Intabilités dans le sillage stratifié d un cylindre

Transcription

1 Master Science de la matière Stage École Normale Supérieure de Lyon Université Claude Bernard Lyon 1 ADDED Mathieu M2 Physique Fondamentale Intabilités dans le sillage stratifié d un cylindre Résumé : Le sillage d un cylindre a été largement étudié dans la littérature car il permet de modéliser avec un objet simple le sillage d objets plus complexes tout en gardant les caractéristiques principales de ces sillages. On se propose ici d étudier expérimentalement puis numériquement le sillage d un cylindre dans un fluide stratifié afin de voir comment la stratification modifie les instabilités. Dans une première partie où l on se focalisera sur l écoulement 2D d un cylindre dans un fluide stratifié, le Reynolds critique d apparition de l instabilité de von Karman augmente car la stratification a pour effet de stabiliser le sillage. Dans une seconde partie, destinée à observer les instabilités 3D en présence de stratification, l étude semble indiquer que pour une faible stratification, l instabilité principale est le mode A bien connue dans les fluides homogènes. Ce mode A devient plus instable quand la stratification augmente mais se restabilise lorsqu on augmente l inclinaison du cylindre. Par contre, pour des stratifications modérées, la structure de l instabilité change considérablement lorsque le cylindre est incliné par rapport à la verticale, indiquant probablement la présence d une nouvelle instabilité. Stage encadré par : M. Patrice Meunier meunier@irphe.univ-mrs.fr / +33 (0) IRPHE, Institut de Recherche sur les Phénomènes Hors Équilibre Groupe Écoulements Tournants et Géophysiques 49, rue Joliot-Curie, BP 146, Marseille Cedex 13 https :// Tél Fax

2 Remerciements Je remercie mon maître de stage M. Patrice Meunier ainsi que toute l équipe d Écoulements Tournants et Géophysiques de l IRPHE de m avoir permis d approfondir mes connaissances dans le domaine de l Hydrodynamique et plus particulièrement des Phénomènes Hors Équilibre et de m avoir accompagné dans mes travaux avec patience et pédagogie.

3 Sommaire 1 Introduction Introduction Générale Objectifs du stage Description générale du matériel et des méthodes utilisées Dispositif expérimental de l expérience Remplissage de la cuve et mesure du gradient de densité Méthodes de visualisation du sillage Visualisation directe par fluorescence Visualisation par ombroscopie Simulations numériques : COMSOL Instabilité 2D : les tourbillons de von Karman Visualisation de l instabilité de von Karman par fluorescence Simulations Numériques Résultats Instabilité 3D Visualisation du Mode A par ombroscopie Diagramme de stabilité Une nouvelle instabilité observée avec des cylindres inclinés? Conclusion 19 2

4 1 Introduction 1.1 Introduction Générale Le sillage d un cylindre a été largement étudié car il permet de modéliser avec un objet simple le sillage d objets plus complexes (voiture, bateau, immeuble, pont) tout en gardant les caractéristiques principales de ces sillages complexes (décollement de couche limite, allée de von Karman, instabilités 3D, couche limite turbulente). Il représente un sujet d intérêt majeur pour les ingénieurs en raison de leurs applications aux véhicules terrestres et navals. En effet, les sillages des voitures, trains et bateaux ont besoin d avoir une traînée aussi petite que possible afin de minimiser l énergie dépensée pour déplacer le véhicule. Cette traînée est un enjeu majeur car elle est très importante pour des objets non profilés en raison du décollement de la couche limite. Dans le domaine de la construction civile, le problème est encore plus difficile à gérer en raison de la présence de tourbillons dans le sillage, créant de grandes forces de pression fluctuantes. Ces forces peuvent causer des vibrations et même des résonances, conduisant à des défaillances catastrophiques. Ces deux problèmes d ingénierie justifient l abondante littérature existant sur ce sujet. Bien sûr, le comportement du sillage dépend de la forme du corps perturbateur. Toutefois, à la fois le décollement de la couche limite et les tourbillons sont présents dans le sillage d un cylindre circulaire. Cette géométrie est donc souvent utilisée pour des études fondamentales de sillages d objets non profilés. La transition entre la bulle de recirculation et l allée de vortex périodique de von Karman a largement été étudiée dans un fluide homogène. Mathis et al. (1984) [13] ont montré que cette transition est une bifurcation de Hopf bien décrite par l équation de Stuart-Landau, dont les coefficients ont été mesurés expérimentalement (Provansal et al. (1987) [15], Schumm et al. (1994) [18], Albarède & Provansal (1995) [1]) et numériquement (Jackson (1987) [11], Noack & Eckelmann (1994) [14], Dusek et al. (1994) [10]). La présence de murs autour du cylindre peut retarder l apparition des tourbillons de von Karman (Chen et al. (1995) [9], Sahin & Owens (2004) [17], Rees & Juniper (2010) [16]). Cela peut expliquer les difficultés rencontrées pour le choix des dimensions de l écoulement à adopter lors des simulations numériques. Ensuite, Williamson (1996) [20] et Barkley et al. (1996) [3] ont étudié la dynamique et les instabilités 3D dans le sillage homogène d un cylindre. Pourtant, il existe assez peu d études sur des sillages de cylindres dans des fluides stratifiés bien que ces sillages s appliquent directement aux écoulements géophysiques : sillages de montagnes ou d îles dans l atmosphère ou dans les océans. La principale caractéristique d un sillage en milieu stratifié est la présence de tourbillons horizontaux apparaissant au-delà d un certain Reynolds critique et restant perceptibles sur de très grandes distances. Lin & Pao (1979) [12] 3

5 ont montré que le sillage d abord isotrope devient quasi-2d après un temps inversement proportionnel à la fréquence de Brunt-Väisälä. Cela conduit à de grands tourbillons horizontaux avec une petite hauteur, qui poussent dans la direction horizontale en fusionnant ensemble (Spedding (1997) [19]). Pour un cylindre horizontal, Boyer et al. (1989) [7] ont trouvé une grande variété de régimes lorsque le Froude varie de 0,02 à 13 et le nombre de Reynolds varie de 5 à Comme le nombre de Reynolds augmente, il existe toujours des transitions entre écoulement laminaire et sillage turbulent. Cependant, la stratification tend à stabiliser le sillage de von Karman et crée une bulle de recirculation en amont du cylindre, qui est connue comme l effet de blocage (Browand & Winant (1972) [8], Baines (1987) [2], Xu et al. (1995) [21]). Il n existe pas d étude du sillage d un cylindre incliné dans un fluide stratifié, ce qui motive ces travaux. 1.2 Objectifs du stage On se propose ici d étudier expérimentalement puis numériquement le sillage d un cylindre dans un fluide stratifié afin de voir comment la stratification modifie les instabilités, bien connues dans un fluide homogène. Dans une première partie, nous décrirons le dispositif expérimental et les différentes méthodes utilisées. Puis, nous montrerons dans une deuxième partie que la stratification modifie le Reynolds critique d apparition de l instabilité 2D de von Karman, l angle d inclinaison du cylindre par rapport au gradient de densité jouant un rôle prédominant. Dans une troisième partie, destinée à observer les instabilités 3D, l étude sera focalisée sur l influence d une faible stratification sur l instabilité principale constituée du mode A, bien connu dans les fluides homogènes. Nous tirerons des conclusions de cette étude dans une dernière partie. 4

6 2 Description générale du matériel et des méthodes utilisées 2.1 Dispositif expérimental de l expérience Le dispositif expérimental pour l étude du sillage d un cylindre dans un fluide stratifié est présenté schématiquement dans la figure 1 et apparaît sur la photo b de la figure 2. Les expériences sont réalisées dans un réservoir en plexiglas de 150 cm de long, 75 cm de large et 50 cm de haut permettant des visualisations de tous les côtés. Un cylindre circulaire de diamètre D variant entre 0, 4 cm et 1 cm est translaté horizontalement dans le liquide stratifié, à une vitesse U variant entre 0, 4 cm/s et 4 cm/s. Comme on peut le voir sur la figure 1, l axe du cylindre est incliné d un angle α par rapport à la verticale (connue avec une précision de 0, 3%), dans le plan orthogonal à la direction de remorquage. Le cylindre est monté sur un chariot qui se déplace en douceur le long des rails horizontaux, entraîné par une courroie, elle-même entraînée par un moteur à courant continu couplé à un réducteur 1 : 90. La vitesse de traction est stable à 0, 1%, même à faible vitesse. Le sillage d un cylindre incliné dans un fluide stratifié se caractérise par cinq paramètres adimensionnels : l angle d inclinaison α, le nombre de Reynolds Re, le nombre de Froude F, le nombre de Schmidt Sc et la longueur de stratification adimensionnée L. Cependant, les deux derniers paramètres seront supposés très grands dans cette étude, ce qui réduit le problème à trois principaux paramètres sans dimension. L angle d inclinaison α varie entre 0 et 90. Le nombre de Reynolds Re = UD varie entre 40 et 260. Dans nos expériences, la ν viscosité cinématique ν augmente de 10% à partir du haut vers le bas en raison de la présence de sel. Cela introduit une erreur sur le nombre de Reynolds de 5%, même si la dépendance de la température est prise en compte. Le nombre de Froude F = U, varie entre 0, 5 et 4, 5 en changeant le diamètre et la vitesse du cylindre simultanément. Le nombre de Schmidt Sc = ν κ = ND 700 (κ étant la diffusivité du sel dans l eau) ne modifie pas le comportement de l écoulement dès qu il est très grand (comme cela a été vérifié numériquement). Enfin, la longueur de stratification adimensionnée L = ρ 0 quantifie les effets non-boussinesq, qui sont proportionnels à D ρ 0 Z 1/L. Comme L est très grande dans nos expériences (variant entre 300 et 1000), toute l étude se fait sous l approximation de Boussinesq. On peut noter que l utilisation d un bassin de traction au lieu d un canal hydrodynamique est obligatoire pour un fluide stratifié. En conséquence, la première partie du sillage correspond à un régime transitoire. Le régime permanent est atteint après une distance qui est de l ordre de 20 diamètres dans la plupart des cas, mais qui augmente proche du seuil de déstabilisation de von Karman. Dans nos expériences, la course du cylindre est comprise entre 140 et 450 diamètres en fonction de D. Cela introduit une incertitude sur le nombre de Reynolds critique, qui a été constatée empiriquement pour être de l ordre de 10%, soit légèrement plus grande que celle due à la variation de ν avec la densité. 5

7 Lampe Z α z Y y x X Lentille U D Z ρ 0 (Z) Fibre Optique Laser Argon Appareil Photo Nikon Figure 1 Schéma du montage 2.2 Remplissage de la cuve et mesure du gradient de densité La cuve est remplie avec un fluide stratifié linéairement jusqu à une hauteur Z = 45 cm. Le profil de densité est établi par la méthode des deux réservoirs. L utilisation d eau douce dans la première cuve et d eau salée avec une densité ρ = 1, 15 kg/l dans le deuxième réservoir, permet de créer un gradient constant avec une fréquence de Brunt-Väisälä N = gdρ de près ρdz de 2 rad/s. Pour ce faire, l eau issue du réservoir d eau salée est progressivement déposée à la surface de l eau grâce à un flotteur lors du remplissage, alors que l eau douce est progressivement incorporée à l eau salée afin de diminuer graduellement la densité du mélange. Le gradient de densité est déduit des mesures de densité de petits échantillons de liquide tous les 5 cm environ comme le montre la photo a de la figure 2, en utilisant un densitomètre Anton Paar DMA 35N avec une précision de 10 4 kg/l. On peut noter que le profil de densité évolue lentement en raison d un mélange turbulent, de la diffusion du sel et de l évaporation de l eau, ce qui tend à homogénéiser la densité dans les couches supérieures et inférieures. Les figures 3 a et b montrent l évolution du profil de densité dans la cuve au cours des expériences réalisées. Pour réduire l effet de l évaporation (qui est le phénomène prédominant), de petites quantités d eau douce sont déposées à la surface tous les jours. Ainsi, la stratification peut être conservée linéaire pendant un mois (à l exception d une couche de 5 cm de profondeur dans le haut et le bas) et la fréquence de Brunt-Väisälä ne diminue que de 5%. 6

8 a b Figure 2 Photos du montage : a Points de mesure de la densité. b Cylindre fixé au chariot avec dispositif de minimisation des vibrations (roulettes, tiges de maintien). 2.3 Méthodes de visualisation du sillage Visualisation directe par fluorescence Afin de visualiser le flux, un colorant fluorescent (mélange de fluorescéine et d une pâte de silicone) est déposé sur le côté amont du cylindre. Lorsque le colorant est sec, le cylindre est descendu lentement dans l eau sans agiter le fluide de manière significative. Pendant l expérience, le colorant est entraîné par l écoulement de la même manière que la vorticité. Il est donc un excellent marqueur de la vorticité. Ces visualisations sont utilisées pour déterminer la stabilité de l écoulement et pour mesurer la longueur d onde du sillage. On observe les lignes de courant dans le plan d une nappe laser provenant d un laser Argon placée en amont de la cuve. On utilise pour les visualisations un réflexe numérique Nikon doté d un objectif à focalisation automatique. Les photos des tourbillons de von Karman ou de la bulle de recirculation sont prises orthogonalement à la nappe laser Visualisation par ombroscopie La méthode de visualisation par ombroscopie consiste à aligner une lumière parallèle traversant horizontalement la cuve avec une lentille convergente qui converge devant l objectif de l appareil photo, placé de l autre côté de la cuve, comme le montre la figure 1. Le faisceau incident est globalement dévié par réfraction par les gradients transverses moyens. La structure du faisceau transmis est modifiée par les inhomogénéités de ces gradients d indice. Les variations de l éclairement observées sont donc dues aux variations de l indice (causées par des variations de densité). On peut grâce à cette technique obtenir de bonnes visualisations de perturbations 3D dans le sillage du cylindre. 7

9 a b Figure 3 Évolution du profil de densité au cours du temps lors de la détermination du Reynolds critique : a de l instabilité de von Karman ; b : de l instabilité 3D. 2.4 Simulations numériques : COMSOL Le débit est régi par les équations de Navier-Stokes avec l équation de la densité et la condition d incompressibilité : Du Dt = 1 ρ 0 p + ρ ρ 0 g + ν u (1) Dρ 0 + ρ Dt = κ ρ (2).u = 0 (3) Ces équations sont obtenues dans l approximation de Boussinesq, c est-à-dire en supposant que la perturbation de densité ρ est plus petite que le profil de densité moyenne ρ 0 (Z) et en supprimant la pression statique. Le problème est alors dimensionné par la vitesse de translation U, le diamètre du cylindre D et la densité moyenne ρ 0, ce qui signifie que les longueurs, les temps et la masse sont adimensionnés par D, D/U et ρ 0 D, respectivement. Le problème est résolu dans le cadre du référentiel incliné (Oxyz) du cylindre, dont les axes sont inclinés d un angle α par rapport à l axe vertical de (OXY Z), comme le montre la figure 1. Comme il n existe pas de terme d advection, le problème peut être traité comme un écoulement bidimensionnel pour (u, v) en fonction de x et y seulement avec deux scalaires actifs w et ρ. Le problème est résolu dans le cadre d un référentiel se déplaçant avec le cylindre. La translation du fluide est donc imposée par les conditions aux limites à l infini : u = 1 et v = w = ρ = 0. A la surface du cylindre (r = 0, 5), les conditions de non glissement sont imposées pour la vitesse (u = v = w = 0) et le 8

10 flux normal de densité est pris égal à zéro ( ρ n = 0). Le problème est résolu en utilisant Comsol Multiphysics, qui est une méthode par éléments finis permettant de coupler plusieurs équations aux dérivées partielles. Comme indiqué précédemment, le problème initial en 3D a été réduit à un problème 2D : les équations de Navier-Stokes pour (u, v, p) sont résolus avec les équations d advection-diffusion pour ρ et w. Les simulations sont effectuées sur une longue période (jusqu à t = 200 dans les unités sans dimension) pour permettre à l instabilité de von Karman de croître et de saturer. 9

11 3 Instabilité 2D : les tourbillons de von Karman 3.1 Visualisation de l instabilité de von Karman par fluorescence a b Figure 4 a Recirculation des lignes de courants dans le sillage d un cylindre de diamètre D = 4 mm incliné de α = 90 pour un Reynolds Re = 68 et un Froude F = 2, 46. b Instabilité de von Karman pour un cylindre de diamètre D = 4 mm incliné de α = 90 pour un Reynolds Re = 70 et un Froude F = 2, 53. Dans cette partie, nous nous concentrons sur la stabilité du sillage d un cylindre horizontal lorsque le Froude et le nombre de Reynolds varient. La figure 4 montre des visualisations de colorant derrière le cylindre horizontal à des nombres modérés de Reynolds (Re = 68; 70) et de Froude (F = 2, 46; 2, 53). Pour de faibles Reynolds le sillage est stable et contient une bulle de recirculation stationnaire derrière le cylindre. Ceci est très clair sur la visualisation de la figure 4 photo a, où le colorant s étire en un long filament quasi rectiligne. Dans un fluide homogène, il est bien connu que le sillage devient instable lorsque ce nombre de Reynolds augmente au dessus de 49 et conduit à une allée de vortex de von Karman. Dans notre cas d un 10

12 a b Figure 5 a Recirculation des lignes de courants dans le sillage d un cylindre de diamètre D = 6 mm incliné de α = 30 pour un Reynolds Re = 85 et un Froude F = 1, 36. b Instabilité de von Karman pour un cylindre de diamètre D = 7 mm incliné de α = 30 pour un Reynolds Re = 90 et un Froude F = 1, 06. Le champ de vision est de l ordre d une vingtaine de diamètres. a b c Figure 6 Évolution temporelle de l instabilité de von Karman dans le sillage d un cylindre de diamètre D = 7 mm incliné de α = 30 pour un Reynolds Re = 90 et un Froude F = 1, 06. sillage stratifié, on observe aussi une allée de vortex de von Karman au dessus de Re = 69. Les tourbillons sont disposés alternativement de chaque côté du cylindre et s enroulent tandis qu ils sont advectés en aval (cf photo b figure 4). L écoulement est périodique et la longueur d onde est presque indépendante de la distance en aval. La distance (dans la direction y) entre les deux rangées de tourbillons est inférieure au diamètre du cylindre ce qui est plus faible que pour un sillage homogène. Il est frappant de voir que la stratification a un impact fort sur la structure de l écoulement. Elle peut restabiliser le sillage, même pour un nombre de Reynolds 40% plus grand que le nombre de Reynolds critique d un sillage homogène. La figure 5 montre de même la frontière entre la bulle de recirculation (photo a) et l allée de von Karman (photo b) pour un cylindre incliné avec un angle de 30. On observe cependant que la stratification a un effet moins important sur le sillage car la distance entre les deux rangées de vortex est alors approximativement égale à deux diamètres comme dans le cas d un sillage homogène (cf figure 6 où l on peut voir la forme des tourbillons). 11

13 3.2 Simulations Numériques a b c d Figure 7 Champ de vorticité et lignes de courants dans le sillage d un cylindre incliné d un angle α = 90 (a et b) puis α = 30 (c et d). L écoulement est calculé numériquement pour a : Re = 80 et F = 1, 8 ; b : Re = 90 et F = 1, 8 ; c : Re = 100 et F = 1, 8 ; d : Re = 100 et F = 1, 3. Vitesse Temps Figure 8 Evolution temporelle de la vitesse v dans la direction y, 5 diamètres en aval du cylindre pour un nombre de Froude F = 2 et un nombre de Reynolds Re = 65. Dans cet exemple, l écoulement est stable. Les champs de vorticité et les lignes de courants sont présentés sur la figure 7 pour des nombres de Froude et de Reynolds différents. Pour un cylindre incliné, le sillage est clairement instable sur la figure 7 d et présente une allée de vortex de von Karman et il est stable sur la figure 7 c et l allée de vortex oscillatoire est remplacée par une bulle de recirculation stationnaire. Cette tendance est très peu visible pour le cas d un cylindre horizontal comme le montrent les photos a (recirculation) et b (tourbillons de von Karman) de la figure 7 car la stratification 12

14 empêche les tourbillons de se développer comme le montre les visualisations de la figure 4. Les simulations numériques permettent de mesurer quantitativement les oscillations de l écoulement. Par exemple, la figure 8 montre la vitesse obtenue sur l axe y, 5 diamètres en aval du cylindre horizontal à Re = 65. Pour un nombre de Froude donné (F = 2) et pour un nombre de Reynolds inférieur au Reynolds critique (Re = 65), la vitesse commence par osciller, puis, après un certain temps, les oscillations diminuent et tendent vers zero, ce qui signifie que l écoulement stationnaire est stable. Inversement, pour un nombre de Reynolds supérieur au Reynols critique, la vitesse commence aussi à osciller mais continue à croître de façon exponentielle et sature ensuite, ce qui signifie alors que le sillage est instable. Cette différence permet donc de déterminer la stabilité du sillage et d évaluer le nombre de Reynolds critique avec une incertitude de l ordre de 10 sur le nombre de Reynolds. 3.3 Résultats Figure 9 Diagramme d évolution de l instabilité de von Karman pour le sillage de cylindres se déplaçant horizontalement ou avec un angle d inclinaison de 30. Les simulations numériques et les expériences ont été faites pour de nombreux Froude et Reynolds différents, afin de déterminer le nombre de Reynolds critique d apparition des tourbillons 13

15 de von Karman en fonction du nombre de Froude. Le nombre de Reynolds critique est tracé sur le diagramme de stabilité de la figure 9 (losanges verts) et comparé aux résultats expérimentaux. Pour des grands nombres de Froude, le nombre de Reynolds critique est égale à Re = 48 ± 2, en excellent accord avec les résultats antérieurs de la littérature. Lorsque le nombre de Froude diminue, le nombre de Reynolds critique augmente considérablement. Les résultats expérimentaux sont également présentés sur ce diagramme de stabilité. Ils sont représentés par des cercles bleus lorsque le sillage est stable et par des croix bleues lorsque le sillage est instable. Il y a une bonne concordance entre les simulations numériques et les résultats expérimentaux. L effet stabilisateur de la stratification peut être compris comme suit. Les tourbillons de von Karman contiennent une forte vitesse v dans la direction y loin du cylindre par rapport à l écoulement stationnaire. Pour un cylindre incliné, cette vitesse v génère une certaine vitesse verticale vsinα soit v pour un cylindre horizontal, qui est atténuée par la force de rappel due au gradient de densité. Lorsque la stratification augmente, la force de rappel atténue de plus en plus l allée de vortex de von Karman et stabilise ainsi l écoulement. Cette stabilisation est en accord avec les résultats antérieurs sur les sillages de cylindres horizontaux : sur la figure 9, où sont représentés les résultats théoriques (Lin & Pao (1979) [12]) et expérimentaux (Boyer et al. (1989) [7]) antérieurs, on remarque tout de même un décalage avec notre courbe numérique bleue de stabilité dont la corrélation donne l équation Re c = 135F 0,7. Toutefois, les points expérimentaux de Boyer et al. (1989) [7] sont peu nombreux et ne permettent pas une détermination précise de la courbe de stabilité. On peut donc considérer que nos résultats expérimentaux précis, validés par les simulations numériques, sont plus fiables que les différentes études antérieures. Enfin, ce phénomène de stabilisation est très similaire à la stabilisation d un écoulement cisaillé verticalement pour un nombre de Richardson supérieur à 1/4 : lorsque le Froude (qui est proportionnel à 1 ) est suffisamment Ri faible, le cisaillement présent derrière le cylindre n est plus assez grand pour créer l instabilité de Kelvin - Helmholtz, par rapport au gradient de densité stabilisateur. Cependant, il est surprenant de voir que cet effet stabilisant disparaît pour des petits nombres de Froude pour les sillages de cylindres inclinés ; le cas d un cylindre incliné à 30 est tracé en rouge sur la figure 9. Ceci s explique par la structure de l écoulement à forte stratification et la présence d un deuxième mode instable de tourbillons inclinés de von Karman sans vitesse verticale. Les lignes de courant sont alors des ellipses horizontales dont le centre se décale d un angle α par rapport à la verticale. Ce comportement est caractéristique du sillage d un cylindre incliné et ne pouvait pas être obtenu avec un cylindre horizontal, car les ellipses deviennent de plus en plus allongées lorsque α tend vers

16 4 Instabilité 3D 4.1 Visualisation du Mode A par ombroscopie Figure 10 Développement de l instabilité 3D dans le sillage d un cylindre vertical de diamètre D = 5mm pour : a Re = 180 et F = 4, 16 ; b Re = 185 et F = 4, 28 ; c Re = 190 et F = 4, 39. Dans cette section, nous avons réalisé l étude expérimentale de la stabilité 3D du sillage lorsque le Froude et le nombre de Reynolds varient. Pour cela, nous avons utilisé la méthode de visualisation par ombroscopie décrite dans la deuxième partie. La figure 10 montre des visualisations du sillage derrière le cylindre vertical de diamètre D = 5 mm à différents nombres de Reynolds (Re = 180; 185; 190) et de Froude (F = 4, 39; 4, 28; 4, 16), significativement supérieurs aux valeurs de Reynolds étudiés dans la troisième section. Tout d abord, on peut distinguer sur la photo a les tourbillons de von Karman dans le sillage du cylindre, caractéristique d un sillage stable 3D. On remarque ensuite sur les photos b et c que le sillage se déstabilise comme dans le cas homogène et donne lieu à des paires de tourbillons contra-rotatifs perpendiculaires aux tourbillons de von Karman, qui sont advectés par l écoulement. L écoulement est périodique et la longueur d onde est indépendante de la distance en aval. Cette structure est caractéristique du mode A, qui apparaît dans le sillage homogène d un cylindre. 4.2 Diagramme de stabilité En effectuant les expériences précédentes avec différents diamètres et différentes inclinaisons du cylindre, on peut tracer le diagramme de stabilité 3D du sillage d un cylindre, comme indiqué sur la figure 11. Les résultats expérimentaux sont représentés par des cercles lorsque le sillage est stable et par des croix lorsque le sillage est instable. On peut alors tracer (courbe en trait plein) le Reynolds critique en fonction du Froude. Pour un nombre de Froude élevé (F 4) et donc une faible stratification, l instabilité apparaît pour un nombre de Reynolds critique de l ordre de celui du sillage homogène d un cylindre, que l on trouve dans la littérature à Re c = 189 (Barkley (1996) [3]). Lorsque le nombre de Froude diminue, on remarque que pour des nombres de Froude modérés (2 F 4), le nombre de Reynolds critique diminue. Cela signifie qu une 15

17 Figure 11 Diagramme de stabilité du mode A pour le sillage d un cylindre vertical et évolution de cette instabilité pour des cylindres inclinés d un angle α = 30, 45 et 60. La courbe discontinue correspond au cas du fluide homogène. stratification modérée déstabilise l écoulement. Cette déstabilisation est moins prononcée pour un cylindre incliné de 30 et tend à disparaître pour des angles de 45 et 60. Cependant, il est encore plus surprenant de voir que lorsque le nombre de Froude est encore diminué (F 1, 5), le Reynolds critique ré-augmente très fortement pour les fluides très stratifiés. Ces résultats expérimentaux sont résumés sur la figure 12, où est représentée l évolution du Reynolds critique de la transition stabilité 3D / instabilité similaire au mode A. On remarque tout d abord que l ensemble des courbes convergent vers la valeur Re c = 189 correspondant au cas d un fluide homogène (Barkley (1996) [3]). Ce résultat est satisfaisant car pour des nombres de Froude élevés, la stratification est faible donc le comportement du sillage doit tendre vers le sillage d un cylindre dans un fluide homogène, quelle que soit l inclinaison du cylindre. Ensuite on remarque que la courbe d évolution du nombre de Reynolds critique, à nombre de Froude fixé, 16

18 a b Figure 12 a : Évolution du nombre de Reynolds critique du mode A en fonction du nombre de Froude et de l inclinaison de l angle α. La courbe discontinue correspond au cas du fluide homogène. b : Diagramme d évolution de la longueur d onde adimensionnée (Longueur d onde / diamètre du cylindre) de l instabilité 3D en fonction du Froude et de l inclinaison du cylindre. remonte lorsqu on augmente l inclinaison du cylindre. Ce comportement montre qu il existe bien une différence entre le mode A classique du cylindre vertical et l instabilité 3D dans le sillage d un cylindre incliné dans un fluide stratifié. La stratification joue donc un rôle primordial dans l étude des instabilités 3D. La figure 12 b permet de comparer les valeurs de la longueur d onde adimensionnée en fonction du nombre de Froude, selon l inclinaison du cylindre. On remarque très peu de différence avec la valeur théorique λ = 4 (Barkley (1996) [3]) d autant plus que l incertitude sur la mesure de la longueur d onde est de l ordre de 20%. Toutefois, on observe une légère augmentation de cette longueur d onde avec l inclinaison, et ce quel que soit le Froude. 4.3 Une nouvelle instabilité observée avec des cylindres inclinés? Lorsque le cylindre est incliné par rapport à la verticale, la structure de l instabilité change fortement comme le montrent les visualisations de la figure 13 faites pour différentes inclinaisons (α = 30, 45 et 60 ) et pour des nombres de Reynolds supérieurs aux nombres de Reynolds critiques correspondants. De fines lignes axiales apparaissent, probablement liées à la présence de couches critiques possédant de forts gradients de densité. Ces lignes deviennent ondulées et créent des formes en S qui rappellent la structure des tourbillons de Kelvin - Helmholtz observés sur un tourbillon incliné par rapport à une stratification (Boulanger et al. (2008) [6]). Cependant, la longueur d onde axiale, indépendante de la distance en aval, semble similaire 17

19 Figure 13 Développement de l instabilité 3D dans le sillage d un cylindre incliné pour : a un diamètre D = 6 mm, un angle α = 30, un Reynolds Re = 210, et un Froude F = 3, 37 ; b un diamètre D = 8 mm, un angle α = 45, un Reynolds Re = 220, et un Froude F = 1, 99 ; c un diamètre D = 8 mm, un angle α = 60, un Reynolds Re = 210, et un Froude F = 1, 90. à la longueur d onde du mode A que l on distingue juste derrière le cylindre, en amont de cette nouvelle structure. De plus, on observe de même une déstabilisation du sillage pour des stratifications modérées. Ces remarques faites sur les visualisations de la figure 13 sont validées par les diagrammes a et b de la figure 12 où l on a effectivement observé les similitudes entre cette nouvelle forme en S d instabilité 3D et le mode A. On peut donc penser que cette nouvelle structure de l instabilité observée est simplement une déformation du mode A due à la présence de couches critiques. 18

20 5 Conclusion Nous avons présenté une étude expérimentale et numérique du sillage d un cylindre circulaire, incliné par rapport à la verticale puis parfaitement horizontal et se déplaçant dans un fluide fortement stratifié. Dans une première partie, nous avons montré que la stratification tend à stabiliser l allée de tourbillons de von Karman pour des nombres de Froude modérés. On peut expliquer cette tendance par le fait que les tourbillons inclinés ou horizontaux génèrent une vitesse verticale et nécessitent alors une énergie potentielle supplémentaire comme pour la stratification de l instabilité de Kelvin - Helmholtz par une stratification pour un nombre de Richardson Ri > 1/4. Ce résultat est en accord avec l étude du cylindre horizontal de Boyer et al. (1989) [7]. Toutefois, il a été constaté pour un cylindre incliné l absence de stabilisation pour des fortes stratifications, où le nombre de Reynolds critique se trouve être proche de sa valeur pour un fluide homogène. Ceci s explique par la présence d un deuxième mode instable de tourbillons de von Karman sans vitesse verticale, comme cela a été obtenu pour un vortex solitaire incliné à faible nombre de Froude (Boulanger et al. (2007) [5]). Ce comportement est caractéristique du sillage d un cylindre incliné et ne peut pas être obtenu avec un cylindre horizontal. La deuxième partie de cette étude présente l évolution de l instabilité 3D que l on observe par ombroscopie pour des nombres de Reynolds plus élevés que ceux de la première partie. On retrouve le comportement théorique du sillage d un cylindre dans un fluide homogène pour des nombres de Froude élevés (stratification faible), avec la présence du mode A. Puis on a remarqué l influence de la stratification sur la stabilité du mode A, qui modifie le nombre de Reynolds critique de cette instabilité. Tout d abord, elle déstabilise le sillage pour des nombres de Froude modérés (2 F 4). Puis, plus l inclinaison du cylindre augmente, plus le Reynolds critique est élevé et on découvre un nouveau type d instabilité, en forme de S, qui semble être une instabilité similaire au mode A (même longueur d onde, apparaissant en aval du mode A) mais modifiée par la présence de couches critiques possédant de forts gradients de densité. Cependant, l effet de l inclinaison et l effet d une forte stratification n ayant pas encore été analysés avant cette étude, de vastes résultats expérimentaux et numériques sont encore nécessaires afin de décrire la dynamique complète du sillage d un cylindre dans un fluide stratifié. Par exemple, nous avons longuement essayé d observer l instabilité ZigZag (Billant & Chomaz (2000) [4]) en utilisant des cylindres de diamètres plus grands mais aucune visualisation n a été possible avec ce dispositif expérimental, probablement due aux faibles dimensions de la cuve pour de tels diamètres (D 32 mm). 19

21 Références [1] Albarède, P. & Provansal, M. Quasi-periodic cylinder wakes and the ginzburg-landau model. J. Fluid Mech. 291, , [2] Baines, P. G. Upstream influence and Long s model in stratifed flows. J. Fluid Mech. 82, , [3] Barkley, D. & Henderson, R. D. Three-dimensional Floquet stability analysis of the wake of a circular cylinder. J. Fluid Mech. 322, , [4] Billant, P. & Chomaz, J.-M. Theoretical analysis of the zigzag instability of a vertical columnar vortex pair in a strongly stratified fluid. J. Fluid Mech. 419, 29-63, [5] Boulanger, N., Meunier, P. & Le Dizès, S. Structure of a stratified tilted vortex. J. Fluid Mech. 583, , [6] Boulanger, N., Meunier, P. & Le Dizès, S. Tilt-induced instability of a stratified vortex. J. Fluid Mech. 596, 1-20, [7] Boyer, D. L., Davies, P. A., Fernando, H. J. S. & Zhang, X. Linearly stratified flow past a horizontal circular cylinder. Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A 328, 501, [8] Browand, F. K. & Winant, C. D. Blocking ahead of a cylinder moving in a stratified fluid : an experiment. Geophys. Fluid Dyn. 4, 29-53, [9] Chen, J.-H., Pritchard, W. G. & Tavener, S. J. Bifurcation for flow past a cylinder between parallel planes. J. Fluid Mech. 284, 23-41, [10] Dusek, J., Le Gal, P. & Fraunie, P. A numerical and theoretical study of the first Hopf bifurcation in a cylinder wake. J. Fluid Mech. 264, 59-80, [11] Jackson, C. P. A finite-element study of the onset of vortex shedding in flow past variously shaped bodies. J. Fluid Mech. 182, 23-45, [12] Lin, J. T. & Pao, Y. H. Wakes in stratified fluids : a review. Annu. Rev. Fluid Mech. 11, , [13] Mathis, C., Provansal, M. & Boyer, L. The Benard-von Karman instability : an experimental study near the threshold. J. Phys. Lett. Paris 45, , [14] Noack, B. & Eckelmann, H. A global stability analysis of the steady and periodic cylinder wake. J. Fluid Mech. 270, , [15] Provansal, M., Mathis, C. & Boyer, L. Benard-von Karman instability : transient and forced regimes. J. Fluid Mech. 182, 1-22, [16] Rees, S. J. & Juniper, M. P. The effect of confinement on the stability of viscous planar jets and wakes. J. Fluid Mech. 656, ,

22 [17] Sahin, M. & Owens, R. G. A numerical investigation of wall effects up to high blocage ratios on two-dimensional flow past a confined circular cylinder. Phys. Fluids 16, , [18] Schumm, M., Berger, E. & Monkewitz, P. A. Self-excited oscillations in the wake of two-dimensional bluff bodies and their control. J. Fluid Mech. 271, 17-53, [19] Spedding, G. R. The evolution of initially turbulent bluff-body wakes at high internal Froude number. J. Fluid Mech. 337, , [20] Williamson, C. H. K. Vortex dynamics in the cylinder wake. Annu. Rev. Fluid Mech. 28, , [21] Xu, Y., Fernando, H. J. S. & Boyer, D. L. Turbulent wakes of stratified flow past a cylinder. Phys. Fluids 7 (9), ,