Suites. Dénition et vocabulaire. Dénition 1. Une suite numérique, u, est une fonction de N dans R. u :

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Damien Boudreau
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1 Suites. I Dénition et vocabulaire. Dénition 1 Une suite numérique, u, est une fonction de N dans R { N R u : n u n Remarques. 1. Une suite doit être vue comme une liste innie de nombre réels : u 0, u 1, u 2, etc, qui sont appelés les termes de la suite. 2. La suite u se note (u n ) (avec des parenthèses). 3. Si nous ne xons pas une valeur particulière pour n nous dirons que u n (le nombre) est le terme général de la suite. 4. Le terme initial de la suite u est soit u 0 (numérotation à partir de 0), soit u 1 (numérotation à partir de 1). 5. n est appelé le rang (et il est placé en indice) de u n. Ainsi u 3 est le terme de rang Dans cette leçon l'emplacement des écritures, en indice, sur la ligne ou en exposant, est fondamentale. Il faudra donc avoir une écriture et une présentation irréprochable pour éviter les confusions. 7. Nous dirons que u 2 précède u 3 et que u 4 suit u Pour représenter graphiquement une suite il faut indiquer en abscisse la variable, n, et en ordonnée son image, u n. La représentation graphique d'une suite est le nuage des points de coordonnées (n; u n ) pour n entier naturel. 9. Nous nous intéresserons aux suites qui présentent une certaine logique. 1, 2 et Dire que la suite est croissante revient à dire que les termes de la suite augmentent. Exercice 1 Dans cet exercice nous nous intéresserons à la suite donnée par la formule explicite de calcul : quelque soit n N, u n = 0,5n Calculez u 4 puis u Représentez graphiquement (u n). - 1

2 3. Étudiez les variations de (u n). 4. Exprimez u n+1 (autrement dit donnez la formule de calcul) en fonction de n. Exercice 2 pour s'entraîner. Exercice 37 page 151 du manuel Hachette Déclic 2015 : étude des variations d'une suite dénie par une formule explicite. Exercice 3 Exprimez u n+1 en fonction de n si 1. u n = 2n u n = 2 n 3. u n = 3n 2 Exercice 4 pour s'entraîner. Exercices 31 et 32 page 151 du manuel Hachette Déclic 2015 : changement d'indice. II Suites dénies par récurrence. Dénition par récurrence. Nous dirons qu'une suite est dénie par récurrence lorsque le premier terme de la suite est donné, chaque terme de la suite se calcule à partir des précédents (relation de récurrence). Exercice 5 Déterminez les trois premiers termes de (u n). 1. u 0 = 0 et quelque soit n N, 3. u 0 = 2 et quelque soit n N u n+1 = u n u 0 = 4 et quelque soit n N u n+1 = u n + 4 u n+1 = 2u n 4. u 0 = 0 et quelque soit n N u n+1 = 13u n Exercice 6 pour s'entraîner. Exercice 23 page 151 du manuel Hachette Déclic 2015 : calculer les premiers termes d'une suite dénie par une relation de récurrence. Exercice 7 On dénie la suite factorielle par : u 0 = u 1 = 1 et quelque soit n 1 entier naturel u n+1 = (n + 1) u n - 2

3 1. Calculez u 2, u 3, u Recopiez puis complétez l'algorithme suivant pour qu'il ache u n. Entrée Aecter 1 à u Aecter 1 à k Saisir n Traitement Tant que k < n Aecter... à u Aecter k + 1 à k Fin tant que Sortie Acher u 3. Programmez le précédent algorithme dans votre calculatrice sous le nom factorielle. 4. Proposez un programme pour déterminer à partir de quelle valeur de n, factorielle n dépasse le milliard. Exercice 8 pour s'entraîner. Exercice 24 page 151 du manuel Hachette Déclic 2015 : algorithme, boucle pour. Exercice 9 (u n) est la suite dénie par u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 2u n Calculez u 1, u 2 et u Donnez u 100. Exercice 10 Exercices 18 à 21 page 150 du manuel Hachette Déclic 2015 : distinguer dénition explicite et par récurrence. Exercice 11 Exercices 44 page 152 du manuel Hachette Déclic 2015 : utilisation du tableur, suite dénie par une formule de récurrence, représentation graphique. Variations pour les suites dénies par récurrence. Proposition 1-3

4 Une suite (u n ) est croissante si et seulement si quelque soit n N u n u n+1 Remarques. 1. Nous caractériserions de même strictement croissante par u n < u n+1, ou décroissante par u n u n+1 ou encore strictement décroissante par u n > u n Dans la pratique nous utiliserons souvent le corollaire suivant. Corollaire 1 (u n ) est croissante si et seulement si u n+1 u n 0. (u n ) est décroissante si et seulement si u n+1 u n 0. Exercice 12 Exercice 36 page 151 du manuel Hachette Déclic 2015 : étude des variations. Exercice 13 pour s'entraîner. Exercices 34 et 35 page 151 du manuel Hachette Déclic 2015 : étude des variations. Exercice 14 pour s'entraîner. Exercice 43 page 152 du manuel Hachette Déclic 2015 : étude des variations et tableur. III Suite arithmétique. Dénition 2 Une suite (u n ) est dite arithmétique si l'on peut trouver un nombre r, qui est alors appelé la raison, tel que quelque soit n N u n+1 = u n + r Remarques. 1. Il s'agit d'une dénition par récurrence. Nous connaissons le procédé pour passer d'un terme de la suite au suivant. 2. Autrement dit on ajoute (ou on soustrait) toujours la même quantité. 3. Autrement dit la variation absolue entre deux termes consécutifs est constante. - 4

5 4. Une représentation graphique permet de remarquer que les points sont alignés. Nous dirons que la croissance est linéaire. Exercice 15 Exercice 23 page 176 du manuel Hachette Déclic 2015 : identier une suite arithmétique à partir de ses premiers termes. Exercice 16 Exercice 24 page 176 du manuel Hachette Déclic 2015 : identier une suite arithmétique. Exercice 17 pour s'entraîner. Exercices 25 à 27 page 176 du manuel Hachette Déclic 2015 : identier une suite arithmétique. Proposition 2 Une suite arithmétique (u n ) de premier terme u 0 et de raison r est strictement croissante si et seulement si r > 0, strictement décroissante si et seulement si r < 0, constante si et seulement si r = 0. Exercice 18 Exercice 41 page 177 du manuel Hachette Déclic 2015 : identier une suite arithmétique et sens de variation. Exercice 19 pour s'entraîner. Exercices 42 et 43 page 177 du manuel Hachette Déclic 2015 : identier une suite arithmétique et sens de variation. Proposition 3 Une suite arithmétique (u n ) de premier terme u 0 et de raison r a pour formule explicite u n = n r + u 0 quelque soit n N. Exercice 20 Déterminez la formule explicite pour une suite arithmétique (u n) de premier terme u 1 et de raison r. - 5

6 Exercice 21 Exercice 64 page 179 du manuel Hachette Déclic 2015 : exercice complet sur les suites arithmétiques. Exercice 22 Exercice 67 page 180 du manuel Hachette Déclic 2015 : exercice complet sur les suites arithmétiques, intérêts simples. Exercice 23 Exercice 71 page 180 du manuel Hachette Déclic 2015 : suite arithmétique et algorithme (tant que). Exercice 24 pour s'entraîner. Exercice 70 page 180 du manuel Hachette Déclic 2015 : suite arithmétique et algorithme (pour). IV Suite géométrique. Dénition 3 Une suite (u n ) est dite géométrique si l'on peut trouver un nombre q, qui est alors appelé la raison, tel que quelque soit n N u n+1 = q u n Remarques. 1. Autrement dit on multiplie (ou on divise) toujours la même quantité. 2. Autrement dit la variation relative entre deux termes consécutifs est constante. 3. Une représentation graphique permet de remarquer que les points ne sont pas alignés. Nous dirons que la croissance est exponentielle. Exercice 25 Exercice 28 page 176 du manuel Hachette Déclic 2015 : identier une suite géométrique à partir de ses premiers termes. Exercice 26 Exercice 29 page 176 du manuel Hachette Déclic 2015 : identier une suite géométrique. Exercice 27 pour s'entraîner. - 6

7 Exercices 30 à 32 page 176 du manuel Hachette Déclic 2015 : identier une suite géométrique. Proposition 4 Soit q ]0; + [. La suite géométrique (q n ) de premier terme u 0 et de raison q est strictement croissante si et seulement si q > 1, strictement décroissante si et seulement si q < 1, constante si et seulement si q = 1. Exercice 28 Exercice 44 page 178 du manuel Hachette Déclic 2015 : identier une suite géométrique et sens de variation. Exercice 29 pour s'entraîner. Exercices 45 et 46 page 178 du manuel Hachette Déclic 2015 : identier une suite géométrique et sens de variation. Proposition 5 Une suite géométrique (u n ) de premier terme u 0 et de raison q a pour formule explicite u n = q n u 0 quelque soit n N. Exercice 30 Déterminez la formule explicite pour une suite géométrique (u n) de premier terme u 1 et de raison r. Exercice 31 Exercice 88 page 182 du manuel Hachette Déclic 2015 : exercice complet sur les suites géométrique. Exercice 32 Exercice 92 page 183 du manuel Hachette Déclic 2015 : exercice complet sur les suites géométrique, intérêts composés. - 7

8 V Exercices. Exercice 33 Exercice 87 page 157 du manuel Hachette Déclic 2015 : problème avec formule explicite. Exercice 34 Exercice 88 page 157 du manuel Hachette Déclic 2015 : problème avec formule de récurrence. Exercice 35 pour s'entraîner. Exercice 93 page 159 du manuel Hachette Déclic 2015 : problème avec formule de récurrence. Exercice 36 pour s'entraîner. Exercice 108 page 186 du manuel Hachette Déclic 2015 : inuence de l'arrondi. Exercice 37 pour s'entraîner. Exercice 109 page 186 du manuel Hachette Déclic 2015 : jeux d'échecs. Exercice 38 pour s'entraîner. Exercice 113 page 188 du manuel Hachette Déclic 2015 : comparaison, Malthus. Exercice 39 pour s'entraîner. Exercice 114 page 188 du manuel Hachette Déclic 2015 : intérêts simples ou composés. Exercice 40 pour s'entraîner. Exercice 118 page 189 du manuel Hachette Déclic 2015 : comparaison. - 8

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