1 Quanti cation. 1.1 Quanti cation linéaire. Approximation de chaque valeur de s(t) par s q = nq; n : entier, q : échelon de quanti cation.

Transcription

1 1 Quanti cation Approximation de chaque valeur de s(t) par s q = nq; n : entier, q : échelon de quanti cation. 1.1 Quanti cation linéaire q = constante, quelque soit l amplitude de s(t): Si s(t) [ S max + S max ] ; ce domaine est divisé en L domaines de taille q = S max L : Il y a di érentes possibilités de centrage de la caractéristique de l organe de quanti - cation : 1) s(t) [(n 1=) q; (n + 1=) q]! s q = nq ) s(t) [nq; (n + 1) q]! s q = (n + 1=) q 3) s(t) [nq; (n + 1) q]! s q = nq: Erreur ou bruit de quanti cation b q (t) s(t) = s q (t) + b q (t)

2 Puissance = moyenne quadratique de b q (t) : B q = 1 Z= b q (t) dt; = 7! mesure la dégradation que subit le signal. Si q est assez petit (quanti cation assez ne), on peut approcher b q (t) par la droite b q (t) = q t; c est-à-dire supposer le bruit uniformément réparti dans l intervalle [ = =] ; alors une estimation de la puissance du bruit de quanti cation est : B q = 1 = R = q t dt = q 1 = S max 3L : 1. Quanti cation non linéaire (NL) 1. Comprimer la dynamique du signal à quanti er,. Quanti er à l aide d un convertisseur linéaire.

3 Les fonctions de compression utilisées font l objet de normes. Par exemple pour la quanti cation des signaux téléphoniques dans les réseaux de télécommunication : Au Japon et aux USA : ln 1 + s S max loi : y = sign (s) ln (1 + ) s < 1; = 55: S max En Europe : 8 >< loi A : y = >: A s si s 1 + ln A S max S max 1 A 1 + s S max ln A sign (s) si ln A A s A = 87:6: S max 1 Les valeurs de A et assurent un rapport S=B à peu près constant d environ 35dB sur une variation du signal d entrée de 40dB: Pour restituer sur le récepteur les échantillons avec leurs niveaux relatifs corrects on utilise un expanseur. Codage Codeur : attribue aux échantillons quanti és une valeur binaire. =) système PCM binaire Codage de source : réduit la redondance de la source pour diminuer le débit d information à transmettre. Codage de canal :introduit une redondance voulue pour corriger les erreurs dûes aux imperfections du canal (distorsions, perturbations ).

4 .1 Exemple de codage linéaire Avec la caractéristique ) pour l organe de quanti cation et q = 1V :. Dynamique de codage L niveaux de quanti cation = N + N = log L impulsions binaires (bits) pour chaque échantillon du signal à transmettre, ou l entier juste supérieur si log L ne l est pas. +

5 Si le signal utile de largeur de bande [ f M ; f M ] est échantillonné à f e > f M ; il faudra transmettre N f e bits par seconde : + durée d émission d un bit : T b = 1 Nf e = T e log L. Si la gamme des amplitudes à coder est [ S max ; +S max ] ; (cas du son) : S max = N q= =) jb q (t)j S max N : remarque : pour le signal video la gamme des amplitudes à coder est [0; +S max ] : Puissance de crête c est la puissance du signal sinusoïdal ayant l amplitude S max : P c = 1 Z 0 = S max Dynamique de codage : S max sin tdt = 1 t Z sin t = S max 0 0 S max 1 (1 cos t) dt = N 3 q : c est le rapport S=B maximal, c est-à-dire pour un sinus (onde sonore pure) codé linéairement : p Seff Pc = p = p r N 3 1 = N 3 Bq B eff max (S=B) max = 0 log 10 Seff B eff max = 6:0N + 1:76 db: Formule très utile en pratique : relie le nombre de bits N à la plage des amplitudes qui peuvent être codées. Remarque 1: S eff = S max p puisqu il s agit d un sinus. La dynamique de codage, pour N xé, peut être largement augmentée par une quanti cation non linéaire (variant avec l amplitude du signal). remarque : pour le signal video (S=B) max = 6:0N + 10:8 db:

6 Example 1 codage de la loi A en 13 segments si alors 0 jxj 1=64 y = 16x 1=64 jxj 1=3 y = 8x + 1=8 1=3 jxj 1=16 y = 4x + 1=4 1=16 jxj 1=8 y = x + 3=8 1=8 jxj 1=4 y = x + 1= 1=4 jxj 1= y = 1=x + 5=8 1= jxj 1 y = 1=4x + 3=4

7 .3 Les représentations binaires exemple pour 3 bits de codage, des plus courantes : Nombre Signe et valeur Binaire Complément Complément absolue décentré à 1 à (000) (100) 3 Exemples : l audio et la video numériques 3.1 Le son numérique Fréquences d échantillonage - téléphonie numérique : 8 khz - audio numérique : 44:1 khz (CD, 1980), 48 khz (qualité professionnelle) les bandes passantes - téléphonie classique : Hz - bande élargie : 0 7 khz - qualité musicale : 0 16 khz - qualité audio : 0 0 khz Quanti cation Quelques niveaux L du son : L(dB SP L) sensation auditive exemple 0 niveau très faible brise, chuchotement 40 niveau faible intérieur d une maison en ville 80 niveau fort moteur de voiture 140 seuil de douleur réacteur d avion

8 Choix du nombre de bits de codage en fonction du rapport signal/bruit : - téléphonie numérique : (S=B) max ' 50dB, donc codage sur N = 8 bits, - audio numérique standard : (S=B) max = 96dB, donc codage sur N = 16 bits (en complément à pour distinguer les valeurs positives et négatives), - audio numérique professionnel : (S=B) max = 116dB pour un codage sur N = 0 bits ou (S=B) max = 140dB pour un codage sur N = 4 bits 3. Le signal video numérique 198 : avis 601 du CCIR 1995 : recommandation UIT-R BT sur le format 4::. Actuellement il est utilisé pour la production avec le format 4::, la di usion étant encore souvent analogique avec les systèmes NTSC, PAL et SECAM. L œil possède une vision trichrome RVB, mais le cerveau interprète l image en composantes luminance et chrominance Y - C. Cette propriété a été appliquée pour la génération de la couleur, elle a permis, de plus, d assurer la compatibilité avec la TV monochrome : 8 < : Y = 0:30R + 0:59V + 0:11B C B = 0:564(B Y ) C R = 0:713(R Y ): Le signal video (3D = D + t ) est déjà discrétisé en vertical et en temps : 65 ou 55 lignes par trame et 50 ou 60 trames entrelacées par seconde Fréquences d échantillonnage Les f e de Y; C R et C B doivent être : > à fois la largeur de bande du signal (entre 4.MHz et 6MHz) multiple de la fréquence de balayage ligne : f H (65) = 65 5 = 1565Hz f H (55) = 55 9:97 = 15734Hz Solution retenue : structure orthogonale 4:: Y : 13:5M Hz C R et C B : 6:75MHz:

9 3.. Quanti cation Echelle : 56 niveaux (8 bits) par composante 0 et 55 réservés à la synchronisation Y : 0 niveaux utilisés, noir = 16 C R et C B : 5 niveaux utilisés, inf = 16 (! -0.5) Loi linéaire sur un signal video déjà corrigé en! loi en 1/ (' log): 4 Formats (codes en ligne) Ils dé nissent la correspondance entre la suite d éléments binaires à transmettre et la suite d impulsions physiques. Si la bande passante du canal est mal adaptée : risque d interférence intersymboles; solution : ltrage de Nyquist.

10 5 Codeur M-aire : adaptation au canal Pour un codage de M symboles (ou moments ) sur N bits : de niveaux a k M = N valeurs de durée T s de débit symbole ou rapidité de modulation R m = 1 nombre de symboles par seconde ( T s en Bauds ) débit binaire du canal : D c = R m log M = NR m exemples : ligne téléphonique (paire torsadée ou câble) bre optique satellite hertzien terrestre qques kbits 100 kbits Gbits Tbits 5.1 bande passante et rapidité On montre en théorie de la mesure : 5. théorème de Nyquist (198) t m L B = 0:35 ( > 1=) Pour un canal assimilable à un ltre passe-bas idéal de bande passante L B, le débit symbole doit véri er : R m L B pour qu il n y ait pas d IES. 5.3 capacité d un canal (Shannon 1948) Pour un canal assimilable à un ltre passe-bas de largeur de bande L B,et pour un rapport S=B = 10 log 10 P S P B : C = L B log 1 + P S P B

11 or Shannon a montré que le nombre maximal d états discernables d un signal M max (valence) dépend du rapport P S P B suivant : M max = N = r 1 + P S P B donc Remarques : C = L B log M max = L B N: 1. on véri e D c C. en pratique on admet généralement R m 1:5L B 3. le choix de N dépend essentiellement de S eff =B eff 4. pour une valence M donnée, plus le canal a une large bande, plus les transmissions sont rapides ( R m plus grand, D c ) et précises (t m plus petit, T s plus petit).