Propriétés fréquentielles du signal

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1 Fiche de référence Thème II : ANALYSE DU SIGNAL Propriétés fréquentielles du signal 1- Insuffisance de la représentation temporelle du signal Reprenons l exemple utilisé précédemment : Enregistrement du mot «bonjour» ( mv/div et ms/div) L oscillogramme nous renseigne sur l allure du signal : c est la représentation temporelle : u = f(t) On peut mesurer par exemple la tension crête à crête : U CC = mv Question : Quelles sont les fréquences contenues dans ce signal? La représentation temporelle ne permet pas de répondre à cette question. Pour obtenir une information sur les fréquences contenues dans un signal, on utilise la représentation fréquentielle ou spectrale, c'est-à-dire le spectre du signal. On utilise un système d axes (u ; f) où l on porte la fréquence f en abscisse et en général l amplitude Uˆ en ordonnée. Remarque: - Il s agit ici du spectre en amplitude du signal. C est l information la plus importante : celle qui permet de connaître les fréquences contenues dans le signal. - On peut aussi tracer le spectre de phase du signal. (Voir le paragraphe : reconstitution d un signal où la connaissance de la phase est nécessaire) - Pour obtenir un spectre d un signal, on peut utiliser un analyseur de spectre. C est un appareil qui va traiter le signal de façon analogique (multiplieur, filtre..) - On peut aussi utiliser un logiciel ou un oscilloscope numérique. Dans ce cas, le système effectue une opération sur les échantillons du signal, appelée FFT (Fast Fourier Transformation). - Par exemple, l oscilloscope numérique Tektronix permet d afficher le spectre d un signal grâce au module FFT (Les résultats sont donnés en db) Le logiciel «Cléoview» permet quant à lui d afficher directement le spectre d amplitude en V.

2 - Représentation fréquentielle d un signal simple Exemple 1 : u 1 (t) =.sin (..t) ne contient qu une seule fréquence : f = Hz T = m s 1 u 1 (V) t (ms) Une raie d amplitude V à f = Hz 1 f (khz) Exemple : u (t) = U = V 1 u (V) U (V) t (ms) Une raie d amplitude V à f = Hz f (khz) Exemple 3 : u 3 (t) = u 1 (t) + u (t) = +.sin (..t) 1 u 3 (V) t ( ms) U 3 (V) Une raie d amplitude V à f = Hz Une raie d amplitude V à f = Hz 1 f (khz)

3 3- Exemples de spectres de signaux réels Les deux exemples suivants présentent deux signaux analogiques et leurs spectres : - signal redressé double alternance. - Extrait musical. Signal sinusoïdal redressé «double alternance» f = Hz On constate que le signal possède : - une composante continue (valeur moyenne <u> = 3,18V) C est ce qu on appelle un spectre de raies. - une composante principale à f = Hz, - puis d autres composantes à des fréquences multiples de Hz Signal musical A droite le chronogramme d un court extrait de musique (guitare), à gauche le spectre correspondant. t (ms) 1 f (khz) Le spectre s étend jusqu à 18, khz environ. On peut noter un pic à la fréquence 3,4kHz. Question : Quelle est la différence fondamentale entre les deux spectres?

4 Dans le premier cas, le signal est périodique. Son spectre contient seulement certaines fréquences spécifiques : spectre de raies. Dans le deuxième cas, le signal n est pas périodique. Son spectre contient une «infinité» de fréquences : spectre continu. Un signal périodique possède un spectre de raies. Un signal analogique quelconque possède un spectre continu. 4- Spectre d un signal périodique- Décomposition en série de Fourier Le baron Joseph FOURIER (1768,183), mathématicien français, démontra que : Toute fonction périodique s(t), de fréquence f peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoïdales de fréquences nf. La fonction s(t) peut alors s'écrire: s(t) = S + 1 sin( f t + 1 ) + sin( 4 f t + ) + 3 sin( 6 f t + 3 ) sin( n f t + n )... avec S = valeur moyenne du signal ou composante continue. n 1 = amplitude du l harmonique 1 = amplitude de l harmonique 3 = amplitude de l harmonique 3 n = amplitude de l harmonique n La fonction sinusoïdale de même fréquence que la fonction périodique s(t) (harmonique de rang 1) est appelée fondamental. Les autres fonctions, de fréquences multiples, sont appelées les harmoniques de la fonction s(t) :

5 - Reconstitution d un signal à partir de ses harmoniques On donne ci-dessous la décomposition d un signal périodique : (f = Hz et E = V) Reconstitution du signal : Les harmoniques de rang pair sont nuls. = 8 / = 8,7V 1 = 1 3 = 8 /(9 ) =,96V 3 = 18 = 8 /( ) =,34V = 7 = 8 /(49 )=,164V 7 = 18 = 8 / = 8,7V 9 = 9 = 8 / = 8,7V 11 = En effectuant la somme des 11 premiers harmoniques grâce au fichier Synthèse de signaux.xls, on reconstitue partiellement le signal s 1 (t) : Il s agit du signal triangulaire. Remarque : Le signal triangulaire étant assez proche du signal sinusoïdal, la somme des 11 premiers harmonique suffit pour reconstituer correctement le signal. Ce n est pas le cas pour le signal carré.

6 Reconstitution du signal carré : Le premier oscillogramme représente le fondamental. Le dernier oscillogramme représente la somme du fondamental et des 4 premiers harmoniques. A chaque fois qu on ajoute un harmonique, on se rapproche du signal carré parfait. 6- Action d un filtre sur le spectre d un signal Une tension u E (t) est appliquée à l entrée d un filtre. Comment déterminer le spectre du signal de sortie? Le filtre agit sur chaque harmonique du signal d entrée. Il suffit donc de connaître les caractéristiques du filtre pour chaque fréquence du signal d entrée. Exercice spectre en sortie d un filtre.

7 7- Taux de distorsion d un signal Le taux de distorsion harmonique D mesure «la «pureté spectrale» d un signal par rapport au signal sinusoïdal : D = TDH = Valeurs efficace de tous les harmoniques Valeur efficace du fondamental = S S3 S4... S 1 S n Remarque : S 1 = valeur efficace du fondamental S = valeur efficace de l harmonique S 3 = valeur efficace de l harmonique 3 S 4 = valeur efficace de l harmonique 4 - Le TDH s'exprime souvent en %. - Pour un signal sinusoïdal "pur", le taux de distorsion harmonique D = TDH = %. - Pour un signal carré, TDH = 48,3 % - Pour un signal triangulaire TDH = 1,1 %. - Plus le taux de distorsion est faible, plus le signal se rapproche d'une sinusoïde "pure". Application : Dans le domaine "audio", pour mesurer la qualité d'un amplificateur, on applique en entrée un signal sinusoïdal "pur" et on analyse le signal de sortie. L'appareil branché en sortie est un distorsiomètre qui mesure le taux de distorsion. Plus le taux de distorsion est faible, plus l'amplificateur est de bonne qualité (ampli. linéaire) Certains ampli garantissent un taux de distorsion TDH<,3% dans la bande de fréquence [Hz ; khz]. 8- La pollution harmonique La pollution est la dégradation d une ressource. Dans le cas de la pollution harmonique la ressource est l énergie électrique fournie par le réseau. Cette énergie est idéalement de forme sinusoïdale. (TDH = ) Lorsque l allure du courant se déforme, on parle de pollution harmonique. Un POLLUEUR est une charge non linéaire (C est-à dire une charge qui, alimentée par une tension sinusoïdale v(t), appelle sur le réseau un courant déformé) Exemple de charge non linéaire - ampoule basse consommation - éclairage néon - alimentation à découpage - ordinateur - téléviseur - moteur asynchrone avec variateur - moteur à courant continu avec variateur

8 Exemple : Spectre du courant appelé par un ordinateur sur le réseau : I (ma) On constate que le courant appelé est loin d être sinusoïdal! Il y a de nombreux harmoniques aux fréquences Hz, Hz, 3 Hz, 4 Hz f(khz) 9- Effets des harmoniques Effets instantanés : Perturbations dans le fonctionnement des appareils de protection et de commutation. Effets à moyen et long terme : Echauffement des matériels électriques et par conséquent vieillissement prématuré. Le tableau ci-dessous résume l'ensemble des matériels électriques perturbés par la pollution harmonique. Nature du matériel électrique Effet de la «pollution harmonique» Machines tournantes Moteurs triphasés, alternateurs Transformateurs Echauffements supplémentaires (effet Joule ) dans les enroulements statoriques. Couples oscillatoires. Augmentation du bruit Pertes supplémentaires dans le fer (par courants de Foucault) et dans les enroulements (par effet Joule). Risque de saturation en présence d'harmoniques pairs. Câbles Augmentation des pertes surtout dans le câble de neutre où s ajoutent les harmoniques de rang 3 et multiples de 3. Pertes diélectriques supplémentaires. Electronique de puissance Troubles fonctionnels liés la forme d'onde (commutation, synchronisation). (ponts redresseurs à thyristor, transistors,..etc). Condensateurs de puissance Pertes diélectriques supplémentaires aboutissants à un vieillissement prématuré des condensateurs Ordinateur Dysfonctionnement lié aux couples pulsatoires des moteurs d'entraînement des supports magnétiques Dispositifs de protection Fonctionnement intempestif (Fusibles. Disjoncteurs magnétothermiques...) Compteur d énergie Erreurs de mesure Téléviseurs Déformation d IMAGE Lampes à décharge Risque de vacillement sous l effet de l harmonique de rang