Unité 3: Représentation interne des informations. Unité 3: Représentation interne des informations

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1 Objectifs : À la fin de cette unité, - vous saurez comment passer d une base à l autre - vous saurez comment sont représentés dans l'ordinateur les nombres fractionnaires et les nombres exprimés en virgule flottante. - vous saurez comment l'ordinateur effectue des calculs sur des nombres utilisant ces représentations. Pour y arriver, vous devez maîtriser les objectifs suivants : - passer d'une base à une autre par différentes méthodes : évaluation à la main, à l'aide de tables, ou à l'aide d'une calculette; Pierre Marchand, Objectifs : - passer d'une chaîne de caractères entrée au clavier pour représenter un nombre entier, et la convertir dans le format binaire que comprend l'ordinateur, en passant par la représentation intermédiaire BCD. - convertir la partie fractionnaire d'un nombre décimal dans sa représentation binaire et vice-versa; - convertir un nombre réel dans sa représentation en virgule flottante; - effectuer les quatre opérations arithmétiques sur des nombres en virgule flottante Pierre Marchand,

2 Le BCD Le BCD est un code dans lequel chaque chiffre d un nombre décimal est codé en binaire sur 4 bits. Ces chiffres peuvent être représenté sur un octet individuel, c est le BCD non compacté. Exemple : Comme chaque chiffre n utilise que 4 bits, on peut les grouper 2 par octet. C est le BCD compacté. Exemple : Pierre Marchand, Il s agit d évaluer l expression a i B i dans la base destination. i=0 Décimal-binaire : = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = n Pierre Marchand,

3 Décimal-binaire : On peut effectuer les multiplications par 10 en remarquant que 10x = 8x + 2x, et en se rappelant qu un décalage à gauche de 1 bit est une multiplication par 2. C est généralement plus rapide que la multiplication binaire. Ainsi, x = = x = = On obtient finalement : = et = Pierre Marchand, Binaire-décimal : = (1 2 7 ) + (0 2 6 ) + (0 2 5 ) + (0 2 4 ) + (1 2 3 ) + (1 2 2 ) + (1 2 1 ) + (0 2 0 ) = = = Pierre Marchand,

4 Factorisation de Horner n a = a n B n + a n-1 B n-1 i B i + + a 1 B + a 0 i=0 = (((((0 + a n )B + a n-1 )B + a n-2 )B + a 1 )B + a 0 Pierre Marchand, Binaire-décimal (algorithme R = b + 2R) R = = = = = = = = = Arithmétique BCD Pierre Marchand,

5 Décimal-binaire (algorithme R = c + 10R) 142 R = = = = Pierre Marchand, Dans les techniques précédentes, on effectuait la conversion en utilisant l arithmétique de la base destination. Toutefois, on peut vouloir effectuer ces conversions en utilisant l arithmétique de la base source. C est le cas, par exemple, quand l ordinateur, qui doit travailler en arithmétique binaire, désire effectuer une conversion binaire-décimal. Pour convertir une nombre N d une base source à une base destination en utilisant l arithmétique de la base source, on divise le nombre N par la base destination en utilisant l arithmétique de base source, jusqu à ce que le quotient soit nul. La représentation de N dans la base destination est alors donnée par la séquence renversée des restes. Pierre Marchand,

6 Exemples : Convertir en base 4 : / 4 = 6, reste / 4 = 1, reste 2 1 / 4 = 0, reste = 1234 Pierre Marchand, Exemples : Convertir en base / = , reste / 1010 = 0001, reste / 1010 = 0000, reste = = en BCD compacté ou en BCD non compacté Pierre Marchand,

7 Conversion hexadécimal-décimal et décimal-hexadécimal d entiers à l aide de la table de l appendice 4.1 du supplément La table hexadécimal-décimal est basée sur le principe qu un nombre comme 14A6 16 est la somme de A On va donc chercher la valeur décimal correspondante de chacun dans la table et on en fait la somme: = Cette méthode peut être utilisée pour la conversion binairedécimal par programmation et s avère très rapide. Pierre Marchand, Conversion hexadécimal-décimal et décimal-hexadécimal d entiers à l aide de la table de l appendice 4.1 du supplément On pourrait faire une table décimal-hexadécimal pour la conversion inverse. On peut également utiliser la même table que plus haut avec quelques calculs supplémentaires. On cherche dans la table la plus grande valeur décimale qui soit inférieure au nombre à convertir. On soustrait ce nombre, et on recommence avec le reste = > = > = > + A = 0 -> = 14A6 16 Pierre Marchand,

8 Conversion à partir l ASCII Exemple : Supposons que l utilisateur a tapé 327. On retrouve en mémoire les caractères ASCII 3, 2 et 7 qui ont la représentation : On soustrait (30 16 ou 0 ) de chacun de ces caractères, ce qui nous donne la représentation en BCD non compacté : On utilisera ces octets pour faire la conversion BCD-binaire. Pierre Marchand, Conversion vers l ASCII De la façon inverse, après qu on a effectué une conversion binaire décimal, on a une série d octets qui constituent la représentation BCD non compacté du résultat. On n a qu à ajouter à chacun pour obtenir la représentation ASCII du nombre. Par exemple : = Pierre Marchand,

9 N = a n B n + a n-1 B n a 1 B 1 + a 0 B 0 + a -1 B -1 + a -2 B -2 + En binaire, a i = 0 ou 1 et B = 2 N = a n 2 n + a n-1 2 n a a 0 + a a = a n 2 n + a n 1 2 n a a 0 + a a 2 Cette dernière formule peut donc servir de conversion binairedécimal. Exemple : 0,011 2 = = 0, , = 0, a Pierre Marchand, , , 5625 x 2 1, 125 x 2 0, 25 x 2 0, 5 x 2 1, 0 x 2 0, 0 Réponse : 0, Pour passer du décimal à une autre base, il suffit de multiplier par la base en question au lieu de 2. Pierre Marchand,

10 Pour un nombre constitué d une partie entière et d une partie fractionnaire, on convertit les deux parties séparément, la partie entière avec l une des méthodes de conversion des entiers, la partie fractionnaire avec les méthodes présentées dans la présente section. Exemple: convertir 123,21 4 en décimal = = ,21 4 = = 2 x 0, ,0625 = 0, Réponse : 27, Pierre Marchand, Convertir 27, en base 4 : 27 / 4 = 6, reste 3 6 / 4 = 1, reste 2 1 / 4 = 0, reste 1 -> , 5625 x 4 2, 25 x 4 1, 0 x 4 0, 0 Réponse : 123, Pierre Marchand,

11 Conversion décimal-binaire et binaire décimal à l aide de la table de l appendice 4.2 du supplément Même principe que pour les entiers. Pierre Marchand, Virgule fixe Partie entière Partie fractionnaire 32, 32 Inconvénients : étendue de représentation limitée 32 bits seulement dans la partie entière 32 bits seulement dans la partie fractionnaire Perte de précision pour les petits nombres Complexité de traitement de la virgule lors d opérations telles que la multiplication et la division Pierre Marchand,

12 Virgule fixe Exemples : 1,0 = , ,0 = FFFFFFFF, ,5 = , ,5 = FFFFFFFF, Plus petit nombre positif : , = 1 / Plus grand nombre positif : 7FFFFFFF,FFFFFFFF = , Plus grand nombre négatif : , = , Plus petit nombre négatif : FFFFFFFF,FFFFFFFF = -1 / Pierre Marchand, N = (1) s M B E où : M = mantisse B = base E = exposant s = signe de la mantisse Exemples: = 1, = = - 1, = = 5 16 = 0, Pierre Marchand,

13 Norme IEEE 754 de simple précision La mantisse M est normalisée sous la forme 1,f et l exposant est ajusté en conséquence. La partie f est codée sur 23 bits. On ajoute 127 à E et le total est codé sur 8 bits. s est le signe de la mantisse. s E+127 f N = (-1) s 2 E 1,f Pierre Marchand, Norme IEEE 754 de simple précision Exemple : = 3E8 16 = = 1, s = 0 car nombre positif E = 9 donc E = 136 = M = 1, donc f =, qu on peut écrire 447A0000 IEEE en groupant les bits 4 par 4 et en les codant en hexadécimal. Pierre Marchand,

14 Norme IEEE 754 de simple précision Exemple : Convertir le nombre de simple précision IEEE en décimal s = 0 donc signe = + E = 128, donc E = 1 M = 1,f = 1,101 N = +1, = 11, = 3,25 10 Pierre Marchand, Norme IEEE 754 de simple précision Exemples : +0 = IEEE -0 = IEEE +1 = 3F IEEE -1 = BF IEEE +2 = IEEE -2 = C IEEE + = 7F IEEE - = FF IEEE Pierre Marchand,

15 Norme IEEE 754 de double précision La mantisse M est normalisée sous la forme 1,f et l exposant est ajusté en conséquence. La partie f est codée sur 52 bits. On ajoute 1023 à E et le total est codé sur 11 bits. s est le signe de la mantisse. s E+1023 f Pierre Marchand, Étendue de représentation En simple précision, la représentation des nombres normalisés positifs non nuls va de IEEE à 7F7FFFFF IEEE, soit : 1, x à 1, x , à 3, En double précision, elle va de IEEE à 7FEFFFFFFFFFFFFF IEEE, soit : 1, à 1, , à 1, Pierre Marchand,

16 Nombres dénormalisés En simple précision, si l exposant E est -127 (représentation ) et que les bits de la mantisse ne sont pas tous nuls, le nombre représenté est : N = (s) -1 x ,f On peut ainsi, malgré une perte de précision, étendre la représentation jusqu à 2-149, i.e Pierre Marchand, Les NaN Les représentations commençant par 7F ou FF en simple précision et dont les autres bits ne sont pas tous 0 représentent des NaN (Not a Number). Ces NaN sont utilisés pour signaler des messages d erreur. Pierre Marchand,

17 Sources d erreur Erreur d arrondi ou de troncature Débordement de capacité Sous-débordement de capacité Division par 0 Opérations invalides :, 0, 0 /, 0 / 0, etc. Pierre Marchand, Addition et soustraction On doit : 1. Extraire les mantisses et les exposants 2. Ajuster les exposants et les mantisses pour que les deux nombres aient l exposant du plus grand des deux. 3. Effectuer l addition ou la soustraction des mantisses 4. Normaliser la mantisse résultante s il y a lieu 5. Replacer le résultat, mantisse et exposant, dans le format IEEE. Pierre Marchand,

18 Addition et soustraction Exemple : IEEE + 3F IEEE = = , , = 1, ,0 2-1 = 1, , = 1, = = IEEE Pierre Marchand, Multiplication et division A = a 2 p et B = b 2 q, alors : Pierre Marchand, A B = ab 2 p+q A / B = (a/b) 2 p-q On doit : 1. Extraire les mantisses, les signes et les exposants 2. Additionner ou soustraire les exposants suivant le cas 2. Effectuer le produit ou le quotient des mantisses 4. Normaliser la mantisse résultante s il y a lieu 5. Ajuster le signe s il y a lieu 6. Replacer le résultat, signe, mantisse et exposant, dans le format IEEE. 18

19 Multiplication et division Exemple: 40A00000 C0C00000 = = , ,1 = - 1, ,1 2 2 = - 1, = = C1F00000 IEEE Pierre Marchand, Décimaux codés en binaire Code BCD = code pondéré comme le binaire naturel Code excédent-3 : chiffre = binaire + 3 Code 2 dans 5 : chiffre décimal codé sur 5 bits dont deux sont 1 Code biquinaire : chiffre décimal codé sur 7 bits, dont 1 dans les deux positions de gauche et 1 dans les 5 positions de droite est 1. Les deux derniers codes permettent la détection d erreurs. Pierre Marchand,

20 3.3.4 Décimaux codés en binaire décimal BCD excédent-3 2 dans 5 biquinaire Pierre Marchand, Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire Nous utilisons l'algorithme de la division par la base destination en arithmétique de base 10, sauf que nous choisissons la base (2 16 ). Exemple : Convertir en binaire 1 e étape / = , reste / = 8, reste / = 0, reste 8 Donc : = 8 x x Pierre Marchand,

21 Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire 2 e étape Comme = 256 2, on représente ensuite chacun des termes en base / 256 = 97, reste / 256 = 104, reste 0 Donc : = 8 x x x x x Pierre Marchand, Conversion rapide des grands nombres décimaux en binaire 3 e étape Comme 256 = 16 2, on représente ensuite chacun des termes en base / 16 = 6, reste / 16 = 12, reste / 16 = 6, reste 8 0 / 16 = 0, reste 0 Donc = 8 x x x x x x x x x 16 0 Et finalement : = 861C Pierre Marchand,