MAT1500 Mathématiques discrètes

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1 MAT1500 Mathématiques discrètes Matilde N. Laĺın Université de Montréal Le 19 octobre 2016 Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

2 Le menu d aujourd hui Annonce Rappel de 3.2 Principe de l induction 3.3 Définitions récursives 4.1 Dénombrement 4.2 Principe de nids de pigeon ou principe de tiroirs de Dirichlet Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

3 Annonce Semaine de rêlache Il n y aura pas ni de cours ni de TP la semaine de 24 au 28 octobre. Je serai disponible le mardi 25 octobre 11h30-13h30. Je ne serai pas disponible le mercredi 26 octobre. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

4 Rappel de 3.2 Principe de l induction et ses amis Le principe généralisé de l induction et du principe du bon ordre Soit P(n) une fonction propositionnelle avec univers de discours N. Donc si 1 P(0) est V (Étape de base) 2 n (( m n P(m)) P(n + 1)) est V (Étape inductive) alors, n P(n) est V. Tout ensemble non vide de N admet un plus petit élément. C est-à-dire, si S N et S, alors x S y S(x y). Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

5 Rappel de 3.2 Principe de l induction et ses amis L équivalence entre bon ordre et les principes de l induction Considérons 1 Le principe de l induction 2 Le principe généralisé de l induction 3 Le principe du bon ordre On peut prouver que 1) = 2) = 3) = 1) Un de ces principes (n importe quel) est ajouté comme axiome à la construction des nombres naturels. Les autres deux deviennent théorèmes. Les principes de l induction et généralisé de l induction = le théorème fondamental de l arithmétique. Le principe du bon ordre = l algorithme de division. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

6 3.3 Définitions récursives 3.3 Définitions récursives On peut se servir du principe de l induction pour donner des définitions. Soit A un ensemble quelconque. Pour définir une fonction f : N A on donne 1 f (0). 2 Une règle qui donne f (n + 1) à partir de f (0), f (1),..., f (n). Exemple : f (0) = 2; f (n + 1) = 3f (n) + 1. (On peut penser à A = Z.) Donc, f (1) = 3f (0) + 1 = = 7, f (2) = 3f (1) + 1 = = 22, f (3) = 3f (2) + 1 = = 67, etc. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

7 3.3 Définitions récursives Définition récursive de la fonction factorielle Exemple : Donner une définition récursive de la fonction factorielle F (n) = n! = n, F (0) = 1 Réponse : 1 F (0) = 1 2 F (n + 1) = (n + 1)F (n) Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

8 3.3 Définitions récursives Définition récursive de la somme Exemple : Donner une définition récursive de n a k = a a n. k=0 Réponse : 0 1 a k = a 0 2 k=0 n+1 ( n ) a k = a k + a n+1 k=0 k=0 Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

9 3.3 Définitions récursives Les nombres de Fibonacci Définition : Les nombres de Fibonacci f 0, f 1, f 2,... sont définis par les équations 1 f 0 = 0, f 1 = 1 2 f n = f n 1 + f n 2 pour n 2. Exemples : On a f 2 =f 1 + f 0 = = 1 f 3 =f 2 + f 1 = = 2 f 4 =f 3 + f 2 = = 3 f 5 =f 4 + f 3 = = 5 f 6 =f 5 + f 4 = = 8 Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

10 3.3 Définitions récursives Une propriété des nombres de Fibonacci Les nombres de Fibonacci possèdent de nombreuses propriétés intéressantes. Exemple : Prouver que pour tout n Z >0, P(n) = f f f 2 n = f n f n+1. Démonstration : P(1) est V parce que f 2 1 = 1 = f 1f 2. Supposons que P(n) est V. Alors f f f 2 n +f 2 n+1 =f n f n+1 +f 2 n+1 =(f n + f n+1 )f n+1 =f n+2 f n+1 Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

11 3.3 Définitions récursives Ensembles définis récursivement Problème : Soit S un ensemble défini par 1 3 S 2 x S y S = x + y S. Montrer que S = {n Z >0 3 divise n}. Démonstration : Soit A := {n Z >0 3 divise n}. On verra que A S et que S A. A S : Soit P(k) = 3k S. P(1) est V, car 3 S. Supposons que P(k) est V. Comme 3, 3k S, on a que 3 + 3k = 3(k + 1) S. Donc P(k + 1) est V et A S. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

12 3.3 Définitions récursives Ensembles définis récursivement Démonstration : S A : Comme S est défini récursivement, il faut vérifier que la même récursion est à l interieur de A. 1 3 A (parce que 3 est multiple de 3). 2 Supposons que x, y A. Alors, il faut voir que x + y A. Comme x, y A, alors, 3 x, 3 y. Donc 3 (x + y) et x + y A. Alors S A. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

13 4.1 Dénombrement 4.1 Dénombrement Nous allons étudier des différents principes de comptage. La combinatoire est l étude de l arrangement des objets et constitue une partie importante des mathématiques dicrètes. L énumération est le dénombrement d objets ayant certaines propriétés. Elle est l une des composantes principales de l analyse combinatoire. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

14 4.1 Dénombrement Principe de la somme Proposition : Si on peu accomplir un tâche de m façons et une deuxième tâche de n façons et si on ne peut pas effectuer ces tâches simultanément, alors il y a m + n façons d exécuter l une ou l autre de ces tâches. En d autres mots, si A et B sont deux ensembles finis tels que A B =, alors A B = A + B. Plus généralement, si A 1,..., A n sont des ensembles finis disjoints deux à deux, alors A 1 A n = A A n. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

15 4.1 Dénombrement Principe de la somme - Exemple Exemple : Un sac contient 7 bonbons de fraise différents et 10 bonbons de chocolat différents. De combien de façons peut-on choisir un bonbon du sac? Résolution : Par le principe de la somme il y a = 17 façons de choisir le bonbon. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

16 4.1 Dénombrement Principe de la somme - Exemple Exemple : Pour former un comité universitaire il faut choisir un représentant de mathématiques qui peut être étudiant ou professeur. De combien de façons peut-on sélectioner le représentant de mathématiques s il y a 94 étudiants et 33 professeurs? (Aucun professeur n est un étudiant.) Résolution : Par le principe de la somme il y a = 127 façons de choisir le représentant. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

17 4.1 Dénombrement Démonstration du principe de la somme Démonstration : Soit A l ensemble des façons de faire la première tâche et B l ensemble des façons de faire la deuxième tâche. On ne peut pas choisir simultanément veut dire que A B =. Choisir un élément de A ou un élément de B est le même qu exécuter un des deux tâches et le même que choisir un élément de A B. La conclusion se suit du fait que A B = A + B (par le principe de l inclusion-exclusion). Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

18 4.1 Dénombrement Principe du produit Proposition : On suppose qu une procédure peut être divisée en deux tâches. S il existe m façons de faire la première tâche et puis n façons d accomplir la deuxième tâche lorsque la première est terminée, alors il y a m n façons d effectuer la procédure. En d autres mots, si A et B sont deux ensembles finis, alors A B = A B. Plus généralement, si A 1,..., A n sont des ensembles finis, alors A 1 A 2 A n = A 1 A 2 A n. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

19 4.1 Dénombrement Principe du produit - Exemples Exemple : Il y a 30 micro-ordinateurs dans un centre de calcul. Chaque micro-ordinateur a 21 ports. Combien y-a-t-il des ports différents dans le centre? Résolution : Par le principe du produit il y a = 630 ports différents dans le centre. Exemple : Combien de plaques d immatriculation différentes peut-on obtenir si chacune contient une série de trois chiffres suivie de trois lettres? Résolution : Il y a = plaques. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

20 4.1 Dénombrement Démonstration du principe du produit Démonstration : Soit B l ensemble des façons de faire la première tâche et A l ensemble des façons de faire les deux tâches. La fonction f : A B associe à une façon de faire les deux tâches : la première tâche. Pour une façon donnée de faire la première tâche, il y a n façons d accomplir la deuxième tâche. Alors les préimages de f ont toujours n éléments. On conclut que A = B n = m n. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

21 4.1 Dénombrement Principe du produit - Exemples Exemple : Combien y-a-t-il des fonctions d un ensemble à m éléments dans un ensemble à n éléments? Résolution : Chaque élément de l ensemble de m éléments a n images possibles. Il y a n } n {{ n} = n m fonctions. m Exemple : Combien y-a-t-il des fonctions injectives d un ensemble à m éléments dans un ensemble à n éléments? Résolution : Le premier élément a n images possibles, le deuxième élément a n 1 images possibles, etc. Il y a n (n 1) (n m + 1) fonctions injectives. Il faut que n m. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

22 4.1 Dénombrement La cardinalité de l ensemble de parties d un ensemble Théorème : Soit S un ensemble fini de cardinalité n N. Alors P(S) = 2 n. Démonstration : On fait une liste ordonnée des éléments de S : (s 1,..., s n ). Pour chaque U S, on associe une chaîne binaire de la forme suivante. { 0 à la place i si si U, 1 à la place i si s i U. Le nombre de chaînes binaires de longeur n est donné par }{{} On conlut que P(S) = 2 n. n = 2 n. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

23 4.1 Dénombrement Principe de la somme et du produit combinés - Exemple Problème : Dans un café on peut acheter 6 sortes de muffins, 7 sortes de boissons chaudes et 5 sortes de boissons froides. De combien de façons peut-on choisir une boisson et un muffin? Résolution : Il y a deux tâches : choisir une boisson et puis choisir un muffin. 1 On peut choisir une boisson chaude ou froide. Par le principe de la somme, il y a = 12 façons de le faire. 2 On peut choisir le muffin de 6 façons. Par le principe du produit, il y a un total de (7 + 5) 6 = 72 façons de choisir une boisson et un muffin. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

24 4.1 Dénombrement Un autre problème combiné Problème : Chaque utilisateur d un système informatique a un mot de passe ayant de six à huit caractères où chaque caractère est une lettre mayuscule ou un chiffre. Chaque mot de passe contient au moins un chiffre. Combien y a-t-il de possibilités de mots de passe? Résolution : Il faut compter les mots de passe de chaque longeur possible. Pour longeur 6, il y a 36 6 mots de passe sans restriction. Il y a 26 6 mots de passe sans chiffres. Il y a donc mots de passe de longeur 6 qui contient au moins un chiffre. Pour longeur 7 et 8, on a et Le total est ( ) + ( ) + ( ) = Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

25 4.1 Dénombrement Le principe de la de la soustraction (principe de l inclusion-exclusion) Lorsqu on peut accomplir deux tâches simultanément, on ne peut utiliser le principe de la somme directement. Proposition : Si on peu accomplir un tâche de m façons et une deuxième tâche de n façons, alors, le nombre de façons d exécuter l une ou l autre de ces tâches est m + n moins le nombre de façons d effectuer ces tâches simultanément. En d autres mots, si A et B sont deux ensembles finis, alors A B = A + B A B. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

26 4.1 Dénombrement Principe de l inclusion-exclusion - Exemple Problème : Combien de chaînes binaires de longeur sept commencent par le bit 1 ou se terminent par le deux bits 00? Résolution : 1 Le nombre de chaînes binaires 1xxxxxx qui commencent par 1 est 2 6 = Le nombre de chaînes binaires xxxxx00 qui se terminent par 00 est 2 5 = Le nombre de chaînes binaires 1xxxx00 qui commencent par 1 et se terminent par 00 est 2 4 = 16. On a donc = 80 chaînes binaires de longeur sept commencent par le bit 1 ou se terminent par le deux bits 00. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

27 4.1 Dénombrement Principe de l inclusion-exclusion - Autre exemple Problème : Combien d entiers positifs ne dépassant pas 100 sont divisibles soit par 4, soit par 6? Résolution : Soit On a On a donc A 4 = {1 n divise n} A 6 = {1 n divise n} A 4 = = 25, A 6 = = A 4 A 6 = = = 8 ppcm(4, 6) 12 A 4 A 6 = A 4 + A 6 A 4 A 6 = = 33 Il y a 33 entiers positifs ne dépassant pas 100 qui sont divisibles soit par 4, soit par 6. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

28 4.1 Dénombrement Diagrammes en arbres Des fois on peut se servir des diagrammes en arbres pour répondre à des questions de comptage. Problème : Combien de chaînes binaires de longeur quatre ne comportent pas deux 1 consécutifs? Résolution : 8 chaînes =0000 =0001 =0010 =0100 = = = =1010 Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

29 4.2 Principe de nids de pigeon ou principe de tiroirs de Dirichlet 4.2 Principe de nids de pigeon ou principe de tiroirs de Dirichlet Théorème : Si k + 1 objets ou plus sont rangés dans k boîtes, alors, il y a au moins une boîte qui contient deux objets ou plus. Démonstration : Supposons qu aucune des k boîtes ne contient plus d un objet. Alors, le nombre total d objets serait au plus k, contradiction. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

30 4.2 Principe de nids de pigeon ou principe de tiroirs de Dirichlet Principe de tiroirs de Dirichlet - Exemple Exemple : Dans un groupe de 367 personnes il doit y avoir au moins deux personnes qui ont la même date d anniversaire, car il n existe que 366 possibilités de dates d anniversaire. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

31 4.2 Principe de nids de pigeon ou principe de tiroirs de Dirichlet Principe de tiroirs de Dirichlet généralisé Théorème : Si N objets sont rangés dans k boîtes, alors, il y a au moins une boîte qui contient au moins N k objets. Démonstration : Supposons qu aucune des k boîtes ne contient plus de N k 1 objets. Alors, le nombre total d objets serait au plus contradiction. k ( N k 1 ) < k (( N k + 1 ) ) 1 = N, Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

32 4.2 Principe de nids de pigeon ou principe de tiroirs de Dirichlet Principe de nids de pigeon ou principe de tiroirs de Dirichlet - Exemple Exemple : S il faut distribuer 25 œufs parmi 8 nids de pigeon, il y aura un moins un nid avec au moins 4 œufs. Dans ce cas, N = 25, k = 8 et N k = 4. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33

33 4.2 Principe de nids de pigeon ou principe de tiroirs de Dirichlet Principe de tiroirs de Dirichlet généralisé - Exemple Exemple : Quel est le nombre minimal de personnes dans un groupe pour garantir qu il y ait au moins 10 qui sont nées le même mois? Réponse : On a que k = 12 (le nombre de mois) et que N k = 10. On cherche N minimal tel que N 12 > 9. Comme 12 9 = 108, on a N = 109. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 19 octobre / 33