Logique combinatoire. Tous droits réservés

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2 Combinatoire Lorsque l état de la sortie dépend exclusivement de l état des entrées. On appel cette logique la logique combinatoire. Exemple d application:un pont roulant utilise principalement les notions de logique combinatoire. Dans ce genre de système, les déplacements du pont avant ou arrière dépendent de l actionnement des boutons poussoirs correspondant, pour la sécurité, le premier bouton qui est activé a priorité sur le second pour le déplacement en sens inverse.

3 Le principe binaire Depuis votre plus tendre enfance vous êtes habitué à compter en base 10. Naturellement vous trouvez cela extraordinairement pratique et vous vous en accommodez très bien. Le principe est simple, on dispose de 10 symboles (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), si l'on dépasse le 9, il suffit de rajouter un 1 devant le chiffre précédent, ceci nous indique une dizaine supplémentaire. Tandis qu un langage électrique ne possède que deux symboles numériques le 0 et le 1. Appareil État logique (0) (Désactivé) État logique (1) (Activé) Klaxon Lampe Moteur Relais B. Poussoir N.O B. Poussoir N.F Ne sonne pas Éteinte Arrêté Sans tension Tension ne circule pas Tension circule Sonne Allumée En marche Sous tension Tension circule Tension ne circule pas

4 Valeur binaire d un contact Un contact normalement fermé d un relais à l état repos aura une valeur binaire de 1. Un contact normalement fermé d un relais alimenté aura au travail une valeur binaire de 0. Un contact normalement ouvert d un relais aura au repos une valeur binaire de 0. Un contact normalement ouvert d un relais alimenté aura une valeur binaire de 1.

5 Table de vérité Cet outil de travail nous permettra d identifier toutes les possibilités que les actionneurs peuvent exécuter, que soit une sortie active (1) ou non active (0). Dans la première les actionneurs sont identifiés par des variables. Une table de vérité se divise en deux c est-à-dire, les variables d entrées (Bouton poussoir, contact, etc..) et les variables de sorties (relais, moteurs, lumière, solénoïdes, etc..) Les variables d entrées sont identifier par des lettres de l alphabet de A à W. Les variables de sorties sont identifiées par la terminologie «sortie» pour seulement une variable et par des lettres non utilisées par les variables d entrées pour plus d une sortie (ex: X, Y, Z). A B Sortie

6 Conception d une table de vérité Pour concevoir une table de vérité il faut en premier lieu identifier le nombre de variable d entrée. Cette information nous permettra de déterminer toutes les possibilités possibles que peuvent exécuter les variables entre elles. Faut comprendre que les variables n ont que deux possibilités 0 ou 1, active ou désactive, ont dit d eux qu ils sont binaire (seulement deux possibilités). On peut donc affirmer que le nombre de possibilités d une variable exposant le nombre de variable déterminera le nombres de combinaisons possibles. Sachant le nombre de variable (2 exposant à la n), nous pourrons déterminer le nombre de division de la table de vérité. Exemple voir table de la page précédente: Variable A et B = 2² = 4 lignes et 2 colonnes, la troisième colonne servira à identifier la sortie. Puis on identifiera chacun des casiers dans un ordre binaire. Exemple à la page suivante. Premier case = 00 Second case = 01 Troisième case = 10 Quatrième case = 11

7 Table de vérité, identification de la sortie A B Sortie La colonne Sortie sera indiquer par un nombre binaire 0 ou 1. Le nombre indiquer (0 ou 1) dans cette case dépendra de l énoncé ou de la composante à laquelle les conditions des variables activeront oui ou non la sortie. Exemple: La compagnie vous informes que le moteur (Sortie) devra s activer uniquement si le bouton A est enfoncé et pas le bouton B. Ce qui signifie que la première ligne de la colonne sortie, on indiquera 0, la seconde un 0, la troisième 1 et la dernière 0.

8 Simplification (table de vérité) Comme le nombre de 1 est inférieure au nombre de 0, on tiendra compte que de la ligne 3. Pour que le moteur fonctionne on obtiendra le diagramme suivant:

9 Table de vérité à plusieurs de sortie Il est possible qu il soit nécessaire d avoir plusieurs sorties à partir d une table de vérité. Un bon exemple serait l utilisation de deux moteurs électrique à partir d un même circuit électrique. Reprenons l exemple précédent et ajoutons que le deuxième moteur s activera uniquement si les boutons A et B sont enfoncés. A B Sortie X Sortie Y

11 Algèbre de Bool L'algèbre de Boole est très utilisée dans les domaines de la logique et de la théorie des ensembles. En effet, elle s'intéresse d avantage à des propositions et à leurs valeurs de vérité, qu'à des variables auxquelles on attribue des valeurs numériques. Cette notion fut développée par George Boole dès L algèbre de Boole s applique en électronique, sur des systèmes fluidiques, mécanique et en électricité. Toute algèbre est composée de deux éléments: les variables et les opérateurs. Trois variables sont utilisées: - l addition, représenté par un point. ( ) - multiplication, représenté par plus. (+) - négation, représenté par une barre. ( )

12 Variable «ET» ( ) Ensemble des combinaisons possibles avec deux boutonspoussoirs A et B. a b R Donc, (A B). Si je pousse le bouton A «et» B, la sortie sera activée.

14 Variable «OU» (+) Ensemble des combinaisons possibles avec deux boutonspoussoirs A et B. a b R Donc, A+B, si je pousse le bouton A «ou» B, la sortie sera activée.

16 Variable «NON» ( ) Ensemble des combinaisons possibles avec deux boutonspoussoirs A et B. a R Donc, Ā. Si je ne pousse pas sur le Bouton A, le relais sera activée.

18 Autres fonctions a Fonction «NON-OU» b R Fonction «NON-ET» a b R Fonction «OU EXCLUSIF» a a b b R

21 La logique booléenne L algèbre booléenne dispose d un ensemble de Postulats, de théorèmes et de lois fondamentaux qui définissent les règles de base de la combinaison des variables booléennes. À retenir

24 Exemples d applications A + AB = A A + /AB = A + B A (B + C) = AB + AC A (A + B) = A +AB = A

26 Table de vérité, ordre binaire Les nombres sont inscrites dans l ordre de comptage en binaire soit (00), (01), (10), (11). A B sortie = A, B = A, B = A, B = A, B

27 Table de vérité, type de montage Les sorties sont variables en fonctions du type de montage. Exemple: A + B = A ou B, circuit en OU À la première ligne binaire si A = 0 et B = 0, la sortie sera = 0 À la deuxième ligne binaire si A = 0 et B = 1, la sortie sera = 1 Etc.. A B sortie

28 Table de vérité, simplification Les valeurs qui nous intéressent sont ceux dont les sorties sont activées =1 La réponse sera: (A B) + (A B) + (A B) A B sortie

29 Schéma correspondant à la table de vérité du circuit en «OU» A B Sortie A B A B

30 Table de vérité, plusieurs variables Table de vérité plusieurs variables, on doit déterminer les variables ex: trois variables = 2³ = 8 combinaisons possibles. Comptes en binaires selon le nombre de variable (000), (001), (010), (011), (100), (101), (110) et (111) 4 variables = 16 combinaison. Variables binaires: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 et A B C S A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C

31 Exemple de table de vérité, après application des théorèmes et postulat a b R a b R A B ET A B OU

32 Autres exemples a R A NON

33 Simplification par la méthode Karnaugh

34 Tables de Karnaugh La table de Karnaugh est une grille composé d un certain nombre de cases. Ces cases sont établis en fonction des variables utilisées. (Comme la table de vérité). Deux variables = 2², 2³, etc.. Chaque cases est numérotées dans un ordre précis. Chacune des cases correspond aux entrées. (Comme la table de vérité)

35 Les tables Deux variables = 2² = 4 cases Trois variables = 2³ = 8 cases Quatre variables = 16 cases

36 Numérotation des cases Deux variables = 2² = 4 cases Trois variables = 2³ = 8 cases Quatre variables = 16 cases

37 Identification des cases (variables) En premier lieu on insère nos variables, à l horizontale c est la variable A et à la verticale correspond à la variable B. Deuxièmement on insère les nombres binaires du côté A et du B. En dernier lieu insérer les variables dans chacun de leur casier. a b A B A B 1 2 A B A B 4

38 Insertion dans la Table de vérité On identifie les lignes de la tables de vérités et on les insères dans les colonnes de la table de Karnaugh correspondante. a b x a b A B A B A B 0 1 A B 4

39 Groupement Les cases avec un 1 peuvent être regroupés si remplie toute ces conditions: si les cases se touchent Les cases avec un 1 peuvent être regroupés si sont à l horizontal ou à la verticale seulement. le regroupement doit être 2 exposant n, donc seul, quatre, huit;. Les extrémités peuvent se regrouper par la méthode de l enroulement (utilisable sur les 3 variables et plus).

40 Exemple de groupement à deux variables

41 Réponse du regroupement À notre exemple c est le regroupement e qui correspond le plus à notre table de vérité. La réponse du premier regroupement est: (A B) + (A B) = A Deuxième regroupement: (A B) + (A B) = B Réponse: A + B A B A B A B 1 1 A B A B 3

42 Plus de trois variables Compléter la table de vérité Compléter la table de Karnaugh Regrouper les 1 (Méthode de l enroulement s applique) Simplifier avec les lois de Boole

43 Trois variables A B C S A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 6

44 Méthode de l enroulement 3 variables sens verticale seulement. 4 variables; verticale et horizontale

45 Exemple de groupement à trois variables

46 Exemple de groupement à quatre variables

47 Variante de la table de Karnaugh C est le même processus, il faut juste se poser la question? Case 3: Est-ce que A est situé dans sa zone, non donc = 0 Case 3: Est-ce que B est situé dans sa zone, oui donc = 1 Case 3: Est-ce que C est situé dans sa zone, non donc = 0 Résultat de la case 3 = (A B C) Case 7: Est-ce que A est situé dans sa zone, oui donc = 1 Case 7: Est-ce que B est situé dans sa zone, oui donc = 1 Case 7: Est-ce que C est situé dans sa zone, non donc = 0 Tous droits réservés Résultat de la case 7 = (A B C) Simplification de la case 3 et 7 = (B C) B Case 6 = (A B C) Résultat final = (B C) + (A B C) C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A 5 6

48 Logique combinatoire Exercice #1 Préparé par Richard Roy

49 Procédure À chacune des diapositives vous aurez l énoncé (recommande de l écrire au fur et à mesure, afin d intégrer la matière); Puis la diapositive suivante vous donnera la réponse de l auteur. Pour faire l exercice vous aurez besoin; -Règle - Feuille de papier (quadrillé de préférence) - Crayon mine - Efface - Document de logique

50 Énoncé du problème On désire, dans cet exemple, commander une porte pivotante entre deux magasins. Cette porte doit être commandée de manière qu elle puisse être ouverte et fermée à partir de chaque magasin. Dans chaque magasin, on dispose d un interrupteur A et B, comme le montre la figure ci-dessous. La porte doit être ouverte à partir d un magasin et fermée à partir de l autre.

51 Solution Il faut interpréter la fonction (ouvrir) en terme des deux interrupteurs A et B. La porte doit être ouverte si seulement l interrupteur A est enfoncé ou seulement si l interrupteur B est enfoncé. Quand un interrupteur est déjà enfoncé, la porte se ferme. La table de vérité possèdera deux variables A et B et une sortie. Exercice: Combien de case possèdera la table de vérité incluant l identification des variables de la sortie et des choix binaires? 15 cases

52 Table de vérité Élaborez la table de vérité (sur votre propre feuille d exercice) et identifier par le nombre 1 ou 0 la sortie. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse.

53 Établir un circuit électrique à partir de la table de vérité Utiliser deux boutons poussoir (A et B) et un relais (sortie). Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. A B Sortie A B

54 Établir un circuit électronique à partir de la table de vérité Utiliser deux cellules «non» B.P (A et B), deux cellules «ET» et une cellule «OU» (sortie). Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse.

55 Établir un circuit pneumatique à partir de la table de vérité Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. Et Sortie Non A Et Ou B Non

56 Vérification de la séquence Remplissez les cases en fonction du circuit pneumatique. Non Et Sortie Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. A Et Ou B Non B.P A B.P B Tige du vérin Relâché (0) Relâché (0) Sort pas Relâché (0) Enfoncé (1) Enfoncé (1) Relâché (0) Sort Sort Enfoncé (1) Enfoncé (1) Sort pas

57 Table de Karnaugh Élaborez la table de Karnaugh (sur votre propre feuille d exercice) et identifier par le nombre 1 ou 0 les cases appropriés et encerclez vos groupes. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse.

58 Simplification Appliquer les règles de simplification et inscrire la réponse. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse.

59 Dernière étape La dernière étape consiste à établir un schéma; électrique, électronique et pneumatique et les comparées. Vous remarquerez qu aucune simplification n est possible à partir de cette table de Karnaugh, car les 1 sont disposés sur la diagonale et ne peuvent par conséquent être groupés. Réponse finale:

60 Conclusion La table de Karnaugh ne peut simplifier la table de vérité si aucun groupement n est possible dans la table de Karnaugh

63 Énoncé du problème Dans cette exemple, on désire commander un système d estampage à partir de l état de détecteurs de position. Dans ce système, les pièces sont introduites dans la presse à estamper à partir de trois côtés. Trois capteurs d approche permettent de contrôler si les pièces sont introduites dans la presse. Le processus d estampage est déclenché lorsque la valeur du signal de sortie d,au moins deux des détecteurs est à l état logique 1.

64 Solution L interprétation du plan de situation est la suivante. Appelons les détecteurs de position A, B, et C. Ainsi, pour que le processus d estampage se déclenche, il faut qu au moins deux des trois interrupteurs A, B, C soient à l état logique 1. Exercice: Combien de case possèdera la table de vérité incluant l identification des variables de la sortie et des choix binaires? 36 cases

66 Établir un circuit électrique à partir de la table de vérité Utiliser trois interrupteurs de fin de course à galet (A, B, C) et un relais (sortie). Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse.

67 Table de Karnaugh Élaborez la table de Karnaugh (sur votre propre feuille d exercice) et identifier par le nombre 1 ou 0 les cases appropriés et encerclez vos groupes. Vous aurez trois groupes. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse.

68 Simplification Appliquer les règles de simplification et inscrire la réponse. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. La réponse du premier regroupement (A B C) (A B C) = A B Deuxième regroupement: (A B C) (A B C) = B C Dernier regroupement: (A B C) (A B C) = A C

69 Dernière étape La dernière étape consiste à établir un schéma; électrique, électronique et pneumatique et les comparées. Vous remarquerez que la simplification a été possible à partir de cette table de Karnaugh. Réponse finale:

70 Établir un circuit électrique à partir de la table de Karnaugh Utiliser trois interrupteurs de fin de course à galet (A, B, C) et un relais (sortie). Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse.

71 Établir un circuit électronique à partir de la table de Karnaugh Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse.

72 Établir un circuit pneumatique à partir de la table de Karnaugh Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. Et Sortie A Et Ou B C

73 Vérification de la séquence Remplissez les cases en fonction du circuit pneumatique. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. A B C Sortie Relâché Relâché Relâché 0 Relâché Relâché Enfoncé 0 Relâché Enfoncé Relâché 0 Relâché Enfoncé Enfoncé 1 Enfoncé Relâché Enfoncé Enfoncé Relâché Enfoncé Enfoncé Enfoncé Relâché Enfoncé Enfoncé Enfoncé

74 Conclusion À partir d un ou plusieurs groupements la table de Karnaugh nous permettra de simplifier une séquence.

77 Énoncé du problème Un distributeur de boissons permet au consonsommateur (trice) de sélectrionner de l eau chaude, du café ou chocolat. Par ailleurs, il n est pas possible d obtenir de la boisson sans eau chaude.

78 Solution L interprétation du plan de situation est la suivante. Appelons les soupapes E = eau, C = café, et Ca = café. Le robinet de la distributrice est identifié par R. Ce robinet est actionné si les conditions de choix sont respectés. Exercice: Combien de case possèdera la table de vérité incluant l identification des variables de la sortie et des choix binaires? 36 cases

80 Table de Karnaugh Élaborez la table de Karnaugh (sur votre propre feuille d exercice) et identifier par le nombre 1 ou 0 les cases appropriés et encerclez vos groupes. Vous aurez trois groupes. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse.

81 Simplification Appliquer les règles de simplification et inscrire la réponse. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. La réponse du premier regroupement (A B C) (A B C) = A C Deuxième regroupement: (A B C) (A B C) = A B

82 Dernière étape La dernière étape consiste à établir un schéma; électrique, électronique et pneumatique et les comparées. Vous remarquerez que la simplification a été possible à partir de cette table de Karnaugh. Réponse finale:

83 Établir un circuit électrique à partir de la table de Karnaugh Utiliser trois capteur (E, C, Ca) et un relais (sortie). Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. E C Sortie E Ca

84 Théorèmes et postulats Malgré que la tableau de Karnaugh puisse simplifier les séquences, il est parfois encore possible de réduire cette équation avec l aide des théorèmes et postulats Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. Théorème 3 = A A = A E C Sortie Ca

85 Conclusion À partir qu un un ou plusieurs groupements sont possible la table de Karnaugh nous aidera à simplifier une séquence combinatoire. Après la table de Karnaugh il est encore possible de simplifier une équation.

88 Énoncé du problème Un monte-charge est tiré par un câble entraîné par un moteur possédant deux sens de rotation: M pour la montée et D pour la descente. Deux interrupteurs de fin de course a pour indiquer la position basse et b pour indiquer la position haute, servent à arrêter le monte charge au niveau désiré.

89 Conditions de fonctionnement À l arrêt, le monte-charge est en position basse et seul l interrupteur a est actionné. L opérateur (trice) actionne le bouton-poussoir «m» afin que le monte-charge monte. L action sur «m» est maintenue pendant toute la durée de la montée. Dès que le monte-charge arrive en position haute, il actionne l interrupteur b et s arrête. L opérateur (trice) relâche alors «m» et le monte charge s immobilise. Pour faire descendre le monte-charge, l opérateur (trice) appuie sur le bouton-poussoir «d» et maintient son action durant toute la descente. Dès que le monte charge arrive en position basse, il actionne l interrupteur a et s arrête. L opérateur (trice) relâche alors «d».

90 Conditions supplémentaires Si l opérateur (trice) relâche le bouton-poussoir «m» ou «d» pendant la montée ou la descente, selon le cas, le monte charge s immobilise. Si, par inadvertance, l opérateur (trice) actionne les boutons-poussoirs «m» et «d» simultanément, et ce, à n importe quel moment, le monte-charge s immobilise.

91 Solution L interprétation du plan de situation est la suivante. a = galet du bas b = galet du haut m = Bouton poussoir d = Bouton poussoir Deux sorties sont nécessaire soit; Mo = monté et De =descente Exercice: Combien de case possèdera la table de vérité incluant l identification des variables de la sortie et des choix binaires? 102 cases

92 Table de vérité Élaborez la table de vérité (sur votre propre feuille d exercice) et identifier par le nombre 1 ou 0 la sortie. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. M D B A Mo De

93 Table de Karnaugh pour monté Élaborez la table de Karnaugh (sur votre propre feuille d exercice) et identifier par le nombre 1 ou 0 les cases appropriés et encerclez vos groupes. Vous aurez trois groupes Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse

94 Simplification Appliquer les règles de simplification et inscrire la réponse. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse La réponse du premier regroupement (M D A B) (M D A B) Réponse simplifier pour la monté: (M D A)

95 Table de Karnaugh pour descente Élaborez la table de Karnaugh (sur votre propre feuille d exercice) et identifier par le nombre 1 ou 0 les cases appropriés et encerclez vos groupes. Vous aurez trois groupes Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse

96 Simplification Appliquer les règles de simplification et inscrire la réponse. Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse La réponse du premier regroupement (M D A B) (M D A B) Réponse simplifier pour la descente: (M D B)

97 Établir un circuit électronique à partir de 2 tables de Karnaugh Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. R M Monte D b a Descente

98 Établir un circuit électrique à partir de 2 tables de Karnaugh Click lorsque tu sera prêt à vérifier ta réponse. M D a Monte M D b Descente

99 Conclusion À partir qu un un ou plusieurs groupements sont possible la table de Karnaugh nous aidera à simplifier une séquence combinatoire à deux sorties.