+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) ,01

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1 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables Motivation Nous souhaitons calculer,0 ou du moins en trouver une valeur approchée. Comme,0 est proche de et que = on se doute bien que,0 sera proche de. Peut-on être plus précis? Si l on appelle f la fonction définie par f () =, alors la fonction f est une fonction continue en 0 =. La continuité nous affirme que pour suffisamment proche de 0, f () est proche de f ( 0 ). Cela revient à dire que pour au voisinage de 0 on approche f () par la constante f ( 0 ). y y = ( ) + y = y = 0 Nous pouvons faire mieu qu approcher notre fonction par une droite horizontale! Essayons avec une droite quelconque. Quelle droite se rapproche le plus du graphe de f autour de 0? Elle doit passer par le point ( 0, f ( 0 )) et doit «coller» le plus possible au graphe : c est la tangente au graphe en 0. Une équation de la tangente est y = ( 0 )f ( 0 ) + f ( 0 ) où f ( 0 ) désigne le nombre dérivé de f en 0. On sait que pour f () =, on a f () =. Une équation de la tangente en 0 = est donc y = ( ) +. Et donc pour proche de on a f () ( ) +. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de,0? On pose =,0 donc f () + 0,0 ( ) = + =,005. Et c est effectivement une très bonne de approimation de 0,0 =, En posant h = on peut reformuler notre approimation en : + h + h qui est valable pour h proche de 0. Dans ce chapitre nous allons donc définir ce qu est la dérivée d une fonction, et établir les formules des dérivées des fonctions usuelles. Enfin, pour connaître l erreur des approimations, il nous faudra travailler beaucoup plus afin d obtenir le théorème des accroissements finis.

2 . Dérivée.. Dérivée en un point Soit I un intervalle ouvert de R et f : I R une fonction. Soit 0 I. Définition f est dérivable en 0 si le tau d accroissement f () f ( 0) 0 a une limite finie lorsque tend vers 0. La limite s appelle alors le nombre dérivé de f en 0 et est noté f ( 0 ). Ainsi f ( 0 ) = lim 0 f () f ( 0 ) 0 Définition f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point 0 I. La fonction f () est la fonction dérivée de f, elle se note f ou d f d. Eemple La fonction définie par f () = est dérivable en tout point 0 R. En effet : f () f ( 0 ) = 0 = ( 0)( + 0 ) = On a même montré que le nombre dérivé de f en 0 est 0, autrement dit : f () =. Eemple Montrons que la dérivée de f () = sin est f () = cos. Nous allons utiliser les deu assertions suivantes : sin et sin p sin q = sin p q cos p + q 0. Remarquons déjà que la première assertion prouve en 0 = 0 et f (0) =. Pour 0 quelconque on écrit : f () f (0) 0 = sin et donc f est dérivable f () f ( 0 ) 0 = sin sin 0 0 = sin 0 0 cos + 0. Lorsque 0 alors d une part cos + 0 cos 0 et d autre part en posant u = 0 alors u 0 et on a sin u u. Ainsi f () f ( 0) 0 cos 0 et donc f () = cos... Tangente La droite qui passe par les points distincts ( 0, f ( 0 )) et (, f ()) a pour coefficient directeur f () f ( 0) 0. À la limite on trouve que le coefficient directeur de la tangente est f ( 0 ). Une équation de la tangente au point ( 0, f ( 0 )) est donc : y = ( 0 )f ( 0 ) + f ( 0 )

3 3 M 0 M 0.3. Autres écritures de la dérivée Voici deu autres formulations de la dérivabilité de f en 0. Proposition f ( 0 + h) f ( 0 ) f est dérivable en 0 si et seulement si lim eiste et est finie. h 0 h f est dérivable en 0 si et seulement s il eiste l R (qui sera f ( 0 )) et une fonction ε : I R telle que ε() 0 avec 0 f () = f ( 0 ) + ( 0 )l + ( 0 )ε(). Il s agit juste de reformuler la définition de f ( 0 ). Par eemple, après division par 0, la deuième écriture devient f () f ( 0 ) = l + ε(). 0 Proposition Soit I un intervalle ouvert, 0 I et soit f : I R une fonction. Si f est dérivable en 0 alors f est continue en 0. Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I. Supposons f dérivable en 0 et montrons qu elle est aussi continue en ce point. Voici une démonstration concise : partant de l écriture alternative donnée dans la proposition, nous écrivons f () = f ( 0 ) + ( 0 )l+( } {{ } 0 )ε(). } {{ } 0 0 Donc f () f ( 0 ) lorsque 0 et ainsi f est continue en 0. On reprend cette démonstration sans utiliser les limites mais uniquement la définition de continuité et dérivabilité : Fions ε > 0 et écrivons f () = f ( 0 ) + ( 0 )l + ( 0 )ε() grâce à la proposition, où ε() 0 et 0

4 4 l = f ( 0 ). Choisissons δ > 0 de sorte qu il vérifie tous les points suivants : δ δ l < ε si 0 < δ alors ε() < ε (c est possible car ε() 0) Alors l égalité ci-dessus devient : f () f (0 ) = ( 0 )l + ( 0 )ε() 0 l + 0 ε() δ l + δε pour 0 < δ ε + ε = ε Nous venons de prouver que si 0 < δ alors f () f (0 ) < ε, ce qui eprime eactement que f est continue en 0. Remarque La réciproque est fausse : par eemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n est pas dérivable en 0. y y = 0 En effet, le tau d accroissement de f () = en 0 = 0 vérifie : f () f (0) = 0 = + si > 0 si < 0. Il y a bien une limite à droite (qui vaut +), une limite à gauche (qui vaut ) mais elles ne sont pas égales : il n y a pas de limite en 0. Ainsi f n est pas dérivable en = 0. Cela se lit aussi sur le dessin il y a une demi-tangente à droite, une demi-tangente à gauche mais elles ont des directions différentes. Mini-eercices. Montrer que la fonction f () = 3 est dérivable en tout point 0 R et que f ( 0 ) = Montrer que la fonction f () = est dérivable en tout point 0 > 0 et que f ( 0 ) = Montrer que la fonction f () = (qui est continue en 0 = 0) n est pas dérivable en 0 = Calculer l équation de la tangente (T 0 ) à la courbe d équation y = 3 au point d abscisse 0 =. Calculer afin que la tangente (T ) au point d abscisse soit parallèle à (T 0 ). 5. Montrer que si une fonction f est paire et dérivable, alors f est une fonction impaire.

5 5. Calcul des dérivées.. Somme, produit,... Proposition 3 Soient f, g : I R deu fonctions dérivables sur I. Alors pour tout I : (f + g) () = f () + g (), (λf ) () = λf () où λ est un réel fié, (f ( ) g) () = f ()g() + f ()g (), f f () = () (si f () 0), f () ( ) f f g () = ()g() f ()g () (si g() 0). g() Remarque Il est plus facile de mémoriser les égalités de fonctions : (f + g) = f + g, (λf ) = λf, (f g) = f g + f g, ( ) = f f f, ( f g ) = f g f g g. Prouvons par eemple (f g) = f g + f g. Fions 0 I. Nous allons réécrire le tau d accroissement de f () g() : f ()g() f ( 0 )g( 0 ) 0 = f () f ( 0) g() + g() g( 0) 0 0 f ( 0 ) 0 f ( 0 )g( 0 ) + g ( 0 )f ( 0 ). Ceci étant vrai pour tout 0 I la fonction f g est dérivable sur I de dérivée f g + f g... Dérivée de fonctions usuelles Le tableau de gauche est un résumé des principales formules à connaître, est une variable. Le tableau de droite est celui des compositions (voir paragraphe suivant), u représente une fonction u(). Fonction Dérivée Fonction Dérivée n n n (n Z) α α α (α R) e ln cos sin e sin cos tan + tan = cos u n nu u n (n Z) u u u u u u u α αu u α (α R) e u ln u cos u sin u u e u u u u sin u u cos u tan u u ( + tan u) = u cos u

6 6 Remarque Notez que les formules pour n, et α sont aussi des conséquences de la dérivée de l eponentielle. Par eemple α = e αln et donc d d (α ) = d d (eαln ) = α eαln = α α = α α. Si vous devez dériver une fonction avec un eposant dépendant de il faut absolument repasser à la forme eponentielle. Par eemple si f () = alors on réécrit d abord f () = e ln pour pouvoir calculer f () = ln e ln = ln..3. Composition Proposition 4 Si f est dérivable en et g est dérivable en f () alors g f est dérivable en de dérivée : ( g f ) () = g ( f () ) f () La preuve est similaire à celle ci-dessus pour le produit en écrivant cette fois : g f () g f ( 0 ) 0 = g ( ) ( f () g f (0 ) ) f () f ( 0) f () f ( 0 ) 0 g ( f ( 0 ) ) f ( 0 ). 0 Eemple 3 Calculons la dérivée de ln( + ). Nous avons g() = ln() avec g () = ; et f () = + avec f () =. Alors la dérivée de ln( + ) = g f () est ( g f ) () = g ( f () ) f () = g ( + ) = +. Corollaire Soit I un intervalle ouvert. Soit f : I J dérivable et bijective dont on note f : J I la bijection réciproque. Si f ne s annule pas sur I alors f est dérivable et on a pour tout J : ( f ) () = f ( f () ) Notons g = f la bijection réciproque de f. Soit y 0 J et 0 I tel que y 0 = f ( 0 ). Le tau d accroissement de g en y 0 est : g(y) g(y 0 ) g(y) 0 = y y 0 f ( g(y) ) f ( 0 ) Lorsque y y 0 alors g(y) g(y 0 ) = 0 et donc ce tau d accroissement tend vers f ( 0 ). Ainsi g (y 0 ) =

7 7 f ( 0 ). Remarque Il peut être plus simple de retrouver la formule à chaque fois en dérivant l égalité f ( g() ) = où g = f est la bijection réciproque de f. En effet à droite la dérivée de est ; à gauche la dérivée de f ( g() ) = f g() est f ( g() ) g (). L égalité f ( g() ) = conduit donc à l égalité des dérivées : f ( g() ) g () =. Mais g = f donc ( f ) () = f ( f () ). Eemple 4 Soit f : R R la fonction définie par f () = + ep(). Étudions f en détail. Tout d abord :. f est dérivable car f est la somme de deu fonctions dérivables. En particulier f est continue.. f est strictement croissante car f est la somme de deu fonctions strictement croissante. 3. f est une bijection car lim f () = et lim + f () = f () = + ep() ne s annule jamais (pour tout R). Notons g = f la bijection réciproque de f. Même si on ne sait pas a priori eprimer g, on peut malgré tout connaître des informations sur cette fonction : par le corollaire ci-dessus g est dérivable et l on calcule g en dérivant l égalité f ( g() ) =. Ce qui donne f ( g() ) g () = et donc ici g () = f ( g() ) = + ep ( g() ). Pour cette fonction f particulière on peut préciser davantage : comme f ( g() ) = alors g() + ep ( g() ) = donc ep ( g() ) = g(). Cela conduit à : g () = + g().

8 8 y y = + ep() y = y = ( ) y = g() 0 Par eemple f (0) = donc g() = 0 et donc g () =. Autrement dit ( f ) () =. L équation de la tangente au graphe de f au point d abscisse 0 = est donc y = ( )..4. Dérivées successives Soit f : I R une fonction dérivable et soit f sa dérivée. Si la fonction f : I R est aussi dérivable on note f = (f ) la dérivée seconde de f. Plus généralement on note : f (0) = f, f () = f, f () = f et f (n+) = ( f (n)) Si la dérivée n-ième f (n) eiste on dit que f est n fois dérivable. Théorème. Formule de Leibniz ( ) ( ) ( ) (n) f g = f (n) n n g + f (n ) g () + + f (n k) g (k) + + f g (n) k Autrement dit : ( ) ( ) (n) n n f g = f (n k) g (k). k k=0 La démonstration est similaire à celle de la formule du binôme de Newton et les coefficients que l on obtient sont les mêmes. Eemple 5 Pour n = on retrouve (f g) = f g + f g. Pour n =, on a (f g) = f g + f g + f g. Eemple 6 Calculons les dérivées n-ième de ep() ( + ) pour tout n 0. Notons f () = ep() alors f () = ep(), f () = ep(),...,f (k) () = ep(). Notons g() = + alors g () =, g () = et pour k 3, g (k) () = 0. Appliquons la formule de Leibniz : ) ( ) ( ) ( ) (n)() n n n f g = f (n) () g()+( f (n ) () g () ()+ f (n ) () g () ()+ f (n 3) () g (3) ()+ 3

9 9 On remplace f (k) () = ep() et on sait que g (3) (), g (4) () = 0,... Donc cette somme ne contient que les trois premiers termes : ( ) ( ) ( ) (n)() n n f g = ep() ( + ) + ep() + ep(). Que l on peut aussi écrire : ( ) (n)() f g = ep() ( n(n ) + n + ) +. Mini-eercices. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f () = ln, f () = sin, f 3() = + +, f 4 () = ( ln( + )) 3, f 5 () =, f 6 () = arctan + arctan.. On note (f ) = f. Calculer (f g). f 3. Soit f :],+ [ ],+ [ définie par f () = ln(). Montrer que f est une bijection. Notons g = f. Calculer g(0) et g (0). 4. Calculer les dérivées successives de f () = ln( + ). 5. Calculer les dérivées successives de f () = ln() Etremum local, théorème de Rolle 3.. Etremum local Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle I.

10 0 Définition 3 On dit que 0 est un point critique de f si f ( 0 ) = 0. On dit que f admet un maimum local en 0 (resp. un minimum local en 0 ) s il eiste un intervalle ouvert J contenant 0 tel que pour tout I J f () f ( 0 ) (resp. f () f ( 0 )). On dit que f admet un etremum local en 0 si f admet un maimum local ou un minimum local en ce point. y maimum global minimums locau maimums locau I Dire que f a un maimum local en 0 signifie que f ( 0 ) est la plus grande des valeurs f () pour les proches de 0. On dit que f : I R admet un maimum global en 0 si pour toutes les autres valeurs f (), I on a f () f ( 0 ) (on ne regarde donc pas seulement les f () pour proche de 0 ). Bien sûr un maimum global est aussi un maimum local, mais la réciproque est fausse. Théorème Soit I un intervalle ouvert et f : I R une fonction dérivable. Si f admet un maimum local (ou un minimum local) en 0 alors f ( 0 ) = 0. En d autres termes, un maimum local (ou un minimum local) 0 est toujours un point critique. Géométriquement, au point ( 0, f ( 0 )) la tangente au graphe est horizontale. y I

11 Eemple 7 Étudions les etremums de la fonction f λ définie par f λ () = 3 +λ en fonction du paramètre λ R. La dérivée est f λ () = 3 + λ. Si 0 est un etremum local alors f λ ( 0) = 0. Si λ > 0 alors f () > 0 et ne s annule jamais il n y a pas de points critiques donc pas non λ plus d etremums. En anticipant sur la suite : f λ est strictement croissante sur R. Si λ = 0 alors f λ () = 3. Le seul point critique est 0 = 0. Mais ce n est ni un maimum local, ni un minimum local. En effet si < 0, f 0 () < 0 = f 0 (0) et si > 0, f 0 () > 0 = f 0 (0). Si λ < 0 alors f λ () = 3 λ = 3 ( + λ )( 3 λ ) 3. Il y a deu points critiques = λ λ 3 et = + 3. En anticipant sur la suite : f λ () > 0 sur ], [ et ],+ [ et f λ () < 0 sur ], [. Maintenant f λ est croissante sur ], [, puis décroissante sur ], [, donc est un maimum local. D autre part f λ est décroissante sur ], [ puis croissante sur ],+ [ donc est un minimum local. λ > 0 λ = 0 λ < 0 Remarque. La réciproque du théorème est fausse. Par eemple la fonction f : R R, définie par f () = 3 vérifie f (0) = 0 mais 0 = 0 n est ni maimum local ni un minimum local.. L intervalle du théorème est ouvert. Pour le cas d un intervalle fermé, il faut faire attention au etrémités. Par eemple si f : [a, b] R est une fonction dérivable qui admet un etremum en 0, alors on est dans l une des situations suivantes : 0 = a, 0 = b, 0 ]a, b[ et dans ce cas on a bien f ( 0 ) = 0 par le théorème. Au etrémités on ne peut rien dire pour f (a) et f (b), comme le montre les différents maimums sur les dessins suivants. 0 I a I

12 I b 3. Pour déterminer ma [a,b] f et min [a,b] f (où f : [a, b] R est une fonction dérivable) il faut comparer les valeurs de f au différents points critiques et en a et en b. Preuve du théorème Supposons que 0 soit un maimum local de f, soit donc J l intervalle ouvert de la définition contenant 0 tel que pour tout I J on a f () f ( 0 ). Pour I J tel que < 0 on a f () f ( 0 ) 0 et 0 < 0 donc f () f ( 0) 0 0 et donc à la limite f () f ( lim 0 ) Pour I J tel que > 0 on a f () f ( 0 ) 0 et 0 > 0 donc f () f ( 0) 0 0 et donc à la limite f () f ( lim 0 ) Or f est dérivable en 0 donc lim 0 f () f ( 0 ) 0 = lim + 0 f () f ( 0 ) 0 = f ( 0 ). La première limite est positive, la seconde est négative, la seule possibilité est que f ( 0 ) = Théorème de Rolle Théorème 3. Théorème de Rolle Soit f : [a, b] R telle que f est continue sur [a, b], f est dérivable sur ]a, b[, f (a) = f (b). Alors il eiste c ]a, b[ tel que f (c) = 0. f (a) = f (b) a c b Interprétation géométrique : il eiste au moins un point du graphe de f où la tangente est horizontale.

13 3 Tout d abord, si f est constante sur [a, b] alors n importe quel c ]a, b[ convient. Sinon il eiste 0 [a, b] tel que f ( 0 ) f (a). Supposons par eemple f ( 0 ) > f (a). Alors f est continue sur l intervalle fermé et borné [a, b], donc elle admet un maimum en un point c [a, b]. Mais f (c) f ( 0 ) > f (a) donc c a. De même comme f (a) = f (b) alors c b. Ainsi c ]a, b[. En c, f est donc dérivable et admet un maimum (local) donc f (c) = 0. Eemple 8 Soit P(X) = (X α )(X α ) (X α n ) un polynôme ayant n racines réelles différentes : α < α < < α n.. Montrons que P a n racines distinctes. On considère P comme une fonction polynomiale P(). P est une fonction continue et dérivable sur R. Comme P(α ) = 0 = P(α ) alors par le théorème de Rolle il eiste c ]α,α [ tel que P (c ) = 0. Plus généralement, pour k n, comme P(α k ) = 0 = P(α k+ ) alors le théorème de Rolle implique l eistence de c k ]α k,α k+ [ tel que P (c k ) = 0. Nous avons bien trouvé n racines de P : c < c < < c n. Comme P est un polynôme de degré n, toutes ses racines sont réelles et distinctes.. Montrons que P + P a n racines distinctes. L astuce consiste à considérer la fonction auiliaire f () = P()ep. f est une fonction continue et dérivable sur R. f s annule comme P en α,...,α n. La dérivée de f est f () = ( P()+P () ) ep. Donc par le théorème de Rolle, pour chaque k n, comme f (α k ) = 0 = f (α k+ ) alors il eiste γ k ]α k,α k+ [ tel que f (γ k ) = 0. Mais comme la fonction eponentielle ne s annule jamais alors (P + P )(γ k ) = 0. Nous avons bien trouvé n racines distinctes de P + P : γ < γ < < γ n. 3. Déduisons-en que P + P a toutes ses racines réelles. P + P est un polynôme à coefficients réels qui admet n racines réelles. Donc (P + P )(X) = (X γ ) (X γ n )Q(X) où Q() = X γ n est un polynôme de degré. Comme P +P est à coefficients réels et que les γ i sont aussi réels, ainsi γ n R. Ainsi on a obtenu une n-ième racine réelle γ n (pas nécessairement distincte des autres γ i ). Mini-eercices. Dessiner le graphe de fonctions vérifiant : f admet deu minimums locau et un maimum local ; f admet un minimum local qui n est pas global et un maimum local qui est global ; f 3 admet une infinité d etremum locau ; f 4 n admet aucun etremum local.. Calculer en quel point la fonction f () = a + b + c admet un etremum local. 3. Soit f : [0,] R une fonction deu fois dérivable telle que f (0) = f () = f () = 0. Montrer qu il eiste c, c tels que f (c ) = 0 et f (c ) = 0. Montrer qu il eiste c 3 tel que f (c 3 ) = Montrer que chacune des trois hypothèses du théorème de Rolle est nécessaire. 4. Théorème des accroissements finis

14 4 4.. Théorème des accroissements finis Théorème 4. Théorème des accroissements finis Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Il eiste c ]a, b[ tel que f (b) f (a) = f (c) (b a) A B a c b Interprétation géométrique : il eiste au moins un point du graphe de f où la tangente est parallèle à la droite (AB) où A = (a, f (a)) et B = (b, f (b)). Posons l = f (b) f (a) b a et g() = f () l ( a). Alors g(a) = f (a), g(b) = f (b) f (b) f (a) b a (b a) = f (a). Par le théorème de Rolle, il eiste c ]a, b[ tel que g (c) = 0. Or g () = f () l. Ce qui donne f (c) = f (b) f (a) b a. 4.. Fonction croissante et dérivée Corollaire Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.. ]a, b[ f () 0 f est croissante ;. ]a, b[ f () 0 f est décroissante ; 3. ]a, b[ f () = 0 f est constante ; 4. ]a, b[ f () > 0 = f est strictement croissante ; 5. ]a, b[ f () < 0 = f est strictement décroissante. Remarque La réciproque au point (4) (et aussi au (5)) est fausse. Par eemple la fonction 3 est strictement croissante et pourtant sa dérivée s annule en 0.

15 5 Prouvons par eemple (). Sens =. Supposons d abord la dérivée positive. Soient, y ]a, b[ avec y. Alors par le théorème des accroissements finis, il eiste c ], y[ tel que f () f (y) = f (c)( y). Mais f (c) 0 et y 0 donc f () f (y) 0. Cela implique que f () f (y). Ceci étant vrai pour tout, y alors f est croissante. Sens =. Réciproquement, supposons que f est croissante. Fions ]a, b[. Pour tout y > nous f (y) f () avons y > 0 et f (y) f () 0, ainsi le tau d accroissement vérifie y 0. À la limite, quand y, ce tau d accroissement tend vers la dérivée de f en et donc f () Inégalité des accroissements finis Corollaire 3. Inégalité des accroissements finis Soit f : I R une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert. S il eiste une constante M tel que pour tout I, f () M alors, y I f () f (y) M y Fions, y I, il eiste alors c ], y[ ou ]y, [ tel que f () f (y) = f (c)( y) et comme f (c) M alors f () f (y) M y. Eemple 9 Soit f () = sin(). Comme f () = cos alors f () pour tout R. L inégalité des accroissements finis s écrit alors : pour tous, y R sin sin y y. En particulier si l on fie y = 0 alors on obtient sin ce qui est particulièrement intéressant pour proche de 0. y y = y = sin y = sin y = 4.4. Règle de l Hospital

16 6 Corollaire 4. Règle de l Hospital Soient f, g : I R deu fonctions dérivables et soit 0 I. On suppose que f ( 0 ) = g( 0 ) = 0, I \ { 0 } g () 0. Si f () f () lim 0 g = l ( R) alors lim () 0 g() = l. Fions a I \ { 0 } avec par eemple a < 0. Soit h : I R définie par h() = g(a)f () f (a)g(). Alors h est continue sur [a, 0 ] I, h est dérivable sur ]a, 0 [, h( 0 ) = h(a) = 0. Donc par le théorème de Rolle il eiste c a ]a, 0 [ tel que h (c a ) = 0. Or h () = g(a)f () f (a)g () donc g(a)f (c a ) f (a)g (c a ) = 0. Comme g ne s annule pas sur I \ { 0 } cela conduit à f (a) g(a) = f (c a ) g (c a ). Comme a < c a < 0 lorsque l on fait tendre a vers 0 on obtient c a 0. Cela implique f (a) lim a 0 g(a) = lim f (c a ) a 0 g (c a ) = lim f (c a ) c a 0 g (c a ) = l. Eemple 0 Calculer la limite en de ln( + ) ln(). On vérifie que : f () = ln( + ), f () = 0, f () = + +, g() = ln(), g() = 0, g () =, Prenons I =]0,], 0 =, alors g ne s annule pas sur I \ { 0 }. Donc f () g () = + + = f () g() 3. Mini-eercices. Soit f () = Étudier la fonction f. Tracer son graphe. Montrer que f admet un minimum local et un maimum local.. Soit f () =. Appliquer le théorème des accroissements finis sur l intervalle [00,0]. En déduire l encadrement Appliquer le théorème des accroissements finis pour montrer que ln( + ) ln() < (pour tout > 0). 4. Soit f () = e. Que donne l inégalité des accroissements finis sur [0, ]? 5. Appliquer la règle de l Hospital pour calculer les limites suivantes (quand 0) :

17 7 ( + ) n ; ln( + ) ; cos tan ; sin 3. Auteurs Arnaud Bodin Niels Borne Laura Desideri