Liste de quelques questions fréquentes par chapitre

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1 Chapitre 01 : Les limites Liste de quelques questions fréquentes par chapitre 1) Déterminer la limite d une suite a) cas d une suite arithmétique b) cas d une suite géométrique c) cas d une suite du type d) cas d une suite du type avec une fonction continue e) en utilisant le théorème des gendarmes f) en utilisant les formules sur les limites 2) Détermination de limites de fonctions a) Cas des limites en ou en d une fonction polynôme b) Cas des limites en ou en d une fonction rationnelle c) Cas d indétermination ( ou 0 ou ou ) Exemples de cas d indétermination : - Cas des limites se ramenant à un taux d accroissement (on justifie alors le résultat en utilisant la dérivabilité de la fonction dont on a un taux d accroissement ; cela sert surtout dans le cas d une indétermination du type ) Exemple : lim - On peut parfois lever une indétermination en utilisant la méthode de factorisation forcée - On peut parfois lever une indétermination en utilisant la quantité conjuguée du numérateur ou du dénominateur d une fonction définie par un quotient. e) Montrer qu une droite d équation est asymptote à la courbe d une fonction en ou en f) Montrer qu une droite d équation est asymptote verticale à la courbe d une fonction g) en utilisant les formules sur les limites

2 Chapitre 02 : Continuité, TVI, compléments sur la dérivation 1) Justifier la dérivabilité d une fonction a) en un point, en revenant à la définition b) sur un intervalle cas d une fonction rationnelle cas des sommes ou produits de fonctions usuelles cas des quotients de fonctions usuelles, non polynomiales (justification à détailler par rapport aux fonctions rationnelles) ; fonction du type cas des fonctions du type 2) Etudier les variations d une fonction a) par des arguments de somme ou de composée de fonctions usuelles b) en étudiant le signe de la dérivée 3) Etudier les positions relatives des courbes de deux fonctions. Exemple : étudier la position relative de la courbe d une fonction avec une de ses tangentes. 4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe d une fonction au point d abscisse. 5) Montrer qu une fonction est continue en (montrer que lim existe et est égale à, ce qui signifie que lim lim ) 6) Montrer qu une équation admet une unique solution ou déterminer le nombre de solutions d une équation du type. 7) Montrer qu une fonction est paire ou impaire (étudier la parité d une fonction). (Ensemble de définition symétrique par rapport à 0 et (cas d une fonction paire) ou (cas d une fonction impaire) 8) Montrer qu une droite d équation 2 (c est un exemple) est un axe de symétrie pour la courbe d une fonction. 9) Montrer qu un point ; est centre de symétrie de la courbe d une fonction. Voir exercice 3 Antilles-Guyane Septembre 2008

3 Chapitre 03 : Les suites : rappels, récurrence 1) Calculer les termes d une suite (définie de façon explicite ou par récurrence). 2) Déterminer les variations d une suite a) par l étude du signe de b) si tous les termes de sont strictement positifs, comparaison entre et 1 c) suite du type, par l étude des variations de sur 0; d) suite du type, par l étude des variations de f et une récurrence (en général, f est croissante ; le résultat dépend donc des deux premiers termes de la suite) e) cas où la suite est géométrique f) cas où la suite est arithmétique 3) Montrer qu une suite est arithmétique Montrer que vérifie une relation du type et déterminer (on peut calculer ) 4) Montrer qu une suite est géométrique Montrer que vérifie une relation du type et déterminer (éviter de calculer, sauf si on est capable de justifier que 0, pour tout ) 5) Représenter graphiquement les premiers termes d une suite a) cas où b) cas où 6) Calculer la somme de termes consécutifs d une suite a) cas où la suite est arithmétique b) cas où la suite est géométrique 7) Donner la forme explicite d une suite arithmétique ou géométrique. 8) Montrer qu une suite converge a) cas d une suite arithmétique b) cas d une suite géométrique c) en utilisant le théorème des gendarmes et un encadrement. 9) Montrer qu une suite diverge a) en utilisant les théorèmes de comparaison b) en utilisant les règles de calcul sur les limites 10) Démontrer une propriété par récurrence 11) Ecrire à l aide du symbole une somme de termes d une suite

4 Chapitre 04 : Fonction exponentielle, équations différentielles 1) Justifier la dérivabilité d une fonction du type 2) Mêmes questions que dans le chapitre 02 avec des fonctions faisant intervenir l exponentielle (variations, limites, asymptotes, tangentes, positions relatives de deux courbes, nombre de solutions d une équation du type, etc ) Pour les limites, pensez aux cas d indétermination dont le résultat est dans le cours. lim 1 ; lim ; lim 3) Résoudre des équations ou inéquations comportant des exponentielles. Cela nécessite souvent d utiliser les propriétés algébriques de et de. 4) Résoudre une équation différentielle a) Donner la forme générale des solutions d une équation différentielle du type ou où et sont des constantes. b) Déterminer LA solution d une équation différentielle du type ou avec une condition initiale. 5) Montrer qu une fonction est solution d une équation différentielle (que l on ne sait pas résoudre) ssi une fonction (liée à ) est solution d une équation différentielle (que l on sait résoudre), puis donner l ensemble des solutions de l équation.

5 Chapitre 05 : Nombres complexes 1) Ecrire un nombre complexe sous forme algébrique 2) Ecrire un nombre complexe sous forme trigonométrique 3) Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle 4) Déterminer le module d un nombre complexe (cas où il est sous forme algébrique, cas où il est sous forma trigonométrique, cas ou il est sous forme exponentielle, cas où il est écrit comme produit ou quotient de deux nombres complexes) 5) Déterminer d un argument d un nombre complexe (cas où il est sous forme algébrique, cas où il est sous forma trigonométrique, cas ou il est sous forme exponentielle, cas où il est écrit comme produit ou quotient de deux nombres complexes) 6) Montrer qu un nombre complexe est réel 7) Montrer qu un nombre complexe est imaginaire pur 8) Résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans tous les cas (discriminant positif, négatif ou nul). 9) Caractériser à l aide du module ou de l argument un ensemble de points du plan du type cercle ou droite en utilisant des formules du type et, arg. 10) Déterminer l ensemble des points M d affixe tels que ou. 11) Déterminer l affixe d un point D pour que ABCD soit un parallélogramme. 12) Savoir utiliser les formules de Moivre et d Euler. 13) Déterminer l affixe d un barycentre. 14) Donner l écriture complexe d une translation, d une rotation ou d une homothétie 15) Déterminer l affixe de l image d un point par une translation, une rotation ou une homothétie 16) Déterminer l ensemble des points M confondus avec leur image par une transformation (dont on a une écriture complexe), c est-à-dire chercher qui vérifie ) 17) Montrer que trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre Ω. Remarque : Pour déterminer un ensemble de points dont les affixes vérifient une certaines conditions, il est utile de se rappeler la forme d une équation cartésienne de cercle ou de droite.

6 Chapitre 06 : Fonctions logarithmes 1) Justifier la dérivabilité d une fonction du type ln 2) Mêmes questions que dans le chapitre 02 avec des fonctions faisant intervenir la fonction. (variations, limites, asymptotes, tangentes, positions relatives de deux courbes, nombre de solutions d une équation du type, etc ) Pour les limites, pensez aux cas d indétermination dont le résultat est dans le cours. lim ln ; lim ln ; lim ln 1 3) Résoudre des équations ou inéquations comportant des logarithmes népériens. Cela nécessite souvent d utiliser les propriétés algébriques de et de. 4) Autres inéquations du type : Déterminer le plus petit entier naturel tel que ,5 5) Reprendre les questions précédentes avec le logarithme décimal.

7 Chapitre 07 : Les fonctions puissances 1) Justifier la dérivabilité d une fonction du type ou. Attention, l ensemble de définition n a rien à voir entre ces deux types de fonctions! 2) Mêmes questions que dans le chapitre 02 avec des fonctions faisant intervenir des fonctions puissances (variations, limites, asymptotes, tangentes, positions relatives de deux courbes, nombre de solutions d une équation du type, etc ) Pour les limites, pensez aux cas d indétermination dont le résultat est dans le cours. avec comme conséquences : lim ln ; lim lim ; lim ln ; lim ln ; lim 3) Résoudre des équations ou inéquations comportant des fonctions puissances. Exemple : Résoudre Cela nécessite souvent d utiliser les propriétés algébriques sur les puissances.

8 Chapitres 08 et 12 : Probabilités Il faut savoir 1) Utiliser les permutations, les combinaisons pour dénombrer. 2) Utiliser le triangle de Pascal, la formule du binôme. 3) Calculer une probabilité dans un cas d équiprobabilité. 4) Calculer une probabilité avec les probabilités conditionnelles. 5) Utiliser la formule des probabilités totales. 6) Déterminer l espérance et l écart-type d une variable aléatoire. 7) Calculer des probabilités dans le cas des lois usuelles (discrètes ou continues) : loi de Bernoulli, loi binomiale, loi uniforme, loi exponentielle. 8) Savoir compléter et lire un arbre pondéré. 9) Connaître la définition de deux évènements indépendants, de deux variables aléatoires indépendantes. 10) Déterminer le paramètre d une loi exponentielle. 11) Calculer des probabilités avec une loi sans mémoire. En italique, les points correspondant au chapitre 12.

9 Chapitre 09 : Suites (2) 1) Montrer qu une suite converge a) cas d une suite croissante majorée (ou décroissante minorée) b) cas de deux suites adjacentes 2) Déterminer la limite d une suite a) cas de deux suites adjacentes b) en utilisant une des méthodes rencontrées dans le chapitre 1 : (cas d une suite arithmétique, cas d une suite géométrique, cas d une suite du type, cas d une suite du type avec une fonction continue, en utilisant le théorème des gendarmes, en utilisant les formules sur les limites) 3) Montrer que deux suites sont adjacentes

10 Chapitre 10 : Calcul intégral Il faut savoir 1) Déterminer une primitive. (utilisez vos formules sur les primitives sans en inventer d autres ) 2) Calculer une intégrale connaissant une primitive. 3) Calculer une intégrale par intégration par parties (la fonction à intégrer est écrite comme le produit de deux autres, dont l une des deux est parfois la fonction constante égale à 1). 4) Interpréter graphiquement une intégrale en termes d aire (si la fonction est de signe constant) 5) Savoir utiliser la relation de Chasles et la linéarité de l intégrale. 6) Déterminer l aire comprise entre deux courbes. 7) Déterminer la valeur moyenne d une fonction. 8) Savoir utiliser l inégalité de la moyenne 9) Comparer deux intégrales (sur un même intervalle) en comparant les fonctions à intégrer 10) Encadrer une intégrale en encadrant la fonction à intégrer 11) Déterminer LA primitive d une fonction continue, vérifiant une condition du type.

11 Chapitre 11 : Produit scalaire dans le plan et l espace, géométrie dans l espace Il faut savoir 1) Déterminer une représentation paramétrique d une droite, connaissant un point et un vecteur directeur. 2) Déterminer une représentation paramétrique d une droite, donnée par deux équations cartésiennes de plans. 3) Déterminer une équation cartésienne d un plan, connaissant un point et un vecteur normal. 4) Déterminer une équation cartésienne d un plan, connaissant les coordonnées de trois points non alignés. 5) Déterminer un vecteur normal à un plan connaissant trois points, non alignés, du plan. 6) Déterminer la distance d un point à un plan. 7) Utiliser le produit scalaire dans l espace (plusieurs formules possibles). 8) Produit scalaire dans le plan et conséquences (formule des sinus, d Al-Kashi, théorème de la médiane, etc ). 9) Déterminer la distance d un point à une droite dans le plan. 10) Savoir caractériser un demi-espace par une inéquation. 11) Connaître les caractérisations barycentriques des points d un segment, d une droite, de l intérieur d un triangle, d un plan. 12) Déterminer les intersections, dans l espace, de deux plans, de deux droites, ou d une droite et d un plan.