Quasi-morphismes sur un gros groupe modulaire

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1 Directeur de thèse : Frédéric Le Roux Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche 2 octobre 2014

2 1 Quasi-morphismes Définition et premiers exemples Exemple du groupe libre 2 Groupe de tresses Groupe Γ 3 Graphes de Cayley Généralisations de la construction de quasi-morphismes

3 Quasi-morphismes : Définition et premiers exemples Définition [Quasi-morphisme] Soit G un groupe. Un quasi-morphisme sur G est une application q : G R telle qu il existe une constante C 0 telle que pour tous x, y G : q(xy) q(x) q(y) C.

4 Quasi-morphismes : Définition et premiers exemples Définition [Quasi-morphisme] Soit G un groupe. Un quasi-morphisme sur G est une application q : G R telle qu il existe une constante C 0 telle que pour tous x, y G : q(xy) q(x) q(y) C. Exemples : Les morphismes à valeurs dans R et les fonctions bornées sont des quasi-morphismes.

5 Quasi-morphismes : Définition et premiers exemples Définition [Quasi-morphisme] Soit G un groupe. Un quasi-morphisme sur G est une application q : G R telle qu il existe une constante C 0 telle que pour tous x, y G : q(xy) q(x) q(y) C. Exemples : Les morphismes à valeurs dans R et les fonctions bornées sont des quasi-morphismes. Pourquoi des quasi-morphismes?

6 Quasi-morphismes : Exemple du groupe libre Le groupe libre F 2 =< a, b >.

7 Quasi-morphismes : Exemple du groupe libre Le groupe libre F 2 =< a, b >. Théorème [Brooks, 1981] Il existe des quasi-morphismes non triviaux sur le groupe libre F 2.

8 Quasi-morphismes : Exemple du groupe libre Le groupe libre F 2 =< a, b >. Théorème [Brooks, 1981] Il existe des quasi-morphismes non triviaux sur le groupe libre F 2. Idée : On choisit un élément w non trivial du groupe libre. Pour tout g F 2 on définit : c w (g) := #{copies de w dans l écriture de g}.

9 Quasi-morphismes : Exemple du groupe libre Le groupe libre F 2 =< a, b >. Théorème [Brooks, 1981] Il existe des quasi-morphismes non triviaux sur le groupe libre F 2. Idée : On choisit un élément w non trivial du groupe libre. Pour tout g F 2 on définit : c w (g) := #{copies de w dans l écriture de g}. q w (g) := c w (g) c w 1(g).

10 Quasi-morphismes : Exemple du groupe libre Le groupe libre F 2 =< a, b >. Théorème [Brooks, 1981] Il existe des quasi-morphismes non triviaux sur le groupe libre F 2. Idée : On choisit un élément w non trivial du groupe libre. Pour tout g F 2 on définit : c w (g) := #{copies de w dans l écriture de g}. q w (g) := c w (g) c w 1(g). Alors q w : G R est un quasi-morphisme.

11 Groupe de tresses.

12 Groupe de tresses. On s intéresse au groupe Γ := MCG(R 2 Cantor).

13 Groupe de tresses. On s intéresse au groupe Γ := MCG(R 2 Cantor). Question [Calegari, 2009] Existe-t-il des quasi-morphismes non triviaux sur le groupe Γ?

14 Groupe de tresses. On s intéresse au groupe Γ := MCG(R 2 Cantor). Question [Calegari, 2009] Existe-t-il des quasi-morphismes non triviaux sur le groupe Γ? Pour résoudre ce problème, on utilise en partie la théorie géométrique des groupes.

15 : Graphes de Cayley

16 : Graphes de Cayley Graphe de Cayley du groupe libre sur l ensemble de générateurs {a, b, a 1, b 1 }.

17 : Graphes de Cayley Graphe de Cayley du groupe libre sur l ensemble de générateurs {a, b, a 1, b 1 }.

18 Généralisations de la construction de quasi-morphismes : Aux groupes hyperboliques (Epstein-Fujiwara, 1997).

19 Généralisations de la construction de quasi-morphismes : Aux groupes hyperboliques (Epstein-Fujiwara, 1997). Exemple d un graphe de Cayley d un groupe hyperbolique (Z 3 Z 5 ).

20 Généralisations de la construction de quasi-morphismes : Aux groupes hyperboliques (Epstein-Fujiwara, 1997).

21 Généralisations de la construction de quasi-morphismes : Aux groupes hyperboliques (Epstein-Fujiwara, 1997). Aux groupes agissant sur des espaces hyperboliques (Fujiwara, 1998).

22 Généralisations de la construction de quasi-morphismes : Aux groupes hyperboliques (Epstein-Fujiwara, 1997). Aux groupes agissant sur des espaces hyperboliques (Fujiwara, 1998). Théorème (B.) Il existe des quasi-morphismes non triviaux sur Γ.

23 Merci!