Sur la théorie des phénomènes de transport dans les semiconducteurs

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1 Sur la théorie des phénomènes de transport dans les semiconducteurs Ioan Licea To cite this version: Ioan Licea. Sur la théorie des phénomènes de transport dans les semiconducteurs. Journal de Physique, 1965, 26 (5), pp < /jphys: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1965 HAL is a multidisciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 Pour _,_,_, A JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 26, MAI 1965, 249. SUR LA THÉORIE DES PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURS Par IOAN LICEA, Faculté de Physique, Université de Bucarest. Résumé. Dans ce travail on donne une extension de la méthode généralisée du «gain moyen d énergie» proposée en [3, 4] pour l étude des phénomènes de transport dans les semiconducteurs, dans le cas où il existe un gradient de concentration. Cette méthode devient ainsi utilisable pour décrire aussi les effets de magnétodiffusion. Abstract In this work an extension is given of the generalized " average energy gain " method proposed in [3, 4] for the study of transport phenomena in semiconductors in the case where there is a concentration gradient, so the method is also useful for the description of the magnetodiffusion effects. 1. Introduction. l étude des phénomènes de transport dans les semiconducteurs, à côté de la méthode habituelle de construction de la théorie à l aide de la fonction de dis phénoménologique tribution des porteurs déterminée par l équation de Boltzmann, on peut aussi utiliser la méthode du «gain moyen d énergie» décrite par Aigrain et Englert [1]. Quand l énergie des porteurs est donnée en fonction du vecteur d onde k par quadratique définie positive une forme où oc est le tenseur des inverses de masses effectives, Godefroy et Tavernier [2] ont ainsi calculé le transfert isothermique et, à l aide des relations d Onsager, déterminé les relations entre les différents coefficients qui décrivent les effets magnétoélectriques et thermomagnétiques dans les semiconducteurs. Une généralisation de cette méthode du gain moyen d énergie, qui permet d interpréter plus facilement et rapidement tous les processus provoqués par un champ électrique et un gradient de température en présence d un champ magnétique, a été donnée par Tavernier [3] dans le cas où l énergie des porteurs est donnée par la fonction (1), et ensuite par Sexer et Tavernier [4], dans le cas où l énergie (comme pour une série de composés semiconducteurs) est une fonction de Ikl, c estàdire les résultats étant formellement identiques pour une définition correspondante de la valeur moyenne du temps de relaxation. Nous proposons ici une extension de cette méthode généralisée du gain moyen d énergie au cas où existe un gradient de concentration. Nous allons considérer que l apparition de ce gradient de concentration est due à l injection des porteurs quand l échantillon est illuminé (avec une lumière fortement absorbée) et que ce gradient provoque une diffusion des porteurs minoritaires (1).. Ainsi l extension, quoique très simple, est pourtant importante parce qu elle permet la description d une nouvelle catégorie de phénomènes, comme ceux de magnétodiffusion, par exemple les effets photomagnétoélectrique ou photothermomagnétique. 2. Fonction de distribution. côté du gradient de température, le gradient de concentration contribuera à la variation de la fonction de distribution des porteurs de charge (électrons ou trous) d après les énergies. Nous allons étudier comment la fonction de distribution à l équilibre, en l absence de champs extérieurs, que nous présumons être la fonction FermiDirac, dépend de la concentration des porteurs (électrons par exemple) par l énergie du niveau de Fermi. Alors où s est l énergie des électrons, y l énergie du niveau de Fermi, N la concentration des électrons, T la température absolue, l~o la constante de Boltzmann. Quand l électron subit une collision avec le réseau, nous allons admettre comme d habitude, que la répartition des électrons est représentée par la fonction f o, qui correspond à une température T et à une concentration N, c estàdire Les collisions sont présumées élastiques de façon que, en l absence des champs extérieurs, la fonction de distribution se conserve après une collision avec le réseau. (1) D autres causes encore, par exemple, la distribution nonhomogène des impuretés, peuvent évidemment contribuer à l apparition du gradient de concentration. Article published online by EDP Sciences and available at

3 DE. La 250 Les champs extérieurs, électrique E et magnétique B, influent sur la forme de la fonction de distribution des électrons. Le champ électrique E fournit à l électron de libre parcours A(E, B) et de charge e une énergie moyenne DE ee. A, ainsi le réseau ne va fournir aux électrons d énergie E que l énergie s Pour obtenir la nouvelle il faut substi répartition entre les états d énergie, tuer la nouvelle valeur de l énergie dans la fonction de distribution en l absence des champs. Alors, en présence de champs extérieurs et de gradients de température et de concentration, la fonction de distribution des électrons sera qui dépend du vecteur d onde k par l expression de l énergie, et des coordonnées de position par la température et la concentration. Tenant compte de ce que pour un point de température fi et concentration N on a et que, conformément à la fonction de distribution choisie où l opérateur A (s) conformément à [4] est Dans cette expression l opérateur ~ par et est défini Ici est le temps de relaxation dépendant seulement de Ikl par l intermédiaire de l énergie et est lié du libre parcours par la relation A V. t", où V est la vitesse de l électron, liée dans ce cas à son énergie par 4. Les flux de courant et d énergie. densité du courant électrique qui est, par définition devient, en utilisant (7), (7) et (8) dans l approximation de premier ordre par rapport aux «forces» E grad p, grad T et grad N, nous obtenons où A (s) est le transposé de A (s) en substituant B > ± par 2013p... En introduisant la notation Pour que ce résultat soit correct, il faut que le libre parcours moyen dépende seulement de B, A A(B), c estàdire qu il soit calculé sous la condition E grad T grad N Le libre parcours moyen. Le calcul du libre parcours moyen, qui comporte des hypothèses sur la structure des bandes d énergie, se fait comme dans [3, 4], les résultats étant de forme identique pour une énergie de la forme (1) ou (2) et se distinguant seulement par la définition du temps moyen de relaxation, qui est plus générale sous la forme (2). En admettant ainsi que E nous avons et la densité électronique, c estàdire le nombre des électrons par unité de volume du cristal la densité du courant s écrit

4 la l échantillon Les 251 Un procédé analogue dans le cas de la densité du flux d énergie, définie par nous conduit à Dans les expressions (18a) et (18b) intervient la relation entre le niveau de Fermi et, respectivement, la température à concentration constante et la concentration à température constante. En utilisant (5b), la relation (12) nous donne et, tenant compte de la notation (11), on obtient Aussi, en utilisant (5a) et tenant compte de (11), (12) et (20) il vient : Les flux de courant et d énergie thermique peuvent alors être exprimés sous la forme d où où les tenseurs 6, H, D, x, 03BE et G s expriment en > > > fonction de trois tenseurs indépendents 6, 0, q, comme dans la théorie obtenue par la résolution un récent de l équation de Boltzmann [5]. (Dans travail [6], nous avons montré qu un résultat similaire peut être obtenu en utilisant la méthode de la vitesse dirigée.) Ainsi où nous avons noté Les tenseurs indépendants a, Ô et q sont donnés par les relations Dans le cas de la statistique d ds Boltzmann d/de> ainsi queq de Maxwell La variation de position du niveau de Fermi en fonction de la concentration des porteurs ne dépend de la structure des bandes d énergie que pour les états dégénérés, quand on utilise comme fonction de distribution à l équilibre la fonction Fermi Dirac. 5. Application. résultats obtenus par cette extension de la méthode généralisée du gain moyen d énergie, dans le cas où existe un gradient de concentration dû à l illumination de l échantillon, sont analogues à ceux obtenus par la résolution de l équation de Boltzmann, avec des calculs plus longs. Ils peuvent être utilisés, comme dans [5], à la description des phénomènes de magnétodiffusion, en admettant préalablement que : lumière tombe sur l échantillon de forme supposée parallélipipédique, le long d un axe (par exemple y), la profondeur de sa pénétration étant beaucoup plus petite que la longueur de diffusion des porteurs de nonéquilibre. On peut ainsi négliger la génération en volume des porteurs en excès ; est présumé parfaitement homogène. Le gradient de concentration est ainsi causé seulement par son illumination. Nous pouvons ainsi rendre compte des effets suivants : Effet photomagnétoélectrique. Apparition d un champ électrique Ez perpendiculaire au champ magnétique (présumé orienté suivant l axe z) BZ et flux de particules qui diffusent dans la direction du gradient de concentration znfzy sous l action de l illumination. On peut les décrire dans le cadre

5 phénoménologique mentionné, par la première équation du système (16) relative aux composantes, sous la condition que grad T 0. Le choix mentionné des champs et du gradient de concentration impose encore les conditions supplémentaires ly 0 et 0. Effet photothermomagnétique. Apparition d un gradient transversal de température perpendiculaire au champ magnétique.bz et flux des particules qui diffusent dans la direction du gradient de concentration sous l action de BIBLIOGRAPHIE l illumination. On peut décrire ces effets à l aide de trois de ces quatre équations, relatives aux composantes, du système (16), sous les conditions J 0, et, parce que le processus est adiabatique, W 0. De plus, les conditions imposées par le choix mentionné des champs et des gradients, nous donnent encore 0 et on fox 0. On peut décrire aussi de cette manière d autres phénomènes de magnétodiffusion. Évidemment, nous n entrerons pas dans les détails parce que les relations qui caractérisent les effets mentionnés et la discussion des résultats peuvent être faits exactement comme dans le travail cité [5]. Manuscrit reçu le 25 janvier [1] AIGRAIN et ENGLERT, Les semiconducteurs, Dunod, Paris, p. 66. [2] GODEFROY (L.) et TAVERNIER (J.), J. Physique Rad., a) 1960, 21, 249 ; b) 1960, 21, 544 ; c) 1960, 21, 660. [3] TAVERNIER (J.), J. Physique, 1963, 24, 99. [4] SEXER (N.) et TAVERNIER (J.), Phys. stat. sol., 1964, 5, 521. [5] ZAWADZKI (W.), Phys. stat. sol., 1963, 3, 990. [6] LICEA (I.), Phys. stat. sol., 1965, 8, 377. LE JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 26, MAI 1965, NOTE SUR LES POLARISATIONS DE SPIN ET DE CHARGE AUTOUR D UNE IMPURETÉ DANS UN SUPRACONDUCTEUR (1) Par J. P. HURAULT, Physique des Solides, Faculté des Sciences, Orsay. Résumé. On améliore les calculs existants de polarisations de charge et de spin autour d une impureté dans un supraconducteur. Les expériences susceptibles de tester ces calculs seraient, d une part l étude des interactions entre impuretés magnétiques, d autre part l étude du spectre des phonons dans des matériaux du type Nb3Sn, à faible longueur de cohérence. Abstract Existing calculations are improved for charge and spin polarisations induced around an impurity in a superconductor. The calculation could be tested by studies of (a) interactions between magnetic impurities ; (b) the phonon spectrum, in materials of the Nb3Sn group, with short coherence lengths. Introduction. POLARISATION DE SPIN. Soit un spin nucléaire 10 placé à l origine des coordonnées et couplé par une interaction hyperfine Si 8(r,) aux électrons de conduction 4 (de spin Si et de coordonnées ri) d un métal. Le spin Io va induire une polarisation de spin l énergie du couplage indirect de 11 à I, par l intermédiaire du gaz d électrons. x(r) et W(R) ont été calculées par Ruderman et Kittel [1] pour un métal pur dans l approximation des électrons libres et ils ont trouvé (kf désignant le vecteur d onde du niveau de Fermi) Un spin nucléaire ll situé à une distance R de l origine, interagit avec la polarisation créée par Io. Cette énergie d interaction W(R) n est autre que (1) Travail financé par Spatiales, 129, rue de l Université, Paris (7e). le Centre National d Études Lorsque l on considère plusieurs spins nucléaires Il situés aux positions R; l énergie de couplage de