CORRECTION DES EXERCICES DU CHAPITRE n 10

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1 CORRECTION DES EXERCICES DU CHAPITRE n 1 I) Radioactivité. a) i. Les Lois de conservation qui régissent une réaction nucléaire sont - conservation du nombre de nucléons (nombre de masse), - conservation du nombre de charge, - conservation de l'énergie totale, - conservation du vecteur quantité de mouvement. La désintégration du neptunium 237 en protactinium 233 est de la forme : Np A ZX Pa La première loi de conservation nous permet d'identifier la particule X émise comme étant une particule α, on a donc une désintégration α, que l'on peut écrire : Np 4 2He Pa ii. On sait que la variation dn du nombre de nucléides radioactifs dans un échantillon pendant une durée est proportionnelle au nombre de nucléides présents N à un instant dans l'échantillon et à la durée de l'observation : dn = λ.n. où λ est la constante radioactive du nucléide considéré. Ceci revient à dire que la probabilité de désintégration d'un radionucléide particulier entre les instants de dates t et t + est uniforme sur ce petit intervalle de temps et vaut λ.. On a alors dn = λ. et ln(n) = λ.t + K soit, en posant N = N à t = ln N = λ.t N N et N = N.e λ.t [1] Par définition de la période, on sait que si t = T alors N = N /2 soit ln 1 = = λ.t 2 d'où λ = = 1, s 1 T b) i. La masse molaire M, exprimée en grammes, d'un nucléide est quasiment égale au nombre de masse de ce nucléide. D'où M = 237 g.mol 1 pour le neptunium 237. En désignant par N A le nombre d'avogadro (nombre d'entités dans une mole), le nombre N de noyau de neptunium est : N = m.na = 2, atomes M ii. D'après la relation [1] on a : A(t) = dn = λ.n.e λ.t = λ.n(t) Par définition, la variation relative de l'activité est : A = A final Ainitial = λ.n λ.n = e λ.t 1 A Ainitial λ.n Etant donnée la valeur de la constants λ = 1, s 1, même si t = 1 siècle = 3, s, le terme λ.t = 3, est très petit et e λ.t 1, on peut donc développer e λ.t d'où : A 1 λ.t 1 = λ.t = 3, =,324 % A La variation relative de l'activité est très faible sur un siècle, on peut donc considérer que l'activité A de la masse m de neptunium 237 reste pratiquement constante pendant plusieurs décennies. Page 1

2 c) i. L'équation-bilan de la désintégration β du protactinium 233 est de la forme : Pa 1e + A ZX + ν en plus du noyau fils, on a émission d'électrons (rayonnement β ) et d'anti neutrinos (de masse et de charge nulles). Les lois de conservation du nombre de nucléons et de conservation de la charge nous permettent de déterminer le nucléide produit : 233 = + A + et 91 = 1 + Z +. Soit : A = 233 et Z = 92 le nucléide produit est l'uranium 233 ( U) 233 On a donc 91Pa 1e U + ν ii. Soit A' l'activité radioactive du protactinium, λ' sa constante radioactive et N' le nombre de radionucléides présents dans un échantillon à un instant donné. On sait que : A' = λ'.n'. Au bout de quelques années on a : A' = A soit λ'.n' = λ.n d'où : N' = λ.n [2] λ' On a démontré que l'activité A du neptunium 237 était pratiquement constante pendant au moins un siècle, or N = A/λ donc N est pratiquement constant et N' également, λ et λ' étant des constantes. De la même façon qu'au b) i. on a : N ' = m '.NA [3] où m' est la masse de protactinium M' cherchée et M' la masse molaire du protactinium 233 (M' = 233 g.mol 1 ). De plus N' étant constant, on a N' = N ' (de même N = N, l'activité A du neptunium 237 étant quasiment constante, on a A =, soit λ.n = λ.n d'où N = N ) En utilisant [3], l'égalité [2] devient donc m '.NA = λ. m.na on obtient, en simplifiant par M N A nombre d'avogadro et sachant que λ = et λ' = T T' Soit m' = m. T '. m = 3, g T M M' λ' : m ' = T '. m M' T M Il faut comprendre que, la période radioactive du neptunium 237 (T = 6, s) étant très grande devant la période radioactive (T = 2, s) du protactinium 233, elle-même petite devant la période radioactive de l'uranium 233, tout se passe, au bout de quelques années, comme si le protactinium était remplacé dès qu'il disparaît par désintégration : on passe quasi directement du neptunium 237 à l uranium 233. II) Réaction nucléaire de fission. a) L'équation-bilan d'une fission de l'uranium 235 sous l'impact d'un neutron lent donne 1 noyau de césium 137, 1 noyau de zirconium 97, x électrons, y neutrons, des rayons γ et des neutrinos (liés à la désintégration β comme les électrons), on peut donc écrire : 1 n U Cs Zr + x. 1 n + y. 1e + γ + ν Les lois de conservation du nombre de masse et de conservation de la charge électrique permettent de déterminer x et y : = x.1 + y. et + 92 = x. + y.( 1) d'où x = = 2 et y = = 3 Soit 1 n U Cs Zr n e + γ + ν Page 2

3 b) Calcul précis suivi d'approximations : Pour calculer l'énergie libérée lors de la fission d'un noyau nous devons connaître l'énergie de masse de chacun des noyaux ou particules qui interviennt dans la réaction. Désignons par m p, m n, m e et m X les masses du proton, du neutron, de l'électron et d'un nucléide X, et par el X l'énergie de liaison par nucléon pour le nucléide X. On peut s'intéresser à une réaction fictive de formation du nucléide X de nombre de masse A et de charge Z : A. 1 1p + (A Z). 1 n A ZX La conservation de l'énergie impose : Z.m p.c 2 + (A Z).m n.c 2 = m X.c 2 + A.e lx Soit m X.c 2 = Z.m p.c 2 + (A -- Z).m n.c 2 -- A.el X [1] Lors de la fission nous admettrons que : - le noyau d'uranium 235 est dans son état nucléaire fondamental, au repos au moment du choc, - le neutron est "lent" donc que son énergie cinétique est négligeable devant les autres énergies, - les noyaux de césium et de zirconium sont produits dans leur état nucléaire fondamental (il n'y a donc pas d'émission γ). La loi de conservation de l'énergie, lors de la réaction de fission, permet de calculer l'énergie libérée : m U.c 2 + m n.c 2 = m Cs.c 2 + m Zr.c m n.c m e.c 2 + E lib d'où E lib = m U.c 2 + m n.c 2 (m Cs.c 2 + m Zr.c m n.c m e.c 2 ) On peut utiliser l'expression [1] qui permet d'exprimer les masses des nucléides en fonction de l'énergie de liaison par nucléon. E lib = (92.m p.c m n.c el U ) -- [(55.m p.c m n.c el Cs ) + (4.m p.c m n.c el Zr ) + 2.m n.c m e.c 2 ] E lib = ( ).m p.c 2 + ( ).m n.c m e.c el U el Cs + 97.el Zr E lib = -- 3.m p.c m n.c m e.c el U el Cs + 97.el Zr Les trois premiers termes correspondent à l'interaction nucléaire faible (désintégration β ) mettant en jeu des énergies petites devant les énergies misent en jeu par l'interaction nucléaire forte. La différence des deux premiers termes donne une valeur du même ordre de grandeur que le troisième terme, cette valeur est négligeable devant les trois autres termes. On obtient : E lib = el U el Cs + 97.el Zr = 26 MeV Calcul approximatif : On peut également considéré (comme on l'a vu en cours) que l'on part d'un système dans un état (I) représenté par le noyau U dont l'énergie potentielle nucléaire est E pi, en négligeant l'énergie du neutron, et que l'on passe à un système dans un état (II) représenté par les noyaux Cs et 9 7 4Zr dont l'énergie potentielle nucléaire est E pii. L'énergie libérée est alors égale à la différence des énergies potentielles nucléaires de l'état (I) et de l'état (II). En prenant comme configuration pour définir l'origine des énergies potentielles nucléaire celle dans laquelle tous les nucléons sont infiniment éloignés, on a : E pi = el U et E pi = -- (137 el Cs + 97.el Zr ) d'où E lib el U el Cs + 97.el Zr = 26 MeV Cette énergie est libérée pour la plus grande partie sous forme d'énergie cinétique des noyaux et des particules (neutrons et électrons) une partie de l'énergie est libérée de façon différée par désexcitation des noyaux produits en général dans des états nucléaires excités (émission de rayons γ), enfin une autre partie de l'énergie nucléaire est libérée lors des désintégrations β et emportée par les antineutrinos électroniques cette dernière partie de l'énergie est perdue totalement les neutrinos n'interagissant pas localement. On peut estimer qu'il est possible de récupérer en moyenne E lib = 2 MeV par fission. Page 3

4 c) Lors de la fission d'une masse m = 1 g d'uranium 235 le nombre de fissions est égal au nombre N d'atomes contenus dans 1 gramme. Désignons par m U la masse d'un atome d'uranium 235, on a alors : 3 N = m = 1x1 = 2, m U 235x1,66x1 L'énergie totale libérée par la fission d'une masse m = 1 g d'uranium est alors : E = N.E lib = 2, x2x1 6 x1, = 8,2.1 1 J d) Soit P é la puissance électrique de la centrale et P n sa puissance d'origine nucléaire, soit a =,3 le rendement de la centrale. On a : P é = a.p n [1]. L'énergie nucléaire produite par la centrale pendant une durée t est : W = P n. t [2] Cette énergie W d'origine nucléaire correspond à la consommation d'une masse M d'uranium 235, or sachant qu'une masse m = 1 g produit une énergie E, on a : m.w = M.E m = 1 g = 1 3 kg, P e = 8 MW = W, t = 1 j = 864 s, E = 8,2.1 1 j et a =,3 On trouve : M = m.w m.p n. t m.a.p e. t = = = 2,5 kg E E E III) Loi de désintégration radioactive. a) i. La désintégration β consiste en la transformation d'un neutron du noyau en proton : Le noyau fils est formé de 18 nucléons dont 48 protons (47 + 1) et 6 neutrons (18 48), c'est donc un noyau de cadmium 18 : Cd ii. L'équation de la réaction nucléaire de désintégration β, s'écrit : 18 47Ag Cd + 1e + ν La loi de conservation du "nombre de masse" donne : 18 = 18 + La loi de conservation du "nombre de charge" donne : 47 = 48 1 L'antineutrino électronique assure la conservation de l'énergie totale. b) i. La loi de décroissance radioactive s'écrit : N(t) = N.e λ.t Où N est le nombre de noyaux radioactifs présents à la date t =, N(t) est le nombre de noyaux radioactifs restant à la date t et λ est la constante radioactive. ii. La demi-vie t ½ ou période radioactive est la durée nécessaire pour qu'une population N(t) de noyaux soit divisée par deux par désintégration. iii. A partir de la loi de décroissance radioactive et de la définition de la période, on a : N(t + t ½ ) = N.e λ.(t + t ½ ) = N(t)/2 = 21.N.e λ.t d'où e λ.t ½ = 2 1 Soit λ.t ½ = ou t ½ = λ c) i. L'expression de l'activité A(t) en fonction du temps est donnée par : A(t) = λ.n(t) = λ.n.e λ.t =.e λ.t ii. Le tableau complété s'écrit : t (min),5 1, 1,5 2, 2,5 3, 3,5 4, 4,5 5, A (Bq) ln(a) 6,79 6,6 6,45 6,26 6,14 5,97 5,81 5,67 5,49 5,35 5,19 Page 4

5 iii. iv. La courbe obtenue est une droite, en accord avec l'expression : ln(a) = λ.t + ln(λ.n ) Graphiquement, on obtient : λ =,32 min 1 D'où t ½ = 2,2 min λ v. A l'instant de date t =, le tableau donne : A() = = 89 Bq D'autre part N() = N = /λ, on en déduit qu'à l'instant initial, la masse d'argent 18 est : N. M m = N =. M 6x89x18 = = 3,.1 17 g 23 A λ.n,32x6,2x1 vi. La masse d'argent 18 restant à l'instant de date t = 3, min est donnée par : N(t).M m = N = N.e λ.t M. A N = m.e λ.t = 3,.1 17 xe,32x3 = 1, g A IV) Temps de demi-réaction. a) La loi de décroissance s'écrit : N(t) = N.e λ.t Où λ est la constante radioactive (en s 1 ). b) Le nombre moyen (expérimentalement) de désintégrations par unité de temps à un instant donnée est proportionnel au nombre N de noyaux présents dans l'échantillon à cet instant : (t) = λ.n(t) ou (t) = λ.n(t).δt est une valeur absolue, c'est une mesure expérimentale. On désigne par X la mesure d'une grandeur établie sur un grand intervalle de temps t et on désigne par δx la mesure d'une grandeur établie sur un petit intervalle de temps δt pouvant servir limite pour la vérification expérimentale d'un modèle mathématique. c) i. L'activité radioactive A(t) d'un échantillon d'un nucléide radioactif est le nombre moyen de désintégrations par unité de temps à un instant de date t. dn(t) A(t) = = λ.n(t) expérimentalement on peut écrire A(t) (t) 1586 On a : A() = () = = 317,2 Bq 5 dn (t) ii. En dérivant l'expression de N(t) donnée au 1) : = λ.n.e λ.t dn(t) D'où A(t) = = λ.n.e λ.t =.e λ.t En posant = λ.n d) i. On a vu, à la question 2), que A(t) (t) A(t) = 1. (t) Page 5

6 A (t) 1 ii. A chaque date t, on calcule : ln( ) = ln[. (t)] A Date t (en min) A(t) (en Bq) 317,2 251, ,6 148,2 116,8 94,2 1. (t) 1,793,678,55,467,368,297 A (t) ln( ),232,389,597,761,999 1,214 Date t (en min) A(t) (en Bq) 85, , ,4 1. (t),27,224,187,148,123,98,83 A (t) ln( ) 1,31 1,497 1,679 1,99 2,96 2,326 2,486 iii. On trace la courbe ln(a/ ) = ln( /A) = f(t) iv. D'après la réponse à la question 3) b), A(t) =.e λ.t, donc ln( λ est la valeur de la pente de la droite représentative : Graphiquement, on a : λ 3,2.1 3 s 1 Or t ½ = 216,6 s λ A (t) ) = λ.t Page 6