Géométrie dans l Espace Courbes de niveau

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1 Géométrie dans l Espae Courbes de niveau Christophe ROSSIGNOL Année solaire 008/009 Table des matières 1 Quelques rappels 1.1 Coordonnées d un point, d un veteur Colinéarité Coplanarité Colinéarité, appliations Coplanarité Orthogonalité Distane Équations de plan Équations de droites 4.1 Équations de plan Équations de droites Fontions de deux variables Courbes de niveau 6 Table des figures 1 Coordonnées dans un repère de l Espae Ce ours est plaé sous liene Creative Commons BY-SA 1

2 1 QUELQUES RAPPELS En préliminaire : Exeries : Tests A 1 et B page 64 [Déli] 1 Quelques rappels 1.1 Coordonnées d un point, d un veteur Théorème : (admis) ( Soit O ; ı ; j ; ) k un repère de l Espae. 1. Soit M un point de l Espae. Il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que OM = x ı + y j + z k (voir figure 1). Ce triplet est appelé oordonnées de M. On note M (x ; y ; z).. Soit u un veteur de l Espae. Il existe un unique triplet (a ; b ; ) tel que u = a ı + b j + k. Ce triplet est appelé oordonnées de u. On note a u b. Figure 1 Coordonnées dans un repère de l Espae Remarque : Dans l Espae, il faut avoir un renseignement supplémentaire pour déterminer graphiquement les oordonnées d un point ( est un problème lié à la perspetive). Exeries : 1 page , 0 page 77 4 [Déli] 1. Pavé dans un repère de l Espae.. Points et veteurs de l Espae. 3. Plaer des points dans un repère. 4. Détermination graphique de oordonnées.

3 1 QUELQUES RAPPELS 1. Colinéarité Coplanarité Propriété : Si A (x A ; y A ; z A ) et si B (x B ; y B ; z B ) alors : les oordonnées du veteur AB sont : AB x B x A y B y A z B z A les oordonnées du milieu I du segment [AB] sont : I ( x A +x B Si u a b et si v a b alors : les oordonnées de u + v sont : u + v a + a b + b + Si k est un réel, les oordonnées du veteur k u sont : k u ; y A+y B ; z A+z B k a k b k ) 1. Colinéarité Coplanarité 1..1 Colinéarité, appliations Définition : Deux veteurs u et v sont olinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel k ( est-à-dire u = k v ou v = k u ). Propriété : Soit u et v deux veteurs non nuls. u et v sont olinéaires si et seulement si les veteurs u et v ont même diretion. Appliations : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les veteurs AB et CD sont olinéaires. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les veteurs AB et AC sont olinéaires. Les points A, B et C forment un plan si et seulement si les veteurs AB et AC ne sont pas olinéaires. Exeries : 18 page 76 5 [Déli] 1.. Coplanarité Définitions : Remarques : 1. On dit que quatre points A, B, C et D de l espae sont oplanaires s ils sont dans un même plan.. Soit u, v et w trois veteurs de l espae. Il existe quatre points A, B, C et D de l espae tels que u = AB, v = AC et w = AD. On dit que les veteurs u, v et w sont oplanaires si et seulement si les quatre points A, B, C et D le sont. 1. Moins de quatre points sont toujours oplanaires.. Si les veteurs AB et CD sont olinéaires, les droites (AB) et (CD) sont parallèles et, don, les points A, B, C et D sont oplanaires. 5. Utilisation de la olinéarité et introdution de la oplanarité. 3

4 1.3 Orthogonalité Distane ÉQUATIONS DE PLAN ÉQUATIONS DE DROITES Théorème : (admis) 1. Soit u, v et w trois veteurs de l espae, tels que u et v ne soient pas olinéaires. Alors, les veteurs u, v et w sont oplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que : w = a u + b v. Soit A, B, C et D quatre points de l espae, tels que A, B et C ne soient pas alignés. Alors, les points A, B, C et D sont oplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que : AD = a AB + bad Exeries : 17 page 76 et 4 page 77 6 [Déli] 1.3 Orthogonalité Distane Propriété : On se plae dans un repère ( O ; ı ; j ; ) k orthonormé. 1. Si le veteur u a omme oordonnées a b, alors sa norme est : u = a + b +. Si A (x A ; y A ; z A ) et si B (x B ; y B ; z B ) alors : AB = (x B x A ) + (y B y A ) + (z B z A ) Propriété (admise) : On se plae dans un repère orthonormé. Les veteurs u a b et v a b sont orthogonaux si et seulement si : aa + bb + = 0 Exeries : 14 page 76 7 et 3 page 77 8 [Déli] Équations de plan Équations de droites.1 Équations de plan Théorème (admis) : Tout plan de l Espae admet une équation de la forme ax + by + z = d, où a, b, et d sont des réels. Réiproquement, si a, b, et d sont des réels non tous nuls, l équation ax + by + z = d est l équation d un plan. Quelques plans partiuliers : Tout plan parallèle à (xoy) a une équation de la forme z = k ; 6. Caluls sur les oordonnées. 7. QCM. 8. Caluls sur les oordonnées. 4

5 ÉQUATIONS DE PLAN ÉQUATIONS DE DROITES.1 Équations de plan Tout plan parallèle à (xoz) a une équation de la forme y = k ; Tout plan parallèle à (yoz) a une équation de la forme x = k ; Tout plan parallèle à l axe (Ox) a une équation de la forme by + z = d ; Tout plan parallèle à l axe (Oy) a une équation de la forme ax + z = d ; Tout plan parallèle à l axe (Oz) a une équation de la forme ax + by= d. Exeries : 5, 6 page 78 et 63 page 84 9 [Déli] Exerie type : Soit A (1 ; 0 ; 3) ; B (1 ; 3 ; ) et C (0 ; ; 4). Montrer que A, B et C forment un plan puis déterminer une équation de e plan. AB Les veteurs et AC 1 1 Une équation du plan (ABC) est don : 5x + y + 3z = 14.. AB et AC ne peuvent pas être olinéaires ar leurs absisses ne peuvent pas être proportionnelles. Par suite, les points A, B et C forment un plan. Une équation du plan (ABC) est de la forme : ax + by + z = d Comme A (1 ; 0 ; 3) est sur e plan, on a : a + 3 = d Comme B (1 ; 3 ; ) est sur e plan, on a : a + 3b + = d Comme C (0 ; ; 4) est sur e plan, on a : b + 4 = d On aboutit au système : a + 3 = d (E 1 ) a + 3b + = d (E ) b + 4 = d (E 3 ) Pour résoudre e système, on fait omme si l inonnue d était onnue et on emploie la méthode de résolution des systèmes 3 3. a + 3 = d (E 1 ) 3b = 0 (E E E 1 ) b + 4 = d (E 3 ) a + 3 = d (E 1 ) 3b = 0 (E ) 14 = 3d (E 3 3E 3 E ) On hoisit maintenant de prendre d = 14. a + 3 = 14 3b = 0 14 = 3 14 a = 5 b = 1 = 3 Propriété : Soit (P ) un plan d équation ax + by + z = d dans un repère orthonormal. Alors n a b est un veteur normal au plan (P ). Remarque : Il est don très simple de trouver l équation d un plan dont on onnaît un veteur normal. 9. Vrai-faux. QCM. 5

6 . Équations de droites 3 FONCTIONS DE DEUX VARIABLES COURBES DE NIVEAU Exeries : 7, 8, 9, 30 page page 78 et 35 page page 79 et 4 page 80 1 [Déli]. Équations de droites Propriété (admise) : Soit P le plan d équation ax + by + z = d. Soit P le plan d équation a x + b y + z = d. Alors, les plans P et P sont parallèles si et seulement si les oeffiients sont proportionnels. Sinon, les plans P et P sont séants suivant une droite D. La droite D est alors définie par le système d équations : ax + by + z = d a x + b y + z = d a b et a b Quelques droites partiulières : axe (Ox) : axe (Oy) : axe (Oz) : y = 0 z = 0 x = 0 z = 0 x = 0 y = 0 droite parallèle à (Ox) : droite parallèle à (Oy) : droite parallèle à (Oz) : Exeries : 37 page page , 34 page 78 ; 40,41 page , 44 page [Déli] Exeries de synthèse : 63 page 84 et 68 page page [Déli] y z x z x y = a = b = a = b = a = b 3 Fontions de deux variables Courbes de niveau Ativité : Ativité page [Déli] Définitions : Exemples : 1. Soient I et J deux intervalles. On suppose que x I et y J. Définir une fontion f de deux variables x et y est assoier à tout ouple (x ; y) un et un seul réel noté f (x ; y).. La représentation graphique de f dans le repère (O ; ı ; j ) de l Espae est l ensemble des points M de oordonnées (x ; y ; f (x ; y)) lorsque x dérit l intervalle I et y l intervalle J. Cette représentation est graphique est appelée surfae d équation z = f (x ; y). 1. f (x ; y) = x 1x + 5y + 0 où x [0 ; 8] et y [0 ; 10]. La surfae représentant ette fontion est donnée page 65 de [Déli]. 10. Équation de plan Cas général. 11. Représentation d un plan. 1. Plans partiuliers. 13. Représentation d une droite. 14. Utilisation des équations de droites. 15. Aplliation à la résolution de systèmes. 16. Programmation linéaire. 17. QCM. 18. Résolution de système. 19. Fontions de deux variables. 6

7 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES. f (x ; y) = 5x + y + 10 où x R et y R. Sa représentation graphique est la surfae d équation z = 5x + y + 10, est-à-dire le plan d équation 5x + y z + 10 = 0. Définition : Soit S une surfae d équation z = f (x ; y). On appelle ourbe de niveau k de la surfae S l intersetion de la surfae par le plan d équation z = k. Remarque : Les ourbes de niveau sont généralement représentées par un ode de ouleurs. Les autres lignes représentées sur la surfae sont le maillage du plan (xoy) projeté sur ette surfae. Exeries : 48 page , 47 page , 55 page 8 et 57, 58 page page 8 et 61 page , 66 page 85 et 70 page 87 4 [Déli] Référenes [Déli] Déli Terminale ES, enseignement obligatoire et option, Hahette Éduation, 006., 3, 4, 5, 6, 7 0. Lire les oordonnées d un point d une surfae. 1. QCM. Vrai ou faux.. Intersetion ave des plans et ourbes de niveau. 3. Optimisation sous ontraintes. 4. Exeries de synthèse. 7