Les nombres en binaire ( )

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Roland Marion
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1 Les nombres en binaire Forme générale d un nombre : (système de numération pondérée) ELE1300 Circuits logiques Arithmétique binaire a a a a, a a a n1 n m b partie entière partie fractionnaire base n chiffres m chiffres 2 Les nombres en binaire ( ) Les nombres en binaire ( ) a a a a, a a a n1 n m b Compter en base 10, cela signifie qu on va faire des paquets de 10 objets 51 = 5 x = 1 x x = 1 x x x Valeur : b b b b b b b n 1 n m a b a b a ba n 1 n2 n 1 n a b a b a b m m Compter en base 2, cela signifie qu on va faire des paquets de 2 objets 51 = 1 x x x = 1 x x x = 1 x x x x x x x 4 3 4

objets 51 = 5 x 10 + 1 163 = 1 x 100 + 6 x 10 + 3 1964 = 1 x 1000 + 9 x 100 + 6 x 10 + 4 Valeur : b b b b b b b n 1 n 2 1 0 1 2 m a b a b a ba n 1 n2 n 1 n 2 1 0 a b a b a b -1-2 - m -1-2 - m

2 Convertion entre les bases Conversion d une base quelconque en base décimale : MÉTHODE POLYNOMIALE Développer le polynôme et faire le calcul Exemples : binaire en décimal (2) = = 8+2+1=11 en base (2) = = =25 en base 10 Conversion entre les bases ( ) Conversion d une base décimale en base quelconque : MÉTHODE ITÉRATIVE Le calcul se fait différemment pour la partie entière et la partie fractionnaire a a a a, a a a n1 n m b (2) =? (10) (2) =? (10) partie entière n chiffres partie fractionnaire m chiffres base 1000,001 (2) =? (10) 011, (2) =? (10) 5 6 Conversion entre les bases ( ) Conversion entre les bases ( ) MÉTHODE ITÉRATIVE ( ) Exemple : 57 (10) =? (2) Exemple : 637 (10) =? (2) 7 Pour la partie entière (E) Partie entière : E a b a b a b a b n n E n2 1 0 a0 a0 a n reste b b a b a b Q Q a b b 0 Q1 n3 0 a1 a1 an reste b b a b Q Q a b b 1 Q2 n4 0 a2 a2 an reste b b a b Q Q a b b 2 (le processus est appliqué jusqu à a n-1 ) = 28 reste = 14 reste = 7 reste = 3 reste = 1 reste = 318 reste = 159 reste = 79 reste = 39 reste = 19 reste = 0 reste = 9 reste = 4 reste 1 4 2= 2 reste = 1 reste = 0 reste 1 d où 57 (10) = (2) d où 637 (10) = (2)

$fait différemment pour la partie entière et la partie fractionnaire a a a a, a a a n1 n2 1 0 1 2 m b 011111 (2) =? (10) 1000001 (2) =?$

3 Conversion entre les bases ( ) Pour la partie entière (F) Partie fractionnaire : MÉTHODE ITÉRATIVE ( ) F a b a b a b a b m m bf a b a b a b a b m m Partie entière Partie fractionnaire F 1 bf a b a b a b a b m m Conversion entre les bases ( ) Exemple : 0,6875 (10) =? (2) 0, = 1,375 partie entière = 1 0,375 2 = 0,75 partie entière = 0 0,75 2 = 1,5 partie entière = 1 0,5 2 = 1,0 partie entière = 1 d où 0,6875 (10) = 0,1011 (2) Exemple : 0,8125 (10) =? (2) 0, = 1,625 partie entière = 1 0,625 2 = 1,25 partie entière = 1 0,25 2 = 0,5 partie entière = ,5 2 = 1,0 partie entière = 1 Partie entière Partie fractionnaire F 2 (le processus est appliqué jusqu à a -m ) d où doù 0,8125 (10) = 0,1101 (2) 9 10 Conversion entre les bases ( ) Conversion entre les bases ( ) La répétition existe aussi en binaire: MÉTHODE ITÉRATIVE ( ) Exemple : 22/7 = 21/7 + 1/7 = 3+1/7 =? (2) 22/7 = 3, Et en binaire? RÉPÉTITION 1/7 2 = 2/7 0,2857 partie entière = 0 2/7 2 = 4/7 0,5714 partie entière = 0 4/7 2 = 8/7 1,1428 partie entière = 1 1/7 2 = 2/7 0,2857 partie entière = 0 d où 22/7 = 11, (2) 11 12

$(2) 0,8125 2 = 1,625 partie entière = 1 0,625 2 = 1,25 partie entière = 1 0,25 2 = 0,5 partie entière = 0 05 0,5 2 = 1,0 partie entière = 1 Partie entière Partie fractionnaire F 2 (le processus est$

4 Et les nombres négatifs? Un ordinateur représente l information en 0 et en 1 (des bits). Pour représenter le signe moins ( - ), on a pas d autre choix que d utiliser dutiliser un bit supplémentaire REPRÉSENTATION EN COMPLÉMENT À 2 Comment écrire -22 en binaire? Supposons que l on utilise 8 bits. On a 256 valeurs binaires i (de 0 à 255). Pour réserver un bit de signe, on choisit PAR CONVENTION de diviser les valeurs possibles en deux, 128 nombres positifs (0 à 127) et 128 nombres négatifs (-128 à -1). Pour représenter les nombres négatifs on écrit: N en 256 N -3 sera = sera = Reprenons l écriture en binaire. Nous disposons de 8 bits (256 valeurs) partagés en 128 valeurs positives (0 à 127) et 128 valeurs négatives (-128 à -1). Les valeurs positives sont : Les valeurs négatives sont :

Supposons que l on utilise 8 bits. On a 256 valeurs binaires i (de 0 à 255).

5 Conclusions: Le bit le plus significatif (le plus à gauche, noté MSB) est un bit de signe Si le MSB vaut 0, le nombre est positif Exemples: Si le MSB vaut 1, le nombre est négatif Exemples: Conclusions ( ) : Pour trouver la valeur négative d un nombre de manière simple, on inverse les bits (complément à 1) et on ajoute 1: Exemples: 001 : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : Conclusions ( ) : Le chemin inverse est juste aussi, on inverse les bits (complément à 1) et on ajoute 1: Conclusions ( ): Le complément à 2 est cyclique: Exemple (4 bits allant de -8 à +7) : Exemples: -001 : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) :

bits (complément à 1) et on ajoute 1: Exemples: 001 : 0000 0001 INVERSE 1111 1110 (+1) 1111 1111 : -001 050 : 0011 0010 INVERSE 1100 1101 (+1) 1100 1110 : -050 100 : 0110 0100 INVERSE 1001 1011 (+1)

6 Il est possible de choisir i n importe quel nombre de bits. Pour n bit: Exemples: N = 2 n N 1001 (2) =? (10) 1011 (2) =? (10) 0101 (2) =? (10) (2) =? (10) Source xkcd n (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) Un peu d arithmétique Pour n+m bit, qu est-ce que ça donne avec partie en virgule fixe: N 0 a a a, a a a n m 2 ADDITION Nous avions déjà vu comment on additionne (+1) à un nombre L addition de façon générale s effectue de la même manière: Exemples: N = 2 n N 10,01 (2) =? (10) 10,1111 (2) =? (10) 01,01 (2) =? (10) 11,100 (2) =? (10) 11,001 (2) =? (10) 00,111 (2) =? (10) 23 24

(10) 21 22 Un peu d arithmétique Pour n+m bit, qu est-ce que ça donne avec partie en virgule fixe: N 0 a a a, a a a n2 1 0 1 2 m 2 ADDITION Nous avions déjà vu

7 ADDITION ( ) ADDITION ( ) Puisque nous limitons la longueur des nombres, on va éliminer la retenue R. Quel impact cela a-t-il sur le résultat? ( 54) ( 15) ( 69) ADDITION ( ) SOUSTRACTION Quel impact cela a-t-il sur le résultat? ( ) N 1 N 2 = N 1 ( N 2 ) (-15) (-54) ( 54) ( 15) (-39) ( 39) 27 28

8 LE DÉBORDEMENT Quel impact cela a-t-il sur le résultat? C est quoi? Quel est le problème? LE DÉBORDEMENT ( ) LE DÉBORDEMENT ( ) En complément à 2 avec 4 bits, il n y a pas de représentation de +8!!! Lorsque le résultat de l opération n est pas représentable, on parle de DÉBORDEMENT de l opération +/-. Le débordement survient uniquement quand on additionne deux nombres positifs ou deux nombres négatifs. Le débordement peut être facilement détecté, il survient lorsque les deux dernières retenues sont différentes ( 4) + ( 5)

!! Lorsque le résultat de l opération n est pas représentable, on parle de DÉBORDEMENT de l opération +/-.

9 MULTIPLICATION Un exemple simple (entiers positifs non signés): Quelques exemples MULTIPLICATION ( ) = = = = DIVISION Un exemple emple simple (entiers positifs non signés): donne 13 donne reste 0 reste Quelques exemples DIVISION ( )

DIVISION Un exemple emple simple (entiers positifs non signés): 1001110 0 1 1 1 0 1101 78 6 1 1 0 0 0 0 01110 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1

10 LE DÉCALAGE Chaque décalage à droite correspond à une division i i par deux : LE DÉCALAGE Chaque décalage à gauche correspond à une multiplication li par deux : , ,1 86, ,0 1 43, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 1 43, ,1 86, , Addition de deux bits (demi-additionneur binaire) A et B : cumulande et cumulateur S : somme R : retenue rn 1 r3 r2 r1 Addition de deux nombres binaires : n a a a a a b b b b b n A B S R S AB R AB r s s s s s n n A B S R 40 a n-1 b n-1 r n s n-1 r n-1 r 3 binaire complet a 2 b 2 s 2 a 1 b 1 r 2 r 1 s 1 a 0 b 0 s 0 r 0 = 0 0

1 1 0 1 5,406250 10101101 1 0,1 1 0 1 10,812500 1 0 1 0 1,1 0 1 21,625000 101011,01 1 0 1 1,0 1 43,250000 1 0 1 0 1 1 0,1 86,500000 1 0 1 0 1 1 0 1 173,000000 37 38 Addition de deux bits

11 binaire complet r a b s r i i i i i a i b i r i si ri aibi ri ab i i rab i i i ra i ibi a i b i r i r i 1 ra i i rb i i ai bi s r a b r ab rab ra b i i i i i i i i i i i i i r a b ab r ab a b i i i i i i i i i i r a b r a b r a b i i i i i i i i i r i 1 ra i i rb i i ab i i ou ri ai bi ri ai bi ai bi r ab a b ab i i i i i i i r a b a b i i i i i a i b i r i a i Circuit d anticipation des retenues («Carry Lookahead Network») b i r i s r a b i i i i r i 1 ri p i gi où p i a i bi (ou bien a i bi ) et g i ab i i r r p g r r p g rp g p g rppg p g Inconvénient : Délai de propagation des retenues r r a b ab i 1 i i i i i r r p g rppg p g p g rppp g pp g p g r r p p p p g p p p g p p g p p n n n1 1 2 n1 2 3 n1 g p p p g p p g p g n4 n3 n2 n1 n3 n2 n1 n2 n1 n

1 ra i i rb i i ab i i ou ri ai bi ri ai bi ai bi r ab a b ab i i i i i i i r a b a b i i i i i a i b i 00 01 11 10 0 0 0 1 0 r i 1 0 1 1 1 41 42 a i Circuit d anticipation des retenues («Carry

12 Circuit d anticipation des retenues pour un additionneur à 4 bits (avec r 0 =0) g 0 p 1 g 1 r 2 p 2 g 2 r 1 à 4 bits (avec r 0 =0) a 0 a 1 a 2 a 3 b s0 b 2 0 b 1 b 3 s 1 p 3 g 3 r 3 s 2 s 3 g 0 p 1 g 1 p 2 g 2 p 3 g 3 r 4 r 4 Circuit d anticipation des retenues r 1 r 2 r 3 r Arithmétique binaire : application du complément à deux Réalisation de la soustraction a a a a a b b b bb n1 n n1 n Unité arithmétique binaire avec commande de l opération b n-1 b 2 b 1 0, addition c 1, soustraction b 0 b n-11 b 2 b 1 b 0 a n-1 a 2 a 1 a 0 a n-1 a 2 a 1 a 0 r n-1 r 3 r 2 r 1 r n-1 r 3 r 2 r 1 r 0 = 1 r 0 r n s n-1 s 2 s 1 s 0 r n s n-1 s 2 s 1 s 0 d détection de débordement 47 48

Réalisation de la soustraction a a a a a b b b bb n1 n2 2 1 0 n1 n2 2 1 0 Unité arithmétique binaire avec commande de l opération b n-1 b 2 b 1 0, addition c 1, soustraction

13 Comparateur Comparateur a n-1 a 2 a 1 a 0 b n-1 b 2 b 1 b 0 Comparateur : réalisation avec des comparateurs à un bit a 0 b 0 a i b i a n-1 b n-1 s E COMPARATEUR s G E 0 E 1 E i E i+1 E n-1 E n s E s P G 0 COMPARATEUR (UN BIT) G 1 G i COMPARATEUR (UN BIT) G i+1 G n-1 COMPARATEUR (UN BIT) G n s G P 0 P 1 P i P i+1 P n-1 P n s P an1an2 a2a1a0 bn1bn2 b2bb a a a a a b b b bb 100 si a a a a a b b b bb sesgsp 010 si an an a a a bn bn b bb 001 si n1 n n1 n Note : E 0 = 1 et G 0 = P 0 = Comparateur Comparateur E i G i a b E G P E G P i i i i i i1 i1 i a i b i COMPARATEUR (UN BIT) E i+1 G i P i P i E abe abe ab ab E a b E a b E i 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i G i 1 big i ag i i aib ou i ai bigi ab i igi ai bi abab Gab a b Gab i i i i i i i i i i i i P i 1 bp i i aip i ab ou i i abp i i i abp i i i ab i i a b ab Pab a b Pab i i i i i i i i i i i i ( Tous les autres cas sont facultatifs ) 51 52

100 si a a a a a b b b bb sesgsp 010 si an an a a a bn bn b bb 001 si n1 n2 2 1 0 n1 n2 2 1 0 Note : E 0 = 1 et G 0 = P 0 = 0 49 50 Comparateur Comparateur E i G i a b E G P E G P i i i i i i1 i1 i1

14 Comparateur a i b i E i+1 E i G i+1 G i P i P i+1 53

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