Algorithmique. Cristina Sirangelo, ENS-Cachan. Préparation à l'option Informatique de l'agrégation de mathématiques

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1 Algorithmique Cristina Sirangelo, ENS-Cachan Préparation à l'option Informatique de l'agrégation de mathématiques

2 Plan 1. Analyse et compleité des algorithmes (S.Haddad) 2. Types abstraits et structures de données (suite) 3. Algorithmes de tri 4. Techniques classiques de conception d algorithmes 5. Algorithmes de graphes

3 Types abstraits et structures de données Les algorithmes opèrent sur des données (données en input, données auiliaires) Aspect central de l algorithmique: représentation et manipulation des données Deu niveau de représentation: niveau abstrait ou logique (type abstrait de données) implémentation (structure de données) Séparation des deu niveau : modularité et interface utiliser un objet ou une fonctionnalité par son interface abstraite, indépendamment des détails de son implémentation Type abstrait un ensemble d objets des opérations qui les manipulent Structure de données Représentation concrète des objets décrits par le type abstrait dans la mémoire d un ordinateur Implémentation des opérations sur cette représentation Représentation des données: en terme de types élémentaires et d autres types abstraits (hiérarchie de types)

4 Types abstraits et structures de données Piles Files Listes Arbres Graphes Dictionnaires Arbres binaires de recherche, tables de hachage,... Files de priorité etc

5 Dictionnaires et algorithmes de recherche Dictionnaire: un type abstrait de données qui permet de représenter et manipuler des ensembles (typiquement ordonnés). Principales opérations: recherche d un élément, insertion et suppression D autres opérations typiques: fusion, scission Éléments de l ensemble accessibles par un champ clef (identifiant) sur un domaine totalement ordonné D autres informations associées à chaque élément: schématisées par un seul autre champ valeur, qui peut être d un type complee.

6 Dictionnaires Implémentations possibles par Tableau (non-trié et trié) par Liste (non-trié et trié) par Table de Hachage par Arbre Binaire de Recherche : compleité des opérations de recherche/insertion/suppression: O(log n) cas moyen O(n) cas pire - dû au possible déséquilibre dans l arbre (cas pire: arbre dégénéré en une liste) Arbres de recherche équilibrés: arbres de recherche qui respectent des propriétés d'équilibre entre la hauteur des sous-arbres d un noeud (évitent que l arbre dégénère en une liste) la hauteur reste logarithmique dans le nombre de noeuds compleité de la recherche/insertion/suppression: O(log n) dans le cas pire les opérations de mise à jour (insertion/suppression) doivent maintenir la propriété d'équilibre

7 Arbres de recherche équilibrés Arbres AVL (Adelson-Velskii et Landis) Arbres a-b Arbres rouge-noir (ou bicolores)

8 Rotations Rappel: Soit Tclef un domaine totalement ordonné, et Tval un type pour les valeurs: Rotations: Arbre binaire de recherche (ABR) sur (Tclef, Tval): un arbre binaire sur un domaine (Tclef, Tval) tel que pour tout sommet clefs dans le sous-arbre gauche de <. clef < clefs dans le sous-arbre droit de des opérations de réorganisation locale des noeuds d un ABR, qui préservent la propriété d ABR briques de base pour les opérations de rééquilibrage dans les ABR équilibrés

9 Rotations rotation gauche y y A rotation droite C B C A B

10 Rotations rotation gauche-droite z y y z D A A B C D B C y rotation droite-gauche z y A z D A B C D B C Toutes les opérations de rotation sur les arbre binaires peuvent être réalisées en temps O(1)

11 Arbres AVL (Adelson-Velskii et Landis) Pour un arbre binaire A et un sommet de A : A() : sous-arbre de A de racine Ag () : sous arbre gauche de A() Ad () : sous-arbre droit de A() Equilibre de : δ () = hauteur( Ag() ) - hauteur( Ad() ) ( par convention la hauteur d un arbre vide est -1 ) Arbre AVL: ABR tel que, pour tout sommet de l arbre δ() { -1, 0, 1 } Proposition Soit A un arbre AVL ayant n sommets et de hauteur h, alors: log2 (n+1) h+ 1 1,44 log2 (n+2)

12 Hauteur d un arbre AVL Preuve. 1) L arbre binaire de hauteur h ayant plus de sommets est l arbre complet #sommets de l arbre complet: h = 2 h+1-1 n 2 h+1-1 h+ 1 log2 (n+1) 2) L arbre AVL de hauteur h ayant le nombre minimum de sommets (arbre de Fibonacci): h= -1: arbre vide h= 0 : arbre composé de la seule racine h 1: arbre composé d une racine, un sous arbre de hauteur h-1 ayant un minimum de sommets, et un sous arbre de hauteur h-2 ayant un minimum de sommets N(h): nombre minimum de sommets d un arbre AVL de hauteur h N(-1) = 0, N(0) = 1, N(h) = 1 + N(h-1) + N(h-2) pour h 1 ( N(1) = 2 ) On pose F(h) = N(h) +1 F(0) =2, F(1) =3 F(h) = F(h-1) +F(h-2) pour h 2

13 Hauteur d un arbre AVL F(0) =2, F(1) =3 F(h) = F(h-1) +F(h-2) pour h 2 F(h) est le nombre de Fibonacci d indice h+ 3, pour tout h 0 F(h)= 1 ( p h+3 - q h+3 ) 1+ 5 > 1 p = q = 5 5 ph q h+3 < 1 n N(h) = F(h) -1 n+1 > 1 5 ph+3-1 h+ 3 < log p (n+2) + log p 5 (1/ log2 p) log 2 (n+2) + 2 =1, 44 log 2 (n+2) + 2 h+ 1 < 1, 44 log 2 (n+2)

14 Opérations de dictionnaire sur les arbres AVL Recherche: algorithme habituel de recherche dans un ABR Compleité O(h), et par la proposition ci-dessus: La recherche d une clef dans un arbre AVL se fait en temps O(log n) dans le cas pire Insertion/ Suppression: algorithme habituel plus rééquilibrage Pour plus d efficacité: dans chaque sommet on stocke h(a())

15 Insertion dans un arbre AVL Deu phases: 1) descente de l arbre (comme dans les ABR), création d une nouvelle feuille (clef, valeur) s 2) rééquilibrage de l arbre A: l arbre avant insertion A : l arbre après insertion δ: l'équilibre avant insertion δ : l'équilibre après insertion

16 Insertion dans un arbre AVL Rééquilibrage de A u γ Remonter le chemin γ entre la nouvelle feuille s et la racine. Pour chaque sommet v de γ: calculer (et stocker) la nouvelle profondeur du sous-arbre A(v) (au plus +1) vérifier les conditions AVL pour A(v) s : le premier sommet de γ (de s vers la racine) tel que A() n est pas AVL ( δ () =2 ) u: le fils de dans γ (supposer u fils gauche, le cas u fils droit est symétrique) (u est dans A)

17 Propriétés de A (arbre avant l insertion) et γ Lemme Insertion dans un arbre AVL 1) Pour tous descendant v de sur le chemin γ ( eclus): δ(v)=0 2) Pour : δ() =1 A v γ Preuve: Soit P le sous arbre plus profond de v dans A et S l autre sous-arbre l insertion de la nouvelle feuille s (au bout de γ) se fait dans P (sinon h(a (v)) =h(a(v)) et donc δ() = δ () ) Donc δ (v) = δ(v) +1 Si δ(v) 0 alors δ (v) >1 contradiction (parce que A (v) est AVL ) Pour : δ() =1 et s est inséré dans le sous-arbre les plus profond de (sinon A () serait AVL ) L insertion se fait dans Ag() par hypothèse δ() =1

18 Rééquilibrage de A, deu cas 1) s inséré dans le sous-arbre gauche de u Insertion dans un arbre AVL A: u A u h h h s A : u rééquilibrage : rotation droite u équilibre rétabli h(a (u)) =h(a()) h h h+1 h h h+1

19 Rééquilibrage de A, deu cas 2) s inséré dans le sous-arbre droit de u Insertion dans un arbre AVL A: u y h A u h h-1 h-1 s A : u y h rééquilibrage : rotation gauche-droite u y y peut être éventuellement le nouveau noeud inséré équilibre rétabli h(a (y)) =h(a()) h h-1 h h-1 h h h

20 Compleité de l insertion : O(log n) Insertion dans un arbre AVL Phase de descente: O(log n) Phase de rééquilibrage O(log n): on remonte au pire jusqu'à la racine ensuite une opération de rééquilibrage (O(1))

21 Suppression dans un arbre AVL Deu phases: 1) suppression d une feuille s (algorithme de suppression ABR modifié): descente de l arbre pour trouver le sommet contenant la clef à supprimer si est une feuille il est supprimé sinon remplacer le contenu de avec le noeud y contenant le maimum de Ag() ou le minimum de Ad() supprimer y récursivement X s 2) rééquilibrage de l arbre A: l arbre avant suppression A : l arbre après suppression δ: l'équilibre avant suppression δ : l'équilibre après suppression

22 Suppression dans un arbre AVL Rééquilibrage de A A γ Remonter le chemin γ entre le père de s et la racine. Pour chaque sommet v de γ: X s calculer (et stocker) la nouvelle profondeur du sous-arbre A(v) vérifier les conditions AVL pour A(v) : le premier sommet de γ (de s vers la racine) tel que A() n est pas AVL ( δ () =2 ) supposons s dans le sous-arbre droit de (l'autre cas est symétrique)

23 Suppression dans un arbre AVL Dans A : plus précisément: u h+2 h AVL h+2 h AVL Deu cas: 1) Le sous-arbre gauche de u à hauteur h+1 u rééquilibrage : rotation droite u h h+1 h ou h+1 h+1 h ou h+1 h Si h+1: équilibre rétabli ( h(a (u)) = h(a()) ) Sinon h(a (u)) = h(a())-1

24 2) Le sous-arbre gauche de u à hauteur h Suppression dans un arbre AVL rééquilibrage : rotation gauche-droite y u y h u h(a (y)) = h(a())-1 h h-1 ou h h h-1 h ou h h h Si après une étape de rééquilibrage l'équilibre n est pas rétabli, répéter le rééquilibrage sur le noeud père, et ainsi de suite, au pire jusqu à la racine

25 Suppression dans un arbre AVL Compleité de la suppression : O(log n) Phase de descente: O(log n) Phase de rééquilibrage: O(log n) on remonte jusqu'à un noeud de hauteur h en suite O(h-h ) rééquilibrages au pire

26 Arbres a-b Pour a 2, b 2a -1 Un arbre a-b sur (Tclef, Tval) est un arbre A tel que: 1) les feuilles de A ont toutes la même profondeur et contiennent des couples (clef, val) 2) chaque noeud interne de A a: - un nombre d() de sous-arbres a d() b, dénotés Ai() ( i=1..d() ) - une suite de d()-1 clefs (dites balises) K1,..., Kd()-1 telles que pour tout i clefs dans Ai() Ki < clefs dans Ai+1() 3) à la racine la contrainte sur d() est moins forte: 2 d() b Un arbre 3-5 1, v1 2, v2 5, v3 7, v4 9, v5 10, v6 11, v7

27 Relation entre la hauteur et la taille Proposition Soit A un arbre a-b avec n feuilles et de hauteur h, alors log n / log b h 1 + log (n/2) / log a Preuve: n b h parce que chaque noeud interne a au plus b fils n 2 a h-1 parce que la racine a au moins 2 fils et les autres noeuds internes ont au moins a fils

28 Recherche dans les arbres a-b Recherche d une clef c dans A: descente dans la profondeur de l arbre racine de A Tant que le sommet courant n est pas une feuille trouver i tel que Ki-1 c Ki (parcours linéaire des balises de ) racine de Ai() ( i=1 si c K1 i=d() si c > Kd()-1) Ki-1 Ki c, v A Ai() Compleité: O(hauteur) O(log n) dans le cas pire ( Le parcours linéaire d un noeud interne se fait en temps O(1) )

29 Insertion dans les arbres a-b Insertion de (c,v) (c n apparaît pas dans l arbre) Première phase: descente dans la profondeur de l arbre guidée par les balises (recherche de c) soit ci la clef trouvé à la place de c Insertion de (c, v) comme nouvelle feuille: Deu cas c < ci Ki-1 Ki Ki-1 c Ki ci, vi c, v ci, vi c > ci Ki-1 Ki Ki-1 ci Ki ci, vi ci, vi c, v

30 Deuième phase (rééquilibrage) Insertion dans les arbres a-b Si la contrainte d() b est violée sur un noeud après la première phase: éclater Règle d'éclatement (équilibré) d un noeud interne avec d() fils b+1 d() 2b y K K d() / 2 d() / 2 a d() / 2 d() / 2 b (si est la racine une nouvelle racine contenant uniquement la clef K est créée) Observation: d() b+1 2 a les deu nouveau noeuds sont a-b Apres l éclatement de : le père y de peut avoir b+1 fils: répéter l'éclatement sur y et ainsi de suite (au pire) jusqu à la racine

31 Insertion dans les arbres a-b Compleité: Première phase: O(log n) Deuième phase : O(log n) - chaque opération d'éclatement se fait en temps O(1) L insertion dans un arbre a-b à n éléments (feuilles) se fait en temps O(log n) dans le cas pire

32 Suppression dans les arbres a-b Première phase: Recherche de la feuille y qui contient la clef c (descente dans la profondeur de l arbre) Suppression de y et de la balise correspondante c, v y c, v y Apres la suppression de la feuille, le père peut avoir un nombre insuffisant de fils

33 Suppression dans les arbres a-b Deuième phase (rééquilibrage): Si le noeud interne a un nombre insuffisant de fils, Trois cas: 1) est la racine (et a un seul fils) supprimer et le remplacer par son fils Sinon a un père, a-1 fils et au moins un frère

34 Suppression dans les arbres a-b Deuième phase (rééquilibrage): Si le noeud interne a un nombre insuffisant de fils, Trois cas: 2) a un frère (gauche ou droit) z qui a plus que a fils: partage entre et son frère Règle de partage entre deu noeuds frères: a-1 d() < b a < d(z) b K z K < b > a b a a-1 b a b L arbre est a-b après le partage

35 Suppression dans les arbres a-b Deuième phase (rééquilibrage): Si le noeud interne a un nombre insuffisant de fils, Trois cas: 3) tous les frères de ont a fils: fusion entre et son frère gauche ou droit Règle de fusion entre deu noeuds frères: a d()+d(z) b K y z K a a + b b En particulier a-1 + a b Le noeud y peut ne pas être a-b, après la fusion Répéter le rééquilibrage sur le noeud y et ainsi de suite (au pire) jusqu à la racine

36 Suppression dans les arbres a-b Compleité: Première phase: O(log n) Deuième phase : O(log n) - chaque opération de partage ou fusion se fait en temps O(1) La suppression dans un arbre a-b à n éléments (feuilles) se fait en temps O(log n) dans le cas pire

37 Concaténation et scission dans les arbres a-b Rappel: Type abstrait dictionnaire: un dictionnaire est un ensemble de couples (clef, valeur) Opérations typiques dans un dictionnaire: FUSIONNER ( Dictionnaire D1, Dictionnaire D2 ): Dictionnaire; Retourne D1 D2 SCINDER ( Dictionnaire D, Tclef c ): ( Dictionnaire, Dictionnaire) ; Retourne (D1, D2) où D1 = { (c,v) D c c } et D2=D \ D1 CONCATENER: Cas particulier de fusion, pre-condition: ma(d1) < min(d2) Concaténation et scission peuvent être implémentés efficacement (O(log n)) dans les arbres a-b

38 Concaténation de deu arbres a-b On suppose d abord avoir une clef ma(d1) c < min(d2) et on implémente la fonction suivante: pre-conditions: A1, A2 sont deu arbres a-b qui représentent les dictionnaires D1 et D2, respectivement ma(d1) c < min(d2) CONCATENER ( Arbre A1, Tclef c, Arbre A2 ): Arbre; Retourne un arbre a-b qui représente D1 D2 Compleité de l'implémentation: O( 1+ h1 -h2 ) où hi est la hauteur de Ai, i=1,2

39 Concaténation de deu arbres a-b CONCATENER ( Arbre A1, Tclef c, Arbre A2 ): Arbre; Supposer h1 h2 Première phase: O(1+ h1-h2 ) Descendre la branche la plus à droite de A1, jusqu'au noeud dont le sous arbre a hauteur h2 A1 h1 h2 (si h2 est 0 : cas particulier) h2 A2 Fusionner avec la racine de A2, en utilisant la clef c (Remarquer que clefs de A() c < clefs de A2) h1 c h2 d( ) 2b

40 Concaténation de deu arbres a-b CONCATENER ( Arbre A1, Tclef c, Arbre A2 ): Arbre; Supposer h1 h2 Deuième phase: O(1+ h1-h2 ) h1 c h2 Si d( ) > b éclatement équilibré de ( possible parce que b+1 d( ) 2b ) ; en suite, si nécessaire, éclatement des ancêtres de (au pire) jusqu à la racine

41 Concaténation de deu arbres a-b pre-conditions: A1, A2 sont deu arbres a-b qui représentent les dictionnaires D1 et D2, respectivement ma(d1) < min(d2) CONCATENER ( Arbre A1, Arbre A2 ): Arbre; Retourne un arbre a-b qui représente D1 D2 Implementation: trouver c = clef maimale dans A1 O(1+h1) retourner CONCATENER ( A1, c, A2 ); O( 1 + h1-h2 ) Compleité de la concaténation : O( ma (h1, h2) ) O( log(ma( D1, D2 )) )

42 Scission d un arbre a-b Pre-conditions: A est un arbre a-b qui représente le dictionnaire D La clef c apparaît dans D SCINDER ( Arbre A, Tclef c ): ( Arbre, Arbre) ; Retourne un couple d arbres a-b qui représentent les dictionnaires D1 = { (c,v) D c c } et D2=D \ D1

43 Scission d un arbre a-b Soit π le chemin de la racine de A à la feuille contenant la clef de scission c A g1 d1 g2 d2 d3 g3 c, v

44 Scission d un arbre a-b Soit π le chemin de la racine de A à la feuille contenant la clef de scission c A g1 d1 g2 d2 d3 g3 c, v Les arbres à gauche de π contiennent les clefs c Les arbres à droite de π contiennent les clefs > c

45 Scission d un arbre a-b Soit π le chemin de la racine de A à la feuille contenant la clef de scission c G1 g1 d1 D1 G2 g2 d2 D2 d3 D3 G3 g3 G4 c, v Gi, i h(a)+1 Di, i h(a) Chaque Gi, Di est un arbre a-b (sauf peut-être à la racine) clefs de Di+1 di clefs Di (parce que Di+1 est dans le sous-arbre gauche de di ) clefs de Gi gi clefs Gi+1 (parce que Gi+1 est dans le sous-arbre droit de gi )

46 Scission d un arbre a-b clefs de Gi gi clefs Gi+1 clefs de Di+1 di clefs Di G1 g1 d1 D1 G2 g2 d2 D2 d3 D3 G3 g3 G4 c, v CONCATENER (G3, g3, G4) G3 CONCATENER (D3, d2, D2) D2 CONCATENER (G2, g2, G3 ) G2 CONCATENER (D2, d1, D1) D1 CONCATENER (G1, g1, G2 ) G1 si la racine de G1 (ou D1 ) a un seul fils, la supprimer retourner (G1, D1 )

47 Scission d un arbre a-b G1 D1 G2 D2 D3 G3 G4 c, v CONCATENER (G3, g3, G4) G3 O(1+ h(g3) -h(g4) ) CONCATENER (G2, g2, G3 ) G2 O(1+ h(g2) -h(g3 ) ) CONCATENER (G1, g1, G2 ) G1 O(1+ h(g1) -h(g2 ) ) O(h(A)) ( h(gi ) = h(gi) ou h(gi ) = h(gi)+1, par récurrence )

48 Scission d un arbre a-b Pre-conditions: A est un arbre a-b qui représente le dictionnaire D La clef c apparait dans D SCINDER ( Arbre A, Tclef c ): ( Arbre, Arbre) ; Retourne un couple d arbres a-b qui représentent les dictionnaires D1 = { (c,v) D c c } et D2=D \ D1 Compleité de la scission : O( h(a) ) O( log D )

49 Coût amorti des arbres a-b Coût d une insertion/suppression: O(h + r) Où h = hauteur de l arbre a-b (phase de descente) r h : nombre d'étapes de rééquilibrage (éclatement/partage/fusion) Soit s une suite de n opérations d insertion et suppression dans un arbre a-b P(s): nombre totale de partages effectués dans la suite s d opérations E(s): nombre totale de éclatements effectués dans la suite s d opérations F(s): nombre totale de fusions effectués dans la suite s d opérations Coût amorti de rééquilibrage pour s : P(s)+E(s)+F(s) n

50 Coût amorti des arbres 2-4 Proposition Sur un suite s quelconque de n opérations d insertion et suppression dans un arbre 2-4 initialement vide, le coût amorti de rééquilibrage est constant. Plus précisément, soit i le nombre d insertions et d le nombre de suppressions dans s, alors P(s) d E(s)+F(s) n + (i-d-1) / 2 Par conséquent P(s)+E(s)+F(s) n 3 2 Preuve: Eercice

51 B-arbres Quand b=2a -1, un arbre a-b est appelé B-arbre d ordre a-1 (ordre = nombre de clefs dans un noeud) B-arbres: Utilisées pour la recherche de clefs en mémoire secondaire (indees sur les bases de données) Un noeud interne = une bloc du disque Mesure de compleité: nombre d accès au disque Informations associées a chaque clef (le champ val) : pointeur au données sur disque Compleité de la recherche/modification: O(log n) où n est le nombre de blocs

52 Arbres rouge-noir [Guibas-Sedgewick] Un arbre rouge-noir est un arbre binaire de recherche complet A sur un domaine (Tclef, Tval) avec une fonction c qui associe à chaque sommet de A une couleur {rouge, noir} tels que: 1) seules les noeuds internes (i.e. non-feuille) de A contiennent des couples (clef, valeur) 2) la fonction c satisfait les propriétés suivantes: a) le feuilles sont noires b) la racine est noire c) le père d un sommet rouge est noir d) tous les chemins d un même sommet vers les feuilles ont le même nombre de sommets noirs - ce nombre ( eclu) est appelé rang de

53 Un arbre rouge-noir et sa fonction de rang: Arbres rouge-noir - Eemple (par clarté seulement les clefs, et pas le valeurs, sont représentés)

54 Relation entre la hauteur et la taille Proposition Si A est un arbre-rouge noir ayant n (n>0) sommets et hauteur h, alors log n h 2 log n Preuve 1) Borne inférieure: clairement n h bin(n) = log n +1 h+1 2) Borne supérieure: On montre que pour chaque sommet de A de hauteur h(), de rang k et dont le sous-arbre a n() sommets: h() 2k et 2 k n() De plus, si est rouge, les inégalités sont strictes. Preuve par récurrence sur h(). Vrai si est une feuille ( est noir; h()=0; k=0; n()=1 ).

55 Relation entre la hauteur et la taille Preuve (suite). On montre que pour chaque sommet de A de hauteur h(), de rang k et dont le sous-arbre a n() sommets: h() 2k et 2 k n() De plus, si est rouge, les inégalités sont strictes. Si n est pas une feuille, 3 cas: a deu fils rouges a deu fils noirs a un fils rouge et un fils noir k k k k y z k k-1 y z k-1 k y z k-1 L'énoncé pour suit facilement en utilisant l'hypothèse de récurrence sur y et z

56 Insertion d un couple (c, v) Insertion dans les arbres rouge-noir Première phase: descente dans la profondeur de l arbre, guidée par les clefs dans les noeuds internes. Arrivé sur une feuille, la remplacer par un noeud rouge ayant deu feuilles noires: c Après insertion, tous les noeuds satisfont les propriétés rouge-noir sauf peut-être où les règles b) et c) peuvent être violés: - si est la racine, la racine n est pas noire - si le père de est rouge, le père d un noeud rouge n est pas noir

57 Insertion dans les arbres rouge-noir Deuième phase (rééquilibrage) Soit le noeud courant - est rouge et viole au plus b) et c) ; - est le seul noeud de l arbre qui ne satisfait pas les conditions rouge-noir, est la racine colorer noir l arbre devient rouge-noir n est pas la racine et a un père y rouge y a un père z et z est noir. Deu cas: 1) L autre fils de z est rouge z z y y Dans le cas 1) z devient le nouveau noeud courant

58 2) L autre fils de z est noir Insertion dans les arbres rouge-noir k+1 z k+1 y et t éloignés k+1 y k t rotation simple + recoloriage k+1 z k+1 k+1 w k+1 noeuds noirs, y compris w w t k k+1 z k+1 et t proches k+1 y k t rotation double y k+1 z k+1 + recoloriage k+1 t k Dans les cas 2) après les rotations l arbre est rouge-noir

59 Phase de rééquilibrage: Insertion dans les arbres rouge-noir Réitérer le rééquilibrage du noeud courant au pire jusqu à la racine (jusqu à l application d une règle d'arrêt) Compleité O(log n) (chaque étape de rééquilibrage se fait en O(1) ) Compleité de l insertion: O(log n)

60 Suppression dans les arbres rouge-noir Première phase: descente dans la profondeur de l arbre (recherche du noeud de clef c) et suppression de : 1) un fils de est une feuille, soit y l autre fils - rouge : 1 ( y noir) y équilibre rétabli - noir et y rouge: 1 y équilibre rétabli y - noir et y noir: 1 + feuille dégradée y

61 2) a deu fils non-feuille Suppression dans les arbres rouge-noir c m m y m y Remplacer le contenu de avec le contenu de y (le maimum du sous-arbre gauche) Supprimer y avec l algorithme du cas 1) Compleité de la première phase O(log n)

62 Suppression dans les arbres rouge-noir Deuième phase: élimination du sommet dégradé Propriétés d un sommet dégradé: Le sous-arbre enraciné dans un sommet dégradé est rouge-noir (quand le sommet dégradé est vu comme un noeud noir habituel) Un arbre rouge-noir avec un sommet noir dégradé satisfait toutes les conditions d un arbre rouge-noir si le sommet dégradé est vu comme un noeud noir, mais compte comme 2 dans le calcul du nombre de noeuds noirs sur les chemins rang dans un arbre avec un sommet dégradé: le sommet dégradé compte comme 2

63 Suppression dans les arbres rouge-noir Deuième phase: élimination du sommet dégradé Soit le sommet dégradé courant. Cas possibles: - a un frère noir z z a deu fils (sinon la règle sur les rangs n est pas satisfaite dans le père de : ) - z a deu fils noirs - z a un fils rouge + z - a un frère rouge - est la racine

64 Soit le sommet dégradé courant. Suppression dans les arbres rouge-noir - a un frère noir z et z a deu fils noirs père noir y + k+2 y k+1 y degradé + z k k+1 z k k+1 père rouge y k+2 y k+1 équilibre rétabli + z k k+1 z k k+1

65 Suppression dans les arbres rouge-noir Soit le sommet dégradé courant. - a un frère noir z et z a un fils rouge rotation simple y k+2 z k+2 et t éloignés + k z k+1 y k+1 t k+1 t k+1 k équilibre rétabli et t proches + k y k+2 z k+1 rotation double y k+1 t k+2 z k+1 k+1 t u k u k équilibre rétabli

66 Soit le sommet dégradé courant. Suppression dans les arbres rouge-noir - a un frère rouge y k+2 rotation simple z k+2 + k z k+2 y k+2 + k est dégradé, mais une seule autre étape de rééquilibrage suffit pour rétablir l'équilibre (toutes les règles telles que le père de est rouge rentabilisent l'équilibre) - est la racine + équilibre rétabli

67 Suppression dans les arbres rouge-noir La suppression peut introduire une feuille dégradée chaque étape de rééquilibrage: - augmente de 1 la hauteur du noeud dégradé ou - rétabli l'équilibre au pire à l'étape suivante; - quand le noeud dégradé est la racine, l'équilibre est rétabli Au plus h+1 étapes de rééquilibrage Compleité du rééquilibrage: O(log n) Compleité de la suppression: O(log n)

68 1) A.V. Aho, J.E. Hopcroft, J.D. Ullmann. Data Structures and Algorithms. Addison-Wesley. Bibliographie 2) Danièle Beauquier, Jean Berstel, Philippe Chrétienne. Éléments d Algorithmique. Masson, ) Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, and Ronald L. Rivest. Introduction à l'algorithmique. 2e édition, Dunod, 2002.