Problèmes additifs et soustractifs au cycle 3. (une seule étape de résolution)

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1 Problèmes additifs et soustractifs au cycle 3 (une seule étape de résolution) Comment améliorer l'enseignement de la résolution des problèmes relevant de l'addition et de la soustraction? Le champ conceptuel est une unité d'étude intéressante en didactique, pour donner du sens aux problèmes d' acquisition, étudiés en cycle 2, puis en cycle 3. Le champ présenté ici, est celui des structures additives. Il recouvre l'ensemble des situations dont le traitement implique une addition, une soustraction ou la combinaison des deux opérations. A partir d'une même histoire, on peut identifier différents types de questions possibles. Selon la question posée, le traitement des relations en jeu dans la résolution, change. Les opérations mentales à mobiliser ne sont pas identiques. Exemple: J'ai un pot de 25 crayons et j'en donne 8 aux élèves. Dans mon pot il reste 17 crayons. J'ai un nombre a de billes. Je rajoute b billes Maintenant, je dispose de c billes. A partir d'une même situation, on peut imaginer 3 questions, selon que l'on cherche a, b ou c. Les trois énoncés de problèmes correspondants seront traités simultanément en classe. Le traitement cognitif des relations est très différent, d'une situation proposée à l'autre.les résolutions les plus simples, sont comprises par l'élève, entre 5 et 7 ans (par exemple, connaissance de a et b et recherche de c), alors que les plus complexes, ne sont comprises par la majorité des élèves que vers 15 ans (succession de transformations avec recherche de l'état initial par exemple). Pour l'apprentissage, la classification et l'utilisation d'outils (représentation schématique, problèmes référents) favorisent l organisation de la mémoire déclarative et par conséquent une meilleure mobilisation des connaissances. Dans ce document, nous proposons uniquement des problèmes qui relèvent de l'une ou l'autre des opérations, sans combinaison. Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 120

2 Les catégories de problèmes additifs et soustractifs (Catégorisation proposée par Gérard. Vergnaud)¹ On distingue 3 grandes catégories de problèmes: Réunion : dans ces problèmes, on décrit une situation dont les différents éléments sont présents conjointement. C'est un état statique. Recherche du tout : Léo a 29 billes. Juliette a 43 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble? Recherche d'une partie : Léo et Juliette ont 83 billes ensemble. Juliette a 47 billes. Combien Léo a- t-elle de billes? Comparaison : On compare deux collections. Recherche de l'un des états : Léo a 26 billes. Juliette a 17 billes de plus. Combien Juliette a-t-elle de billes? Léo 17 billes de moins que Juliette. Juliette en a 43. Combien Léo a-t-il de billes? Recherche du deuxième état : Juliette a 43 billes. Juliette a 17 billes de plus. Combien Léo a-t-elle de billes? Léo 17 billes de moins que Juliette. Léo en a 26. Combien Juliette a-t-elle de billes? Recherche de la comparaison : Comparaison négative : Léo a 52 billes. Juliette en a 38. Combien de billes Juliette a-t-elle en moins que Léo? Comparaison positive : Léo a 52 billes. Juliette en a 38. Combien de billes Léo a-t-il en plus que Juliette? Transformation : il s'agit d'une transformation opérée entre un état initial et un état final Recherche de l'état final: Transformation positive :A Léo avait 36 billes. Puis, Juliette lui a donné 16 billes. Combien de billes a maintenant Léo? Transformation négative: B Léo avait 36 billes. Puis, il en perd 9. Combien de billes a maintenant Léo? Recherche de la transformation : Transformation positive: C Léo avait 27 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 74 billes. Combien Juliette lui a-t-elle donné de billes? Transformation négative:d Léo avait 27 billes. Puis, il en perd. Léo a maintenant 19 billes. Combien en a-t-il perdu? Recherche de l'état initial : Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 220

3 Transformation positive: E Léo avait des billes. Juliette lui a donné 14 billes. Maintenant Léo a 56 billes. Combien Léo avait- il de billes au départ? Transformation négative :F Léo avait des billes. Puis, il en perd 14. Maintenant, Léo a 27 billes. Combien de billes avait-il au départ? ¹VERGNAUD Gérard, «Développement et fonctionnement cognitif dans le champ conceptuel des structures additives PUF 1990 Le problème A correspond à une conception primitive que l'élève se fait de l'addition, dès le plus jeune âge. 65 à 70 % des élèves de CE 1 réussissent ce type de problèmes. Les problèmes E et F (recherche de l'état initial) demandent, soit d'inverser la trans formation, soit de formuler des hypothèses. Séances en classe : Les séances sont réparties sur plusieurs périodes dans l'année scolaire : les 5 périodes peuvent être nécessaires en CE 2 et 2 ou 3 périodes en CM1 Exemple de progression en CE 2 Période 1 Période 2 Période 3 Période 4 Période 5 Problèmes de transformation avec des nombres simples (inférieurs à 20), construction des référents Problèmes de réunion, construction des référents Problèmes de comparaison, construction des référents Reprise des problèmes de transformation et de réunion dans des situations décontextualisées Reprise des problèmes précédents dans des situations décontextualisées avec des nombres plus grands Utilisation de la soustraction comme procédure standard dans les problèmes additifs Invention de problèmes Utilisation de la soustraction comme procédure standard dans les problèmes additifs Invention de problèmes Séance 1 : Évaluation diagnostique (pour le CE 2 et le CM1, documents en annexe) La calculette est autorisée. Le temps donné est de 30 min. Le code de correction est le suivant : Code 1 : bonne opération et résultat juste Code 2 : Juste autre opération possible (addition à trou) Code 3 : Juste avec schéma ou schéma suivi de l'opération. Code 4 : bonne opération résultat erroné Code 9 : réponse erronée Code 0 : sans réponse La même évaluation sera donnée à l'identique, à la fin du module d'enseignement Séance 2 : Schématiser une situation de transformation Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 320

4 A partir de 6 problèmes, relevant des 6 catégories différentes (voir dans le tableau cidessous), les élèves cherchent en groupes et représentent schématiquement la situation : «Trouver le même type de schémas pour les 6 problèmes» Les schémas sont ensuite comparés, explicités et confrontés. Les élèves rencontrent des difficultés pour passer du dessin au schéma d'une part et pour trouver un même type de schémas d'autre part. Ils doivent être guidés, lors de cette phase, le but de la séance étant de construire un référent qui restera affiché dans la classe et sera noté dans le cahier mémoire des élèves. Problèmes donnés en CE 2 A Lucie a 15 billes.elle en gagne 7. Combien Lucie a-telle de billes maintenant maintenant dans son portemonnaie? B Lucie a 15 billes. Elle en gagne à la récréation. Maintenant Lucie a 22 billes. Combien a-t-elle gangé de billes? C Lucie a des billes. Elle en gagne 7. Maintenant Lucie a 22 billes. Combien avait elle de billes au départ? D Lucie a 15 billes. Elle en perd 6 à la récréation. Combien Lucie a-t-elle de billes maintenant? E Lucie a 15 billes. Elle en perd à la récréation. Maintenant Lucie a 9 billes. Combien Lucie a -t-elle perdu de billes? F Lucie a des billes. Elle perd 6 billes à la récréation. Maintenant Lucie a 9 billes. Combien Lucie avait-elle de billes avant la récréation? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 420

5 Problèmes donnés en CM1 : A Lucie a 47 dans son portemonnaie. Sa grand-mère lui donne 25. Combien Lucie a-t-elle maintenant dans son porte-monnaie? B Lucie a 47 dans son portemonnaie. Sa grand-mère lui donne de l'argent. Maintenant Lucie a 72. Combien sa grand-mère lui a-telle donné? C Lucie a de l'argent dans son porte-monnaie. Sa grandmère lui donne 25. Maintenant Lucie a 72. Combien Lucie avait-elle d'argent? D Lucie a 42 dans son portemonnaie. Elle enlève 25 qu'elle met de côté dans sa tirelire. Combien Lucie a-telle maintenant dans son porte-monnaie? E Lucie a 47 dans son portemonnaie. Elle enlève de l'argent qu'elle met de côté dans sa tirelire. Maintenant Lucie n'a plus que 22 dans son porte-monnaie. Combien Lucie a-t-elle mis dans sa tirelire? F Lucie a de l'argent dans son porte-monnaie. Elle enlève 25 qu'elle met de côté dans sa tirelire. Maintenant Lucie n'a plus que 22 dans son porte-monnaie. Combien Lucie avait-elle? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 520

6 Référent construit par les élèves en CM1 : (la démarche est équivalente en CE2) Le référent comprend le problème, suivi du schéma et de l'opération A Lucie a 47 dans son portemonnaie. Sa grand-mère lui donne 25. Combien Lucie a-t-elle maintenant dans son porte-monnaie? ajouter 25 B Lucie a 47 dans son portemonnaie. Sa grand-mère lui donne de l'argent. Maintenant Lucie a 72. Combien sa grand-mère lui a-telle donné? ajouter? C Lucie a de l'argent dans son porte-monnaie. Sa grandmère lui donne 25. Maintenant Lucie a 72. Combien Lucie avait-elle d'argent? ajouter 25 47? 47 72? =? =? =? D Lucie a 47 dans son portemonnaie. Elle enlève 25 qu'elle met de côté dans sa tirelire. Combien Lucie a-telle maintenant dans son porte-monnaie? enlever 25 47? E Lucie a 47 dans son portemonnaie. Elle enlève de l'argent qu'elle met de côté dans sa tirelire. Maintenant Lucie n'a plus que 22 dans son porte-monnaie. Combien Lucie a-t-elle mis dans sa tirelire? enlever? F Lucie a de l'argent dans son porte-monnaie. Elle enlève 25 qu'elle met de côté dans sa tirelire. Maintenant Lucie n'a plus que 22 dans son porte-monnaie. Combien Lucie avait-elle? enlever 25? =? =? =? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 620

7 Séance 3 : Schématiser une situation de comparaison La démarche est équivalente à la précédente. Problèmes donnés en CE 2 I Luc a 12 billes. Jules a 5 billes de plus que lui. Combien Jules a-t-il de billes? J Luc a 12 billes.. Jules a 17 billes. Combien Jules a-til de billes de plus que Luc? K Luc a 12 billes. C'est 5 de plus que Jules. Combien Jules a-t-il de billes? L Luc a 17 billes. Jules a 5 billes de moins que lui. Combien Jules a-t-il de billes? M Luc a 17 billes. Jules a 12 billes. 58 kg. Combien Jules a-t-il de billes de moins que Luc? N Luc a 17 billes. C'est 5 de moins que Jules. Combien Jules a-t-il de billes? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 720

8 Problèmes donnés en CM1 : I Luc pèse 35 kg. Jules pèse 18 kg de plus que lui. Combien Jules pèse-t-il? J Luc pèse 35 kg. Jules pèse 53 kg. Combien Jules pèset-il de plus que Luc? K Luc pèse 62 kg, c'est 23 kg de plus que Jules. Combien Jules pèse-t-il? L Luc pèse 82 kg. Jules pèse 24 kg de moins que lui. Combien Jules pèse-t-il? M Luc pèse 82 kg. Jules pèse 58 kg. Combien Jules pèset-il de moins que Luc? N Luc pèse 47 kg, c'est 29 kg de moins que Jules. Combien Jules pèse-t-il? Le référent à construire et à conserver dans la classe, se trouve en annexe. Séance 4 Schématiser une situation de réunion Problèmes donnés en CE2 G Dans le jardin, il y a 17 tulipes et 13 narcisses. Combien y a-t-il de fleurs en tout? H Dans le jardin, il y a 30 fleurs. Parmi ces fleurs il y a 17 tulipes. Combien y a-t-il de narcisses? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 820

9 Problèmes donnés en CM1 G Dans la maison de Laurent, il y a 235 livres dans la bibliothèque du salon et 456 livres dans la bibliothèque du bureau. Combien Laurent a-t-il de livres chez lui? H Laurent a 691 livres chez lui rangés dans 2 bibliothèques. Dans la bibliothèque du salon il y a 235 livres, combien y a-t-il de livres dans la bibliothèque du bureau? Trace à conserver dans les cahiers d'élèves et à afficher en classe : G H? ? =? Dans la maison de Laurent, il y a 235 livres dans la bibliothèque du salon et 456 livres dans la bibliothèque du bureau. Combien Laurent a-t-il de livres chez lui? =? Laurent a 691 livres chez lui rangés dans 2 bibliothèques. Dans la bibliothèque du salon il y a 235 livres, combien y a-t-il de livres dans la bibliothèque du bureau? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 920

10 Une fois les catégories connues, les élèves résolvent régulièrement, un ou deux problèmes (voir la banque de problèmes proposée ci-dessous) et repèrent dans les outils construits, les catégories correspondantes. Ils s'aident des schémas et problèmes référents pour retrouver les opérations correspondantes. D'autre part, les élèves inventent des problèmes relevant d'un type donné. Par exemple l'enseignant demande d'inventer un problème relevant de la catégorie C. Ou bien, à partir de 15-3, inventer un problème. Affichages en classe Carnet d'élèves Différenciation Mimer les problèmes, les jouer. Faire le schéma, représentant la situation et voir la correction posée au fond de la classe Constituer des groupes de besoins, proposer un tutorat, ou guider les élèves les plus Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1020

11 fragiles. Évaluation finale : donner les mêmes problèmes qu' à l'évaluation diagnostic Exemples de problèmes additifs et soustractifs Ci- dessous, une banque de problèmes, classés par catégorie et niveau. En fonction des besoins des élèves, choisir des problèmes dans lesquels, les situations standards sont plus économiques que les procédures personnelles de résolution. Pour chaque catégorie, proposer des représentations schématiques, accompagnées d'un problème référent, pour illustrer certaines propriétés. Ces représentations et référents seront à disposition des élèves et serviront d'outils d'aide. Réunion a? b Recherche du tout Niveau 1 : 1 Dans un bouquet, il y 8 roses et 7 iris. Combien y a-t-il de fleurs en tout? 2Combien y a-t-il d'élèves dans la classe? Dans une classe, il y a 12 garçons et 14 filles. 3 Dans une ville, il y a 2 écoles. Dans la première,on compte 150 élèves, dans la deuxième 58 élèves. Combien y a-t-il d'élèves dans cette ville? 4 Dans une boite, il y a 15 cubes bleus et 22 cubes rouges. Combien y a-t-il de cubes en tout? 5 Sur une assiette, il y a 9 gâteaux. Combien y a-t-il de gâteaux en tout si sur une autre, il y a 15 gâteaux? Niveau 2 1 D' Orléans à Paris, il y a 120 km. D' Orléans à Bourges, il y a 110 km. Quelle distance sépare Paris de Bourges? 2Combien de places ont été réservées en tout? Au théâtre, 152 places sont réservées pour l'école Champollion, 86 places pour l'école Molière et 123 place pour l'école Jules Ferry. 3 J'ai acheté une chemise à 25 et un pantalon à 49. Combien ai-je payé en tout? 4 Le lycée Carnot accueille élèves et le lycée Hugo accueille élèves. Combien d'élèves Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1120

12 sont accueillis en tout? 5 Une ville compte habitants et la ville voisine compte habitants. Combien y a-t-il d'habitants dans les deux communes? Niveau 3 1 Dans un club de ski, il y a 26 benjamins, 49 minimes, 37 cadets, 25 juniors et 35 seniors. Combien y a-t-il de licenciés en tout dans le club? 2Quelles est la superficie de la maison? Il y a le séjour de 34,5m², la cuisine, 21,2m², la salle de bain 6,15m², les WC 3m², la chambre 1 15m², la chambre 212,5m² et la chambre 3 13m². Recherche d'une partie c a? Niveau 1 1 Dans la boite, il y 28 billes dont 12 billes rouges. Combien y a-t-il de billes bleues? 2 Dans la classe, il y a 25 élèves dont 14 filles. Combien de garçons y a-t-il? 3 Alice a dépensé 154.Combien coûte la veste, si le pantalon coûte Dans son album, Téo a 345 photos dont 136 en noir et blanc. Combien a-t-il de photos en couleurs? 5 Combien Paul a-t-il de timbres étrangers. Il a une collection de 524 timbres dont 354 timbres français. Niveau 2 1 Jules est philatéliste. Il a timbres américains et asiatiques, dont timbres américains. Combien a -t-il de timbres asiatiques? 2 Adjoua a acheté un bouquet de roses rouges et blanches. Il y a 65 fleurs en tout dont 37 roses rouges. Quel est le nombre de roses blanches? 3 Un directeur d'école a reçu 450 cahiers. Il en donne 262 à la classe A. Combien peut-il en donner à la classe B? 4 Alix a une tablette de chocolat. Combien restera-t-il de chocolat, s'il coupe un quart de la tablette? 5 Reda a parcouru le le circuit de vélo cross en 25 min et 3 s. Il a mis 10 min et 45 s pour parcourir le premier tronçon. Combien de temps a-t-il mis pour parcourir le deuxième tronçon? Niveau 3 1 Alice a dépensé 190,20. Elle a acheté un pantalon à 92,50 et une veste. Combien coûte la veste? 2 Zoé place deux objets sur la balance. Le tout pèse 2,500kg. Sachant que le premier objet pèse un Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1220

13 quart de kg. Combien pèse le deuxième objet? 3 Un camion est chargé de 910 kg de ciment et de briques. Quelle est la masse des briques, si le tout pèse 5 885kg. 4 Lors de la finale de la coupe de France de football, on a enregistré entrées dont payantes. Combien a-t-on distribué d'entrées payantes? 5 Au cours du Téléthon de 2000, on a récolté pour l'ensemble de la France. Les Parisiens ont versé Combien ont versé le provinciaux? Comparaison a?? a b b Recherche de l'un des états Niveau 1 1Combien Juliette a-t-elle de billes? Léo a 26 billes. Juliette a 17 billes de plus. 2 Dans un magasin, un jouet coûte48. Il coûte 13 de plus dans un autre magasin. combien coûte-t-il dans le deuxième magasin? 3 Dans un magasin, un pantalon coûte 87, dans un autre magasin, la même pantalon coûte 8 de moins.combien coûte le pantalon dans le deuxième magasin? 4Combien mesure Noémie? Zoé mesure 1m27cm et Noémie mesure 5 cm de plus. 5 A l'école élémentaire, il y a 159 élèves.combien d'élèves y a-t-il à l école maternelle, s'il y a 65 élèves de moins? Niveau 2 1 Un avion vole à 9 500m, puis s'élève de 10200m. A quelle altitude vole-t-il maintenant? 2 Un garage propose deux voitures. L'une coûte , la deuxième de moins. Combien coûte la deuxième voiture? 3 La Seine mesure 777 km et la Garonne mesurel30 km de moins. Combien mesure la Garonne? 4 Un segment mesure 23 cm et le deuxième 48 mm de plus. Combien mesure le deuxième? 5 A l'aide d'une bande unité, trace un segment de :un quart de l'unité et un autre de un demi d'unité en plus du premier. Combien mesure le deuxième segment? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1320

14 Niveau 3 1 En l'an 2 000, la ville de New York comptait habitants et la ville de Mexico Combien y a-t-il d'habitants en plus à Mexico? 2 La planète Mars est à de kilomètres du soleil. La planète Terre est à de kilomètres du soleil. De combien de kilomètres, la Terre est-elle plus proche du Soleil? 3 Monsieur André fait une promenade à vélo. La première étape est de 23km250 et la deuxième étape est de m. Quelle est l'étape la plus longue. De combien est elle la plus longue? 4 Deux coureuses de 100m commentent leurs dernières performances. Audrey dit : «J'ai mis 12,4secondes». Sophie répond : «J'ai fait 12 secondes et 12 centièmes.» Qui a réalisé le temps le plus court? De combien de temps? 5 Qui a parcouru la plus grande distance? L'escargot : 0,247m ou la fourmi : un quart de mètres. Recherche de la comparaison a b? Niveau 1 1 Léo a 26 billes. Juliette a 45 billes? Combien Juliette a-t-elle de billes en plus? 2 Dans un magasin, un jouet coûte 24. Il coûte 36 dans un autre magasin. De combien est-il plus cher dans le deuxième magasin? 3 Dans un magasin, un pantalon coûte 87, De combien le pantalon est-il moins cher dans le deuxième magasin, s'il coûte 79? 4 Zoé mesure 1m27cm et Noémie mesure 1m32cm. De combien de centimètres, Noémie est-elle plus grande? 5Combien d'élèves de moins, y a-t-il à l école maternelle? A l'école élémentaire, il y a 159 élèves. A l'école maternelle, il y a 87 élèves. Niveau 2 1 Un avion vole à 9 500m, puis à m. De combien de mètres, s'est il élevé? 2 Un garage propose deux voitures. L'un coûte , la deuxième De combien la deuxième est elle plus chère? 3 La Loire mesure 1 020km. De combien Le Rhône est-il plus court? Il mesure 812 km. 4 Un segment mesure 23 cm et un autre mesure 225 mm. Lequel est le plus long? De combien?. 5 A l'aide d'une bande unité, trace un segment de un quart de l'unité et un autre de un demi de l'unité. Lequel est le plus court? De combien? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1420

15 Niveau 3 1Combien y a-t-il d'habitants à Londres? En 2012, Paris et sa banlieue comptait habitants. A Londres, il y a habitants en plus. 2 La planète Terre est à de kilomètres du soleil.a quelle distance Mercure se trouve-telle du Soleil, sachant qu'elle est à km plus proche du soleil? 3 Monsieur André fait une promenade à vélo. La première étape est de 23km250 et la deuxième étape est de 1 150m plus courte. Quelle est la distance de la deuxième étape? 4 Deux coureuses de 100m commentent leurs dernières performances. Audrey dit : «J'ai mis 12,4secondes». Sophie répond : «J'ai fait 24 centièmes de plus que toi.» Combien de temps a mis Sophie? 5 En 2 008, Le quotidien Le Monde était vendu à exemplaires et il se vendait exemplaires de plus du quotidien L Équipe. Combien d'exemplaires de l Équipe se vendait-il? Transformation Recherche de l'état final (transformation positive ou négative) J'ajoute b J'enlève b a? a? Niveau 1 1 Pierre avait 15 images. Il en achète 8. Combien en a-t-il maintenant? 2 2 Sophie joue au jeu de l'oie. Elle est sur la case 17.Sur quelle case va-t-elle arriver si elle doit reculer de 5 cases? 3 La BCD de l'école comptait 679 ouvrages. La directrice en achète 58 nouveaux. Quel est le nouveau nombre de livres? 4Combien reste-t-il d œufs à un marchand qui va marché avec 688 œufs. Il en vend Le réservoir de la voiture plein contient 40 litres d'essence. Au cours du voyage, je consomme 29 litres. Combien reste-t-il d'essence? Niveau 2 1 Dans le TGV Paris-Marseille, il y a 132 passagers. 74 passagers descendent à l'arrêt d'aix. Combien de passagers continuent le voyage? 2 J'avais timbres dans mon album. Mon oncle me donne le sien qui compte timbres. Combien ai-je de timbres à présent? 3 Un transporteur doit livrer caisses de coca dans deux magasins. Il en décharge 460 au premier magasin. Combien en déchargera-t-il au deuxième magasin? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1520

16 4 Une marchande de journaux reçoit journaux le matin et journaux en début d'aprèsmidi. Combien a-t-elle reçu en tout? Niveau 3 1 Quelle est ma taille à présent? Je mesurais 1,26m à la rentrée et j'ai grandi de 7 cm en 6 mois. 2 Lundi matin, un commerçant à 132 kg de sucre en stock.combien lui en reste-t-il, s il en vend 112 kg dans la semaine? 3 Dans un flacon, il y a déjà 150 ml d'eau. Je rajoute 50 cl d'eau. Quelle quantité d'eau y a-t-il à présent? 4 Un chimiste prélève un produit dans un flacon. Au départ, la masse du produit dans le flacon est de 450 mg. Il prélève 23 cg. Combien reste -t-il dans le flacon? 5 Karim réalise le montage d'un film en mettant bout à bout des séquences vidéo. Il a déjà monté 10 min 22s. Il lui reste à monter 15 min et 45s. Quelle sera la durée du film à l 'arrivée? Recherche de la transformation (positive ou négative) J'ajoute? J'enlève? a c a c Niveau 1 1 J'avais 25 billes dans mon sac.combien en ai-je gagné, si maintenant, j'en compte Sophie joue au jeu de l'oie. Elle était sur la case 18. Elle se trouve maintenant sur la case. 24. De combien de cases a-t-elle avancé? 3 J'avais 32 cubes dans une boite. J'en enlève. Maintenant, j'en compte 13. Combien de cubes ai-je enlevé? 4 Je pense au nombre 36. Je lui rajoute un nombre. Je trouve 57. Quel nombre ai-je rajouté? 5 Ce matin, dans les rayons du supermarché, il y avait 127 tablettes de chocolat noir. Ce soir, il en reste 48. Combien de tablettes ont été vendues? Niveau 2 1 Aurélie est en train de réaliser un puzzle de 845 pièces. Combien de pièces lui reste-t-il à placer si elle en a déjà placées 129? 2 Avant l'arrêt du train, il y avait 329 passagers. Il y en a maintenant 283. Combien de passagers sont descendus? 3 Dans mon carnet de santé, j'ai vu qu'à 3 ans, je mesurais 97 cm. De combien ai-je grandi si maintenant je mesure 1m33cm? 4 En 1992, la population de Perpignan était de habitants. En 1968, elle était de habitants. De combien a-t-elle diminué? 5 Ce matin, le compteur de la photocopieuse indiquait La maîtresse après avoir tiré des photocopies relève combien de photocopies a -elle fait? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1620

17 Niveau 3 1 Mes parents avait une maison de 112 m². Il l'ont agrandie. La surface est maintenant d 169m². Quelle est la surface ajoutée? 2 J'achète un caméscope. Le prix indiqué au départ était de 314,96. Après réduction, je paie 171,90. De combien est la réduction? 3 André avait 115,55. Il gagne de l'argent et possède à présent 224,35. Combien a -t-il gagné? 4 Ce matin, il y avait dans la caisse du supermarché 358,94. Une heure après, il y a 1 578,45. Quelle somme y a-t-il en plus? 5 Nous sommes aujourd'hui 6 milliards d'humains sur Terre. ON estime qu'en l'an 3 000, nous serons 12 milliards. De combien la population se sera-t-elle accrue? Recherche de l'état initial (transformation positive ou négative) J'ajoute b J'enlève b? c? c Niveau 1 1Combien de bille j'avais au départ? J'ai des billes dans une boite. J'en ajoute 15. Maintenant, j'en ai Je pense à un nombre. J'enlève 8. J'obtiens 15. A quel nombre je pensais au départ? 3 Alice a maintenant 12 images. Elle en a acheté 8. Combien en avait-il au départ? 4 Zoé joue au jeu de l'oie. Elle vient d'avancer de 5 cases et se trouve maintenant sur la case 13. De quelle case est-elle partie? 5 Marie a prêté 4 BD à sa cousine. Il lui en reste 8. Combien en avait-elle au départ? Niveau 2 1Combien y avait-il d'élèves au début de l'année? Nous sommes 142 élèves à l'école actuellement. Depuis le début de l'année 17 enfants ont déménagé. 2 Le compteur de ma voiture indique km. J'ai parcouru 926 km pendant les vacances. Qu'indiquait le compteur avant mon départ? 3 A l'arrêt du train, 125 personnes sont descendus. Il en reste 238 à l'intérieur. Combien y avait-il de passagers avant l'arrêt? 4 Je mesure aujourd'hui 1m38cm.. J'ai grandi de 5 cm depuis la dernière mesure. Quelle était alors ma taille? 5 Je prélève un quart de produit dans un flacon. Il reste un demi de produit maintenant? Combien y en avait-il au départ? Niveau 3 1 La population d'une petite ville a augmenté de 678 habitants. Maintenant, il y a habitants. Quel était le nombre d'habitants avant l'arrivée de ces personnes? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1720

18 2 Une fusée s'est éloignée en une heure de km de la terre. Elle est actuellement à km de la terre. A quelle distance de la terre se trouvait-elle une heure plus tôt? 3 Quelle longueur de ruban avais-je au départ? Je coupe 3,25 m de ruban dans un rouleau. Il reste à présent 15,20m. 4 Léo fait des courses. Il dépense 18,25. Il lui reste 17 dans son porte monnaie. Combien avait-il au départ? 5 En avançant de 2,3 sur une ligne graduée, j'arrive à la graduation 5,2. Sur quelle graduation étaisje au départ? Ensuite, les élèves peuvent résoudre des problèmes à plusieurs transformations. Pour chaque étape, ils repèrent à quelle catégorie, ils se réfèrent. Problèmes additifs et soustractifs (deux ou plusieurs étapes de résolution) Banque de problèmes Transformations 1 Un bus arrive avec 16 personnes. Quelques personnes descendent, aucune ne monte. Le bus repart avec 12 personnes. Au deuxième arrêt, des personnes montent. Combien de personnes sont descendues au premier arrêt? Combien de personnes y a -t-il dans le bus après le deuxième arrêt? 2 Ce matin, Arthur avait 130 billes. Pendant la récréation du matin, il en perd 23. Le soir, il a 141 billes. Combien lui reste-t-il de billes à midi. A-t-il gagné ou perdu des billes à la récréation de l'après midi? 3 Un TGV quitte Marseille avec 564 passagers. A Avignon, 56 personnes descendent tandis que 186 personnes montent dans le train. Combien de passagers arrivent à Paris. 4 Un pâtissier a fabriqué 60 croissants. Le matin, il en vend le tiers et l'après midi il vend le quart des croissants qui lui restent. A la fin de la journée, combien de croissants n'ont pas été vendus? 5 Une coopérative scolaire dispose de La municipalité lui verse une subvention de 150. L'école achète un téléviseur à 585 et un magnétoscope à 599. Quelle somme lui reste-t-il? Réunion avec plusieurs parties 1 La classe de Zoé visite le musée du Louvres. Au total, 27 personnes se sont rendues au musée dont 3 Parents, la maîtresse et 13 filles. Combien y a-t-il de garçons dans la classe? 2 La fleuriste compose un bouquet avec 5 marguerites, 3 roses, 6 œillets et des anémones. Il y a 20 fleurs dans ce bouquet. Combien y a-t-il d'anémones? 3 En France, il y a kilomètres de routes communales, kilomètres de routes départementales, kilomètres de routes nationales et kilomètres d'autoroutes. Quelles est la longueur totale de routes françaises? Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1820

19 Problèmes à plusieurs comparaisons 1 Noah mesure 14 cm de moins que Sacha et 18 cm de plus qu' Élodie. Quelle est la différence de taille entre Sacha et Élodie? Sachant que Sacha mesure 142 cm, quelle est la taille de Noah? D' Élodie? 2 J'ai 72 billes de plus que Théo dit Roxane. J'en ai 47 de moins que toi dit Léo. J'ai 64 billes en terre et 59 billes en verre dit Théo. Combien de billes a chaque enfant? Problèmes de comparaison (type additif et multiplicatif) 1 La Tour Eiffel mesure 300m de haut. Elle est dix fois plus haute que le Parthénon d'athènes. L Arc de Triomphe de Paris ne mesure que 50m de hauteur. La Tour Montparnasse est environ quatre fois plus haute que l'arc de Triomphe. Quelle est la hauteur du Parthénon? De combien de mètres, la Tour Eiffel est-elle plus haute que le Parthénon? De combien de mètres la tour Eiffel est-elle plus haute que la tour Montparnasse? Bibliographie et Sitographie Vergnaud Gérard (1990) La théorie des champs conceptuels Editions La pensée sauvage Petit Serge et Camenisch Annie Projet d'écriture en mathématiques (site de l'arpeme) D une analyse possible d énoncés de problèmes mathématiques vers un apprentissage de la langue à l école Fayol Michel Séminaire national : Les mathématiques à l école primaire - M. Michel Fayol (vidéo) Actes du séminaire national L'enseignement des mathématiques à l'école primaire, à partir de la page 49 maire_ pdf Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1920

20 Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 2020