume les propriétés thermophysiques du fluide. Ainsi, on posera la plupart du temps Nu = ARe m P r n où A est une constante dépendant de la géométrie considérée et de la valeur du nombre de Reynolds La convection libre (ou naturelle). Ce type de convection résulte des variations de masse volumique du fluide résultant des échanges de chaleur eux-mêmes (poussée d Archimède sur les éléments de fluide chaud). Il en résulte une convection laminaire ou turbulente, suivant la valeur du nombre de Grashof Gr,. Gr = gβρ2 X 3 T ou de Rayleigh Ra, Ra = P rgr µ 2 X est l échelle caractéristique de longueur, T est l écart caractéristique de température, g est l accélération de la pesanteur, µ est la viscosité dynamique, β = 1 dρ ρ dt est le coefficient de dilatation. En fonction de la valeur du nombre de Rayleigh, le transfert de chaleur a les caractéristiques suivantes : Ra < 10 3 : convection négligeable ; le transfert a lieu essentiellement par conduction 10 3 < Ra < 10 9 : le transfert a lieu en régime de convection libre laminaire (rouleaux convectifs stables dans le temps) Ra > 10 9 : le transfert a lieu en régime de convection libre turbulente. L expérience montre que Nu = ARa n = A(P rgr) n où A est une constante dépendant de la géométrie considérée et de la valeur du nombre de Rayleigh. 5

6 3.3. Valeurs du coefficient d échange h. Il est difficile de donner des valeurs de h, les valeurs pouvant varier énormément en fonction de la géométrie, du fluide et du type de convection. On peut cependant retenir que pour l air, aux alentours de la température ambiante et en convection naturelle, h est donné par h = 1.4 ( ) ϑ 0.25 D où θ = Tcorps T ambiante en Kelvin et D est le diamètre d une barre (en mètre). Ceci donne des valeurs d environ 5 W m 2 K 1. Pour l eau, toujours aux alentours de la température ambiante, le coefficient h est environ 10 fois plus élevé. 4. TRANSMISSION DE LA CHALEUR PAR RAYONNEMENT Les corps émettent de l énergie par leur surface, sous forme d un rayonnement d ondes électromagnétiques, et ce d autant plus que leur température est élevée. Inversement, soumis à un rayonnement, ils en absorbent une partie qui se transforme en chaleur. Le rayonnement est un processus physique de transmission de la chaleur sans support matériel. Ainsi, entre deux corps, l un chaud, l autre froid, mis en vis-à-vis (même séparés par du vide), une transmission de chaleur s effectue par rayonnement du corps chaud vers le corps froid : le corps chaud émet un flux φ 1 et absorbe une partie du flux φ 2 émis par le corps froid. Comme φ 1 > φ 2, le bilan de flux est tel que le corps chaud cède de l énergie au corps froid. A l inverse, le bilan de flux peut être retrouvé sur le corps froid qui émet moins d énergie qu il n en absorbe. On définit le coefficient d absorption α = La conservation de l énergie implique α + ρ = 1. flux absorb flux incident et le coefficient de réflexion ρ = flux rflchi flux incident Le corps noir. L émetteur ou l absorbeur idéal est un cas limite appelé corps noir. Il a la propriété d absorber tout le rayonnement qui lui parvient quelque soit sa longueur d onde ; son coefficient d absorption α est égal à 1 et son coefficient de réflexion ρ = 0 ; maintenu à la température T, il émet le maximum de rayonnement thermique possible. La luminance spectrale L 0 λ (l indice supérieur signifie corps noir ; unité W m 2 m 1 sr 1 ) est la puissance émise par unité de surface apparente, par unité de longueur d onde et par unité d angle solide. On démontre que ( loi de Planck ) L 0 λ = C 1λ 5 e C 2 λt 1 L émittance spectrale M 0 λ (unité W m 2 m 1 ) est la puissance émise par unité de surface, par unité de longueur d onde et dans le demi espace supérieur. La plupart des corps ont une luminance spectrale indépendante de la direction d émission ( loi de Lambert ). On a alors la relation M 0 λ = πl0 λ. La longueur d onde λ m du maximum de l émittance est donnée par la relation de Wien λ m T = 2896 µmk. Quasiment toute la puissance est émise entre les longueurs d onde λ m /2 et 7λ m. L émittance totale M 0 (unité W m 2 ) est la puissance émise par unité de surface dans le demi espace supérieur sur l ensemble de toutes les longueurs d onde possibles. Par intégration sur les longueurs d onde, on trouve que l émittance totale M 0 du corps noir est proportionnelle à la puissance quatrième de la température absolue de la surface ( loi de Stefan ) M 0 = σt 4 avec σ = constante de Stefan-Boltzman = 5, W m 2 K Corps réels. Les propriétés d émission des corps réels sont définies par rapport à celles du corps noir. On définit l émissivité ε d un corps comme le rapport de sa luminance (ou de son émittance) à celle du corps noir. L émissivité est un nombre strictement inférieur à 1. En toute rigueur, l émissivité dépend de la direction et de la longueur d onde. Un corps réel est donc défini par - son émissivité ε en ce qui concerne le rayonnement qu il émet - son coefficient d absorption α en ce qui concerne le rayonnement reçu de son environnement La loi de Kirchhoff indique que α = ɛ On fait la plupart du temps l hypothèse que les corps réels se comportent comme des corps gris à émission diffuse. Cette hypothèse entraîne que l émissivité, et par conséquent le coefficient d absorption, ne dépendent ni de la direction ni de la longueur d onde. Un corps réel est alors caractérisé par une seule quantité, son émissivité ε. 6

7 TAB. 3. Valeurs de quelques émissivités Matériau Emissivité à 37 C Emissivité à 260 C Aluminium poli Aluminium Laiton poli Laiton oxydé 0.61 Métaux Cuivre poli Cuivre oxydé Fer poli Fonte oxydée Argent poli Acier inox poli Brique rouge 0.93 Marbre blanc 0.95 Matériaux de Plâtre 0.91 construction Laque blanche Laque rouge 0.96 Glace 0.97 Eau 0.96 Divers Carbone Bois 0.93 Verre Puissance échangée entre deux corps. Entre deux corps noirs, l un chaud ( température T 1 ), l autre froid ( température T 2 ), en vis-à-vis total ( c est à dire que tout le flux émis par l un des corps est reçu par l autre), le flux net échangé s écrit : φ = flux mis flux absorb = Sσ(T 4 1 T 4 2 ) Si les deux corps ne sont pas en vis-à-vis total, on fait intervenir un facteur de forme F 1,2 qui tient compte de la géométrie considérée. De la même façon, le flux net échangé entre deux corps gris s écrit : φ = S 1 F 1,2 σ(t 4 1 T 4 2 ) où le facteur de forme fait intervenir cette fois la géométrie considérée et les émissivités des deux corps. 1 On a par exemple F 1,2 = dans le cas de deux surfaces grises parallèles en vis-à-vis ou ε 1 ε 2 1 F 1,2 = dans le cas de deux surfaces grises dont l une (S 1 + S 1 2) entoure complètement l autre ( 1 1) ε 1 S 2 ε 2 (S 1 ). Si les écarts de température ne sont pas trop importants, on peut linéariser (T1 4 T 2 4 ) et le remplacer par 4T1 3(T 1 T 2 ) de sorte que φ = 4S 1 F 1,2 σt1 3 (T 1 T 2 ) On a alors une relation de type Newton φ = h r S(T 1 T 2 )en introduisant un coefficient de transmission par rayonnement h r = 4F 1,2 σt1 3. De la même façon que précédemment, on définira la résistance de surface de rayonnement R th = 1 h r S 5. EXEMPLE D APPLICATION À UN MUR PLAN Quand plusieurs modes de transfert ont lieu simultanément, des analogies avec les lois d association des résistances électriques peuvent être établies. L établissement de ces règles de composition n est possible que si l on linéarise les phénomènes. 7

8 Résistances en série. Exemple : cas de la conduction dans 2 solides accolés. En régime permanent, le flux de chaleur par unité de surface est le même à travers chaque solide : φ = κ 1 S(T 1 T ) = κ 2 S(T T 2 ) e 1 e 2 On a addition des résistances thermiques en série comme en électricité : R th = R th1 + R th2 Résistances en parallèle. Exemple : transferts simultanés de chaleur par convection et rayonnement entre une paroi et l air ambiant. T p est la température de la paroi et T f la température de l air ambiant. Le flux de chaleur total est la somme des deux flux de chaleur dus respectivement à la convection φ c et au rayonnement φ r. φ c = h c S(T p T f ) et φ r = h r S(T p T f ) donc φ = φ c + φ r = (h c + h r )S(T p T f ) et par suite h = h c +h r ou 1/R th = 1/R th,conv +1/R th,ray. On a addition des inverses des résistances thermiques en parallèle comme en électricité. On peut, en utilisant ce qui précède, tracer le schéma thermique équivalent dans le cas d un mur plan (mur d une habitation par exemple) 8