Exercices. Échantillons ; fréquences. 1 On lance une pièce de monnaie et on observe le résultat obtenu.

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1 Exercices Échantillons ; fréquences 1 On lance une pièce de monnaie et on observe le résultat obtenu. 1. Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire? 2. Donner un échantillon possible de cette expérience, de taille Une roue de loterie est divisée en 5 secteurs de même angle : 2 rouges (R), 1 bleu (B), 1 vert (V) et un jaune (J). On fait tourner la roue et on note, à l'arrêt, la couleur désignée par la flêche. 1. Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire? Donner un échantillon possible de cette expérience, de taille Régis a réalisé deux échantillons de 90 lancers chacun d'un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. Les résultats obtenus sont donnés dans le tableau suivant. Numéro Échantillon 1 Effectif Fréquence 1 (arrondie à 0,001) Échantillon 2 Effectif Fréquence 2 (arrondie à 0,001) 1. Compléter le tableau précédent. 2. Représenter la série des fréquences par un diagramme en bâtons. Coller ici le diagramme 3. Les fréquences sont-elles les mêmes pour les deux échantillons?

2 lancers d'un dé à 6 faces ont été effectués. Le graphique suivant montre l'évolution de la fréquence d'apparition de la face ʺ2ʺ en fonction du nombre de lancers. 1. La fréquence de la face ʺ2ʺ fluctue-t-elle selon le nombre de lancers? 2. À l'aide du graphique, donner une valeur vers laquelle cette fréquence semble se stabiliser lorsque le nombre de lancers augmente et devient grand. 5 Une urne contient une boule blanche, une boule rouge et une boule bleue, indiscernables au toucher. On tire une boule de l'urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l'urne. On note 0 l'issue ʺblancheʺ, 1 l'issue ʺrougeʺ et 2 l'issue ʺbleueʺ. On simule, à l'aide d'un tableur, 5 échantillons de taille 200 du tirage. Puis on détermine la fréquence (arrondie à 0,01) de sortie de la boule bleue. Échantillon numéro Fréquance de la boule bleue pour 200 tirages 1 0,38 2 0,37 3 0,28 4 0,33 5 0,36 Déterminer l'étendue des fréquences de la boule bleue pour ces 5 échantillons de 200 tirages.

3 Probabilités 6 Une boîte contient 15 jetons indiscernables au toucher, les uns rouges, les autres bleus. On tire un jeton de la boîte, on note sa couleur, puis on le replace dans la boîte. Après avoir répété l'expérience un grand nombre de fois, on a constaté que la fréquence de sortie d'un jeton rouge et celle d'un jeton bleu se stabilisent respectivement vers 0,8 et 0,2. Évaluer la probabilité de sortie d'un jeton rouge lors du tirage d'un jeton, puis celle d'un jeton bleu. 7 Le sang humain est classé en quatre groupes : A, B, AB et O. Dans une population, on obtient la répartition suivante. Groupe sanguin A B AB O Nombre de personnes Calculer, pour cette population, la fréquence de chaque groupe sanguin. Ces fréquences seront les probabilités à utiliser dans les questions suivantes. 2. Dans cette population, on choisit une personne au hasard et on note son groupe sanguin. a) Donner la probabilité de l'issue ʺla personne a le groupe sanguin Aʺ. b) Calculer la probabilité de l'événement ʺla personne a l'un des groupes sanguins A ou Oʺ. Simulation 8 1. À quel intervalle appartient un nombre aléatoire obtenu sur la calculatrice avec l'instruction 2Ran# pour CASIO ou 2rand pour TI ou sur un tableur avec la formule =2*ALEA()? 2. Vérifier sur la calculatrice ou sur le tableur À quel ensemble appartient un nombre aléatoire obtenu sur la calculatrice avec l'instruction Int(2Ran#) pour CASIO ou int(2rand) pout TI ou sur un tableur avec la formule =ENT(2*ALEA())? 2. Vérifier sur la calculatrice ou sur le tableur. Problèmes 10 On lance une pièce de monnaie. 1. Quelle est la probabilité de l'issue ʺFaceʺ? 2. ʺPileʺ est noté 1 et ʺFaceʺ est noté 0. a) Avec l'instruction Int(2Ran#) pour CASIO ou int(2rand) pour TI, simuler sur la calculatrice un échantillon de 10 lancers successifs. Calculer la fréquence du résultat ʺFaceʺ. b) Simuler sur la calculatrice un nouvel échantillon de taille 10. Calculer la fréquence du résultat ʺFaceʺ. c) Ces deux fréquences sont-elles très proches de la probabilité demandée à la question 1.? Expliquer pourquoi.

4 11 On lance un dé à six faces, numérotées de 1 à 6. Toutes les faces ont la même probabilité d'apparaître. 1. a) Ouvrir une feuille de calcul du tableur et entrer les titres et les valeurs comme dans le tableau suivant. b) Simuler un lancer du dé en entrant dans la cellule A5 la formule =ENT(6*ALEA())+1 c) Simuler un échantillon de taille 150 de cette expérience en copiant la formule jusqu'à la cellule A154. d) Déterminer l'effectif de chaque issue en entrant la formule =NB.SI($A$5:$A$154;B1) dans la cellule B2, puis en copiant cette formule jusqu'à la cellule G2. e) Déterminer l'effectif total en entrant la formule =SOMME(B2:G2) dans la cellule H2. Vérifier que l'effectif total est bien égal à 150. f) Déterminer la fréquence de chaque issue en entrant la formule =B2/$H$2 dans la cellule B3, puis en copiant cette formule jusqu'à la cellule G3. g) Déterminer la somme des fréquences de toutes les issues en entrant la formule =SOMME(B3:G3) dans la cellule H3. Vérifier que la somme des fréquences est bien égale à 1. h) Les fréquences des issues sont-elles égales? 2. a) Simuler d'autres échantillons de taille 150 à l'aide de la touche ʺF9ʺ du clavier. b) La fréquence de chaque issue fluctue-t-elle? Les fréquences des issues sont-elles toutes très proches les unes des autres? Expliquer pourquoi. 12 On lance une pièce de monnaie et on s'intéresse au résultat ʺPileʺ. On note 1 le résultat ʺPileʺ et 2 le résultat ʺFaceʺ. On souhaite constituer 7 échantillons de taille 50 de cette expérience. 1. a) Ouvrir une feuille de calcul du tableur et entrer les titres et les valeurs comme dans le tableau suivant. b) Simuler un lancer de la pièce en entrant dans la cellule A1 la formule =ENT(2*ALEA())+1. c) Simuler un échantillon de taille 50 de cette expérience en copiant la formule jusqu'à la cellule A50. d) Simuler 6 autres échantillons de taille 50 de cette expérience en sélectionnant les cellules A1 à A50, puis en tirant la poignée de remplissage vers la droite jusqu'à la colonne G. 2. a) Déterminer la fréquence de ʺPileʺ pour chaque échantillon en entrant la formule =NB.SI(A1:A50;1)/50 dans la cellule I2, puis en copiant cette formule jusqu'à la cellule O2. b) Représenter graphiquement la fréquence de ʺPileʺ de chaque échantillon. Pour cela : - sélectionner les cellules I2 à O2 ; - cliquez sur le bouton assistant graphique de la barre d'outils ;

5 - dans la boîte de dialogue ʺType de graphiqueʺ, choisir ʺNuage de pointsʺ, puis le sous-type de graphique ʺNuage de points reliés par une courbeʺ. Cliquez sur terminer. 3. a) En observant le graphique, indiquer si la fréquence de ʺPileʺ fluctue selon les échantillons. b) Simuler de nouvelles séries de 7 échantillons de taille 50 à l'aide de la touche ʺF9ʺ du clavier. La réponse à la question précédente se confirme-t-elle? 13 Un sac contient 5 papiers, numérotés de 1 à 5, indiscernables au toucher. On tire au hasard un papier du sac, on note son numéro et on le remet dans le sac. 1. a) Ouvrir une feuille de calcul du tableur et entrer les titres et les valeurs comme dans le tableau suivant. b) Simuler six échantillons de 150 tirages, notés a, b, c, d, e, f : entrer dans la cellule A1 la formule =ENT(5*ALEA())+1, puis copier cette formule vers le bas jusqu'à A150, puis vers la droite jusqu'à la colonne F. 2. a) Calculer la fréquence de ʺ2ʺ pour chaque échantillon, en entrant la formule =NB.SI(A1:A150;2)/150 dans la cellule H2, puis en copiant cette formule jusqu'à la cellule M2. b) Déterminer l'étendue des six fréquences obtenues, en entrant dans la cellule N2 la formule =MAX(H2:M2)-MIN(H2:M2). 3. a) Simuler six échantillons de 500 tirages (prolonger ceux de 150 tirages en copiant cette formule vers le bas de A150 jusqu'à A500, puis vers la droite jusqu'à la cellule F500). b) Calculer la fréquence de ʺ2ʺ pour chacun, en entrant la formule =NB.SI(A1:A150;2)/500 dans la cellule H5, puis en copiant cette formule jusqu'à la cellule M5. c) Déterminer l'étendue des six fréquences obtenues, en entrant dans la cellule N5 la formule =MAX(H5:M5)-MIN(H5:M5). 4. Utilisez la touche ʺF9ʺ du clavier pour simuler de nouvelles séries de six échantillons de taille 150 et 500. On observe la fluctuation de la fréquence de ʺ2ʺ. a) À l'aide de l'étendue, dire si cette fréquence fluctue : - pour les échantillons de taille 150 ; - pour les échantillons de taille 500. b) Expliquer pourquoi l'étendue pour la taille 150 est en général plus grande que celle pour la taille 500.

6 14 Une boîte contient 10 jetons. Les jetons sont rouges, noirs et bleus. Lorsqu'on tire au hasard un jeton, la probabilité de chacune des 10 issues est égale à 0,1. On tire au hasard un jeton de la boîte, on note sa couleur, puis on le replace dans la boîte. Après avoir répété l'expérience un grand nombre de fois, on a constaté que la fréquence de sortie d'un jeton rouge, celle d'un jeton noir et celle d'un jeton bleu se stabilisent respectivement vers 0,3, 0,6 et 0,1. 1) Évaluer la probabilité de sortie d'un jeton rouge lors du tirage d'un jeton, puis celle d'un jeton noir et celle d'un jeton bleu. 2) En déduire les nombres de jetons rouges, de jetons noirs et de jetons bleus de la boîte. 15 Une roue de loterie est divisée en 5 secteurs d'angles différents, numérotés de 1 à 5. On fait tourner la roue et on note, à l'arrêt, le numéro désigné par la flèche. L'expérience, répétée fois, a donné les résultats suivants. Numéro Effectif Fréquence Complétez la colonne ʺFréquenceʺ (arrondir à 0,1 près). 2. On prend comme probabilités des issues 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 de l'expérience aléatoire les fréquences arrondies obtenues à la question précédente. a) Calculer la probabilité p 1 que la flèche s'arrête sur un numéro impair. b) Calculer la probabilité p 2 que la flèche s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 4. c) Calculer la probabilité p 3 que la flèche s'arrête sur un multiple de 2. d) Calculer la probabilité p 4 que la flèche s'arrête sur le numéro 3 ou sur le numéro 5.

7 16 Le diagramme suivant représente la répartition des salaires mensuels des employés d'une entreprise. 1) À l'aide du graphique et en utilisant la calculatrice, déterminer le salaire mensuel moyen dans cette entreprise. 2) À l'aide du diagramme, complétez le tableau suivant. Salaire mensuel, en euros Effectif Fréquence Total Les fréquences calculées seront les probabilités à utiliser dans les questions suivantes. 3. On choisit au hasard un employé de l'entreprise. a) Calculer la probabilité p 1 que son salaire soit de par mois. b) Calculer la probabilité p 2 que son salaire soit au moins égal à par mois. c) Calculer la probabilité p 3 que son salaire n'atteigne pas la moyenne des salaires mensuels de l'entreprise.