DM n o 9 (dernier) TS Physique 3 (lumière), 16 (énergies) et 17 (quantique) Exercice 1 Étude énergétique des oscillateurs mécaniques

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1 DM n o 9 (dernier) TS Physique 3 (lumière), 6 (énergies) et 7 (quantique) Exercice Étude énergétique des oscillateurs mécaniques Partie A Pendule simple On étudie un pendule simple constitué d une masse ponctuelle m, attachée à l une des extrémités d un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur L. Ce pendule est placé dans le champ de pesanteur dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. L autre extrémité du fil est attachée en un point fixe A. Écarté de sa position d équilibre G, le pendule oscille sans frottements avec une amplitude β m. G i est la position initiale à partir de laquelle le pendule est abandonné sans vitesse. Une position quelconque G est repérée par β, élongation angulaire mesurée à partir de la position d équilibre.. Donner l expression de l énergie cinétique en G.. On prendra l origine des énergies potentielles en G, origine de l axe des z. On montre que, dans ce cas, l énergie potentielle en G peut se mettre sous la forme : E p = mgl( cosβ) (R) O (S) x On étudie le mouvement de translation du solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Lorsque le solide (S) est à l équilibre, son centre d inertie G se situe à la verticale du point O, origine de l axe des abscisses. Le solide est écarté de cm de sa position d équilibre et abandonné sans vitesse initiale à la date t = s. On procède à l enregistrement des positions successives de G au cours du temps par un dispositif approprié. On obtient la courbe ci-dessous :, x (m) G x Donner l expression de l énergie mécanique en fonction de m, g, L, v et β. Pourquoi l énergie mécanique se conserve-t-elle? 3. Exploitation. Exprimer la vitesse au passage par la position d équilibre en fonction de g, L et β m. Calculer sa valeur. Données : g = m s ; L =, m ; cosβ m =,95.,,5,,5, t (s) Partie B Oscillateur élastique Un solide (S) de masse m, de centre d inertie G, peut glisser sans frottements sur une tige horizontale. Il est accroché à un ressort (R) à spires non jointives, de raideur k = 4, N m. L ensemble constitue un oscillateur élastique horizontal, non amorti. La masse du ressort est négligeable devant m et (S) entoure la tige de telle sorte que G se trouve sur l axe de celle-ci : L énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle dans le plan horizontal passant par G.. Donner l expression littérale de l énergie mécanique du système {ressort solide}, en fonction de k, m, x et sa dérivée première.. À partir de l enregistrement ci-dessus, trouver pour quelles dates l énergie potentielle élastique du système {ressort solide} est maximale. Que vaut alors l énergie cinétique? 3. Calculer la valeur de l énergie mécanique du système. Exercice Lumière d étoiles La lumière blanche mélange toutes les couleurs de l arcen-ciel. Comme on passe continûment d une couleur à une autre en changeant graduellement de nuance, on dit que la lumière blanche possède un spectre continu. C est le cas de la lumière émise par un corps chaud qui contient toutes les couleurs à des doses différentes. Plus la température est forte, plus la couleur dominante se déplace du micro- onde vers les X. Mais les astronomes ont remarqué dès le XVIII e siècle la présence de fines bandes noires dans la lumière solaire. Il manque des couleurs très précises et spécifiques, comme si elles ne nous étaient pas parvenues. Après quelques tâtonnements, ils ont compris que ces raies sombres trahissaient la présence d éléments chimiques sur le trajet des rayons lumineux. Joseph von Fraunhofer fut le premier, en 84, à observer ces disparitions de lumière

2 et à les attribuer à un phénomène d absorption par un gaz situé entre la source d émission et l observateur. [...] Pour résoudre ce problème, il faut faire appel à la nature ondulatoire de l électron et ranger l onde de chaque électron autour du noyau comme des livres sur les étagères d une bibliothèque. Chaque étage correspond à une énergie spécifique pour laquelle l électron est stable. Un livre ne peut pas être entre deux étagères, sinon il tombe, de même les électrons peuvent avoir certaines énergies bien définies, mais ils ne peuvent pas se trouver dans un état intermédiaire. Pour passer d un niveau à un autre plus élevé, un électron absorbe un photon lumineux qui lui apporte l énergie supplémentaire dont il a besoin pour «grimper» sur une autre étagère. Inversement, quand il «redescend», il rend cette énergie sous forme d un photon. Dans cette bibliothèque particulièrement riche, chaque atome est unique et caractéristique. On peut donc à distance reconnaître la présence d un atome aux couleurs des photons qu il émet ou absorbe lorsque ses électrons changent «d étagère». Données : Extrait du livre d André Brahic «Lumières d étoiles». c =,997 8 m s ; h = 6,6 34 J s ; ev =,6 9 J.. D après le texte : «Plus la température est forte, plus la couleur dominante se déplace du micro-onde vers les X»... Donner les valeurs limites des longueurs d onde dans le vide du spectre visible en précisant les couleurs concernées... Quelle est la relation entre la longueur d onde dans le vide d une radiation monochromatique et sa fréquence? On précisera les unités..3. On donne les fréquences des micro-ondes et des rayons X : { νmicro ondes = 3, 4 Hz ν x = 3, 8 Hz Calculer alors l ordre de grandeur des longueurs d onde correspondantes dans le vide..4. Indiquer en justifiant laquelle de ces deux radiations est la plus énergétique.. D après le texte : «Joseph von Fraunhofer fut le premier, en 84, à observer ces disparitions de lumière». Voici un extrait du spectre qu il a observé, où l on peut observer des raies noires sur un fond coloré continu, nommées A, B, C, D, D, D 3, E, F, G, G, h, H et K. K H D 3 D h G G F D E C B A λ (nm).. Les raies observées ci-dessus sont-elles des raies d émission ou d absorption?.. On donne des longueurs d onde d émission de quelques éléments. Éléments chimiques Longueurs d onde λ en nm de certaines raies caractéristiques Hydrogène H 4, 434, 486, 565,3 Hélium He 587,6 Sodium Na 589, 59, Quels sont les éléments que l on peut retrouver dans les couches superficielles du Soleil? Justifier. 3. D après le texte : «Chaque étage correspond à une énergie spécifique pour laquelle l électron est stable. Un livre ne peut pas être entre deux étagères, sinon il tombe, de même les électrons peuvent avoir certaines énergies bien définies, mais ils ne peuvent pas se trouver dans un état intermédiaire.» Quelle propriété de l énergie d un atome est évoquée dans cette partie du texte? 4. On donne le diagramme de niveaux d énergie de l hydrogène en ANNEXE à rendre avec la copie. On rappelle que l état fondamental d un atome correspond à l état dans lequel il possède le moins d énergie. 4.. Quel est le niveau d énergie de l état fondamental de l atome d hydrogène? 4.. Calculer la variation d énergie lorsque l atome d hydrogène passe de E =,37 ev à E = 3,39eV Convertir en Joule la variation d énergie calculée dans la question Sur le diagramme de l ANNEXE à rendre avec la copie, représenter cette transition par une flèche Calculer la fréquence du photon correspondant à cette variation d énergie Ce photon est-il libéré ou absorbé par l atome d hydrogène? 4.7. Donner le nom de la radiation du spectre de la figure n o correspondant à cette transition.

3 Annexe de l exercice -,37 -,54 -,85 -,5 Annexe de l exercice -,37 -,54 -,85 -,5-3,6-3,6 Annexe de l exercice -,37 -,54 -,85 -,5 Annexe de l exercice -,37 -,54 -,85 -,5-3,6-3,6

4 Correction du DM n o 9 (dernier) TS Physique 3 (lumière), 6 (énergies) et 7 (quantique) Exercice Étude énergétique des oscillateurs mécaniques Partie A : Pendule simple. Énergie cinétique en G :. Énergie mécanique : E m = E c E p ; En remplaçant : E m = mv G mgl( cosβ) L énergie mécanique se conserve car le pendule oscille sans frottements : E m = cte le point G 3. La conservation de l énergie mécanique permet d écrire la formule précédente pour le point de lâché initial G i : E m = mgl( cosβ m ) Le «zéro» vaut pour l énergie cinétique initiale, nulle puisque la vitesse initiale est elle-même nulle. De plus, l énergie mécanique peut encore s écrire pour le passage par la position d équilibre G : E m = mv Cette fois-ci, le «zéro» vaut pour l origine des énergies potentielles, qui est indiquée comme étant justement G. Quelle coïncidence, n est-il pas vrai? On s est d autre part autorisé à noter v la vitesse au passage par la position d équilibre (qui se trouve être maximale, la coquine). En regroupant les deux formules précédentes : mv = mgl( cosβ m ) Reste à simplifier par m et à isoler v pour parfaire l œuvre : Application numérique : v = gl( cosβ m ) v =, (,95) v =, m s Partie B : Oscillateur élastique. Énergie mécanique du système {ressortsolide} : E m = mv E m = ( ) dx m dt. L énergie potentielle élastique est maximale quand l élongation du ressort est maximale, c.à.d. x maximale : t = ;,5;,;,5 et, s (voyez le piège d oublier les amplitudes négatives). À ces dates, l énergie cinétique est nulle. 3. À une des positions extrémales précédentes : E m = m = 4,, E m =, J Exercice Lumière d étoiles.. Limite inférieure, λ = 4nm (dans le vide), violet; Limite supérieure, λ = 8 nm, rouge... λ = c ν λ longueur d onde ou période spatiale en mètres (m); c célérité de la lumière dans le vide, en mètres par seconde (m s ); ν fréquence (lettre grecque «nu»), en hertz (Hz)..3. Application numérique de la relation précédente : λ micro ondes =, , 4 =, 6 m λ x =, , 8 =, m.4. Énergie des photons : E = hν = hc λ ν x ν micro ondes donc E x E micro ondes : les «rayons X» sont plus énergétiques... Les raies observées sont des raies d absorption. En effet, le rayonnement thermique émis par la surface du Soleil, continu, traverse l atmosphère du Soleil, où certaines longueurs d ondes bien précises sont absorbées. On obtient alors un spectre continu dont certaines raies sont absentes... On retrouve les raies de l Hydrogène : 4, nm en h, 434, nm en G, 486, nm en F et 656,3 nm en C. De plus, on retrouve en D 3 la raie de l hélium, et en D et D le sempiternel doublet du sodium.

5 Les autres raies ne peuvent pas être identifiées avec les données proposées ici. 3. La propriété évoquée est la quantification de l énergie d un atome. C est-à-dire que l atome ne peut exister que dans des états d énergie bien défini, ayant des valeurs discrètes, séparées par un nombre entier de quanta d énergie hν. 4.. Sur la figure de l annexe, l état fondamental est l état de plus basse énergie, donc E = 3,6 ev. -,37 hν 4.. Dans cette transformation, l énergie de l atome passe de E à E, sa variation d énergie entre l état initial et l état final est donc : E = 3,39 (,37) = 3, ev L atome perds de l énergie, donc de l énergie libérée par l atome, est cédée à «l extérieur» E = 3,,6 9 = 4,8 9 J Diagramme énergétique de l émission : 4.5. Fréquence du photon émis : E = hν ν = E h Application numérique : ν = 4,8 9 6,63 34 = 7,3 4 Hz Ce photon est dans le domaine visible : rouge Le photon est libéré, c est une émission, l atome perdant le quanta d énergie hν Longueur d onde correspondante : λ = c ν = 3, 8 7,3 4 = 4, 7 m soit environ 4 nm : raie h de l atome d Hydrogène.

6 Grille DM9 TS. Énergie de oscillateurs.../ E m = mv G mgl( cosβ) E m = mgl( cosβ m ) E m = mv v = gl( cosβ m ) E m = mdx dt E p,max pour ;,5 ;, ;,5 et, s E m = mj. Lumière d étoiles.../ 4 nm violet, 8 nm rouge λ micro ondes =, µm et λ x =, nm Niveau fondamental E = 3,6 ev E = 3, ev = 4,8 9 J ν = E /h = 7,3 4 Hz, photon libéré λ = 4 nm, raie B Note.../ Grille DM9 TS. Énergie de oscillateurs.../ E m = mv G mgl( cosβ) E m = mgl( cosβ m ) E m = mv v = gl( cosβ m ) E m = mdx dt E p,max pour ;,5 ;, ;,5 et, s E m = mj. Lumière d étoiles.../ 4 nm violet, 8 nm rouge λ micro ondes =, µm et λ x =, nm Niveau fondamental E = 3,6 ev E = 3, ev = 4,8 9 J ν = E /h = 7,3 4 Hz, photon libéré λ = 4 nm, raie B Note.../ Grille DM9 TS. Énergie de oscillateurs.../ E m = mv G mgl( cosβ) E m = mgl( cosβ m ) E m = mv v = gl( cosβ m ) E m = mdx dt E p,max pour ;,5 ;, ;,5 et, s E m = mj. Lumière d étoiles.../ 4 nm violet, 8 nm rouge λ micro ondes =, µm et λ x =, nm Niveau fondamental E = 3,6 ev E = 3, ev = 4,8 9 J ν = E /h = 7,3 4 Hz, photon libéré λ = 4 nm, raie B Note.../ Grille DM9 TS. Énergie de oscillateurs.../ E m = mv G mgl( cosβ) E m = mgl( cosβ m ) E m = mv v = gl( cosβ m ) E m = mdx dt E p,max pour ;,5 ;, ;,5 et, s E m = mj. Lumière d étoiles.../ 4 nm violet, 8 nm rouge λ micro ondes =, µm et λ x =, nm Niveau fondamental E = 3,6 ev E = 3, ev = 4,8 9 J ν = E /h = 7,3 4 Hz, photon libéré λ = 4 nm, raie B Note.../